高中生物一轮复习教案

高考数学（理科）一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案。

每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件，是认真规划好自己教案课件的时候了。必须要写好了教案课件计划，未来的工作就会做得更好！究竟有没有好的适合教案课件的范文？以下是小编收集整理的“高考数学（理科）一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案”，供您参考，希望能够帮助到大家。

学案30等比数列及其前n项和
导学目标：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．
自主梳理
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q≠0)．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝______________.
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．
4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am________(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__________________________．
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{anbn}，anbn仍是等比数列．
(4)单调性：a10，q1或a100q1{an}是________数列；a10，0q1或a10q1{an}是________数列；q＝1{an}是____数列；q0{an}是________数列．
5．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1qn－1q－1＝a1qnq－1－a1q－1.
6．等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为______．
自我检测
1．“b＝ac”是“a、b、c成等比数列”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是()
A．3B．1C．0D．－1
3．(2011温州月考)设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1(n∈N*)，则f(n)等于()
A.27(8n－1)B.27(8n＋1－1)
C.27(8n＋2－1)D.27(8n＋3－1)
4．(2011湖南长郡中学月考)已知等比数列{an}的前三项依次为a－2，a＋2，a＋8，则an等于()
A．832nB．823n
C．832n－1D．823n－1
5．设{an}是公比为q的等比数列，|q|1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
探究点一等比数列的基本量运算
例1已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{an}的通项an和前n项和Sn.

变式迁移1在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求n和q.

探究点二等比数列的判定
例2(2011岳阳月考)已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*.
(1)证明数列{an＋1}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式以及Sn.

变式迁移2设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．
(1)求a2，a3的值；
(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．

探究点三等比数列性质的应用
例3(2011湛江月考)在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝8，且1a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a5＝2，求a3.

变式迁移3(1)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值；
(2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.

分类讨论思想与整体思想的应用
例(12分)设首项为正数的等比数列{an}的前n项和为80，它的前2n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的第2n项．
【答题模板】
解设数列{an}的公比为q，
若q＝1，则Sn＝na1，S2n＝2na1＝2Sn.
∵S2n＝6560≠2Sn＝160，∴q≠1，[2分]
由题意得a11－qn1－q＝80，①a11－q2n1－q＝6560.②[4分]
将①整体代入②得80(1＋qn)＝6560，
∴qn＝81.[6分]
将qn＝81代入①得a1(1－81)＝80(1－q)，
∴a1＝q－1，由a10，得q1，
∴数列{an}为递增数列．[8分]
∴an＝a1qn－1＝a1qqn＝81a1q＝54.
∴a1q＝23.[10分]
与a1＝q－1联立可得a1＝2，q＝3，
∴a2n＝2×32n－1(n∈N*)．[12分]
【突破思维障碍】
(1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a10，q1或a10,0q1时为递增数列；当a10，q1或a10,0q1时为递减数列；当q0时为摆动数列；当q＝1时为常数列．(2)函数的思想：等比数列的通项公式an＝a1qn－1＝a1qqn(q0且q≠1)常和指数函数相联系．(3)整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，a11－q当成整体求解．
本题条件前n项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键，同时将qn和a11－qn1－q的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用．
1．等比数列的通项公式、前n项公式分别为an＝a1qn－1，Sn＝na1，q＝1，a11－qn1－q，q≠1.
2．等比数列的判定方法：
(1)定义法：即证明an＋1an＝q(q≠0，n∈N*)(q是与n值无关的常数)．
(2)中项法：证明一个数列满足a2n＋1＝anan＋2(n∈N*且anan＋1an＋2≠0)．
3．等比数列的性质：
(1)an＝amqn－m(n，m∈N*)；
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则akal＝aman；
(3)设公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
4．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法．
5．等差数列与等比数列的关系是：
(1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；
(2)若{an}是等比数列，且an0，则{lgan}构成等差数列．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010辽宁)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()
A.152B.314C.334D.172
2．(2010浙江)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2等于()
A．－11B．－8C．5D．11
3．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，则a3＋a4＋a5等于()
A．33B．72C．84D．189
4．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是()
A．T10B．T13C．T17D．T25
5．(2011佛山模拟)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则S10S5等于()
A．－3B．5C．－31D．33
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为________．
7．(2011平顶山月考)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.
8．(2010福建)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2010陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项；
(2)求数列{2an}的前n项和Sn.

