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高中函数的应用教案

发表时间:2021-01-25

九年级上册《二次函数应用》导学案。

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《二次函数应用》导学案

学习目标
1.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识解决实际问题
2.将实际问题转化为数学问题,并运用二次函数的知识解决实际问题。
学习重点和难点
运用二次函数的知识解决实际问题
课前准备:
学习过程:
一、自主尝试
1.图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽4m.如图建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是()
A.B.C.D.
2.九年级的一场篮球比赛中,如图队员甲正在投篮,已知球出手时离地面高m,当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m,设篮球运行的线路为抛物线,建立如图的平面直角坐标系,设篮球出手后离地的水平距离为xm,高度为ym,求y关于x的函数解析式。
二、互动探究
例1如图,某喷灌设备的喷头B高出地面1.2m,如果喷出的抛物线形水流的水平距离x(m)与高度y(m)之间的关系为二次函数y=a(x-4)2+2.
求:(1)二次函数的解析式
(2)水流落地点D与喷头底部A的距离(精确到0.1)
例2:某校初三年级的一场篮球比赛中,如图队员甲正在投篮,已知球出手时离地面高m,与篮圈中心的水平距离为7m,当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m,设篮球运行的轨迹为抛物线,篮圈距地面3m.
(1)建立如图的平面直角坐标系,问此球能否准确投中?
(2)此时,若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截,已知乙的最大摸高为3.1m,那么他能否获得成功?
练习:
1.小明是学校田径队的运动员,根据测试资料分析,他掷铅球的出手高度为2米,如果出手后铅球在空中飞行的水平距离与高度之间的关系式为,那么小明掷铅球的出手点与铅球落地点之间的水平距离大约是多少?
2.如图,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6米,底部宽度OM为12米.现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;(2)求这条抛物线的解析式;
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB,使C、D点在抛物线上,A、B点在地面OM上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少?
三、反馈检测:评价手册
四、课外作业:同步练习

