初一数学下册第十二章证明导学案。
一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，大家在认真准备自己的教案课件了吧。只有规划好新的教案课件工作，新的工作才会更顺利！你们知道哪些教案课件的范文呢？下面是小编精心为您整理的“初一数学下册第十二章证明导学案”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！
12.1定义与命题
执笔：杨世军审核:初一数学备课班级姓名学号
学习目标
1.了解定义、命题、真命题、假命题的含义。
2.会区分命题的条件和结论。
3.会判断一个命题的真假。
4.在交流中发展有条理的思考和表达的能力。
学习重难点
了解定义、命题、真命题、假命题的含义,会区分命题的条件和结论,会判断一个命题的真假。
导学过程
活动一
预习课本P144-145
对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的_____.
你还能举出曾学过的“定义”吗?
活动二
1.下列句子中，哪些对一件事情作了判断？哪些没有对一件事情作了判断？
(1)父母是我们人生的第一位教师.
(2)延长线段AB.
(3)“非典”是可以战胜的.
_________________,叫做命题
2.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
⑴对顶角相等.
⑵画一个角等于已知角.
⑶两直线平行，同位角相等.
⑷a、b两条直线平行吗？
⑸温柔的李明明
⑹玫瑰花是动物.
⑺若a2＝4，求a的值.
⑻若a2＝b2，则a＝b.
在数学中，命题一般都由______和________两部分组成。
注意：将命题改写成”如果……那么……”的形式,“如果”后面的部分是条件,“那么”后面的部分是结论.
例题精讲
例.将下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并写出命题的条件和结论.
（1）若ab，则acbc.
（2）正方形的四条边相等
（3）
（4）
练习P145议论
3.填空
如果条件成立，那么结论也成立.像这样的命题叫做___________,
如果条件成立，不能保证结论总是成立.像这样的命题叫做___________
上述例题中的两个命题哪个是真命题？哪个是假命题？
检测与练习
1.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）正数大于一切负数吗？
（2）两点之间线段最短。
（3）0是自然数。
（4）作一条直线和已知直线平行。
（5）相等的角是对顶角；
2.在第1题中，_____________是真命题，_____________假命题.
3.将下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并写出命题的条件和结论
（1）如果ab,ac,那么b=c.
（2）钝角大于它的补角；
（3）直角三角形两个锐角互余。
（4）同角的余角相等
12.2证明（1）
执笔：杨世军审核:初一数学备课组班级姓名学号
学习目标
1.初步认识证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式。
2.会综合法证明基本步骤和书写格式。
3.经历一些观察、思考等活动，并对获得的数学猜想进行验证，体验直观判断有时不一定正确，从而尝试从数学的角度运用所学的知识
4.学习重难点
导学过程
活动一
如图(1)，两条线段AB与CD哪一条长一些？图(2)中的四边形是正方形吗？图（3）中的两条直线a、b平行吗？如何证实你的的结论？
活动二
如图(1)长方形草坪中间的一条1m宽的直道改造成如图(2)处处1m宽的“曲径”.两条小道占用草坪的面积相等吗？如何证实你的结论？
活动三
1.当x=－5、、0、2、3时，计算代数式的值.
2.换几个数再试试，你发现了什么？
3.如何证实你的结论？
例题：
房价主要由以下三块组成：地价、建筑材料、广告费．万达地产向外宣称，今年上半年地价上涨10％、建筑材料上涨10％、广告费上涨10％，则房价应上涨30％才能保本．你认为万达地产的说法合理吗？为什么？
活动四完成课本P148：数学实验室
【检测反馈】
1.图中有曲线吗？请在右图中把编号相同的点用线段连起来.
通过观察、操作的结果，说说你的感受.
2.如图，两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个小圆，另一个大圆内有2个小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大一些？请你猜一猜，并用学过的知识和数学方法证实你的猜想.
3.水结成冰时，体积增加了，冰化成水时，体积减少了几分之几？
4.今年五一节期间，王老板在其经营的服装店里卖出两件衣服，其中一件是裤子售价为168元，盈利20％，一件是夹克衫售价也是168元，但亏损20％，问王老板在这次的交易过程中是赚了还是亏了，赚了赚了多少？亏了亏了多少？还是不赚不亏？
12.2证明（2）
执笔：杨世军审核:初一数学备课组班级姓名学号
学习目标
学习重难点
导学过程
活动一：预习课本P150-151
活动二：议一议
1.已经学过的基本事实有：
2：如何从基本事实出发，证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”.
已知：如图，____________________________
求证：__________________
证明：∵a⊥c（已知），
∴∠1=90°（垂直的定义）.
∵b⊥c（），
∴∠2=90°（）.
∵∠1=90°，∠2=90°（）.
∴∠1=∠2（），
∵∠1=∠2（已证），
∴a∥b（）．
归纳：证明与图形有关的命题，一般步骤有：
（1）_________________________________________________________
（2）_________________________________________________________
（3）_________________________________________________________
例题精讲
例1从基本事实出发，证明“内错角相等，两直线平行”.
例2已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB//CD，GM平分∠EGB，HN平分∠EHD．
求证：GM//HN.
检测与练习
1.完成课本P151:练一练
2.已知:如图,直线a与直线b被直线c所截,∠1＝∠2.
求证:a∥b.
3.已知：如图，AD∥BC,∠BAD=∠DCB.
求证：∠1=∠3.
4.已知：A、O、B在一直线上，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.
求证：OM⊥ON.
12.2证明（3）
执笔：杨世军审核:初一数学备课班级姓名学号
学习目标
学习重难点
导学过程
活动一
三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于_______.
（1）如何证明三角形内角和定理？
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：如图，作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB,
∵CE∥AB（）,
∴∠1=∠B(),
∠2=∠A().
∵∠1+∠2+∠ACB=180°(),
∴∠A+∠B+∠ACB=180°().
（2）尝试用不同的证明方法证明三角形内角和定理
活动二
1.如图，∠α是△ABC的一个外角，∠α与它不相邻的两个内角有怎样的数量关系？
2.如何证明？
由三角形内角和定理，可以推出：
三角形的外角等于
像这样，由一个定理直接推出的___________，叫做这个定理的推论.它和定理一样，可以作为进一步证明的依据.
例题已知：如图，AC、BD相交于点O
求证：∠A+∠B=∠C+∠D
检测与练习
1.下列叙述中正确的是()
A.三角形的外角等于两个内角的和B.三角形每一个内角都只有一个外角
C.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和D.三角形的外角大于内角
2.如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F等于（）
A.180°B.360°C.540°D.720°
3.如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD、BE相交于点F．
求证：∠C＋∠1＋∠2＋∠3＝180°．
拓展与延伸
给你一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
12.3互逆命题（1）
执笔：杨世军审核:初一数学备课班级姓名学号
学习目标
学习重难点
导学过程
活动一：
1.观察下列每一组中的两个命题，说说你有什么发现？
第一组：（1）如果a=b,那么.（2）如果,那么a=b.
