向量的加法和减法例题讲解。

俗话说，凡事预则立，不预则废。教师要准备好教案，这是教师的任务之一。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，让教师能够快速的解决各种教学问题。你知道如何去写好一份优秀的教案呢？下面是小编为大家整理的“向量的加法和减法例题讲解”，欢迎阅读，希望您能阅读并收藏。

例题讲解：向量的加法和减法
本单元重点要求学生掌握向量的几何与加减运算和数乘运算，故要安排范例与足够的练习，使学生对向量的线性运算有相当的掌握．向量共线论证与平面向量分解是用向量证明几何命题基础，也应配备适当例题，提高学生这方面能力，开始还要给出一些辨识相等向量的图形和使用向量各种表示记号的训练．
例1．如图5－4已知梯形ABCD中，两底角∠A=∠B=60°，E为AB中点，且ED∥BC，适当添加箭头后，写出分别与向量、、相等的向量．
由已知可断定（？）图中3个正三角形全等．
故与相等的向量有、．
与相等的向量有．
与相等的向量有．

例2．用五边形ABCDE，作出下列向量：
(1)，，，；(2)+；
(3)+++；(4)．
如图5-5
(1)略
(2)即
(3)原式=
过B作∥原式=
(4)原式==+=
还可以写更复杂的已知向量的线性组合让学生练，但也要适可而止．

例3．如图5-6，ABCD中E、F分别是BC、CD的中点，若记，，试用、表示向量、、和
从图中可知由、可先求出=2=2－2
若记=，=
则=，=
而有+=，
联立以上二式，可得==
而
∴=JAb88.CoM

例4．证明三角形中位线定理．
已知：图5-7中D、E分别是边AB、AC的中点，
求证：DE∥BC且DE＝BC．
证明：Ｄ、E分别为AB、AC的中点
，
=
∴DE∥BC且DE=BC．

例5．图5-8，△ABC中，点C分OA边为1∶3，点D分OB边为2∶3，AD与BC交于点P，延长OP交AB于E，求E点分AB所成的比，
解：记，，则=，
∵点P在直线AD上，存在tR使=
∴
∴=(1－t)+①
相仿由点P在BC上可得=(1－m)+②
比较①、②求出t=，
∴=+③
又由点E在AB上可有④
∵与共线，==⑤
比较④、⑤可得S=
∴
∴
∴
则=2∶1
而点E分AB边的比为2∶1

扩展阅读

向量的减法

一名优秀的教师就要对每一课堂负责，作为高中教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助高中教师能够更轻松的上课教学。你知道怎么写具体的高中教案内容吗？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“向量的减法”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

课时3向量的减法
【学习目标】
1．掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。
2．能正确作出两个向量的差向量，并且能掌握差向量的起点和终点的规律。
3．知道向量的减法运算可以转化为加法，是加法的逆运算。
4．通过本节学习，渗透化归思想和数形结合的思想，继续培养识图和作图的能力及用图形解题的能力。
【知识梳理】
1．向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。
即：ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：
若b+x=a，则x叫做a与b的差，记作ab
【例题选讲】
例1．化简：

例2．如图，O是平行四边形ABCD的对角线的交点，若，试证：+-=

例3．如图，ABCD是一个梯形，AB//CD，且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知，，试用，表示和
【归纳反思】
1．向量和它的相反向量的和为零向量。
2．向量的减法是加法的逆运算。
3．减去一个向量，等于加上它的相反向量。
4．重要不等式：
【课内练习】
1．下面有四个等式：①-（-）=；②-=；③+（-）=-；④-=，其中正确的等式为
2．在平行四边形ABCD中，，，，，则下列等式不成立的是
ABCD
3．若，为非零向量，则在下列命题中真命题为
①=，，同向共线；②=，，反向共线
③=，，有相等的模；④，同向共线
4．已知=10，=8，则的取值范围为
5．在矩形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，且,,,
证明：

【巩固提高】
1．下列四式中不能化为的是
AB
CD
2．如图，在△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则等于
AB
CD
3．在平行四边形ABCD中，设，记，，则为
ABCD

4．正六边形ABCDEF，若，，则为
ABCD

5．在平面上有三点A、B、C，设，，若的长度相等，则有
AA、B、C三点在一条直线上B必为等腰三角形且B为顶角
C必为直角三角形且B为直角D必为等腰直角三角形

6．在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD为形

7．已知向量的终点与向量的起点重合，向量的起点与向量的终点重合，则下列结论正确的为
①以的起点为终点，的起点为起点的向量为-（+）
②以的起点为终点，的终点为起点的向量为---
③以的起点为终点，的终点为起点的向量为--
8.在中，若，则边AB与边AD所夹的角=

9．已知两个合力的夹角是直角，且知它们的合力与的夹角为，=10N，求的大小。

10．如图，P、Q是ABC的边BC上的两点，且BP=QC，
求证：

11．若，是给定的不共线向量，试求满足下列条件的向量，使
2-=
并作图用，表示，
+2=

问题统计与分析

向量的加减法运算

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助授课经验少的高中教师教学。那么，你知道高中教案要怎么写呢？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“向量的加减法运算”，欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！

向量的加减法运算
年级高一学科数学课题向量的加减法运算
授课时间撰写人刘艳宏时间
学习重点用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和与差向量
学习难点理解向量加减法的定义.
学习目标⑴掌握向量加法的定义
⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量
⑶理解向量加法的运算律

教学过程
一自主学习
向量的三角形及平行四边形法则

向量的反向量

向量加法与减法的几何意义

二师生互动

例1如图5，O为正六边形的中心，试作出下列向量：
（1）；（2）；
（3）；
（4）；
（5）
例2在中，是重心，、、分别是、、的中点，化简下列两式：
⑴；
⑵

练习。设，，，试用表示.