扩展阅读

九年级上册《二次函数的应用》学案分析


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九年级上册《二次函数的应用》学案分析

一.教材分析
1、教材的地位及作用
函数是一种重要的数学思想,是实际生活中数学建模的重要工具,二次函数的教学在初中数学教学中有着重要的地位。本节内容的教学,在函数的教学中有着承上启下的作用。它既是对已学一次函数及反比例函数的复习,又是对二次函数知识的延续和深化,为将来二次函数一般情形的教学乃至高中阶段函数的教学打下基础,做好铺垫。
2.教学目标
(1)掌握二此函数的概念并能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围。注重学生参与,联系实际,丰富学生的感性认识,培养学生的良好的学习习惯。[知识与技能目标]
(2)让学生经历观察、比较、归纳、应用,以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯。[过程与方法目标]
(3)让学生在数学活动中学会与人相处,感受探索与创造,体验成功的喜悦,[情感、态度、价值观目标]
3、教学的重、难点
重点:二次函数的概念和解析式
难点:本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂,要求学生有较强的概括能力
4、学情分析
①学生已掌握一次函数,反比例函数的概念,图象的画法,以及它们图象的性质。②学生个性活泼,积极性高,初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力。
③初三学生程度参差不齐,两极分化已形成。
二、教法学法分析
1`教法(关键词:情境、探究、分层)
基于本节课内容的特点和初三学生的年龄特征,我以“探究式”体验教学法和“启发式”教学法为主进行教学。让学生在开放的情境中,在教师的引导启发下,同学的合作帮助下,通过探究发现,让学生经历数学知识的形成和应用过程,加深对数学知识的理解。教师着眼于引导,学生着眼于探索,侧重于学生能力的提高、思维的训练。同时考虑到学生的个体差异,在教学的各个环节中进行分层施教。
2、学法(关键词:类比、自主、合作)
根据学生的思维特点、认知水平,遵循“教必须以学为立足点”的教育理念,让每一个学生自主参与整堂课的知识构建。在各个环节中引导学生类比迁移,对照学习。以自主探索为主,学会合作交流,在师生互动、生生互动中让每个学生动口,动手,动脑,培养学生学习的主动性和积极性,使学生由“学会”变“会学”和“乐学”。
3、教学手段
采用多媒体教学,直观呈现抛物线和谐、对称的美,激发学生的学习兴趣,参与热情,增大教学容量,提高教学效率。
三、教学过程
完整的数学学习过程是一个不断探索、发现、验证的过程,根据新课标要求,根据“以人为本,以学定教”的教学理念,结合学生实际,制订以下教学流程:
(一).创设情境温故引新
以提问的形式复习一元二次方程的一般形式,一次函数,反比例函数的定义,然后让学生欣赏一组优美的有关抛物线的图案,创设情境:
(1)你们喜欢打篮球吗?
(2)你们知道:投篮时,篮球运动的路线是什么曲线?怎样计算篮球达到最高点时的高度?
从而引出课题〈〈二次函数〉〉,导入新课
(二).合作学习,探索新知
为了更贴近生活,我先设计了两个和实际生活有关的练习题。鼓励学生积极发言,充分调动学生的主动性。然后出示课本上的两个问题,在这个环节中,我让学生在教师的引导下,先独立思考,再以小组为单位交流成果,以培养学生自主探索、合作探究的能力。四个解析式都列出来后。让学生通过观察与思考,这些解析式有什么共同特征,启发学生用自己的语言总结,从而得出二次函数的概念,并且提高了学生的语言表达能力。
学生在学习二次函数的概念时要求学生既要知道表示二次函数的解析式中字母的意义,还要能根据给出的函数解析式判断一个函数是不是二次函数
(三)当堂训练巩固提高
由于学生层次不一,练习的设计充分考虑到学生的个体差异,满足不同层次学生的学习需求,实现有“差异的”发展。让每一个学生都感受成功的喜悦。我设计了3道练习题,其难易程度逐步提高,第一道题面对所有的学生,学生可以根据二次函数的概念直接判断,但需要强调该化简的必须化简后才可以判断。第二道题让学生逆向思维,根据条件自己写二次函数,从而加深了对二次函数概念的理解。最后一道题综合性较强,可以提高他们的综合素质。
(四).小结归纳拓展转化
让学生用自己的语言谈谈自己的收获,可以将这一节的知识条理化,进一步掌握二次函数的概念。
(五)布置作业学以致用
作业分必做题、选做题,体现分层思想,通过作业,内化知识,检验学生掌握知识的情况,发现和弥补教与学中遗漏与不足。同时,选做题具有总结性,可引导学生研究二次函数,一次函数,正比例函数的联系.
四.评价分析
本节课的教学从学生已有的认知基础出发,以学生自主探索、合作交流为主线,让学生经历数学知识的形成与应用过程,加深对所学知识的理解,从而突破重难点。整节课注重学生能力的培养和习惯的养成。由于学生的层次不一,我全程关注每一个学生的学习状态,进行分层施教,因势利导,随机应变,适时调整教学环节,,实现评价主体和形式的多样化,把握评价的时机与尺度,激发学生的学习兴趣,激活课堂气氛,使课堂教学达到最佳状态。
五.教学反思
1.本节课通过学生合作交流,自己列出不同问题中的解析式,并通过观察他们的共同特征,成功得出了二次函数的概念。
2.本节课设计的以问题为主线,培养学生有条理思考问题的习惯和归纳概括能力,并重视培养学生的语言表达能力。同时不断激发学生的探索精神,提高了学生分析和解决问题的能力。使学生有成功体验。

二次函数的应用


2.3二次函数的应用

教学目标设计

1.知识与技能:通过本节学习,巩固二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质,理解顶点与最值的关系,会用顶点的性质求解最值问题。

能力训练要求

1、能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值发展学生解决问题的能力,学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。

2、通过观察图象,理解顶点的特殊性,会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题,通过动手动脑,提高分析解决问题的能力,并体会一般与特殊的关系,培养数形结合思想,函数思想。

情感与价值观要求

1、在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识,逐步养成合作交流的习惯。

2、培养学生学以致用的习惯,体会体会数学在生活中广泛的应用价值,激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。

教学方法设计

由于本节课是应用问题,重在通过学习总结解决问题的方法,故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动,解决问题以学生动手动脑探究为主,必要时加以小组合作讨论,充分调动学生学习积极性和主动性,突出学生的主体地位,达到“不但使学生学会,而且使学生会学”的目的。为了提高课堂效率,展示学生的学习效果,适当地辅以电脑多媒体技术。

教学过程

导学提纲

设计思路:最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一,它生活背景丰富,学生比较感兴趣,对九年级学生来说,在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后,对函数的思想已有初步认识,对分析问题的方法已会初步模仿,能识别图象的增减性和最值,但在变量超过两个的实际问题中,还不能熟练地应用知识解决问题,而面积问题学生易于理解和接受,故而在这儿作此调整,为求解最大利润等问题奠定基础。从而进一步培养学生利用所学知识构建数学模型,解决实际问题的能力,这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题,学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题,此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸,又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

(一)前情回顾:

1.复习二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象、顶点坐标、对称轴和最值

2.(1)求函数y=x2+2x-3的最值。

(2)求函数y=x2+2x-3的最值。(0≤x≤3)

3、抛物线在什么位置取最值?