第二组：（1）两直线平行，同位角相等.（2）同位角相等，两直线平行.
归纳：在两个命题中，如果第一个命题的条件是___________________,而第一个命题的结论又是_______________________，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的___________.
活动二：
完成课本P157试一试
活动三：
下列的命题正确吗？为什么？
（1）如果a＞0，那么＞0
（2）锐角与钝角互为补角
小结
1.判断一个命题是假命题，只需举___________.
2.如果一个命题是真命题，它的逆命题_________是真命题.
检测与练习
1.“两直线平行，内错角相等”的逆命题是____________________________.
2.命题“对顶角相等”的逆命题是_________________，这个逆命题是____命题.
3.请写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题：____________________________________________________
4.写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假.
(1)如果|a|=|b|，那么a=b；(2)如果a＞0，那么a2＞0；
(3)等角的补角相等；(4)同旁内角互补，两直线平行.
5.举反例说明下列命题是假命题.
(1)如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0;
(2)同位角一定相等.
(3)两个锐角的和是锐角
12.3互逆命题（2）
执笔：杨世军审核:初一数学备课班级姓名学号
学习目标
学习重难点
导学过程
活动：
你能说出两个命题：它们不仅是互逆命题，而且都是真命题吗？
例1证明：平行于同一条直线的两条直线平行
例2证明：直角三角形的两个锐角互余
试一试
1.说出命题“直线三角形的两个锐角互余”的逆命题
2.这个逆命题是真命题？为什么？
【检测反馈】
1.（1）如图，点A、B、C、D在一条直线上，填写下列表格：
∵∠1=∠E（已知）
∴∥（）.
∵CE∥DF（已知）
∴∠1=∠（）.
∴∠E=∠（）.
（2）说出（1）的推理中应用了哪两个互逆的真命题？
2.如图1，AB∥CD，
（1）∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？用两种方法证明你的结论.
（2）如果将P点向右移，如图2，AB∥CD，此时∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？并证明你的结论.
3.小明用下面的方法画出了45°角：作两条互相垂直的直线MN、PQ，点A、B分别是MN、PQ上任意一点，作∠ABP的平分线BD，BD的反向延长线交∠OAB的平分线于点C，则∠C就是所求的45°角。你认为对吗？请给出证明。
拓展与延伸
证明：同角的余角相等.
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第十二章 轴对称
第十二章轴对称
本章小结
小结1本章概述
本章主要从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用．在此基础上，利用轴对称探索等腰三角形的性质及其判定方法，进一步学习等边三角形的性质和判定．
轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是密切数学知识与现实联系的重要内容．本章内容是上一章内容的继续．又是后面学习四边形、圆的基础，所以学好本节知识至关重要．本节中涉及轴对称、等腰三角形、等边三角形、垂直平分线等重要概念，涉及等腰三角形“等边对等角”、“三线合一”等重要性质，在学习时应特别注意．
小结2本章学习重难点
【本章重点】
1．轴对称的概念和性质和判定．
2．等腰(或等边)三角形的性质和判定．
【本章难点】1．利用轴对称的性质进行图案设计．
2．书写推理证明过程．
小结3学法指导
1．注意联系实际，通过观察、动手操作等直观方式掌握轴对称及等腰三角形的性质和判定，利用轴对称的观点解释生活中的有关现象，设计图案选择最佳方案等，体现知识的应用，体现具体——抽象——具体的过程．
2．注意知识间的联系．图形的轴对称变换、图形与坐标、图形的证明在本章都有涉及，注意各部分知识之间的联系，把所学知识纳入已有的知识体系．
3．注意体会转化思想、类比思想、分类讨论思想在本章学习中的应用．
知识网络结构图
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1轴对称及轴对称图形
【专题解读】此部分内容是近几年中考中常见的题型，也是新题型之一，解题的依据主要是轴对称及轴对称的性质．
例1如图12－112所示的是小方画的正方形风筝图案，她以图中的对角线所在直线为对称轴，在对角线的下方画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若如图12－113所示的图形中有一图形为此轴对称图形，则此图为()
分析本题主要考查轴对称图形的性质，即对应点连线被对称轴垂直平分，只有C为轴对称图形．故选C．
规律方法判断某图形是否为轴对称图形(或两个图形是否成轴对称)，关键是能否找到一条直线可将这个图形(或两个图形)沿着这条直线对折，使对折后的两部分(或两个图形)重合．
专题2利用轴对称变换作轴对称变换后的图形及设计方案
【专题解读】利用轴对称变换设计精美图案，当对称轴改变方向时，原图形的对称图形也改变方向，一个图形经过若干次轴对称变换，再结合平移、旋转等．就可以得到非常美丽的图案．
例2如图12－114①所示，给出了一个图案的一半，其中的虚线就是这个图案的对称轴，请画出这个图案的另一半．
解：如图12－114②所示．
【解题策略】先作出特殊点的对称点，然后连接即可．
专题3等腰三角形的性质和判定
【专题解读】等腰三角形的性质和判定可以用来证明角相等、线段相等以及线段垂直，这是几何证明中最重要的知识之一，它经常与其他几何知识(如四边形、圆等)综合在一起考查．
例3如图12－115所示，AB＝AC，E，D分别在AB，AC上，BD和CE相交于点F，且∠ABD＝∠ACE．求证BF＝CF．
分析本题综合考查等腰三角形的性质和判定．由于AB＝AC，所以作辅助线BC，则可以构造等腰三角形，从而利用等腰三角形的性质解决问题．
证明：连接BC，
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC(等边对等角)．
又∵∠ACE＝∠ABD，∴∠FCB＝∠FBC．
∴BF＝CF(等角对等边)．
【解题策略】本题解题时灵活运用了等腰三角形的性质和判定，也可以连辅助线AF，来证明BF＝CF，用这个方法证明要用到三角形全等，比较麻烦．
专题4等边三角形的性质和判定
【专题解读】等边三角形是一个很特殊的三角形，它的三边都相等，三个角都是60°，正是由于它的特殊性，因此在很多的几何证明题中都会用到．
例4如图12－116所示，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝4，若将△ADC沿直线AD折叠，则C点落在点E的位置上，求BE的长．
分析本题综合考查轴对称和等边三角形的判定和性质．
解：由折叠得∠ADE＝∠ADC＝60°，CD＝DE．
又∵BD＝DC，∴DE＝BD．
∵∠ADE＝∠ADC＝60°，
∴∠BDE＝180°－60°－60°＝60°．
∴△BDE为等边三角形．
∴BE＝BD＝BC＝2．
【解题策略】本题运用了“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定方法．
专题5含30°角的直角三角形的性质与等腰三角形的综合应用
【专题解读】直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，这条性质在实际生活中有着广泛的应用．由角的特殊性，揭示了直角三角形中直角边和斜边的关系．
例5如图12－117所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D．求证BE＝3AD．
分析本题综合考查等腰三角形的性质和判定，以及直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半的性质．
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角)．
又∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°．
∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°．
∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝120°－90°＝30°．∴∠B＝∠BAD．
∴BD＝AD(等角对等边)．
在Rt△ADC中，∵∠C＝30°，∴CD＝2AD．
∴BC＝BD＋CD＝AD＋2AD＝3AD．
二、规律方法专题
专题6正确作辅助线解决问题
【专题解读】本章涉及等腰三角形的性质、角平分线及线段的垂直平分线的性质，做题时可通过添加适当的辅助线由全等等知识获得结论．
例6如图12－118所示，∠B＝90°，AD＝AB＝BC，DE⊥AC．求证BF＝DC．
证明：连接AE．
