高二数学必修三考点解析：变量间的相关关系。

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高二数学必修三考点解析：变量间的相关关系

一、变量间的相关关系
1.常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系;与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.
2.从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.
二、两个变量的线性相关
1.从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线.
当r0时，表明两个变量正相关;
当r0时，表明两个变量负相关.
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.
三、解题方法
1.相关关系的判断方法一是利用散点图直观判断，二是利用相关系数作出判断.
2.对于由散点图作出相关性判断时，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性.
3.由相关系数r判断时|r|越趋近于1相关性越强.【同步练习题】
1.(2014银川模拟)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x(cm)174176176176178；儿子身高y(cm)175175176177177，则y对x的线性回归方程为()
A.y^=x-1B.y^=x+1C.y^=88+12xD.y^=176
解析：因为x=174+176+176+176+1785=176，
y=175+175+176+177+1775=176，
又y对x的线性回归方程表示的直线恒过点(x，y)，所以将(176,176)代入A、B、C、D中检验知选C.
答案：C
2.(2014衡阳联考)已知x与y之间的一组数据：
x0123
ym35.57
已求得关于y与x的线性回归方程y^=2.1x+0.85，则m的值为()
A.1B.0.85C.0.7D.0.5
解析：回归直线样本中心点(1.5，y)，故y=4，m+3+5.5+7=16，得m=0.5.
答案：D
3.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优秀非优秀总计
甲班10b
乙班c30
总计105
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是
()
A.列联表中c的值为30，b的值为35
B.列联表中c的值为15，b的值为50
C.根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
D.根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
解析：由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c=20，b=45，选项A、B错误.根据列联表中的数据，得到K2=105×10×30-20×45255×50×30×75≈6.1093.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”。
答案：C
4.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是()
①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病;③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误.
A.①B.①③C.③D.②
解析：①推断在100人吸烟的人中必有99人患有肺病，说法错误，排除A，B;③正确.
答案：C
5.调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y^=0.254x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元.
解析：解法一：特殊值法.
令x1=1得y^1=0.254+0.321.
令x2=1+1=2得y^2=2×0.254+0.321.
y^2-y^1=0.254.
解法二：由y^1=0.254x1+0.321，
y^2=0.254(x1+1)+0.321，则y^2-y^1=0.254.
答案：0.254

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高二数学《变量间的相关关系》知识点总结

高二数学《变量间的相关关系》知识点总结

一、变量间的相关关系
1．常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
2．从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．

二、两个变量的线性相关
1．从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．

当r＞0时，表明两个变量正相关；
当r＜0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．

三、解题方法
1．相关关系的判断方法一是利用散点图直观判断，二是利用相关系数作出判断．
2．对于由散点图作出相关性判断时，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性．
3．由相关系数r判断时|r|越趋近于1相关性越强．

高二数学期末知识点：变量间的相关关系

高二数学期末知识点：变量间的相关关系

知识点1：变量之间的相关关系
两个变量之间的关系可能是确定的关系(如：函数关系)，或非确定性关系。当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系;当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系，如长方体的高与体积之间的关系就是确定的函数关系，而人的身高与体重的关系，学生的数学成绩好坏与物理成绩的关系等都是相关关系。注意：两个变量之间的相关关系又可分为线性相关和非线性相关，如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，则变量之间具有相关关系(不确定性的关系)，如果所有样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系，相关关系只说明两个变量在数量上的关系，不表明他们之间的因果关系，也可能是一种伴随关系。点睛：两个变量相关关系与函数关系的区别和联系
相同点：两者均是两个变量之间的关系，不同点：函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系，相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系，函数关系是两个随机变量之间的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系;函数关系式一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。
知识点2.散点图.
1.在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图。
2.从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合。
3.对于相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的的值也由小变大，这种相关称为正相关，正相关时散点图的点散布在从左下角到由上角的区域内。
如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关，负相关时散点图的点散步在从左上角到右下角的区域。
注意：画散点图的关键是以成对的一组数据，分别为此点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中把其找出来，其横纵坐标的单位长度的选取可以不同,高中数学，应考虑数据分布的特征，散点图只是形象的描述点的分布，如果点的分布大致呈一种集中趋势，则两个变量可以初步判断具有相关关系，如图中数据大致分布在一条直线附近，则表示的关系是线性相关，如果两个变量统计数据的散点图呈现如下图所示的情况，则两个变量之间不具备相关关系，例如学生的身高和学生的英语成绩就没有相关关系。
点睛：散点图又称散点分布图，是以一个变量为横坐标，另一变量为纵坐标，利用散点(坐标点)的分布形态反映变量统计关系的一种图形。特点是能直观表现出影响因素和预测对象之间的总体关系趋势。优点是能通过直观醒目的图形方式反映变量间关系的变化形态，以便决定用何种数学表达方式来模拟变量之间的关系。散点图不仅可传递变量间关系类型的信息，也能反映变量间关系的明确程度
知识点3：回归直线(1)回归直线的定义
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。
(2)回归直线的特征
如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程)，那么我们就可以比较清楚的了解对应两个变量之间的相关性，就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样，这条直线也可以作为两个变量之间具有相关关系的代表。