(二)适当点拨,自主探究

1.在创设情境中发现问题

:请你画一个周长为40厘米的矩形,算算它的面积是多少?再和同学比比,发现了什么?谁的面积最大?

2、在解决问题中找出方法

:某工厂为了存放材料,需要围一个周长40米的矩形场地,问矩形的长和宽各取多少米,才能使存放场地的面积最大?

(问题设计思路:把前面矩形的周长40厘米改为40米,变成一个实际问题,目的在于让学生体会其应用价值——我们要学有用的数学知识。学生在前面探究问题时,已经发现了面积不唯一,并急于找出最大的,而且要有理论依据,这样首先要建立函数模型,合作探究中在选取变量时学生可能会有困难,这时教师要引导学生关注哪两个变量,就把其中的一个主要变量设为x,另一个设为y,其它变量用含x的代数式表示,找等量关系,建立函数模型,实际问题还要考虑定义域,画图象观察最值点,这样一步步突破难点,从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法,而不是为了做题而做题,为以后的学习奠定思想方法基础。)

3、在巩固与应用中提高技能

例1:小明的家门前有一块空地,空地外有一面长10米的围墙,为了美化生活环境,小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃,他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏(如图所示),花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大?

(设计思路:例1的设计也是寻找了学生熟悉的家门口的生活背景,从知识的角度来看,求矩形面积也较容易,我在此设计了一个条件墙长10米来限制定义域,目的在于告诉学生一个道理,数学不能脱离生活实际,估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值,导致错解,此时教师再提醒学生通过画函数的图象辅助观察、理解最值的实际意义,体会顶点与端点的不同作用,加深对知识的理解,做到数与形的完美结合,通过此题的有意训练,学生必然会对定义域的意义有更加深刻的理解,这样既培养了学生思维的严密性,又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。)

解:设垂直于墙的边AD=x米,则AB=(32-2x)米,设矩形面积为y米2,得到:

Y=x(32-2x)=-2x2+32x

[错解]由顶点公式得:

x=8米时,y最大=128米2

而实际上定义域为11≤x﹤16,由图象或增减性可知x=11米时,y最大=110米2

(设计思路:例1的设计也是寻找了学生熟悉的家门口的生活背景,从知识的角度来看,求矩形面积也较容易,我在此设计了一个条件墙长10米来限制定义域,目的在于告诉学生一个道理,数学不能脱离生活实际,估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值,导致错解,此时教师再提醒学生通过画函数的图象辅助观察、理解最值的实际意义,体会顶点与端点的不同作用,加深对知识的理解,做到数与形的完美结合,通过此题的有意训练,学生必然会对定义域的意义有更加深刻的理解,这样既培养了学生思维的严密性,又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。)

(三)总结交流:

(1)同学们经历刚才的探究过程,想想解决此类问题的思路是什么?.

引导学生分析解题循环图:

(2)在探究发现这些判定方法的过程中运用了什么样的数学方法?

(四)掌握应用:图中窗户边框的上半部分是由四个全等扇形组成的半圆,下部分是矩形。如果制作一个窗户边框的材料总长为15米,那么如何设计这个窗户边框的尺寸,使透光面积最大(结果精确到0.01m2)?(设计思路:先出示如图图形,然后引伸到课本中的图形,让学生有一个思考递进的空间。)

(五)我来试一试:

如图在Rt△ABC中,点P在斜边AB上移动,PM⊥BC,PN⊥AC,M,N分别为垂足,已知AC=1,AB=2,求:

(1)何时矩形PMCN的面积最大,把最大面积是多少?

(2)当AM平分∠CAB时,矩形PMCN的面积.

(六)智力闯关:

如图,用长20cm的篱笆,一面靠墙围成一个长方形的园子,怎样围才能使园子的面积最大?最大面积是多少?