10．(12分)(2011廊坊模拟)已知数列{log2(an－1)}为等差数列，且a1＝3，a2＝5.
(1)求证：数列{an－1}是等比数列；
(2)求1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1an＋1－an的值．

11．(14分)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}对n∈N*均有c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2010.

答案自主梳理
1．公比q2.a1qn－14.(1)qn－m(2)akal＝aman
(4)递增递减常摆动6.qn
自我检测
1．D2.B3.B4.C5.－9
课堂活动区
例1解题导引(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中共有a1，an，q，n，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量．解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；
(2)本例可将所有项都用a1和q表示，转化为关于a1和q的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化．
解方法一由已知得：
a21q4＋2a21q6＋a21q8＝100，a21q4－2a21q6＋a21q8＝36.①②
①－②，得4a21q6＝64，∴a21q6＝16.③
代入①，得16q2＋2×16＋16q2＝100.
解得q2＝4或q2＝14.
又数列{an}为正项数列，∴q＝2或12.
当q＝2时，可得a1＝12，
∴an＝12×2n－1＝2n－2，
Sn＝12(1－2n)1－2＝2n－1－12；
当q＝12时，可得a1＝32.
∴an＝32×12n－1＝26－n.
Sn＝321－12n1－12＝64－26－n.
方法二∵a1a5＝a2a4＝a23，a2a6＝a3a5，a3a7＝a4a6＝a25，
由a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，
可得a23＋2a3a5＋a25＝100，a23－2a3a5＋a25＝36，
即(a3＋a5)2＝100，(a3－a5)2＝36.
∴a3＋a5＝10，a3－a5＝±6.解得a3＝8，a5＝2，或a3＝2，a5＝8.
当a3＝8，a5＝2时，q2＝a5a3＝28＝14.
∵q0，∴q＝12，由a3＝a1q2＝8，
得a1＝32，∴an＝32×12n－1＝26－n.
Sn＝32－26－n×121－12＝64－26－n.
当a3＝2，a5＝8时，q2＝82＝4，且q0，
∴q＝2.
由a3＝a1q2，得a1＝24＝12.
∴an＝12×2n－1＝2n－2.
Sn＝12(2n－1)2－1＝2n－1－12.
变式迁移1解由题意得
a2an－1＝a1an＝128，a1＋an＝66，
解得a1＝64，an＝2或a1＝2，an＝64.
若a1＝64，an＝2，则Sn＝a1－anq1－q＝64－2q1－q＝126，
解得q＝12，此时，an＝2＝6412n－1，
∴n＝6.
若a1＝2，an＝64，则Sn＝2－64q1－q＝126，∴q＝2.
∴an＝64＝22n－1.∴n＝6.
综上n＝6，q＝2或12.
例2解题导引(1)证明数列是等比数列的两个基本方法：
①an＋1an＝q(q为与n值无关的常数)(n∈N*)．
②a2n＋1＝anan＋2(an≠0，n∈N*)．
(2)证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法．
(1)证明由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*，
可得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，
两式相减得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，
即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2(an＋1)，
当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，
所以a2＋a1＝2a1＋6，
又a1＝5，所以a2＝11，
从而a2＋1＝2(a1＋1)，
故总有an＋1＋1＝2(an＋1)，n∈N*，
又a1＝5，a1＋1≠0，从而an＋1＋1an＋1＝2，
即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．
(2)解由(1)得an＋1＝62n－1，
所以an＝62n－1－1，
于是Sn＝6(1－2n)1－2－n＝62n－n－6.
变式迁移2(1)解∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；
当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；
当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，
∴a3＝8.
(2)证明∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan
＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①
∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1
＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．②
①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.
∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，
∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．
∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，
∴Sn＋2Sn－1＋2＝2，
故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．
例3解题导引在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq”，可以减少运算量，提高解题速度．
解由已知得
