九年级数学知识点归纳:平行四边形的性质。
老师在新授课程时,一般会准备教案课件,大家在用心的考虑自己的教案课件。写好教案课件工作计划,才能使接下来的工作更加有序!你们清楚有哪些教案课件范文呢?下面是小编为大家整理的“九年级数学知识点归纳:平行四边形的性质”,希望能为您提供更多的参考。
九年级数学知识点归纳:平行四边形的性质
知识点总结
1.定义:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
2.平行四边形的性质
(1)平行四边形的对边平行且相等;
(2)平行四边形的邻角互补,对角相等;
(3)平行四边形的对角线互相平分;
3.平行四边形的判定
平行四边形是几何中一个重要内容,如何根据平行四边形的性质,判定一个四边形是平行四边形是个重点,下面就对平行四边形的五种判定方法,进行划分:
第一类:与四边形的对边有关
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
第二类:与四边形的对角有关
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
第三类:与四边形的对角线有关
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形
常见考法
(1)利用平行四边形的性质,求角度、线段长、周长;(2)求平行四边形某边的取值范围;(3)考查一些综合计算问题;(4)利用平行四边形性质证明角相等、线段相等和直线平行;(5)利用判定定理证明四边形是平行四边形。
误区提醒
(1)平行四边形的性质较多,易把对角线互相平分,错记成对角线相等;(2)“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”错记成“一组对边平行,一组对边相等的四边形是平行四边形”后者不是平行四边形的判定定理,它只是个等腰梯形。wwW.JAb88.com
知识点总结
一、特殊的平行四边形
1.矩形:
(1)定义:有一个角是直角的平行四边形。
(2)性质:矩形的四个角都是直角;矩形的对角线平分且相等。
(3)判定定理:
①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。②对角线相等的平行四边形是矩形。③有三个角是直角的四边形是矩形。
直角三角形的性质:直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半。
2.菱形:
(1)定义:邻边相等的平行四边形。
(2)性质:菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
(3)判定定理:
①一组邻边相等的平行四边形是菱形。
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
③四条边相等的四边形是菱形。
(4)面积:
3.正方形:
(1)定义:一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
(2)性质:四条边都相等,四个角都是直角,对角线互相垂直平分。正方形既是矩形,又是菱形。
(3)正方形判定定理:
①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;
②一组邻边相等,一个角为直角的平行四边形是正方形;
③对角线互相垂直的矩形是正方形;
④邻边相等的矩形是正方形
⑤有一个角是直角的菱形是正方形;
⑥对角线相等的菱形是正方形。
二、矩形、菱形、正方形与平行四边形、四边形之间的联系:
1.矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形,其性质都是在平行四边形的基础上扩充来的。矩形是由平行四边形增加“一个角为90°”的条件得到的,它在角和对角线方面具有比平行四边形更多的特性;菱形是由平行四边形增加“一组邻边相等”的条件得到的,它在边和对角线方面具有比平行四边形更多的特性;正方形是由平行四边形增加“一组邻边相等”和“一个角为90°”两个条件得到的,它在边、角和对角线方面都具有比平行四边形更多的特性。
2.矩形、菱形的判定可以根据出发点不同而分成两类:一类是以四边形为出发点进行判定,另一类是以平行四边形为出发点进行判定。而正方形除了上述两个出发点外,还可以从矩形和菱形出发进行判定。
三、判定一个四边形是特殊四边形的步骤:
常见考法
(1)利用菱形、矩形、正方形的性质进行边、角以及面积等计算;
(2)灵活运用判定定理证明一个四边形(或平行四边形)是菱形、矩形、正方形;
(3)一些折叠问题;
(4)矩形与直角三角形和等腰三角形有着密切联系、正方形与等腰直角三角形也有着密切联系。所以,以此为背景可以设置许多考题。
误区提醒
(1)平行四边形的所有性质矩形、菱形、正方形都具有,但矩形、菱形、正方形具有的性质平行四边形不一定具有,这点易出现混淆;
(2)矩形、菱形具有的性质正方形都具有,而正方形具有的性质,矩形不一定具有,菱形也不一定具有,这点也易出现混淆;
(3)不能正确的理解和运用判定定理进行证明,(如在证明菱形时,把四条边相等的四边形是菱形误解成两组邻边相等的四边形是菱形);(3)再利用对角线长度求菱形的面积时,忘记乘;(3)判定一个四边形是特殊的平行四边形的条件不充分。
【典型例题】(2010天门、潜江、仙桃)正方形ABCD中,点O是对角线DB的中点,点P是DB所在直线上的一个动点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.