三巩固练习
1.平行四边形中，，，则等于（）.
A.B.C.D.
2.下列等式不正确的是（）.
A.B.
C.
D.
3.在中，等于（）.
A.B.C.D.
4.=；
=.
5.已知向量、满足且，则=.
6.在中，，则等于（）.
A.B.C.D.
7.化简的结果等于（）.
A.B.C.D.
8.在正六边形中，，，则=.
9.已知、是非零向量，则时，应满足条件.

四课后反思

五课后巩固练习
1.已知是的对角线与的交点，
若，，，
试证明：.

2.在菱形中，，，求的值.

复数的加法与减法

复数的加法与减法教学目标
(1)把握复数加法与减法运算法则,能熟练地进行加、减法运算;
(2)理解并把握复数加法与减法的几何意义,会用平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题;
(3)能初步运用复平面两点间的距离公式解决有关问题;
(4)通过学习平行四边形法则和三角形法,培养学生的数形结合的数学思想;
(5)通过本节内容的学习,培养学生良好思维品质(思维的严谨性,深刻性,灵活性等).
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节的重点是复数加法法则。难点是复数加减法的几何意义。复数加法法则是教材首先规定的法则,它是复数加减法运算的基础,对于这个规定的合理性,在教学过程中要加以重视。复数加减法的几何意义的难点在于复数加减法转化为向量加减法,以它为根据来解决某些平面图形的问题,学生对这一点不轻易接受。
三、教学建议
(1)在复数的加法与减法中,重点是加法.教材首先规定了复数的加法法则.对于这个规定,应通过下面几个方面,使学生逐步理解这个规定的合理性:①当时,与实数加法法则一致;②验证实数加法运算律在复数集中仍然成立;③符合向量加法的平行四边形法则.
(2)复数加法的向量运算讲解设,画出向量,后,提问向量加法的平行四边形法则,并让学生自己画出和向量(即合向量),画出向量后,问与它对应的复数是什么,即求点Z的坐标OR与RZ(证法如教材所示).
(3)向学生介绍复数加法的三角形法则.讲过复数加法可按向量加法的平行四边形法则来进行后,可以指出向量加法还可按三角形法则来进行:如教材中图8-5(2)所示,求与的和,可以看作是求与的和.这时先画出第一个向量,再以的终点为起点画出第二个向量,那么,由第一个向量起点O指向第二个向量终点Z的向量,就是这两个向量的和向量.
(4)向学生指出复数加法的三角形法则的好处.向学生介绍一下向量加法的三角形法则是有好处的:例如讲到当与在同一直线上时,求它们的和,用三角形法则来解释,可能比“画一个压扁的平行四边形”来解释轻易理解一些;讲复数减法的几何意义时,用三角形法则也较平行四边形法则更为方便.
(5)讲解了教材例2后,应强调(注重:这里是起点,是终点)就是同复数-对应的向量.点,之间的距离就是向量的模,也就是复数-的模,即.
例如,起点对应复数-1、终点对应复数的那个向量(如图),可用来表示.因而点与()点间的距离就是复数的模,它等于。
教学设计示例
复数的减法及其几何意义
教学目标
1.理解并把握复数减法法则和它的几何意义.
2.渗透转化,数形结合等数学思想和方法,提高分析、解决问题能力.
3.培养学生良好思维品质(思维的严谨性,深刻性,灵活性等).
教学重点和难点
重点:复数减法法则.
难点:对复数减法几何意义理解和应用.
教学过程设计
(一)引入新课
上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义,今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义.(板书课题:复数减法及其几何意义)
(二)复数减法
复数减法是加法逆运算,那么复数减法法则为(i)(i)=()()i,
1.复数减法法则
(1)规定:复数减法是加法逆运算;
(2)法则:(i)(i)=()()i(,,,∈R).
把(i)(i)看成(i)(1)(i)如何推导这个法则.
(i)(i)=(i)(1)(i)=(i)(i)=()()i.
推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算.
推导:设(i)(i)=i(,∈R).即复数i为复数i减去复数i的差.由规定,得(i)(i)=i,依据加法法则,得()()i=i,依据复数相等定义,得
故(i)(i)=()()i.这样推导每一步都有合理依据.
我们得到了复数减法法则,两个复数的差仍是复数.是唯一确定的复数.
复数的加(减)法与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部,虚部与虚部分别相加(减),即(i)±(i)=(±)(±)i.
(三)复数减法几何意义
我们有了做复数减法的依据——复数减法法则,那么复数减法的几何意义是什么?
设z=i(,∈R),z1=i(,∈R),对应向量分别为,如图
由于复数减法是加法的逆运算,设z=()()i,所以zz1=z2,z2z1=z,由复数加法几何意义,以为一条对角线,1为一条边画平行四边形,那么这个平行四边形的另一边2所表示的向量OZ2就与复数zz1的差()()i对应,如图.
在这个平行四边形中与zz1差对应的向量是只有向量2吗?
还有.因为OZ2Z1Z,所以向量,也与zz1差对应.向量是以Z1为起点,Z为终点的向量.
能概括一下复数减法几何意义是:两个复数的差zz1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
(四)应用举例
在直角坐标系中标Z1(2,5),连接OZ1,向量1与多数z1对应,标点Z2(3,2),Z2关于x轴对称点Z2(3,2),向量2与复数对应,连接,向量与的差对应(如图).
例2根据复数的几何意义及向量表示,求复平面内两点间的距离公式.
解:设复平面内的任意两点Z1,Z2分别表示复数z1,z2,那么Z1Z2就是复数对应的向量,点之间的距离就是向量的模,即复数z2z1的模.假如用d表示点Z1,Z2之间的距离,那么d=|z2z1|.
例3在复平面内,满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么.
(1)|z1i|=|z2i|;
