七年级数学下册第十二章证明教学案（苏科版）。

一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，大家静下心来写教案课件了。只有规划好教案课件计划，才能更好地安排接下来的工作！哪些范文是适合教案课件？下面是小编帮大家编辑的《七年级数学下册第十二章证明教学案（苏科版）》，欢迎您参考，希望对您有所助益！

第一课时定义与命题（一）
学习目标：
1、了解定义，命题的内涵，会区分一个句子是否是命题。
2、会判断命题的真假性。
3、激情投入，体验学习的成功与快乐。
重点：了解定义，命题的含义，判断一个句子是否是命题。
难点：真假命题的推理论证。
导学过程：
一、自主学习
1、写出一个你所熟悉的定义：
2、做命题。
3、写出一个你所熟悉的命题：
4、命题有命题和命题。
二、合作探究
1、判断下列句子是不是命题
（1）熊猫没有翅膀。
（2）任何一个三角形一定有直角。
（3）两点确定一条直线。
（4）作线段AB=CD。
（5）无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数。
（6）平行用符号“∥”表示。
2、下列命题中哪些是假命题，为什么？
（1）绝对值相等的两个数一定相等。

（2）如果a=b，那么a=b。

（3）末位数字为0的数必能被5整除。

（4）两个锐角之和为钝角。

（5）如果a=b，那么a=b。

（6）三角形的三条中线交于一点。

三、巩固练习
1.下列语句中，可称为定义的是（）
A.如果∣a∣=∣b∣，那么a=b
B.十五的月亮是圆的。
C.点到直线的垂直线段的长度称为点到直线的距离。
2.下列命题，其中正确命题的序号有
①对顶角未必相等。
②在同一平面内，如果a∥b，b∥c，那么a∥c
③若a⊥b，b⊥c，那么a⊥c
④如果ac=bc，那么a=b
⑤互补的两个角相等
⑥钝角的补角是锐角
⑦在相同高度，重的物体比轻的物体下落的速度快。
举出一些不是命题的语句：

四、当堂检测
（一）、证明下列命题是假命题
1、大于90度的角是钝角。

2、负数与正数的和是正数。

3、如果a+b是奇数，那么a，b都是奇数。

（二）综合提升
有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中一个箱子内，并且
红箱子上写着：“苹果在这个箱子里。”黄箱子上写着：“苹果不在这个箱子里。”蓝箱子上写着：“苹果不在红箱子里。”已知上面三句话中，只有一句是真的，你知道苹果在哪个箱子里？

第二课时定义与命题（二）
学习目标：
1.了解命题的构成，能区分命题中的条件和结论。
2.了解本教材所采用的公理。
重点：找出命题的条件和结论
难点：用“如果……那么……”表示命题
导学过程：
一、自主学习
1、下列哪些是命题：
（1）三角形内角和等于1800.
（2）对顶角相等。
（3）今天天气好吗
（4）连接A，B两点
（5）正数大于负数
（6）作线段AB∥CD
2、每个命题都由和两部分组成。是已知事项，是由已知事项推断出的事项。
3、一般地命题可以写成的形式，其中引出的部分是条件，引出的部分是结论。
4、称为公理。称为证明。
5、写出已学过的公理：

二、合作探究
1、将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并写出命题的条件和结论。
（1）同位角相等，两直线平行。

（2）对顶角相等

（3）同角或等角的余角相等

（4）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
2、指出下列命题的条件和结论，并画出对应图形。
（1）两条直线相交，只有一个交点。
（2）同旁内角互补，两直线平行。

三、巩固练习
1、在四边形ABCD中，给出下列论断①AB∥CD,②AD=BC,③∠A=∠C,以其中两个为条件，另外一个作为结论，用“如果……那么……”的形式，写出一个你认为正确的命题。

2、把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出条件和结论。
（1）平行于同一直线的两条直线平行
（2）绝对值相等的两个数一定相等

四、当堂检测
1、指出命题的条件和结论：同旁内角互补，两直线平行。

2、问题解决
（1）A、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ五名学生猜测自己的数学成绩：
Ａ说：“如果我得优，那么Ｂ也得优。”；
Ｂ说：“如果我得优，那么Ｃ也得优。”；
Ｃ说：“如果我得优，那么Ｄ也得优。”；
Ｄ说：“如果我得优，那么Ｅ也得优。”；
大家都没有说错，但只有三个人得优，请问：得优的是哪三个人？