1a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a5
＝a1＋a5a1a5＋a2＋a4a2a4＋a3a23
＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5a23＝8a23＝2，
∴a23＝4，∴a3＝±2.若a3＝－2，设数列的公比为q，
则－2q2＋－2q－2－2q－2q2＝8，
即1q2＋1q＋1＋q＋q2
＝1q＋122＋q＋122＋12＝－4.
此式显然不成立，经验证，a3＝2符合题意，故a3＝2.
变式迁移3解(1)∵a3a11＝a27＝4a7，
∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，
∵{bn}为等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝8.
(2)a1a2a3a4＝a1a1qa1q2a1q3＝a41q6＝1.①
a13a14a15a16＝a1q12a1q13a1q14a1q15
＝a41q54＝8.②
②÷①：a41q54a41q6＝q48＝8q16＝2，
又a41a42a43a44＝a1q40a1q41a1q42a1q43
＝a41q166＝a41q6q160＝(a41q6)(q16)10
＝1210＝1024.
课后练习区
1．B[∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，
∴设{an}的公比为q，则q0，且a23＝1，即a3＝1.
∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝1q2＋1q＋1＝7，即6q2－q－1＝0.
故q＝12或q＝－13(舍去)，∴a1＝1q2＝4.
∴S5＝4(1－125)1－12＝8(1－125)＝314.]
2．A[由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，所以q＝－2，则S5S2＝a1(1＋25)a1(1－22)＝－11.]
3．C[由题可设等比数列的公比为q，
则3(1－q3)1－q＝211＋q＋q2＝7q2＋q－6＝0
(q＋3)(q－2)＝0，
根据题意可知q0，故q＝2.
所以a3＋a4＋a5＝q2S3＝4×21＝84.]
4．C[a3a6a18＝a31q2＋5＋17＝(a1q8)3＝a39，即a9为定值，所以下标和为9的倍数的积为定值，可知T17为定值．]
5．D[因为等比数列{an}中有S3＝2，S6＝18，
即S6S3＝a1(1－q6)1－qa1(1－q3)1－q＝1＋q3＝182＝9，
故q＝2，从而S10S5＝a1(1－q10)1－qa1(1－q5)1－q
＝1＋q5＝1＋25＝33.]
6．127
解析∵公比q4＝a5a1＝16，且q0，∴q＝2，
∴S7＝1－271－2＝127.
7.1207
解析∵S99＝30，即a1(299－1)＝30，
∵数列a3，a6，a9，…，a99也成等比数列且公比为8，
∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝4a1(1－833)1－8
＝4a1(299－1)7＝47×30＝1207.
8．4n－1
解析∵等比数列{an}的前3项之和为21，公比q＝4，
不妨设首项为a1，则a1＋a1q＋a1q2＝a1(1＋4＋16)＝21a1＝21，∴a1＝1，∴an＝1×4n－1＝4n－1.
9．解(1)由题设知公差d≠0，
由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列，
得1＋2d1＝1＋8d1＋2d，…………………………………………………………………………(4分)
解得d＝1或d＝0(舍去)．
故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.……………………………………………………(7分)
(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式，
得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝2(1－2n)1－2
＝2n＋1－2.………………………………………………………………………………(12分)
10．(1)证明设log2(an－1)－log2(an－1－1)＝d(n≥2)，因为a1＝3，a2＝5，所以d＝log2(a2－1)－log2(a1－1)＝log24－log22＝1，…………………………………………………………(3分)
所以log2(an－1)＝n，所以an－1＝2n，
所以an－1an－1－1＝2(n≥2)，所以{an－1}是以2为首项，2为公比的等比数列．………(6分)
(2)解由(1)可得an－1＝(a1－1)2n－1，
所以an＝2n＋1，…………………………………………………………………………(8分)
所以1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1an＋1－an
＝122－2＋123－22＋…＋12n＋1－2n
＝12＋122＋…＋12n＝1－12n.………………………………………………………………(12分)
11．解(1)由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，
∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)．
解得d＝2(d＝0舍)．……………………………………………………………………(2分)
∴an＝1＋(n－1)2＝2n－1.………………………………………………………………(3分)
又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，
∴数列{bn}的公比为3，
∴bn＝33n－2＝3n－1.………………………………………………………………………(6分)
(2)由c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1得
当n≥2时，c1b1＋c2b2＋…＋cn－1bn－1＝an.
两式相减得：当n≥2时，cnbn＝an＋1－an＝2.……………………………………………(9分)
∴cn＝2bn＝23n－1(n≥2)．
又当n＝1时，c1b1＝a2，∴c1＝3.
∴cn＝3(n＝1)23n－1(n≥2).……………………………………………………………(11分)
∴c1＋c2＋c3＋…＋c2010
＝3＋6－2×320101－3＝3＋(－3＋32010)＝32010.…………………………………………(14分)

