从位移的合成到向量的加法典例剖析。

一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，大家在用心的考虑自己的教案课件。只有写好教案课件计划，才能促进我们的工作进一步发展！你们会写教案课件的范文吗？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“从位移的合成到向量的加法典例剖析”，但愿对您的学习工作带来帮助。

典例剖析：从位移的合成到向量的加法
例1给出下列命题
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；
④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中假命题的个数为（）
A.2B.3C.4D.5
答案C
例2如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N分别是DC、AB的中点，已知=a，=b，=c，试用a、b、c表示，，+.
解=++=-a+b+c，
∵=++，
∴=-,=-,=,
∴=a-b-c.
+=+++=2=a-2b-c.
例3设两个非零向量a与b不共线，
（1）若=a+b,=2a+8b,=3(a-b)，
求证：A、B、D三点共线；
（2）试确定实数k，使ka+b和a+kb共线.
（1）证明∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),
∴=+=2a+8b+3(a-b)
=2a+8b+3a-3b
=5(a+b)=5.
∴、共线，
又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线.
（2）解∵ka+b与a+kb共线，
∴存在实数，使ka+b=(a+kb),
即ka+b=a+kb.
∴(k-)a=(k-1)b.
∵a、b是不共线的两个非零向量，
∴k-=k-1=0，∴k2-1=0.
∴k=±1.

例4（12分）如图所示，在△ABO中，=,=,AD与BC相交于点M，设=a，=b.试用a和b表示向量.
解设=ma+nb，
则=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb.
=-=-=-a+b.
又∵A、M、D三点共线，∴与共线.
∴存在实数t,使得=t，
即(m-1)a+nb=t(-a+b).3分
∴(m-1)a+nb=-ta+tb.
，消去t得：m-1=-2n，即m+2n=1.①5分
又∵=-=ma+nb-a=(m-)a+nb.
=-=b-a=-a+b.
又∵C、M、B三点共线，∴与共线.8分
∴存在实数t1,使得=t1,
∴(m-)a+nb=t1,
∴，
消去t1得,4m+n=1②10分
由①②得m=,n=,
∴=a+b.12分

延伸阅读

从位移的合成到向量的加法教案设计

从位移的合成到向量的加法
一、教学目标：
1.知识与技能
（1）掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和平行四边形法则做几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量计算.
（2）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量
（3）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义.
（4）初步体会数形结合在向量解题中的应用.
2.过程与方法
教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法.然后用“相反向量”定义向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
3.情感态度价值观
通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.
二.教学重、难点
重点:向量加法的概念和向量加法的法则及运算律.
难点:向量的减法转化为加法的运算.
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想
【创设情境】
一、提出课题：向量是否能进行运算？
1．某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：+=
2．若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
则两次的位移和：+=
3．某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和：+=
4．船速为，水速为，
则两速度和：+=
提出课题：向量的加法
【探究新知】
1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
注意：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）
2．三角形法则：
强调：
①“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点
②可以推广到n个向量连加
③
④不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则
[展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
例1、已知向量、，求作向量+
作法：在平面内取一点，
作
则
【探究新知】
3．加法的交换律和平行四边形法则
思考：上题中+的结果与+是否相同验证结果相同
从而得到：1向量加法的平行四边形法则
2向量加法的交换律：+=+
4．向量加法的结合律：(+)+=+(+)（可请学生先上来做，不足之处学生更正）
证：如图：使,,
则(+)+=
+(+)=
∴(+)+=+(+)
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
[展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
例2．如图，一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为，求船实际航行的速度的大小与方向。
解：设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，
以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度
在中，，
所以
因为
【探究新知】
思考：已知，，怎样求作？
这个问题涉及到两个向量相减，到底如何运算呢？首先引入“相反向量”这个概念.
5.用“相反向量”定义向量的减法
①“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量；记作a
②规定：零向量的相反向量仍是零向量。(a)=a
任一向量与它的相反向量的和是零向量。a+(a)=0
如果a、b互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0
③向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。
即：ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法。
6.用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b+x=a，则x叫做a与b的差，记作ab
7.请同学们自己解决思考题：
的作法：
方法一、已知向量、，在平面内任取一点O，作，则。即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量
方法二、在平面内任取一点O，作则。即也可以表示为从向量的起点指向向量的起点的向量.
方法三、在平面内任取一点O，作，则由向量加法的平行四边形法则可得.
[展示投影]思考与讨论：
思考：从向量的终点指向向量的终点的向量是什么？（）
讨论：如右图，∥时，怎样作出呢？

[展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
例3.已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd。
解：在平面上取一点O，作=a,=b,=c,=d,作,,则=ab,=cd