高中数学必修三导学案-2.3变量间的相关关系（2）

2.3变量间的相关关系（2）
【学习目标】
1．理解回归直线的概念；
2．理解用最小二乘法求线性回归方程的思想，能用最小二乘法求线性回归方程．
【新知自学】
新知梳理：
1．回归直线
如果散点图中点的分布从附近，就称这两个变量之间具有，这条直线叫做．
2.回归直线方程
（1）方法：．
（2）公式：
方程是两个具有线性相关关系的变量的一组数据，的回归方程，其中是待定系数。
恒过点，点也叫样本点的.
3.线性回归分析
商店名称

销售额

利润额

（1）作出散点图，判断两个变量是否线性相关；
（2）如果两个变量线性相关，则用最小二乘法求出线性回归方程；
（3）根据回归方程进行统计分析，即由一个变量的变化去估计另一个变量的变化．
对点练习：
1.一位母亲记录了儿子3到9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为
，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（）
（A）身高一定是145.83cm
（B）身高在145.83cm以上
（C）身高在145.83cm以下
（D）身高在145.83cm左右
2.已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
3.设有一个回归方程为，当自变量增加一个单位时（）
（A）平均增加1.5个单位
（B）平均增加2个单位
（C）平均减少1.5个单位
（D）平均减少2个单位
4.线性回归方程表示的直线必经过（）
（A）点（B）点
（C）点（D）点
【合作探究】
典例精析
例题1.某连锁经营公司所属个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
（1）画出销售额和利润额的散点图；
（2）若销售额和利润额具有线性相关关系，求利润额对于销售额的回归直线方程.

变式训练1.某5名学生的总成绩和数学成绩如下表：
学生ABCDE
总成绩x482383421364362
数学成绩y7865716461
（1）画出散点图；
（2）求数学成绩对总成绩的回归直线方程；
（3)如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个同学的数学成绩.

【课堂小结】

【当堂达标】
1.下列说法中正确的是（）
A．任何两个变量都具有相关关系
B．人的知识与其年龄具有相关关系
C．散点图中的各点是分散的没有规律
D．根据散点图求得的回归直线方程都是有意义的
2.变量y与x之间的回归方程（）
A．表示y与x之间的函数关系
B．表示y和x之间的不确定关系
C．反映y和x之间真实关系的形式
D．反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合
3.某地区近几年居民独到的年收入x与支出y之间的关系，大致符合（单位：亿元）.预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是亿元.

【课时作业】
1.下列说法正确的有（）
①线性回归方程适用于一切样本和总体；
②线性回归方程一般都有局限性；
③样本取值的范围会影响线性回归方程的适用范围；
④线性回归方程得到的预测值是预测变量的精确值.
（A）①②（B）②③
（C）③④（D）①③
2.若回归方程为，则（）
（A）
（B）15是回归系数
（C）1.5是回归系数
（D）时，

3.工人月工资（元）与劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为，下列判断不正确的是（）
（A）劳动生产率为1000元时，工资为130元
（B）劳动生产率提高1000元，则工资提高80元
（C）劳动生产率提高1000元，则工资提高130元
（D）当月工资为210元时，劳动生产率为2000元

4.在一次试验中，测得的四组值分别是则与之间的回归直线方程为（）
（A）（B）
（C）（D）

5.某化工厂为预测某产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了对观察值，计算得：

则与的回归直线方程是（）
（A）
（B）（B）
（C）
（D）

6.若施化肥量与小麦产量之间的回归直线方程为，当施化肥量为时，预计小麦产量为.

7.已知回归直线方程为，则可估计与的增长速度之比约为.

8.对具有线性相关关系的变量和，测得一组数据如下表：
24568
3040605070
若已知求得它们的回归方程的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为.