∵ED⊥AC，∴∠ADE＝90°．
又∵∠B＝90°．
∴在Rt△ABE和Rt△ADE中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADE(HL)，∴BE＝ED．
∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠C．
又∵∠B＝90°，∴∠BAC＋∠C＝90°．
∴∠C＝45°．
∵∠EDC＝90°，∴∠C＝∠DEC＝45°．
∴DE＝DC，∴BE＝DC．
例7如图12－119所示，在△ABC中，AB＝AC，在AB上取一点E，在AC的延长线上取一点F，使BE＝CF，EF交BC于G．求证EG＝FG．
证明：过E作EM∥AC，交BC于点M，
则∠EMB＝∠ACB，∠MEG＝∠F．
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．
∴∠B＝∠EMB，∴EB＝EM．
又∵BE＝CF，∴EM＝FC．
在△MEG和△CFG中，
∴△MEG≌△CFG(AAS)．
∴EG＝FG．
三、思想方法专题
专题7分类讨论思想
【专题解读】本章涉及等腰三角形的边、角的计算，应通过题意探讨其可能存在的情况，运用相关知识一一讨论不难获得结论．
例8已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为13cm和15cm两部分，试求此等腰三角形的腰长和底边长．
分析这是一类常见的等腰三角形分类讨论的问题，解题时应注意到分为13cm和15cm两部分时的两种可能情形，进行分类讨论即可．
解：如图12－120所示，AB＝AC，D为AC的中点，
所以AD＝CD，
由题意知或
解得AB＝AC＝，BC＝或AB＝AC＝10，BC＝8．
即此等腰三角形的腰长与底边长分别为cm，cm或10cm，8cm．
规律方法本题的分类讨论既可以说是来源于不同的图形．也可以说是来源于题设中的“不明确”，解题过程应从题设中挖掘出类似的信息，以使解答完整．
专题8数形结合思想
【专题解读】数形结合思想是比较常用的数学思想，在解有关三角形的问题时显得尤为重要．
例9(开放题)如图12－121所示，△ABC中，已知AB＝AC，要使AD＝AE，需添加的条件是．
分析从确定△ADE是等腰三角形着眼，若∠ADE＝∠AED，可得AD＝AE，除此以外还可加∠ADB＝∠AEC或∠BAD＝∠CAE或BD＝CE．故填∠ADE＝∠AED或∠ADB=∠AEC或∠BAD＝∠CAE或BD＝CE(答案不唯一)．
例10(探究题)如图12－122所示，线段OP的一个端点O在直线a上，以OP为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画几个?
分析以OP为一边画等腰三角形，要考虑OP作腰和OP作底边两种情况．
解：(1)当OP作等腰三角形的腰时，分O作顶点和P作顶点两种情况．当O作顶点，OP作腰时，则以O为圆心，OP为半径画弧，与直线a交于M1，M2两点，则△OPM1和△OPM2都是等腰三角形；当P作顶点，PO作腰时，则以P为圆心，PO为半径画弧，交直线a于M3，则△POM3为等腰三角形．(2)当OP作等腰三角形的底边时，作OP的垂直平分线交直线a于M4，则△OPM4为等腰三角形．
所以这样的等腰三角形能画4个．如图12－123所示．
例11(动手操作题)如图12－124①所示，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，仿照图①请你再用两种不同的方法，将△ABC分割成3个三角形，使每个三角形都是等腰三角形(作图工具不限，不写作法和证明，但要标出所分得的每个等腰三角形的内角的度数)．
分析在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，所以∠B＝∠C＝72°．所以分割出的等腰三角形的底角或顶角为36°，72°，108°，18°，144°，以这些度数为基础设计分割方案，便可得出符合条件的图形．
解：如图12－124②③④⑤所示均符合要求．
2011中考真题精选
1.（2011江苏淮安，2，3分）下列交通标志是轴对称图形的是（）
A、B、C、D、
考点：轴对称图形。
分析：根据轴对称图形的概念求解，只要寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，既是轴对称图形．
解答：解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、是轴对称图形．
故选：D．
点评：此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.（2011南通）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A、B、
C、D、
考点：中心对称图形；轴对称图形。
分析：结合轴对称图形与中心对称图形的定义进行分析
解答：解：A项是中心对称图形，不是轴对称图形，故本项错误，B项为中心对称图形，不是轴对称图形，故本项错误，C项为中心对称图形，也是轴对称图形，故本项正确，
D项为轴对称图形，不是中心对称图形，故本项错误故答案选择C．
点评：本题主要考察轴对称图象的定义和中心对称图形的定义，解题的关键是找到图形是否符合轴对称图形和中心对称图形的定义
3.（2011江苏无锡，6，3分）一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是（）
A．B．C．D．
考点：轴对称图形。
专题：数形结合。
分析：轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．
解答：解：A、图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线都是其对称轴；故不符合题意；
B、图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线都是其对称轴；故不符合题意；
C、图象关于对角线所在的直线对称，有一条对称轴；故不符合题意；
D、图象关于对角线所在的直线不对称；故符合题意；
故选D．
点评：本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
4.（2011山西，6，2分）将一个矩形纸片依次按图（1）、图⑵的方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后头将图（4）的纸再展开铺平，所得到的图案是（）
考点：轴对称
专题：操作题图形变换
分析：由图案的对称性进行想象，或动手操作一下都可．
解答：A
点评：动手折一折，动脑想一想．不难得出答案．
5.（2011四川广安，5，3分）下列几何图形：①角②平行四边形③扇形④正方形，其中轴对称图形是（）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
考点：轴对称图形
专题：对称
分析：根据轴对称图形的概念及所给出的图形的特点可知①角，③扇形，④正方形是轴对称图形．而平行四边形是中心对称图形．
解答：C
点评：把一个图形沿着某一条直线对称，如果图形左右两边的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，解题时要注意记住初中阶段学过的哪些基本图形是轴对称图形．
6.（2011台湾4，4分）下列有一面国旗是轴对称图形，根据选项中的图形，判断此国旗为何（）
A、B、
C、D、
考点：轴对称图形。
专题：常规题型。
分析：根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．
解答：解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
点评：本题考查轴对称图形，注意掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
7.（2011台湾26，4分）如图1，将某四边形纸片ABCD的AB向BC方向折过去（其中AB＜BC），使得A点落在BC上，展开后出现折线BD，如图2．将B点折向D，使得B、D两点重迭，如图3，展开后出现折线CE，如图4．根据图4，判断下列关系何者正确？（）
A、AD∥BCB、AB∥CD
C、∠ADB=∠BDCD、∠ADB＞∠BDC
考点：翻折变换（折叠问题）。
专题：操作型。
分析：由A点落在BC上，折线为BD，根据折叠的性质得到∠ABD=∠CBD，又B点折向D，使得B、D两点重迭，折线为CE，再根据折叠的性质得到CD=CB，然后转化为角相等，这样就有∠ABD=∠CDB，根据平行线的判定定理即可得到B正确．
解答：解：∵A点落在BC上，折线为BD，
∴∠ABD=∠CBD，
又∵B点折向D，使得B、D两点重迭，折线为CE，
∴CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，即选项B正确．
故选B．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠后重叠的两部分图形全等．也考查了动手能力和空间想象能力．
8.（2011湖北荆州，2，3分）下列四个图案中，轴对称图形的个数是（）
A、1B、2C、3D、4考点：轴对称图形．
分析：根据轴对称图形的定义1得出，图形沿一条直线对着，分成的两部分完全重合及是轴对称图形，分别判断得出即可．
解答：解：根据图象，以及轴对称图形的定义可得，