例4.平行四边形中，=，=，用、表示向量，.
解：由平行四边形法则得：
=a+b,=-=ab

变式一：当a,b满足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a|=|b|）
变式二：当a,b满足什么条件时，|a+b|=|ab|？（a,b互相垂直）
变式三：a+b与ab可能是相当向量吗？（不可能，∵对角线方向不同）

例5.试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
证：由向量加法法则：
=+,=+
由已知：=,=
∴=即AB与CD平行且相等
∴ABCD为平行四边形
[学习小结]（学生总结，其它学生补充）
①向量加法的三角形法则与平行四边形法则.
②向量加法运算律.
③相反向量及向量减法的运算法则.
五、评价设计
1．作业：
2．（备选题）：
①证明：对于任意给定的向量都有
②证明：并说明什么时候取等号？
提示：可用例5的图当、不共线时，由三角形两边之和大于第三边，而两边之差小于第三边得
、
即
六、课后反思：

从位移、速度、力到向量

教案课件是老师上课中很重要的一个课件，大家应该在准备教案课件了。对教案课件的工作进行一个详细的计划，新的工作才会更顺利！有多少经典范文是适合教案课件呢？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“从位移、速度、力到向量”，供您参考，希望能够帮助到大家。

从位移、速度、力到向量
一、教学目标：
1.知识与技能
（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；
（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.
（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力
2.过程与方法
通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.
3.情感态度价值观
通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.
二.教学重、难点
重点:向量及向量的有关概念、表示方法.
难点:向量及向量的有关概念、表示方法.
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想
【创设情境】
实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，
问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
【探究新知】
1．学生阅读教材思考如下问题
[展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充）
1.举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？
既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等
注意：①数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2.向量的表示方法有哪些？
①几何表示法：有向线段
有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。记作：
注意：起点一定写在终点的前面。
有向线段的长度：线段AB的长度也叫做有向线段的长度
有向线段的三要素：起点、方向、长度
②字母表示法：也可用字母a、b、c（黑体字）来表示，即可表示为（印刷时用黑体字）
3.向量的模的概念是如何定义的？
向量的大小——长度称为向量的模。
记作：||模是可以比较大小的
4.两个特殊的向量：
①零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的.
注意与0的区别
②单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。
思考：①温度有零上零下之分，“温度”是否向量？
答：不是。因为零上零下也只是大小之分。
②与是否同一向量？
答：不是同一向量。
③有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？
答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。
5.向量间的关系：
1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：∥∥
规定：与任一向量平行
2．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作：=
规定：=
任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。
3．共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上，
所以平行向量也叫共线向量。

===
例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例题：如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，①分别写出图中与向量、、相等的向量；②分别写出图中与向量、、共线的向量.

[学习小结]（学生总结，其它学生补充）
①向量及其表示方法.
②向量的模.
③零向量与单位向量（零向量的方向任意；单位向量不一定相等）
④相等向量与平行向量.
五.作业：
六.课后反思

向量的加法

§2从位移的合成到向量的加法
2.1向量的加法
一、教学目标
知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；
掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．
能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．
情感目标：经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、创新的个性品质．
二．重点难点
重点：向量加法运算的意义和法则．
难点：向量加法法则的理解．
三．教学方法
采用“启发探究”式教学方法，结合多媒体辅助教学．
四．教学过程
Ⅰ．创设情境直观感知

以杭州湾大桥为整体背景，设计两个问题情境如下：
问题１：建桥之前如何从嘉兴到达宁波？建桥之后可以从嘉兴直达宁波，此时的位移与前面两次位移的结果有何关系？两次位移的结果可称为两次位移的和，如何用等式来刻画这三个位移的关系？
问题2：这是大桥南端的A型独塔斜拉桥，其中两根拉索对塔柱的拉力分别为、，则它们对塔柱的共同作用效果如何？合力可称为力与的和，如何用等式来刻画这三个力的关系？
力与位移都是物理中的矢量，既有大小又有方向，若去掉它们的物理属性，就是数学中的向量．它们的和也就可以抽象成向量与向量之间的一种运算——向量的加法（引出课题）
Ⅱ．抽象概括形成定义
（一）建立数学模型
若记则向量叫做向量与的和，记为．
问题3：如图所示的三个向量，你们能给出它们所满足的等式吗？——，即向量为向量与的和