作业:课本随堂练习、习题1,2,3

板书设计

二次函数的应用——面积最大问题

课后反思

二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后,检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式,体会其意义,能根据图象的性质解决简单的实际问题。本节课充分运用导学提纲,教师提前通过一系列问题串的设置,引导学生课前预习,在课堂上通过对一系列问题串的解决与交流,让学生通过掌握求面积最大这一类题,学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。

教材中设计先探索最大利润问题,对九年级学生来说,在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后,对函数的思想已有初步认识,对分析问题的方法已会初步模仿,能识别图象的增减性和最值,但在变量超过两个的实际问题中,还不能熟练地应用知识解决问题,而面积问题学生易于理解和接受,故而在这儿作此调整,为求解最大利润等问题奠定基础。从而进一步培养学生利用所学知识构建数学模型,解决实际问题的能力,这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。所以在例题的处理中适当的降低了梯度,让学生思维有一个拓展的空间,也有收获快乐和成就感。在训练的过程中,通过学生的独立思考与小组合作探究相结合,使学生的分析能力、表达能力及思维能力都得到训练和提高。同时也注重对解题方法与解题模式的归纳与总结,并适当地渗透转化、化归、数形结合等数学思想方法。

就整节课看,学生的积极性得以充分调动,特别是学困生,在独立思考和小组合作中改变以往的配角地位,也能积极参与到课堂学习活动中,今后继续发扬从学生出发,从学生的需要出发,把问题梯度降低,设计让学生在能力范围内掌握新知识,有了足够的热身运动之后再去拓展延伸。

中考数学总复习二次函数应用导学案


为了促进学生掌握上课知识点,老师需要提前准备教案,大家在仔细规划教案课件。将教案课件的工作计划制定好,未来工作才会更有干劲!你们会写一段优秀的教案课件吗?急您所急,小编为朋友们了收集和编辑了“中考数学总复习二次函数应用导学案”,仅供参考,欢迎大家阅读。

第14课二次函数应用
【知识梳理】
1.二次函数的解析式:(1)一般式:;(2)顶点式:
2.顶点式的几种特殊形式.
⑴,⑵,⑶,(4).
3.二次函数通过配方可得,其抛物线关于直线对称,顶点坐标为(,).
⑴当时,抛物线开口向,有最(填“高”或“低”)点,当
时,有最(“大”或“小”)值是;
⑵当时,抛物线开口向,有最(填“高”或“低”)点,当
时,有最(“大”或“小”)值是.
【思想方法】
数形结合
【例题精讲】
例1.橘子洲头要建造一个圆形的喷水池,并在水池中央垂直安装一个柱子OP,柱子顶端P处装上喷头,由P处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如图所示).若已知OP=3米,喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米,离柱子OP的距离为1米.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)若不计其它因素,水池的半径至少要多少米,
才能使喷出的水流不至于落在池外?

例2.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润与投资量成正比例关系,如图(1)所示;种植花卉的利润与投资量成二次函数关系,如图(2)所示(注:利润与投资量的单位:万元)
⑴分别求出利润与关于投资量的函数关系式;
⑵如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得多少利润?他能获取的最大利润是多少?

(1)(2)
【当堂检测】
1.有一个抛物线形桥拱,其最大高度为16米,跨度为40米,现在它的示意图放在平面直角坐标系中如图,则此抛物线的解析式为.

2.某公司的生产利润原来是a元,经过连续两年的增长达到了y万元,如果每年增长的百分数都是x,那么y与x的函数关系是()
A.y=x2+aB.y=a(x-1)2C.y=a(1-x)2D.y=a(l+x)2
3.如图,用长为18m的篱笆(虚线部分),两面靠墙围成矩形的苗圃.
⑴设矩形的一边为面积为(m2),求关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
⑵当为何值时,所围苗圃的面积最大,最大面积是多少?

4.体育测试时,初三一名高个学生推铅球,已知铅球所经过的路线为抛物线的一部分,根据关系式回答:
⑴该同学的出手最大高度是多少?
⑵铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少?
⑶该同学的成绩是多少?

5.某企业信息部进行市场调研发现:
信息一:如果单独投资A种产品,则所获利润(万元)与投资金额(万元)之间存在正比例函数关系:,并且当投资5万元时,可获利润2万元;
信息二:如果单独投资B种产品,则所获利润(万元)与投资金额(万元)之间存在二次函数关系:,并且当投资2万元时,可获利润2.4万元;当投资4万元,可获利润3.2万元.
(1)请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式;
(2)如果企业同时对A、B两种产品共投资10万元,请你设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少.

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