第三课时12.2证明（1）
学习目标：
1、了解证明的含义，体验、理解证明的必要性和推理过程中要步步有据。
2.了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题。
学习重点：证明的含义和表述格式。
学习难点：按规定格式表述证明的过程。
学习内容：
一、自主探究
通过观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段。通过观察、操作、实验，常常可以探索发现一些结论，但是得出的结论不一定正确，数学中，探索发现的结论需要加以证明。
1.课本147页/试一试
2.课本147页/议一议
二、自主合作
1.课本148页/做一做
(1)当x=-5、-1/2、0、2、3时，分别计算代数式x2-2x+2的值，并与同学交流。
(2)换几个数字试试，你发现了什么？
2.课本148页/数学实验室1题数学实验室2题
三、自主展示
1.课本149页/练一练
2.如图，BC⊥AC于点C，CD⊥AB于点D，∠EBC=∠A，
求证：BE∥CD
证明：∵BC⊥AC()
∴(垂直的定义)
∵(已知)
∴∠A+∠ACD=90°（）
∴（同角的余角相等）
又∵∠EBC=∠A（）
∴∠EBC=∠BCD，
∴BE∥CD（）
四、自主拓展
1．证明命题“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，那么这两个角相等”是真命题。
分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件、以及要证明的结论（求证）。证明过程的具体表述（略）
注意：证明过程中的每一步推理都要有依据，依据作为推理的理由，可以写在每一步后的括号内.
2.证明命题的步骤：
（1）画出命题的图形。先根据命题的题设即已知条件，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出。还要根据证明的需要，在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达。
（2）结合图形写出已知、求证。把命题的题设化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中。
（3）经过分析，找出由已知推得求证的途径，写出推理的过程。
在以上第二个
五、自主评价

第四课时12.2证明（2）
学习目标：1.理解并掌握证明、定理的定义；证明的过程包括几个推理，每个推理应包括因、果
2.通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力。
学习重点：证明的含义和表述格式。
学习难点：按规定格式表述证明的过程。
学习内容：
一、自主探究
1.证明命题的步骤：
（1）画出命题的图形。先根据命题的题设即已知条件，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出。还要根据证明的需要，在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达。
（2）结合图形写出已知、求证。把命题的题设化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中。
（3）经过分析，找出由已知推得求证的途径，写出推理的过程。

2.课本150页
已知：如图，在直线a、b、c中，求证：a⊥c，b⊥c
证明：
二、自主合作
1.课本151页/例1
已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB//CD、MG平分∠EMB，NH平分∠END
求证：MG//NH
证明：

2.课本151页/练一练
三、自主展示
1.一般的，判断一件事情的句子叫做命题，命题分为真命题与假命题。
2．说明一个命题是假命题，通常只用找出一个反例，但要说明一个命题是真命题，就必须用推理的方法，而不能光凭一个例子。

3．判断下列命题的真假
（1）有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。真命题
（2）素数不可能是偶数。假命题
（3）黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人。假命题
（4）有两个外角(不同顶点)是钝角的三角形是锐角三角形。假命题
（5）若y(1-y)=0，则y=0。假命题
(6)若2x+y=0，则x=y=0；
（7）若∠1与∠2是同位角，∠2与∠3也是同位角，那么∠1与∠3是同位角.
（8）任何偶数都是4的倍数。

四、自主拓展
1．对于命题“三线两两相交，必有三个交点”你认为是假命题还是真命题？可以采用什么方法加以证明？
如:。
2．请用反例证明命题“相等的角是对顶角”是假命题。
如：或或等。

3.请判断以下命题的真假：
①若ab＜0，则a＞0，b＜0。②两条直线相交，只有一个交点。
③如果n是整数，那么2n是偶数。④若两个角不是对顶角，则它们不相等。
⑤直角是平角的一半。

五、自主评价

作业布置：P154/1、2.

第五课时12.2证明（3）
学习目标：1.掌握三角形定理、及它的推论的证明
学习重点：三角形定理、及它的推论的证明
学习难点：按规定格式表述证明三角形定理、及它的推论。
学习内容：
一、自主探究
1.复习回顾：
真命题证明的步骤和格式：
证明命题的一般步骤：
(1)理解题意：分清命题的条件(已知)，结论(求证)；
(2)根据题意，画出图形；
(3)结合图形，用符号语言写出“已知”和“求证”；
(4)分析题意，探索证明思路(由“因”导“果”，执“果”索“因”.)；
(5)依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；
(6)检查表达过程是否正确，完善.
二、自主合作
1.三角形内角和定理：“三角形三个内角的和为1800”

三、自主展示
1.三角形内角和定理的推论：“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”
已知：

求证：
证明：

3.课本154页/例2
已知：如图，AC、BD相较于点O
求证：∠A+∠B=∠C+∠D
证明：

四、自主拓展
1.要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具备命题的结论，这种例子称为反例(counterexample)。
2．判断命题“若x+y=0，则x=1，y=-1”的真假，并给以证明。
3.举反例说明命题“一个角的余角不小于这个角的补角”是假命题。
4.已知如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的角平分线，BH是∠ABC的平分线,∠A=580
（1）求∠H的度数.
（2）若∠A=n0，求∠H的度数.