第1，2，4个图形是轴对称图形，第3个是中心对称图形，
故选：C．
点评：此题主要考查了轴对称图形的定义，根据定义判断出图形形状是解决问题的关键．
9.（2011柳州）在三角形、四边形、五边形、和正六边形中，是轴对称图形的是（）
A、三角形B、四边形
C、五边形D、正六边形
考点：轴对称图形。
专题：几何图形问题。
分析：关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．
解答：解：只有正六边形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形．
故选D．
点评：本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．
10.（2011郴州）观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A、B、
C、D、
考点：中心对称图形；轴对称图形。
专题：几何图形问题。
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A、不是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查轴对称图形及中心对称图形的知识，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．
11.（2011山东青岛，4，3分）下列汽车标志中既是轴对称又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
考点：轴对称图形；中心对称图形。
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
D．是中心对称图形，也是轴对称图形．
故选D．
点评：此题将汽车标志与对称相结合，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
12.（2011泰安，19，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（）
A．B．C．D．6
考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理。
专题：探究型。
分析：先根据图形翻折变换的性质求出AC的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论．
解答：解：∵△CED是△CEB翻折而成，
∴BC＝CD，BE＝DE，
∵O是矩形ABCD的中心，
∴OE是AC的垂直平分线，AC＝2BC＝2×3＝6，
∴AE＝CE，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即62＝AB2＋32，解得AB＝3，
在Rt△AOE中，设OE＝x，则AE＝3－x，
AE2＝AO2＋OE2，即（3－x）2＝（3）2＋32，解得x＝，
∴AE＝EC＝3－＝2．
故选A．
点评：本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．
13.（2011山东省潍坊，4，3分）如图，阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑．得到新的图形(阴影部分)，其中不是轴对称图形的是()
【考点】轴对称图形．
【分析】本题需先根据轴对称图形的有关概念沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合对每一个图形进行分析即可得出正确答案．
【解答】解：A∵沿某直线折叠，分成的两部分能互相重合
∴它是轴对称图形
B、∵沿某直线折叠，分成的两部分能互相重合
∴它是轴对称图形
C、∵绕某一点旋转180°以后，能够与原图形重合
∴它是轴对称图形
D、根据轴对称定义
它不是轴对称图形
故选D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的有关概念，在解题时要注意轴对称图形的概念与实际相结合是本题的关键．
2011四川达州，2，3分）图中所示的几个图形是国际通用的交通标志．其中不是轴对称图形的是（）
A、B、
C、D、
考点：轴对称图形。
分析：根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
解答：解：A、B、D都是轴对称图形，而C不是轴对称图形．
故选C．
点评：本题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
14.（2011四川广安，5，3分）下列几何图形：①角②平行四边形③扇形④正方形，其中轴对称图形是（）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
考点：轴对称图形
专题：对称
分析：根据轴对称图形的概念及所给出的图形的特点可知①角，③扇形，④正方形是轴对称图形．而平行四边形是中心对称图形．
解答：C
点评：把一个图形沿着某一条直线对称，如果图形左右两边的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，解题时要注意记住初中阶段学过的哪些基本图形是轴对称图形．
15.2011四川泸州，11，2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将BC向BA方向翻折过去，使点C落在BA上的点C′，折痕为BE，则EC的长度是（）
A.B.－5C.10－D.5+
考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：作ED⊥BC于D，可得含30°的Rt△CED及含45°的直角三角形BED，设所求的EC为x，则CD=0.5x，BD=BE=x，根据BC=5列式求值即可．
解答：解：作ED⊥BC于D，设所求的EC为x，则CD=x，BD=BE=x，
∵∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，∴BC=AC×cosC=5，
∵CD+BD=5，∴CE=－5，故选B．
点评：考查翻折变换问题；构造出含30°及含45°的直角三角形是解决本题的突破点．
16.在下列几何图形中，一定是轴对称图形的有（）
A、1个B、2个C、3个D、4个
【答案】C
【考点】轴对称图形．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据轴对称图形的概念，分析各图形的特征求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．
【解答】解：扇形是轴对称图形，符合题意；等腰梯形是轴对称图形，符合题意；
菱形是轴对称图形，符合题意；直角三角形不一定是轴对称图形，故不符合题意．
共3个轴对称图形．故选C．
【点评】考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
17.12、如图．在直角坐标系中，矩形ABC0的边OA在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为（）
A、B、C、D、
【答案】A
【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．
【专题】计算题；综合题．
【分析】如图，过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．
【解答】解：如图，过D作DF⊥AF于F，
∵点B的坐标为（1，3），∴AO=1，AB=3，
根据折叠可知：CD=OA，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，
∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=1，
设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，
∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，
∴（3-x）2=x2+12，
∴x=，
又DF⊥AF，
∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，
而AD=AB=3，
∴AE=CE=3-，∴，即，
∴DF=，AF=，
∴OF=-1=，
∴D的坐标为（-，）．故选A．
【点评】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．
综合验收评估测试题
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图12－125所示的四个中文艺术字中，不是轴对称图形的是()
一日千里
ABCD
图12-125
2．如图12－126所示，把等腰直角三角形ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是()
A．AB＝BEB．AD＝DCC．AD＝CED．AD＝EC
3．如图12－127所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为()
A．6B．5C．4D．3
4．点P(3，－5)关于x轴对称的点的坐标为()
