函数。

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助教师营造一个良好的教学氛围。优秀有创意的教案要怎样写呢？经过搜索和整理，小编为大家呈现“函数”，仅供参考，欢迎大家阅读。

【必修1】第二章函数
小结与复习
学时:1学时
【学习引导】
一、自主学习
1.阅读课本P53---P54
2.回答问题
（！）按照学习要求中的两个部分，做出本章知识框图
（2）总结本章知识中蕴涵的方法和规律.
二、方法指导
本节课是一堂复习课，.同学们要认真复习并运用函数的性质（单调性）求一些简单函数的最值和值域，要掌握二次函数的图像，性质，最值，并总结数学活动中获取的数学经验，领悟类比、从特殊到一般的数学方法，体会数形结合等思想方法.感受数学与生活的相互关系.
【思考引导】
一、提问题
1.你能用集合的语言表述函数吗？
2.你能根据具体的情境，用图像法、列表法、解析法表示函数吗？
3.如何判断和证明函数的单调性？
4.你会对二次函数配方，并讨论其图像的开口方向、大小，顶点，对称轴等性质吗？
5.函数与映射的联系差异是什么？
二、变题目
1.下列各对函数中，相同的是（）
A、
B、
C、
D、f（x）=x，
2.给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（）
A、0个B、1个C、2个D、3个
3.已知函数在区间上是增函数，则的范围是（）
（A）(B)(C)(D)
4.函数对一切实数恒成立，的取值范围（）
A．B．C．D．
5.求证：在区间上是单调减函数，在区间上单调增函数.

【总结引导】
1.本章知识结构图：

2.映射
（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。
注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

3.函数
构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域
两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同
4．在函数的定义域内的一个区间A上，如果对于两个数A.
（1）当时，称函数在区间A上是递增的，此时区间A称为函数的；
（2）当时，称函数在区间A上是递减的，此时区间A称为函数的.
5．定义法证明函数单调性的步骤：（1）（2）（3）（4）（5）.
6.二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)
（1）．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴，
顶点坐标
（2）．二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的的取值。
一元二次不等式的解集(a0)
二次函数△情况一元二次不等式解集
Y=ax2+bx+c(a0)△=b2-4acax2+bx+c0
(a0)ax2+bx+c0
(a0)
图象与解
△0

△=0

△0R

7.函数的图象变换
平移变换：（左+右-，上+下-）即
【拓展引导】
一、课外作业：P32B组2
二、课外思考：
判断函数的单调性。

参考答案
【思考引导】
二，变题目
1.C
2.B
3.A
4.C
5.略

【拓展引导】
单调减函数

扩展阅读

反函数-

俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。作为高中教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，有效的提高课堂的教学效率。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？下面是小编为大家整理的“反函数-”，欢迎大家与身边的朋友分享吧！

反函数

教学目标

使学生了解反函数的概念,初步掌握求反函数的方法.

通过反函数概念的学习,培养学生分析问题,解决问题的能力及抽象概括的能力.

通过反函数的学习,帮助学生树立辨证唯物主义的世界观.

教学重点,难点

重点是反函数概念的形成与认识.

难点是掌握求反函数的方法.

教学用具

投影仪

教学方法

自主学习与启发结合法

教学过程

揭示课题

今天我们将学习函数中一个重要的概念----反函数.

反函数(板书)

(一)反函数的概念(板书)

二.讲解新课

教师首先提出这样一个问题:在函数中,如果把当作因变量,把当作自变量,能否构成一个函数呢?(让学生思考后回答,要讲明理由)可以根据函数的定义在的允许取值范围内的任一值,按照法则都有唯一的与之相对应.(还可以让学生画出函数的图象,从形的角度解释“任一对唯一”)

学生解释后教师指出不管从哪个角度,它都是一个函数,即有反函数,而且把这个函数称为的反函数.那么这个反函数的解析式是什么呢?

由学生回答出应为.教师再提出它作为函数是没有问题的,但不太符合我们的表示习惯,按习惯用表示自变量,用表示因变量,故它又可以改写成,改动之后带来一个新问题:和是同一函数吗?