精选阅读

等比数列前n项和学案（2）

§2.5等比数列的前n项和(2)

学习目标
1.掌握等比数列的前n项和公式；
2.能用等比数列的前n项和公式解决实际问题.

学习过程
一、课前准备
（预习教材P55~P56，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列前n项和？等差数列的数列前n项和公式是什么？

复习2：已知等比数列中，，，求.

二、新课导学
※学习探究
练2.一个球从100m高出处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下，当它第10次着地时，共经过的路程是多少？（精确到1m）
三、总结提升
※学习小结
1.等比数列的前n项和公式；
2.等比数列的前n项和公式的推导方法；
3.“知三求二”问题，即：已知等比数列之五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.
※知识拓展
1.若，，则构成新的等比数列，公比为.
2.若三个数成等比数列，且已知积时，可设这三个数为.若四个同符号的数成等比数列，可设这四个数为.
3.证明等比数列的方法有：
（1）定义法：；（2）中项法：.
4.数列的前n项和构成一个新的数列，可用递推公式表示.
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1.数列1，，，，…，，…的前n项和为（）.
A.B.
C.D.以上都不对
2.等比数列中，已知，，则（）.
A.30B.60C.80D.160
3.设是由正数组成的等比数列，公比为2，且，那么（）.
A.B.C.1D.
4.等比数列的各项都是正数，若，则它的前5项和为.
5.等比数列的前n项和，则a＝.

课后作业
1.等比数列中，已知

2.在等比数列中，，求.

等比数列前n项和学案（1）

§2.5等比数列的前n项和(1)

学习目标
1.掌握等比数列的前n项和公式；
2.能用等比数列的前n项和公式解决实际问题.

学习过程
一、课前准备
（预习教材P55~P56，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列前n项和？等差数列的数列前n项和公式是什么？

复习2：已知等比数列中，，，求.

二、新课导学
※学习探究
探究任务：等比数列的前n项和
故事：“国王对国际象棋的发明者的奖励”

新知：等比数列的前n项和公式
设等比数列它的前n项和是，公比为q≠0，

公式的推导方法一：
则
当时，①
或②
当q=1时，

公式的推导方法二：
由等比数列的定义，，
有，
即.
∴（结论同上）

公式的推导方法三：
＝
＝＝.
∴（结论同上）

试试：求等比数列，，，…的前8项的和.

※典型例题
例1已知a1=27，a9=，q0，求这个等比数列前5项的和.

变式：，.求此等比数列的前5项和.

例2某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?

※动手试试
练1.等比数列中，

等比数列前n项和学案（3）

§2.5等比数列的前n项和(3)

学习目标
1.进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式；
2.会用公式解决有关等比数列的中知道三个数求另外两个数的一些简单问题.

学习过程
一、课前准备
（预习教材P57~P62，找出疑惑之处）
复习1：等比数列的前n项和公式.
当时，＝
当q=1时，

复习2：等比数列的通项公式.
=.

二、新课导学
※学习探究
探究任务：等比数列的前n项和与通项关系
问题：等比数列的前n项和
，
（n≥2），
∴，
当n＝1时，.

反思：
等比数列前n项和与通项的关系是什么？
※典型例题
例1数列的前n项和（a≠0，a≠1），试证明数列是等比数列.

变式：已知数列的前n项和，且，，设，求证：数列是等比数列.
例2等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是，，，求证：，，也成等比.

变式：在等比数列中，已知，求.

※动手试试
练1.等比数列中，，，求.

等比数列的前n项和

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