A．(－3，－5)B．(5，3)C．(－3，5)D．(3，5)
5．如图12－128所示，△ABC与△A′B′C′关于直线，对称，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B的度数为()
A．48°B．54°C．74°D．78°
6．如图12－129所示的是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在()
A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC的三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点
7．如图12－130所示的是把一张长方形的纸沿长边中点的连线对折两次后得到的图形，再沿虚线裁剪，外面部分展开后的图形是图12－131中的()
8．如图12－132所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是△ABC，△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有()
A．5个B．4个C．3个D．2个
9．如图12－133所示，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为()
A．2B．3C．4D．5
10．如图12－134所示，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于()
A．90°B．75°
C．70°D．60°
二、填空题(每小题3分，共30分)
11．等腰三角形ABC的两边长为2和5．则第三边长为．
12．如图12－135所示，镜子中的号码实际是．
13．如图12－136所示．△ABC中，DE垂直平分AC，交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝°．
14．从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于．
15．如图12－137所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为度．
16．若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为35°．则这个三角形的顶角为．
17．等边三角形是轴对称图形，它有条对称轴．
18．(1)若等腰三角形的一个内角等于130°，则其余两个角分别为．
(2)若等腰三角形的一个内角等于70°，则其余两个角分别为．
19．如图12－138所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝3，则点D到AB的距离为．
20．如图12－139所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BE⊥AC于E，延长BC到D，使CD＝CE，连接DE，若△ABC的周长是24，BE＝a，则△BDE的周长是．
三、解答题(每小题10分．共60分)
21．如图12－140所示，有分别过A，B两个加油站的公路l1，l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A，B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路l1，l2的距离也相等．请用尺规作图作出点P(不写作法，保留作图痕迹)．
22．如图12－141所示，∠BAC＝∠ABD．
(1)要使OC＝OD，可以添加的条件为或；(写出2个符合题意的条件即可)
(2)请选择(1)中你所添加的一个条件．证明OC＝OD．
23．如图12－142所示，△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，AE＝AF，AD是BC边上的高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由．
24．如图12－143所示，△ABC中，点E在AC上，点N在BC上，在AB上找一点F，使△ENF的周长最小，并说明理由．
25．如图12－144所示，某船上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东60°方向，该船以每小时10海里的速度向正东方向航行，航行到C处时，再观测海岛B在北偏东30°方向，又以同样的速度继续航行到D处，再观测海岛B在北偏西30°方向，当轮船到达C处时恰好与海岛B相距20海里，请你确定轮船到达C处和D处的时间．
26．如图12－145所示，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD为BC边上的高，延长AB到E点，使BE＝BD，过点D，E引直线交AC于点F，则有AF＝FC．为什么?
参考答案
1．C
2．B[提示：由折叠知∠BED＝∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，所以AD＝DE．]
3．B[提示：由CD是AB的垂直平分线可知PB＝PA＝5．]
4．D[提示：两点关于x轴对称，则两点坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标相反．]
5．B[提示：由△ABC和△A′B′C′关于l对称，可知∠C＝∠C′＝48°，所以∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－78°－48°＝54°．]
6．C[提示：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．]
7．D[提示：按要求动手操作即可．]
8．A[提示：有△BCE，△DEC，△ABD，△BCD和△ABC．]
9．C[提示：以O为圆心，OA为半径画圆与x轴有两个交点，以A为圆心，OA为半径画圆与x轴又交于一个与O不重合的一个点，作线段OA的垂直平分线与x轴交于一点，这四点都能使△POA为等腰三角形．]
10．D[提示：∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠A＝15°，∴∠CBD＝30°．∵BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD＝30°，∴∠ECD＝45°．∵DC＝DE，∴∠CED＝∠ECD＝45°，∴∠EDF＝∠A＋∠AED＝15°＋45°＝60°．∵DE＝EF，∴∠DEF＝60°．]
11．5[提示：由于2＋2＜5，所以2只能作底边长，5作腰长．]
12．3265
13．50[提示：由DE是AC的垂直平分线，可知EA＝EC，所以∠ECA＝∠A＝∠30°，又因为∠ACB＝80°，所以∠BCE＝∠ACB－∠ECA＝80°－30°＝50°．]
14．72°或
15．125[提示：由折叠可知∠BEF＝∠DEF，BE∥C′F，由∠BAD＝90°，∠ABE＝20°，可得∠AEB＝70°，所以∠BEF＝∠DEF＝(180°－∠AEB)×＝(180°－70°)×＝55°．由BE∥C′F得∠FEB＋∠EFC′＝180°，所以∠EFC′＝180°－∠BEF＝180°－55°＝125°．]
16．70°[提示：底角＝90°－35°＝55°，∴顶角为180°－55°×2＝70°．]
17．3
18．(1)25°，25°(2)55°，55°或70°，40°[提示：(1)130°为顶角，底角为＝25°．(2)①若70°为顶角，则其余两角为55°，55°；②若70°为底角，则其余两角为40°，70°．]
19．3[提示：过D作DE⊥AB于E，∵AD为∠CAB的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝3．]
20．12＋2a[提示：△BED为等腰三角形，BE＋ED＝2a，△ABC的边长为＝8，△ECD为等腰三角形，CD＝EC＝4．∴△BDE的周长为4＋8＋2a＝12＋2a．]
21．解：点P是∠AOB的平分线和线段AB的垂直平分线的交点(如图12－146所示)．
22．(1)提示：答案不唯一．如∠C＝∠D或∠ABC＝∠BAD或∠OAD＝∠OBC或AC＝BD都可以．(2)提示：答案不唯一，以AC＝BD为例．证明如下：∵∠BAC＝∠ABD，∴OA＝OB．又∵AC＝BD，∴AC－OA＝BD－OB，∴OC＝OD．
23．解：EF与BC的位置关系是：EF⊥BC．理由如下：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠BAC．又∵AE＝AF，∴∠E＝∠AFE．又∵∠BAC＝∠E＋∠AFE，∴∠AFE＝∠BAC．∴∠BAD＝∠AFE．∴EF∥AD．又∵AD⊥BC，∴EF⊥BC．
24．提示：图略．欲使△ENF的周长最小，即EN＋NF＋EF最小，而EN为定长，则必有NF＋EF最小，又点F在AB上，且E，N在AB的同侧．由轴对称的性质，可作点E关于直线AB的对称点E′，连接E′N，与AB的交点即为点F，此时，FE＋FN最小，即△EFN的周长最小．
25．解：∵∠BCD＝60°，∠BAC＝30°，∠BCD＝∠BAC＋∠CBA，∴60°＝30°＋∠CBA，∴∠CBA＝30°．∴∠BAC＝∠CBA．∴CA＝CB．又∵∠BCD＝∠BDC＝60°，∴△BCD是等边三角形．∴CD＝BC．∴AC＝CD＝BC．又∵BC＝20海里，∴AC＝CD＝20海里．∴20÷10＝2(时)，40÷10＝4(时)．∴轮船到达C处的时间是13：30，即下午1时30分．轮船到达D处的时间是15：30，即下午3时30分．