（二）抽象数学概念
问题4：由此，你们能概括出一般的两个向量与和的定义吗？
学生活动：在平面内任取一点O，平移使其起点为点O，平移使其起点与向量的终点重合，再连接向量的起点与向量的终点．
（1）平移的目的是什么？——平移后使得两个向量能在同一个三角形中；
（2）平移后两个向量的终点与起点有何关系？——使得第二个向量的终点与第一个向量的起点重合；
（3）和向量又是什么？——连接向量的起点与向量的终点，并指向的终点，得到的向量即为向量与的和；
（4）借助于几何直观，用自然简洁的语言给出两个向量和的定义．
和的定义：已知向量，在平面内任取一点O，作，则向量叫做向量的和．记作：．即．
向量的加法的定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．
向量加法的法则：和的定义给出了求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
问题5：用三角形法则求向量和的过程中要注意什么？——平移两个向量使它们首尾顺次相连．
问题6：还可以用什么方法求两个向量的和呢？——向量加法的平行四边形法则．
问题7：平行四边形法则有何特点？——平移两个向量至共起点．
两种方法求和的结果是一样的，可见，向量加法的三角形法则与平行四边形法则在本质上是一致的．在具体求和时，应根据情况灵活地选择．
（三）尝试运用法则
试一试：如图，已知、，作出

向量加法的三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的，反映了三角形法则具有广泛的适用性．
Ⅲ．类比猜想探究性质
问题8：加法其实我们并不陌生，从小就开始学习数、字母、式的加法，实数的加法有哪些运算性质？向量的加法是否也满足类似的性质？如果满足，具体形式是什么？
实数的加法向量的加法
性
质

交换律的验证让学生通过画图自己验证，结合律的验证师生借助于多媒体共同完成．
研究结果表明：向量的加法也满足交换律和结合律，这与数的加法是一致的．有了交换律与结合律，向量的加法就可以按任意的组合与任意的次序进行，从而丰富了向量加法的内涵．
Ⅳ．数学运用深化认识
例1．如图，O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心，作出下列向量：
（1）（2）（3）
（4）（5）
推广1：
推广2：
并以北京08奥运圣火的传递提供了现实原型．
最后我们再回到这座宏伟壮观的大桥来解决这样一个实际问题：
例2．已知桥是南北方向，受落潮影响，海水以12.5km/h的速度向东流，现有一艘工作艇，在海面上航行检查桥墩的状况，已知艇的速度是25km/h，若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行，则艇的航向如何确定？
分析：首先将实际问题数学化，把三个速度分别用向量来表示：如图，设表示水流速度，表示游艇的速度，那谁是游艇的实际速度？，三个向量应满足什么关系？．
解：如图，设表示水流速度，表示游艇的速度，表示游艇的实际速度，因为，所以四边形为平行四边形．
在中，
，，
所以
答若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行，其航向应为北偏西．
Ⅴ．回顾反思拓展延伸
一、课时小结：
1、同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？
知识内容：向量加法的定义、二个运算法则以及二个运算律．
留给你印象最深的是什么？作为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？
本节课我们从物理原型抽象出数学模型，在此基础上去研究数学模型，最后应用到生活实践中去．再一次告诉我们，数学源于生活，又服务于生活．
2、马克思说过：一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到完善的地步．我们今天所学习的向量的加法为研究物理的相关问题提供了一种数学工具，随着对向量研究的逐步深入，向量作为一种新的数学工具被越来越广泛的应用．
二、拓展延伸：
（1）作业：P79习题2．2的1，2，3
（2）拓展探究：请同学们课后完成下面的拓展探究题：向量和的模与模的和之间有什么关系？（是任意两个向量，则与之间有什么关系？并根据自己感兴趣的话题进行拓展探究．

向量的加法运算及其几何意义

教案课件是老师不可缺少的课件，大家在认真写教案课件了。只有写好教案课件计划，这对我们接下来发展有着重要的意义！有多少经典范文是适合教案课件呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“向量的加法运算及其几何意义”，供您参考，希望能够帮助到大家。

向量的加法运算及其几何意义
教学目标：
1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；
3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
学法：
数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.
教具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
一、设置情景：
1、复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
2、情景设置：
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：
（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
则两次的位移和：
（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和：
（4）船速为，水速为，则两速度和：
二、探索研究：
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即a＋ｂ，规定：a+0-=0+a

探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|||+||；
（3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，当与反向时，若||||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加
３．例一、已知向量、，求作向量+
作法：在平面内取一点，作，则.

４．加法的交换律和平行四边形法则
问题：上题中+的结果与+是否相同？验证结果相同
从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
２）向量加法的交换律：+=+
５．向量加法的结合律：(+)+=+(+)
证：如图：使，，
则(+)+=，+(+)=
∴(+)+=+(+)
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例：
例二（P94—95）略
练习：P95
四、小结
1、向量加法的几何意义；
２、交换律和结合律；
３、注意：|+|≤||+||，当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业：
P103第２、３题
六、板书设计（略）
七、备用习题
1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为，求水流的速度.
2、一艘船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.
3、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和.
4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是km/h，最小是km/h
５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60，|F|=10N求F1和F2的大小.
６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形