(1)当点P与点O重合时(如图①),猜测AP与EF的数量及位置关系,并证明你的结论;
(2)当点P在线段DB上(不与点D、O、B重合)时(如图②),探究(1)中的结论是否成立?若成立,写出证明过程;若不成立,请说明理由;
(3)当点P在DB的长延长线上时,请将图③补充完整,并判断(1)中的结论是否成立?若成立,直接写出结论;若不成立,请写出相应的结论.
【解析】(1)AP=EF,AP⊥EF,理由如下:
连接AC,则AC必过点O,延长FO交AB于M;
∵OF⊥CD,OE⊥BC,且四边形ABCD是正方形,
∴四边形OECF是正方形,
∴OM=OF=OE=AM,
∵∠MAO=∠OFE=45°,∠AMO=∠EOF=90°,
∴△AMO≌△FOE,
∴AO=EF,且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°,即OC⊥EF,
故AP=EF,且AP⊥EF.
(2)题(1)的结论仍然成立,理由如下:
延长AP交BC于N,延长FP交AB于M;
∵PM⊥AB,PE⊥BC,∠MBE=90°,且∠MBP=∠EBP=45°,
∴四边形MBEP是正方形,
∴MP=PE,∠AMP=∠FPE=90°;
又∵AB-BM=AM,BC-BE=EC=PF,且AB=BC,BM=BE,
∴AM=PF,
∴△AMP≌△FPE,
∴AP=EF,∠APM=∠FPN=∠PEF
∵∠PEF+∠PFE=90°,∠FPN=∠PEF,
∴∠FPN+∠PFE=90°,即AP⊥EF,
故AP=EF,且AP⊥EF.
(3)题(1)(2)的结论仍然成立;
如右图,延长AB交PF于H,证法与(2)完全相同
扩展阅读
平行四边形的性质(2)
平行四边形的性质(2)
教学目标:
1、知识与技能:探索并掌握平行四边形对角线互相平分的性质,掌握平行线之间的距离的功概念。
2、过程与方法:
利用平行四边形的对边相等的性质,借助三角形全等的知识,通过合理推理,探索平行四边形的对角线互相平分的性质。
3、情感态度与价值观:
在探索平行四边形的性质活动中,培养学生的探究、合作精神,增强推理的能力。
教学重点:
史学史掌握平行四边形的对角线互相平分的性质。
教学难点:
平行四边形性质的综合运用。
教学互动设计:
一、回顾、思考
1、定义与性质——
2、利用定义与性质解题————
①、已知平行四边形的一角,可求;
②、已知平行四边形的两邻边,可求;
3、练一练
略
二、情境导课
如图4—3,□ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O。
(1)图中有哪些三角形是全等的?
(2)能设法验证你的结论吗?
想一想
由本题你又能得出平行四边形怎样的性质?
平行四边形的性质:
A
B
D
C
O
平行四边形的对角线互相平分。三、利用定义、性质解题
1、例1如图,四边形ABCD是平行四边形,
DB^AD,求BC,CD及OB的长.。
分析:(1)在□ABCD中,BC是的对边;
CD是的对边;
因为AD、AB已知,
所以,利用平行四边形的性质“”可求出它们;
(2)点O是,
利用平行四边形的性质“”可知OB是BD的一半。
(3)求BD的长应摆在△中用定理来计算。
2、想一想
在笔直的铁轨上,夹在两根铁轨之间的枕木是否一样长?(见P101图)
a
b
A
B
C
D
例2已知直线a∥b,过直线a上任意两点A、B分别向直线b作垂线,交直线b于点C、点D.
(1)线段AC、BD所在的直线有怎样的位置关系?
(2)比较线段AC、BD的长短.
在例2中,线段AC的长是点A到直线b的距离;同样,线段BD的长是点B到直线b的距离,且AC=BD.
如果两条直线平行,则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离,这个距离称为平行线之间的距离..
平行线间的距离处处相等.
3、议一议
举出生活中的几个实例,反映“平行线之间的垂线段处处相等”的几何事实.