9.假设关于某设备的使用年限和所有支出的维修费用（万元）有如下的统计数据，由资料知对呈线性相关，并且由统计的五组数据得平均值分别为，若用五组数据得到的线性回归方程去估计，使用年的维修费用比使用年的维修费用多万元.
(1)求线性回归直线方程.
（2）估计使用年限为年时，维修费用是多少？

10.某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利（元）与该周每天销售这种服装件数之间的一组数据关系如下表：

3456789
66697381899091

已知.
（1）求.
（2）求纯利与每天销售件数之间的回归直线方程；
（3）若该周内某天销售服装20件，估计可获得纯利多少元？

高中数学必修三导学案2.3变量间的相关关系（1）

作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。你知道怎么写具体的高中教案内容吗？下面是由小编为大家整理的“高中数学必修三导学案2.3变量间的相关关系（1）”，相信您能找到对自己有用的内容。

2.3变量间的相关关系（1）
【学习目标】
1．了解相关关系的有关概念；
2．会画散点图，会利用散点图直观认识变量间的相关关系．
【新知自学】
知识回顾：
课前回顾
1、函数的定义是什么？
2、对于函数，当时，=.的值是唯一的吗？

新知梳理：
1.两个变量之间的关系
（1）函数关系：两个变量的关系是．
（2）相关关系：两个变量的关系是．
【感悟】相关关系与函数关系有什么异同点？

2.两个变量的相关关系的有关概念
（1）散点图：将样本的几个数据描在中得到的图形．
（2）正相关：在散点图中，点散布在从
到的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们称它为正相关．
（3）负相关：在散点图中，点散布在从
到的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们称它为负相关．
3.两个变量的线性相关、回归直线

如果散点图上的点的分布大致在附近，就称这两个变量之间具有关系，这条直线叫做．

对点练习：
1.下列两个变量中具有相关关系的是（）
（A）正方体的体积与边长
（B）匀速行驶的车辆的行驶距离与时间
（C）人的体重与饭量
（D）人的身高与视力
2.下列各关系不属于相关关系的是（）
（A）产品的样本与生产数量
（B）球的表面积与体积
（C）家庭的支出与收入
（D）人的年龄和体重
3.下列变量关系是线性相关的是（）.
（A）人的身高与视力
（B）角的大小与所对圆弧长
（C）收入水平与纳税水平
（D）人的年龄和身高
【合作探究】
典例精析
【典型例题】
例题1.在关于人的脂肪含量（百分比）和年龄关系的研究中，得到如下一组数据：
判断它们是否有相关关系，若有，作一拟合直线.
年龄2327394145495058
脂肪9.517.821.225.927.526.328.229.6

变式训练1.观察两相关变量得如下数据：
x-1-2-3-4-554321
y-9-7-5-3-115379
画出散点图，判断它们是否有相关关系.

例题2.以下是某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价格y（单位：万元）和房屋面积x（单位：平方米）的数据：
x11511080135105
y124.8121.6119.4129.2122
（1）画出数据对应的散点图；
（2）判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？

【课堂小结】

【当堂达标】
1.判断下边图形中具有相关关系的两个
变量是哪一个？（）

2.5个学生的数学和物理成绩如下表：
学科/学生

数学8075706560
物理7066686462
画出散点图，并判断它们是否线性相关.

【课时作业】
1.有关线性回归的说法，不正确的是（）
（A）相关关系的两个变量不是因果关系
（B）散点图能直观反映数据的相关程度
（C）回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系
（D）任一组数据都有回归方程
2.下列两个变量具有相关关系的是（）
（A）正方体的体积与棱长
（B）数学成绩与学习数学的时间
（C）匀速行驶车辆的行驶距离与时间
（D）球的半径与体积
3.哪些变量是相关关系（）
（A）出租车费与行驶的历程里程
（B）房屋面积与房屋的价格
（C）身高与体重
（D）铁的大小与质量
4.有四组变量：①汽车的重量与汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②高三年级女生的身高与体重；③某人平均每日吸烟量与其身体健康情况；④汽车的重量与百公里耗油量.其中两个变量成正相关的是（）
（A）①③（B）②④
（C）②③（D）①④
5.对变量x,y有观测数据理力争（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2.由这两个散点图可以判断（）.
（A）变量x与y正相关，u与v正相关
（B）变量x与y正相关，u与v负相关
（C）变量x与y负相关，u与v正相关
（D）变量x与y负相关，u与v负相关.
6.某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：
x24568
y3040605070
（1）画出散点图；
（2）从散点图中判断销售金额与广告费支出成什么样的关系？

7.假如某公司的广告费支出x（百万元)与销售额y(百万元）之间有如下数据：

x24568
y3040605070
（1）画出散点图；
（2）判断广告费支出与销售额之间有无相关关系？若有是正相关还是负相关？