五、自主评价
1、归纳出本节课的知识结构：
2、证明的含义
作业布置：P154/1、2.

第六课时12.3互逆命题（1）
学习目标
1．了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。
2．通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是假命题。
学习难点
重点：能熟练说出一个命题的逆命题。难点：举反例说明一个命题是假命题。
学习过程
（一）情境创设：
写出下列命题的条件结论:
1．两直线平行，同位角相等.条件是___________________：结论是：___________________；
同位角相等，两直线平行.条件是___________________：结论是：___________________；
2．对顶角相等.条件是___________________：结论是：___________________；
相等的角是对顶角.条件是___________________：结论是：___________________；
通过观察，你发现了什么？
（二）探索活动：
活动一：关于逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的_______，而第一个命题的结论又是第二个命题的_____，那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫做另一个命题的__________.
问题：每一个命题都有逆命题吗？为什么？
活动二：说出下列命题的逆命题，并与同学交流。
（1）两直线平行，内错角相等；
逆命题是：______________________________________________.
（2）如果a2=b2，那么a=b；
逆命题是：______________________________________________.
（3）直角三角形的两个锐角互余；
逆命题是：______________________________________________.
（4）正方形的4个角都是直角。
逆命题是：______________________________________________.
活动三：举出两组互逆命题
1．原命题：________________________________________________；
逆命题：________________________________________________。
2．原命题：________________________________________________；
逆命题：________________________________________________。
（三）例题分析：
例举反例说明下列命题是假命题。如果a2=b2，那么a=b。
（四）练习：写出下列命题的逆命题，并指出其真假
1..若ab=0,则a=0
2.角平分线上的点到这个角的两边相等
3..等腰三角形两底角相等
4.四边相等的四边形是菱形
（五）课堂小结：
1．原命题是真命题，逆命题也一定是真命题吗？举例说明。
2．原命题是假命题，逆命题也一定是假命题吗？举例说明。
3．如何说明一个命题是真命题？如何说明一个命题是假命题？
4．举反例时需要注意什么？
（六）达标检测
1.两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的____________，而第一个命题的结论又是第二个命题的______________，那么这两个命题叫做_____________________。
2.每个命题都有逆命题吗？_____________.
3.判断一个命题是假命题，只需_______________________________________。
4.原命题成立，它的逆命题一定成立吗？________________。
请举一例：________________________________________________________________________。
5.给出下列命题：
（1）直角都相等（2）同位角相等，两直线平行
（3）如果a+b0,那么a0,b0（4）两直线平行，同位角相等
（5）相等的角都是直角（6）如果a0,b0,那么ab0
其中，互为逆命题的是：___________________________________________________.
6.下列命题:①同旁内角互补，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相等；
④等边对等角。它们的逆命题是真命题的个数是().
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.下列命题：①直角都相等；②若ab0且a+b0，则a0且b0；
③一个角的补角大于这个角；④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
其中原命题和逆命题都为真命题的有。
8.判断
(1)每一个命题都有逆命题.（)
(2)如果原命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题.（)
(3)原命题是假命题，但它的逆命题可能是真命题.（)
9.先写出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假；
（1）如果ab=0，那么a=0；（）
逆命题：________________________________________（）
（2）不是对顶角的两个角不相等；（）
逆命题：_________________________________（）
（3）内错角相等；（）
逆命题：____________________________（）
（4）如果两个数的差是正数，那么这两个数都是正数；（）
逆命题：________________（）
10.举反例说明下列命题是假命题：
（1）如果|a|=|b|，那么a=b;
（2）任何数的平方大于0；
（3）两个锐角的和是钝角；
（4）一个角的补角一定大于这个角；
（5）如果一点到线段两端的距离相等，那么这点是这条线段的中点。