由学生讨论,并说明理由,要求学生能从函数三要素的角度去认识,并给出解释,让学生真正承认它们是同一函数.并把叫做有反函数吗？是哪个函数?

学生很快会意识到与是互为反函数的.然后利用问题再引申:是不是所有的函数都有反函数呢?如果有,请举出例子.在教师启发下学生可以举出象这样的函数,若将当自变量,当作因变量,在允许取值范围内一个可能对两个(可画图辅助说明,当时,对应),不能构成函数,说明此函数没有反函数.

通过刚才的例子,了解了什么是反函数,把对的反函数的研究过程一般化,概括起来就可以得到反函数的定义,但这个数学的抽象概括,要求比较高,因此我们一起阅读书上相关的内容.

反函数的定义:(板书)(用投影仪打出反函数的定义)

为了帮助学生理解,还可以把定义中的换成某个具体简单的函数如解释每一步骤,如得,再判断它是个函数,最后改写为.给出定义后,再对概念作点深入研究.

2.对概念得理解(板书)

教师先提出问题:反函数的“反”字应当是相对原来给出的函数而言,指的是两者的关系

你能否从函数三要素的角度解释“反”的含义呢?(仍可以与为例来说)

学生很容易先想到对应法则是“反”过来的,把与的位置换位了,教师再追问它们的互

换还会带来什么变化?启发学生找出另两个要素之间的关系.最后得出结论:的定义域和值域分别由的值域和定义域决定的.再把结论从特殊发展到一般,概括为:反函数的三要素是由原来函数的三要素决定的.给出的函数确定了,反函数的三要素就已经确定了.简记为“三定”.

(1)“三定”(板书)

然后要求学生把刚才的三定具体化,也就是“反”字的具体体现.由学生一一说出反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域,反函数的对应法则就是把原来函数对应法则中与的位置互换.(用投影仪打出互换过程)如图

最后教师进一步明确“反”实际体现为“三反”,“三反”中起决定作用的是与的位置的反置,正是由于它的反置,才把它的范围也带走了,引起了另外两“反”.

(2)“三反”(板书)

此时教师可把问题再次引向深入,提出:如果一个函数存在反函数,应怎样求这个反函数呢?下面我给出两个函数,请同学们根据自己对概念的理解来求一下它们的反函数.

例1.求的反函数.(板书)

(由学生说求解过程,有错或不规范之处,暂时不追究,待例2解完之后再一起讲评)

解:由得所求反函数为.(板书)

例2.求,的反函数.(板书)

解:由得,又得.(板书)

求完后教师请同学们作评价,学生之间可以讨论,充分暴露表述中得问题,让学生自行发现,自行解决.最后找代表发表意见,指出例2中问题,结果应为,,与,有什么不同?让学生明确指出两个函数定义域分别是和,所以它们是不同的函数.再追问从何而来呢?让学生能从三定和三反中找出理由,是从原来函数的值域而来.

在此基础上,教师最后明确要求,由于反函数的定义域必是原来函数的值域,而不是从自身解析式出发寻求满足的条件,所以求反函数,就必须先求出原来函数的值域.之后由学生调整刚才的求解过程.

解:由得,又得,

又的值域是,

故所求反函数为,.

(可能有的学生会提出例1中为什么不求原来函数的值域的问题,此时不妨让学生去具体算一算,会发现原来函数的值域域求出的函数解析式中所求定义域时一致的,所以使得最后结果没有出错.但教师必须指出结论得一致性只是偶然,而不是必然,因此为规范求解过程要求大家一定先求原来函数的值域,并且在最后所求结果上注明反函数的定义域,同时让学生调整例的表述,将过程补充完整)

最后让学生一起概括求反函数的步骤.

3.求反函数的步骤(板书)

反解:

互换

改写:

对以上环节教师可稍作解释,然后提出再通过下面的练习来检验是否真正理解了.

三.巩固练习

练习:求下列函数的反函数.

(1)(2).(由两名学生上黑板写)

解答过程略.