26．解：如图12－147所示．∵BD＝BE，∴∠E＝∠1．又∵∠ABC＝∠E＋∠1＝2∠1，且∠ABC＝2∠C，∴2∠1＝2∠C，∴∠1＝∠C．又∵∠1＝∠2，∴∠C＝∠2．∴FD＝FC．又∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．
∴∠3＝90°－∠2，∠4＝90°－∠C．
∴∠3＝∠4．∴AF＝FD．∴AF＝FC．
《第十二章轴对称》复习案
《第十二章轴对称》复习案
使用说明：先回顾本章知识结构，并独立完成课前导学部分，然后小组讨论交流
●课前导学
（一）认清目标，明确要求
本章的课程学习目标是：
1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。
2.探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形，认识和欣赏轴对称在现实生活中的应用，能应用轴对称进行简单的图案设计。
3.了解线段的垂直平分线的概念，探索并掌握其性质；了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，探索并掌握它们的性质以及判定方法。
4.能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习兴趣。
（二）自主复习，盘点知识
一、基本概念
1.轴对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
2.线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线
3.等腰三角形
有两条边相等的三角形，叫叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
4.等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
二、主要性质
1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
2.线段垂直平分钱的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
3.通过画出坐标系上的两点观察得出：
（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）.
（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）.
4.等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称.
（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.
（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。
（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.
5.等边三角形的性质
（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.
（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.
三、有关判定
1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
3.三个角都相等的三角形是等边三角形.
4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
四、误区警示
1．注意分类讨论思想，如等腰三角形的周长为20，有一边为8，这时就必须讨论所给的这条边是腰还是底。再比如涉及三角形的高时，通常需要考虑高在三角形的外部还是内部。
2．应用“三线合一”性质作辅助线时，所作的辅助线不能同时满足两线的性质（如过点A作EF⊥BC,并使EF平分BC）。
3．不要认为：有一个角等于300，那么它所对的边就一定等于另一条边的一半，前提条件是在直角三角形中。
●课堂探究
（一）.专题训练
专题一：根据轴对称及线段垂直平分线性质的作图题
1．如图所示，EFGH是一矩形的弹子球台面，有黑、白两球分别位于A、B两点的位置上，试问：怎样撞击白球，使白球先撞击边EF反弹后再击中黑球？
2.如图所示，一牧人带马群从A点出发，先到草地边缘MN放牧，再带马群到河边缘PQ去给马饮水，试问：牧人应走哪条路线才能使总路程最短？
专题二：线段垂直平分线性质的运用
1.如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N，求证：CM=2BM．
2．如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连结AF．
求证：∠BAF=∠ACF．
专题三：等腰三角形边与角计算中的分类讨论思想与方程思想
1．已知等腰三角形的一个内角是800，则它的另外两个内角是
2．已知等腰三角形的一个内角是1000，则它的另外两个内角是
3．已知等腰三角形有两边的长分别为6，3，则这个等腰三角形的周长是
4．已知等腰三角形的周长为24，一边长为6，则另外两边的长是
5．已知等腰三角形的周长为24，一边长为10，则另外两边的长是
6．等腰三角形的周长是16，其中两边之差为2，则它的三边的长分别为
7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角度数为
8．一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，则这个等腰三角形的底边长是
9．如图，∠DEF=36°，AB=BC=CD=DE=EF，求∠A
专题四.关于等腰三角形证明题
1．如图所示，F、C是线段BE上的两点，A、D分别在线段QC、RF上，AB=DE，BF=CE，∠B=∠E，
QR∥BE．求证：△PQR是等腰三角形．
2.（参考题）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点.
（1）写出点D到ΔABC三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）
（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请判断△DMN的形状，并证明你的结论
七年级数学下册第十二章证明教学案（苏科版）
一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，大家静下心来写教案课件了。只有规划好教案课件计划，才能更好地安排接下来的工作！哪些范文是适合教案课件？下面是小编帮大家编辑的《七年级数学下册第十二章证明教学案（苏科版）》，欢迎您参考，希望对您有所助益！
第一课时定义与命题（一）
学习目标：
1、了解定义，命题的内涵，会区分一个句子是否是命题。
2、会判断命题的真假性。
3、激情投入，体验学习的成功与快乐。
重点：了解定义，命题的含义，判断一个句子是否是命题。
难点：真假命题的推理论证。
导学过程：
一、自主学习
1、写出一个你所熟悉的定义：
2、做命题。
3、写出一个你所熟悉的命题：
4、命题有命题和命题。
二、合作探究
1、判断下列句子是不是命题
（1）熊猫没有翅膀。
（2）任何一个三角形一定有直角。
（3）两点确定一条直线。
（4）作线段AB=CD。
（5）无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数。
（6）平行用符号“∥”表示。
2、下列命题中哪些是假命题，为什么？
（1）绝对值相等的两个数一定相等。
（2）如果a=b，那么a=b。
（3）末位数字为0的数必能被5整除。
（4）两个锐角之和为钝角。
（5）如果a=b，那么a=b。
（6）三角形的三条中线交于一点。
三、巩固练习
1.下列语句中，可称为定义的是（）
A.如果∣a∣=∣b∣，那么a=b
B.十五的月亮是圆的。
C.点到直线的垂直线段的长度称为点到直线的距离。
2.下列命题，其中正确命题的序号有
①对顶角未必相等。
②在同一平面内，如果a∥b，b∥c，那么a∥c
③若a⊥b，b⊥c，那么a⊥c
④如果ac=bc，那么a=b
⑤互补的两个角相等
⑥钝角的补角是锐角
⑦在相同高度，重的物体比轻的物体下落的速度快。
举出一些不是命题的语句：
四、当堂检测
（一）、证明下列命题是假命题
1、大于90度的角是钝角。
2、负数与正数的和是正数。
3、如果a+b是奇数，那么a，b都是奇数。
（二）综合提升
有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中一个箱子内，并且
红箱子上写着：“苹果在这个箱子里。”黄箱子上写着：“苹果不在这个箱子里。”蓝箱子上写着：“苹果不在红箱子里。”已知上面三句话中，只有一句是真的，你知道苹果在哪个箱子里？
第二课时定义与命题（二）
学习目标：
1.了解命题的构成，能区分命题中的条件和结论。
2.了解本教材所采用的公理。
重点：找出命题的条件和结论
难点：用“如果……那么……”表示命题
导学过程：
一、自主学习
1、下列哪些是命题：
（1）三角形内角和等于1800.