四、随堂练习
□ABCD的两条对角线相交O,OA,OB,AB的长度分别为3厘米,4厘米,5厘米,求其他各边以及两条对角线的长度.
A
B
D
C
O
A
B
D
C
O
A
B
D
C
O
五、作业
P102习题4.21、2、3
九年级数学《平行四边形的性质》教案
学生们有一个生动有趣的课堂,离不开老师辛苦准备的教案,是认真规划好自己教案课件的时候了。认真做好教案课件的工作计划,才能更好的在接下来的工作轻装上阵!你们清楚有哪些教案课件范文呢?以下是小编为大家收集的“九年级数学《平行四边形的性质》教案”希望能为您提供更多的参考。
九年级数学《平行四边形的性质》教案
教学设计思想
“平行四边形的性质”是全章重点内容之一,它在日常生产和生活中经常用到,具有重要的实用性。本节教学时要引导学生主动积极的探索,认识平行四边形,亲自发现平行四边形的性质,然后通过例题和练习加深对知识的理解,灵活运用性质解决实际问题。
教学目标
知识与技能:
熟记平行四边形的对边相等、对角线互相平分的性质,并能用它们解决简单的问题。
通过旋转等操作活动体会平行四边形的中心对称性。
通过推导平行四边形的性质定理的过程,提高推导、论证能力和逻辑思维能力.
过程与方法:
经历四边形有关概念的形成过程和性质的探究过程;体会平移、旋转等图形变换在研究平行四边形及其性质中的应用。
情感态度价值观:
在操作、探究等数学活动中,增强交流与合作意识
教学重难点
重点:平行四边形性质定理的应用
难点:平行四边形性质定理的探索
对策:学生经历性质的探索过程,真正理解每个性质,而不是死记硬背
教学方法
启发探索、讨论分析法
课时安排
1课时
教具准备
多媒体或小黑板,常用画图工具
教学过程
一、引入新课
师:在四边形中,我们常见的实用价值最大的就是平行四边形,如汽车的防护链,无轨电车的击电杆都是平行四边形的形象。(出示平行四边形的图片)
师:我们已经知道,两组对边分别情形的四边形叫做平行四边形。记作(一)ABCD,读作平行四边形ABCD。下面同学们观察平行四边形都有哪些要素?
生:四个角,四条边,连接不相邻的两个顶点的线段可构造两条对角线。
师,好,下面我们就来从角、边、对角线的角度去研究平行四边形的性质,另外我们已经学习了轴对称与中心对称,我们就来探究一下平行四边形是怎样的图形。
二、一起探究
师:请同学们在纸上画出一个平行四边形。然后同桌交流,你是怎样画图的
学生活动:画图,体会平移,然后讨论片刻叙述自己的画图过程。
师:通过做图过程你发现了什么?
生:积极思考,发现性质:平行四边形的对边相等。
师:小组讨论一下,你们发现平行四边形的角有什么特点?并说明理由
学生活动:小组讨论,利用平行线的性质总结出平行四边形对角相等的关系。
(老师可以进而通过几何画板直观演示无论平行四边形增大或缩小,对边、对角都分别相等。)
三、试着做做
师:首先我们来猜测一下平行四边形是否为轴对称图形?是否为中心对称图形?
生:思考,判断出平行四边形不是轴对称图形,并猜测它的中心对称性。
师:好有些同学说平行四边形是中心对称图形,下面我们就来验证一下,看这个猜想是否正确,首先大家回忆一下中心对称图形的判定方法。
生:回忆,回答
师:按照中心对称图形的判定方法,请同学们在两张半透明的薄纸上分别画出两个(一)ABCD,并画出它们的对角线。设对角线的交点为O,将这两个平行四边形叠放在一起,使它们完全重合,再用大头针将点O固定。把上面的平行四边形绕O点按逆时针(顺时针)方向旋转180°。思考:上下两个平行四边形是否重合?
学生活动:动手操作,积极探索。
结论:平行四边形是中心对称图形,它的对称中心是两条对角线的交点。
四、大家谈谈
通过刚才我们的操作过程,你能指出图中有哪几对三角形分别是全等的吗?