教师可针对学生解答中出现的问题,进行讲评.(如正负的选取,值域的计算,符号的使用)

四.小结

对反函数概念的认识:

求反函数的基本步骤:

五.作业

课本第68页习题2.4第1题中4,6,8,第2题.

六.板书设计

教案点评：

教学设计中，教师特别注重组织学生开展活动，让学生的兴趣在了解深究任务中产生，让学生的思考在分析真实数据中形成，让学生的理解在集体讨论中加深，让学生的学习在合作探究活动中进行．当然在活动过程前后的独立思考以及在此基础上的集体讨论也属于探索活动的有机组成部分，经过独立思考，多种多样的方案、不同的推测结论、各具特色的陈述理由才会形成集体讨论，才会热烈而富有启发性．而在实施时，教师考虑到学时的限制，把有些活动的思考与讨论作为作业预先或者事后布置给学生（如本节作业）．让学生有充分思考、组织和表达的机会，其合作及交流的形式可以是多样的．

幂函数

俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。教师要准备好教案，这是每个教师都不可缺少的。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，帮助教师提前熟悉所教学的内容。您知道教案应该要怎么下笔吗？小编为此仔细地整理了以下内容《幂函数》，仅供参考，希望能为您提供参考！

总课题幂函数分课时第1课时总课时总第35课时
分课题幂函数（1）课型新授课
教学目标通过实例了解幂函数的概念及幂函数与指数函数的区别；会画出幂函数，，，,,的图象，并了解它们的性质。
重点幂函数的图象和性质
难点幂函数的图象和性质
一、问题情境
经调查，一种商品的价格和需求如下表所
价格/元0.60.650.70.750.80.850.9
需求量/t139.6135.4131.6128.2125.1122.2119.5
根据此表，我们可以把价格与需求量之间近似地满足关系：
函数是指数函数吗？

二、建构数学
1、幂函数的定义

练习：1、下列函数中，是幂函数的是（）
A、B、C、D、

2、下列各图中，只画出函数图象的一半，你能画出它们的另一半吗？

2、幂函数的图象与性质
例1、写出下列函数的定义域，判断其奇偶性，并作出它们的图象
（1）（2）（3）（4）

幂函数的性质
图象过定点
单调性
三、随堂练习
1、（1）（2）（3）（4）；上述函数中，是幂函数的有_____________。
2、（1）（2）（3）（4）；上述函数中，在上是减函数的是_____________________。
3、函数的定义域是
4、函数的图象关于对称
5、函数在上是函数（填“增”或“减”）
6、的图象与的图象关于_____对称。

四、回顾小结
幂函数的定义，会画幂函数的图象，从幂函数的图象了解幂函数的性质
课后作业
班级：高一（）班姓名__________
一、基础题：
1、下列函数中，定义域为的是（）
2、下列函数中是偶函数的是（）
3、下列函数中，在上单调递减的是（）
4、若一个幂函数的图象过点，则的解析式为
5、画出函数的图象，并指出其奇偶性，单调性。

6、指出下列函数的定义域和奇偶性
的定义域是，是函数；的定义域是，是函数；
的定义域是，是函数；的定义域是，是函数。
7、函数的定义域是，单调递区间为

8、比较下列各组数的大小
（1）（2）（3）

二、提高题：
9、已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围。

10、已知函数是幂函数，求实数的值。

函数方程

竞赛讲座15
-函数方程
一、相关知识
函数方程的解是

函数方程的解是

二、函数方程的题型
许多函数方程的解决仅以初等数学为工具，解法富于技巧，对人类的智慧具有明显的挑战
意味，因此，函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。
1、确定函数的形式
尚无一般解法，需因题而异，其解是多样的：有无限多解的，有有限个解的，有可能无解（如：方程无解）。
2、确定函数的性质
3、确定函数值
三、求函数的解析式
1、换元法
例题1、设函数满足条件，求。