方程左式可以看成|z(1i)|,是复数Z与复数1i差的模.
几何意义是是动点Z与定点(1,1)间的距离.方程右式也可以写成|z(2i)|,是复数z与复数2i差的模,也就是动点Z与定点(2,1)间距离.这个方程表示的是到两点(1,1),(2,1)距离相等的点的轨迹方程,这个动点轨迹是以点(1,1),(2,1)为端点的线段的垂直平分线.
(2)|zi||zi|=4;
方程可以看成|z(i)||zi|=4,表示的是到两个定点(0,1)和(0,1)距离和等于4的动点轨迹.满足方程的动点轨迹是椭圆.
(3)|z2||z2|=1.
这个方程可以写成|z(2)||z2|=1,所以表示到两个定点(2,0),(2,0)距离差等于1的点的轨迹,这个轨迹是双曲线.是双曲线右支.
由z1z2几何意义,将z1z2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1z2|,由此得到线段垂直平分线,椭圆、双曲线等复数方程.使有些曲线方程形式变得更为简捷.且反映曲线的本质特征.
例4设动点Z与复数z=i对应,定点P与复数p=i对应.求
(1)复平面内圆的方程;
解:设定点P为圆心,r为半径,如图
由圆的定义,得复平面内圆的方程|zp|=r.
(2)复平面内满足不等式|zp|r(r∈R)的点Z的集合是什么图形?
解:复平面内满足不等式|zp|r(r∈R)的点的集合是以P为圆心,r为半径的圆面部分(不包括周界).利用复平面内两点间距离公式,可以用复数解决解析几何中某些曲线方程.不等式等问题.
(五)小结
我们通过推导得到复数减法法则,并进一步得到了复数减法几何意义,应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式,可以用复数研究解析几何问题,不等式以及最值问题.
(六)布置作业P193习题二十七:2,3,8,9.
探究活动
复数等式的几何意义
复数等式在复平面上表示以为圆心,以1为半径的圆。请再举三个复数等式并说明它们在复平面上的几何意义。
分析与解
1.复数等式在复平面上表示线段的中垂线。
2.复数等式在复平面上表示一个椭圆。
3.复数等式在复平面上表示一条线段。
4.复数等式在复平面上表示双曲线的一支。
5.复数等式在复平面上表示原点为O、构成一个矩形。
说明复数与复平面上的点有一一对应的关系,假如我们对复数的代数形式工(几何意义)之间的关系比较熟悉的话,必然会强化对复数知识的把握。

向量的加法运算及其几何意义

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向量的加法运算及其几何意义
教学目标：
1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；
3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
学法：
数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.
教具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
一、设置情景：
1、复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
2、情景设置：
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：
（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
则两次的位移和：
（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和：
（4）船速为，水速为，则两速度和：
二、探索研究：
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即a＋ｂ，规定：a+0-=0+a

探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|||+||；
（3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，当与反向时，若||||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加
３．例一、已知向量、，求作向量+
作法：在平面内取一点，作，则.

４．加法的交换律和平行四边形法则
问题：上题中+的结果与+是否相同？验证结果相同
从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
２）向量加法的交换律：+=+
５．向量加法的结合律：(+)+=+(+)
证：如图：使，，
则(+)+=，+(+)=
∴(+)+=+(+)
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例：
例二（P94—95）略
练习：P95
四、小结
1、向量加法的几何意义；
２、交换律和结合律；
３、注意：|+|≤||+||，当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业：
P103第２、３题
六、板书设计（略）
七、备用习题
1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为，求水流的速度.
2、一艘船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.
3、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和.
4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是km/h，最小是km/h
５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60，|F|=10N求F1和F2的大小.
６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形