（2）对顶角相等。
（3）今天天气好吗
（4）连接A，B两点
（5）正数大于负数
（6）作线段AB∥CD
2、每个命题都由和两部分组成。是已知事项，是由已知事项推断出的事项。
3、一般地命题可以写成的形式，其中引出的部分是条件，引出的部分是结论。
4、称为公理。称为证明。
5、写出已学过的公理：
二、合作探究
1、将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并写出命题的条件和结论。
（1）同位角相等，两直线平行。
（2）对顶角相等
（3）同角或等角的余角相等
（4）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
2、指出下列命题的条件和结论，并画出对应图形。
（1）两条直线相交，只有一个交点。
（2）同旁内角互补，两直线平行。
三、巩固练习
1、在四边形ABCD中，给出下列论断①AB∥CD,②AD=BC,③∠A=∠C,以其中两个为条件，另外一个作为结论，用“如果……那么……”的形式，写出一个你认为正确的命题。
2、把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出条件和结论。
（1）平行于同一直线的两条直线平行
（2）绝对值相等的两个数一定相等
四、当堂检测
1、指出命题的条件和结论：同旁内角互补，两直线平行。
2、问题解决
（1）A、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ五名学生猜测自己的数学成绩：
Ａ说：“如果我得优，那么Ｂ也得优。”；
Ｂ说：“如果我得优，那么Ｃ也得优。”；
Ｃ说：“如果我得优，那么Ｄ也得优。”；
Ｄ说：“如果我得优，那么Ｅ也得优。”；
大家都没有说错，但只有三个人得优，请问：得优的是哪三个人？
第三课时12.2证明（1）
学习目标：
1、了解证明的含义，体验、理解证明的必要性和推理过程中要步步有据。
2.了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题。
学习重点：证明的含义和表述格式。
学习难点：按规定格式表述证明的过程。
学习内容：
一、自主探究
通过观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段。通过观察、操作、实验，常常可以探索发现一些结论，但是得出的结论不一定正确，数学中，探索发现的结论需要加以证明。
1.课本147页/试一试
2.课本147页/议一议
二、自主合作
1.课本148页/做一做
(1)当x=-5、-1/2、0、2、3时，分别计算代数式x2-2x+2的值，并与同学交流。
(2)换几个数字试试，你发现了什么？
2.课本148页/数学实验室1题数学实验室2题
三、自主展示
1.课本149页/练一练
2.如图，BC⊥AC于点C，CD⊥AB于点D，∠EBC=∠A，
求证：BE∥CD
证明：∵BC⊥AC()
∴(垂直的定义)
∵(已知)
∴∠A+∠ACD=90°（）
∴（同角的余角相等）
又∵∠EBC=∠A（）
∴∠EBC=∠BCD，
∴BE∥CD（）
四、自主拓展
1．证明命题“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，那么这两个角相等”是真命题。
分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件、以及要证明的结论（求证）。证明过程的具体表述（略）
注意：证明过程中的每一步推理都要有依据，依据作为推理的理由，可以写在每一步后的括号内.
2.证明命题的步骤：
（1）画出命题的图形。先根据命题的题设即已知条件，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出。还要根据证明的需要，在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达。
（2）结合图形写出已知、求证。把命题的题设化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中。
（3）经过分析，找出由已知推得求证的途径，写出推理的过程。
在以上第二个
五、自主评价
第四课时12.2证明（2）
学习目标：1.理解并掌握证明、定理的定义；证明的过程包括几个推理，每个推理应包括因、果
2.通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力。
学习重点：证明的含义和表述格式。
学习难点：按规定格式表述证明的过程。
学习内容：
一、自主探究
1.证明命题的步骤：
（1）画出命题的图形。先根据命题的题设即已知条件，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出。还要根据证明的需要，在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达。
（2）结合图形写出已知、求证。把命题的题设化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中。
（3）经过分析，找出由已知推得求证的途径，写出推理的过程。
2.课本150页
已知：如图，在直线a、b、c中，求证：a⊥c，b⊥c
证明：
二、自主合作
1.课本151页/例1
已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB//CD、MG平分∠EMB，NH平分∠END
求证：MG//NH
证明：
2.课本151页/练一练
三、自主展示
1.一般的，判断一件事情的句子叫做命题，命题分为真命题与假命题。
2．说明一个命题是假命题，通常只用找出一个反例，但要说明一个命题是真命题，就必须用推理的方法，而不能光凭一个例子。
3．判断下列命题的真假
（1）有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。真命题
（2）素数不可能是偶数。假命题
（3）黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人。假命题
（4）有两个外角(不同顶点)是钝角的三角形是锐角三角形。假命题
（5）若y(1-y)=0，则y=0。假命题
(6)若2x+y=0，则x=y=0；
（7）若∠1与∠2是同位角，∠2与∠3也是同位角，那么∠1与∠3是同位角.
（8）任何偶数都是4的倍数。
四、自主拓展
1．对于命题“三线两两相交，必有三个交点”你认为是假命题还是真命题？可以采用什么方法加以证明？
如:。
2．请用反例证明命题“相等的角是对顶角”是假命题。
如：或或等。
3.请判断以下命题的真假：
①若ab＜0，则a＞0，b＜0。②两条直线相交，只有一个交点。
③如果n是整数，那么2n是偶数。④若两个角不是对顶角，则它们不相等。
⑤直角是平角的一半。
五、自主评价
作业布置：P154/1、2.