例题2、设函数定义于实数集，且满足条件，求。

：函数在处没有定义，但对所有非零实数有：，求。
答案：
：求满足条件的。

2、赋值法
例题1、设函数定义于实数集上，且，若对于任意实数、，都有：
，求。

例题2、设函数定义于自然数集上，且，若对于任意自然数、，都有：，求。

四、究函数的性质
例题、设函数定义于上，且函数不恒为零，，若对于任意实数、，恒有：。
①求证：
②求证：
③求证：

：若对常数和任意，等式都成立，求证：函数是周期函数。
：设函数定义于实数集上，函数不恒为零，且对于任意实数、，都有：，求证：。

分段函数

一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，教师要准备好教案，这是教师的任务之一。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来，让教师能够快速的解决各种教学问题。怎么才能让教案写的更加全面呢？为此，小编从网络上为大家精心整理了《分段函数》，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

第九课时分段函数
【学习导航】

知识网络

分段函数
学习要求

1、了解分数函数的定义；
2、学会求分段函数定义域、值域；
3、学会运用函数图象来研究分段函数；
自学评价：

1、分段函数的定义
在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；
2、分段函数定义域，值域；
分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”)
3、分段函数图象
画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；

【精典范例】
一、含有绝对值的解析式

例1、已知函数y=|x－1|+|x+2|
(1)作出函数的图象。
(2)写出函数的定义域和值域。

【解】：

(1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x=1，第二个绝对值的分段点x=－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，+∞)
所以已知函数可写为分段函数形式：
y=|x－1|+|x+2|=
在相应的x取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象。（图象略）

(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R，值域为[3，+∞）

二、实际生活中函数解析式问题
例2、某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式，并作出函数图象。

【解】：
先考虑由甲地到乙地的过程：
0≤t≤2时，y=6t
再考虑在乙地耽搁的情况：
2t≤3时，y=12
最后考虑由乙地返回甲地的过程：
3t≤6时，y=12－4(t－3)
所以S(t)=
函数图象（略）

点评：某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示，须针对自变量的分段变化情况，列出各段不同的解析式，再依据自变量的不同取值范围，分段画出函数的图象.

三、二次函数在区间上的最值问题

例3、已知函数f(x)=2x2－2ax+3在区间[－1，1]上有最小值，记作g(a).
(1)求g(a)的函数表达式
(2)求g(a)的最大值。
【解】：
对称轴x=
得g(a)
利用分段函数图象易得：g(a)max=3

点评：二次函数在闭区间上的最值问题往往结合图象讨论。

追踪训练
1、设函数f(x)=则f(－4)=___________,若f(x0)=8，则x0=________

答案：18；或4。
2、已知函数f(x)=
求f(1)，f[f(－3)]，f{f[f(－3)]}的值.

答案：1；1；1。

3、出下列函数图象
y=┃x+2┃－┃x－5┃

解：原函数变为y=
下面根据分段函数来画出图象
图象（略）。
4、已知函数y=，则f(4)=_______.

答案：22。

5、已知函数f(x)=
(1)求函数定义域；
(2)化简解析式用分段函数表示；
(3)作出函数图象

答案：（1）函数定义域为{x┃x}
(2)
f(x)=┃x-1┃+
=
(3)图象（略）。

分层练习

1、设f(x)=，则f[f()]=()
A.B.C.－D.
2、若f(x)=，则当x0时，f[(x)]=()
A.－xB.－x2C.xD.x2
3、已知，若f(x)=
4、下列各组函数表示同一函数的是()
①f(x)=|x|，g(x)=
②f(x)=，g(x)=x+2
③f(x)=，g(x)=x+2
④f(x)=g(x)=0x∈{－1，1}
A.①③B.①C.②④D.①④
5、某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=3000+20x－0.1x2，x∈(0，240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本的最低产量为()
A.100台B.120台C.150台D.180台
6、f(x)=，使等式f[f(x)]=1成立的x值的范围是_________.
7、若方程2|x－1|－kx=0有且只有一个正根，则实数k的取值范围是__________.

拓展延伸
8、某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系式为P=，该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式为Q=－t+40，(0t≤30，t∈N*).求这种商品的日销售金额的最大值，并指出取得该最大值的一天是30天中的哪一天？