学生活动:踊跃发言
通过全等的性质你猜想平行四边形的对角线有何特点?说明理由
学生活动:积极思考,总结对角线特点,并用不同方法证明该结论
五、例题
例:(见课本P62,略)
六、课堂练习
见课本P62
七、总结扩展
请同学们谈谈这节课有什么收获?
本堂所讲的主要内容有
(1)平行四边形的概念,要理解这个概念的实质.
(2)平行四边形的部分性质.
关于边的:对边平行;对边相等.
关于角的:对角相等;邻角互补.
关于对称性的:平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点。
八、布置作业
教材P62.1,2,3
九、板书设计
平行四边形的性质
图性质2例题
平行四边形定义:性质3
表示:
性质1性质4
平行四边形的性质———
平行四边形的性质———教学设计
山东省潍坊第五中学张字斓
(华东师大版八年级上)
学习目标:1、理解并熟记平行四边形的性质
2、灵活运用平行四边形的性质解决问题
突破措施:小组合作、讨论探究、变式训练、拓展拔高
教学过程:
一、自学交流:
请同学们先独立完成,遇到问题组内讨论解决(6分钟)
(一)请同学们看讲义96页——100页归纳总结出平行四边形的定义及平行四边形的性质,然后同桌相互交流,组长汇总归纳情况。
(二)巩固双基:请同学先独立完成,遇到问题组内讨论解决,完成后组内两两相互批阅,错的马上改正。
1、选择题:
(1)在平行四边形ABCD中,∠A::∠B::∠C:∠D的值可以是()
A.1:2:3:4B.1:2:2:1C.2:2:1:1D.2:1:2::1
(2)下列不属于平行四边形的性质的是()
A.对边平行且相等B.对角相等
C.对角线互相平分D.既是中心对称图形,又是轴对称对称图形
(3)平行四边形ABCD的周长是40cm,ABC的周长是25cm,则对角线AC的长是()cm.
A.5B.15C.6D.16
2、填空题:
(1)在平行四边形ABCD中,∠A比∠B大20°,则∠C的度数是﹍﹍
(2)平行四边形的对角线长分别为10、16,则它的边长x的取值范围是﹍﹍
二、展示提升:
请同学先独立完成,遇到问题组内讨论解决,解决不了的可到其他组解决,讨论过程中选出你们组认为有代表性的题目派同学到黑板上做出来,并派另一名同学在班内讲解。(10分钟)
1、变式训练:
已知:如图,在平行四边形ABCD中,AECD于E,若∠B=55°,求∠D与∠DAE分别等于多少度?
AD
E
BC
变式:若将上题中∠B=55°改为∠B=45°,其他条件不变,判断AED的形状,并说明理由。
2、如图:在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,若AC+BD=18cm,AB:BC=2:3,AOB的周长为13cm,求AB、BC的长。还能求出哪些量?
O
ADOOOOO
BC
3、已知:平行四边行ABCD,试用直线采用不同方法将平行四边形ABCD分成面积相等的四部分(请画出图形)
DCDC
ABAB
三、反馈矫正
把上述题目学会后认真完成,如还存在问题组内同学互相帮助。(3分钟)
四、归纳小结
组内同学两两相互交流,谈谈这节课你学到了什么?掌握了那些知识?你有哪些收获?各组派代表班内交流。(2分
练习题
1、选择题:
在平行四边形ABCD中,已知∠ABC=60°,则∠BAD的度数是()
A、60°B、120°C、150°D、不能确定
平行四边形的一条边为10,则两条对角线长可以是()
A、6,8B、8,10C、8,14D、6,14
2、填空题:
如图,平行四边形ABCD的周长为30厘米,AC、BD相交于点O,若AOB的周长比BOC的周长少3厘米,则AD=___厘米
平行四边形ABCD中,若∠A:∠B=2:3,则∠C=___
3、如图,平行四边形ABCD中,∠B、∠C的平分线交于O,则BO与CO有何位置关系?说明理由;若BO和CD的延长线交于E,试说明BO=EO
EAD
AD
O
O
BCBC
3题图2图
4、如图,在平行四边形ABCD中,AE、BE、CF、DF分别平分∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA,且AE、DF相交于点M,BE、CF相交于点N,在不添加其他条件的情况下,写出一个由上述条件推出的结论。(要求写出推理过程,并且在推理过程中必须用到平行四边形和角平分线的性质)
DEC
MN
AFB