第五课时12.2证明（3）
学习目标：1.掌握三角形定理、及它的推论的证明
学习重点：三角形定理、及它的推论的证明
学习难点：按规定格式表述证明三角形定理、及它的推论。
学习内容：
一、自主探究
1.复习回顾：
真命题证明的步骤和格式：
证明命题的一般步骤：
(1)理解题意：分清命题的条件(已知)，结论(求证)；
(2)根据题意，画出图形；
(3)结合图形，用符号语言写出“已知”和“求证”；
(4)分析题意，探索证明思路(由“因”导“果”，执“果”索“因”.)；
(5)依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；
(6)检查表达过程是否正确，完善.
二、自主合作
1.三角形内角和定理：“三角形三个内角的和为1800”
三、自主展示
1.三角形内角和定理的推论：“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”
已知：
求证：
证明：
3.课本154页/例2
已知：如图，AC、BD相较于点O
求证：∠A+∠B=∠C+∠D
证明：
四、自主拓展
1.要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具备命题的结论，这种例子称为反例(counterexample)。
2．判断命题“若x+y=0，则x=1，y=-1”的真假，并给以证明。
3.举反例说明命题“一个角的余角不小于这个角的补角”是假命题。
4.已知如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的角平分线，BH是∠ABC的平分线,∠A=580
（1）求∠H的度数.
（2）若∠A=n0，求∠H的度数.
五、自主评价
1、归纳出本节课的知识结构：
2、证明的含义
作业布置：P154/1、2.
第六课时12.3互逆命题（1）
学习目标
1．了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。
2．通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是假命题。
学习难点
重点：能熟练说出一个命题的逆命题。难点：举反例说明一个命题是假命题。
学习过程
（一）情境创设：
写出下列命题的条件结论:
1．两直线平行，同位角相等.条件是___________________：结论是：___________________；
同位角相等，两直线平行.条件是___________________：结论是：___________________；
2．对顶角相等.条件是___________________：结论是：___________________；
相等的角是对顶角.条件是___________________：结论是：___________________；
通过观察，你发现了什么？
（二）探索活动：
活动一：关于逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的_______，而第一个命题的结论又是第二个命题的_____，那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫做另一个命题的__________.
问题：每一个命题都有逆命题吗？为什么？
活动二：说出下列命题的逆命题，并与同学交流。
（1）两直线平行，内错角相等；
逆命题是：______________________________________________.
（2）如果a2=b2，那么a=b；
逆命题是：______________________________________________.
（3）直角三角形的两个锐角互余；
逆命题是：______________________________________________.
（4）正方形的4个角都是直角。
逆命题是：______________________________________________.
活动三：举出两组互逆命题
1．原命题：________________________________________________；
逆命题：________________________________________________。
2．原命题：________________________________________________；
逆命题：________________________________________________。
（三）例题分析：
例举反例说明下列命题是假命题。如果a2=b2，那么a=b。
（四）练习：写出下列命题的逆命题，并指出其真假
1..若ab=0,则a=0
2.角平分线上的点到这个角的两边相等
3..等腰三角形两底角相等
4.四边相等的四边形是菱形
（五）课堂小结：
1．原命题是真命题，逆命题也一定是真命题吗？举例说明。
2．原命题是假命题，逆命题也一定是假命题吗？举例说明。
3．如何说明一个命题是真命题？如何说明一个命题是假命题？
4．举反例时需要注意什么？
（六）达标检测
1.两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的____________，而第一个命题的结论又是第二个命题的______________，那么这两个命题叫做_____________________。
2.每个命题都有逆命题吗？_____________.
3.判断一个命题是假命题，只需_______________________________________。
4.原命题成立，它的逆命题一定成立吗？________________。
请举一例：________________________________________________________________________。
5.给出下列命题：
（1）直角都相等（2）同位角相等，两直线平行
（3）如果a+b0,那么a0,b0（4）两直线平行，同位角相等
（5）相等的角都是直角（6）如果a0,b0,那么ab0
其中，互为逆命题的是：___________________________________________________.
6.下列命题:①同旁内角互补，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相等；
④等边对等角。它们的逆命题是真命题的个数是().
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.下列命题：①直角都相等；②若ab0且a+b0，则a0且b0；
③一个角的补角大于这个角；④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
其中原命题和逆命题都为真命题的有。
8.判断
(1)每一个命题都有逆命题.（)
(2)如果原命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题.（)
(3)原命题是假命题，但它的逆命题可能是真命题.（)
9.先写出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假；
（1）如果ab=0，那么a=0；（）
逆命题：________________________________________（）
（2）不是对顶角的两个角不相等；（）
逆命题：_________________________________（）
（3）内错角相等；（）
逆命题：____________________________（）
（4）如果两个数的差是正数，那么这两个数都是正数；（）
逆命题：________________（）
10.举反例说明下列命题是假命题：
（1）如果|a|=|b|，那么a=b;
（2）任何数的平方大于0；
（3）两个锐角的和是钝角；
（4）一个角的补角一定大于这个角；
（5）如果一点到线段两端的距离相等，那么这点是这条线段的中点。
第七课时12.3互逆命题（2）
学习目标：
1.探索关于图形的“位置关系”和“数量关系”的互逆命题
2.知道可以用不同的方式与方法证明同一个命题，能用合情推理和演绎推理证明一个命题；
学习难点：
经历“探索--发现—猜想—证明”的数学活动过程，发展合乎逻辑的思考和有条理的表达能力.
教学过程：
一．情境创设：
如图1,AB∥CD，AB与DE相交于点G，∠B=∠D.
二．探索活动：
问题1：你由这些条件得到什么结论？如何证明这些结论？
说明:充分发挥学生的主动性,去探索问题的结论.
在下列括号内填写推理的依据.
因为AB∥CD(已知)
所以∠EGA=∠D()
又因为∠B=∠D(已知)
所以∠EGA=∠B()
所以DE∥BF()
问题2：还有不同的方法可以证明DE∥BF吗？
问题3：在图(1)中，如果DE∥BF，∠B=∠D，那么你得到什么结论？证明你的结论.
问题4：在图(1)中，如果AB∥CD，DE∥BF，那么你得到什么结论？证明你的结论.
三．例题教学：
例1证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
已知：如图a∥b，a∥c。求证：b∥c
证明：作直线a、b、c的截线d
因为a∥b(已知)所以∠2=∠1()
因为a∥ac(已知)所以∠3=∠1()
所以∠2=∠3(等量代换)所以b∥c()
四.拓展练习
证明：等角的余角相等
五、达标检测
如图1，AB∥CD，
（1）∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？用两种方法证明你的结论.
（2）如果将P点向右移，(如图2)AB∥CD，此时∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？并证明你的结论.
（2）如果将P点移到图3和图4的位置，此时∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？并证明你的结论.