第七课时12.3互逆命题（2）
学习目标：
1.探索关于图形的“位置关系”和“数量关系”的互逆命题
2.知道可以用不同的方式与方法证明同一个命题，能用合情推理和演绎推理证明一个命题；
学习难点：
经历“探索--发现—猜想—证明”的数学活动过程，发展合乎逻辑的思考和有条理的表达能力.
教学过程：
一．情境创设：
如图1,AB∥CD，AB与DE相交于点G，∠B=∠D.
二．探索活动：
问题1：你由这些条件得到什么结论？如何证明这些结论？
说明:充分发挥学生的主动性,去探索问题的结论.
在下列括号内填写推理的依据.
因为AB∥CD(已知)
所以∠EGA=∠D()
又因为∠B=∠D(已知)
所以∠EGA=∠B()
所以DE∥BF()
问题2：还有不同的方法可以证明DE∥BF吗？
问题3：在图(1)中，如果DE∥BF，∠B=∠D，那么你得到什么结论？证明你的结论.
问题4：在图(1)中，如果AB∥CD，DE∥BF，那么你得到什么结论？证明你的结论.
三．例题教学：
例1证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
已知：如图a∥b，a∥c。求证：b∥c
证明：作直线a、b、c的截线d
因为a∥b(已知)所以∠2=∠1()
因为a∥ac(已知)所以∠3=∠1()
所以∠2=∠3(等量代换)所以b∥c()

四.拓展练习
证明：等角的余角相等
五、达标检测
如图1，AB∥CD，
（1）∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？用两种方法证明你的结论.
（2）如果将P点向右移，(如图2)AB∥CD，此时∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？并证明你的结论.

（2）如果将P点移到图3和图4的位置，此时∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？并证明你的结论.

相关知识

七年级生物下册第十二章备课教案

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第十二章第四节气体内的气体交换
复习
谁知道呼吸作用的公式？（学生回答，老师板书）
引入：呼吸作用需要的氧气，是从哪里来的？
新课：
一、人体内的气体交换
学生自学第63页，思考、回答以下问题：
人体所需的氧气来自何处？
空气中由哪些气体组成？
氮气有什么特点？二氧化碳有什么特点？（二氧化碳能够使石灰水变浑浊）
人体呼出的气体和吸入的气体中，哪些气体中含二氧化碳多？
你会设计一个探究来验证码？
探究：呼吸过程中二氧化碳含量的变化
石灰水有什么变化？为什么石灰水会变浑浊？
该实验有什么不妥？
如何改进？
参考《随堂练》25页第9题（老师板书该题中的图）
按照科学测定，吸入的气体和呼出的气体的数量如何？
由此，你发现了什么？
你知道这是什么原因吗？（补充介绍气体扩散原理）
人体内气体交换包括哪两个过程？
肺泡里气体交换是指什么过程？
组织里的气体交换是指什么？其过程？
识图、读图（图10-16人体内气体交换示意图）
图中红（蓝）色血管里流的是什么血？动脉血和静脉血在哪两处发生变化？这是为什么？
在图上标出左、右心房（心室）
组织细胞里发生了哪个作用？
“肺泡与血液间发生气体交换”的图中，氧气的箭头指向是怎样的？二氧化碳的箭头指向又怎样？
（外界——肺泡——毛细血管）、（血液——肺泡——外界气管）
“血液与组织细胞间发生气体交换”的图中，氧气的箭头指向是怎样的？（氧气由血液流向组织细胞）
二氧化碳的箭头指向怎样？表示什么过程？（二氧化碳由组织细胞进入毛细血管中的血液中）
为什么组织细胞中二氧化碳多？
书本66页“思维拓展”
巩固：《随堂练》第25页第10题
集体朗读《随堂练》第24页的知识目标
《实验报告册》第78页第5题
什么是煤气中毒？如何预防煤气中毒？
知识点和板书
第四节人体内的气体交换
1、比较吸入和呼出的气体
呼入的气体：氮气（78%），氧气（21%），二氧化碳（0.03%）
吸出的气体：氮气（78%），氧气（16%），二氧化碳（4%）
结论：呼出和吸入的气体相比，氧气和二氧化碳的体积分数发生了明显的变化，这是人体内气体交换的结果。
2、人体内的气体交换包括：
肺泡里的气体交换（静脉血——动脉血）
人体内的气体交换
组织里的气体交换（动脉血——静脉血）
第五节人体能量的供给
消化系统吸收的营养物质有哪些？
这是营养物质在体内是怎样被运输？
这些营养物质是怎样被利用的？
在细胞内，营养物质怎样被分解的？（被氧化，即呼吸作用）
谁来说一说呼吸作用公式？
呼吸作用释放的能量在体内是怎样被利用？
观察图10-17，说一说人体能量供给的情况
人体的主要供能物质有哪些？
人体所需的能量主要来自哪一种物质？
讨论：人体能量的供给
分小组观察、讨论
讨论：如何改进上次提出的“一日食谱”？
体温
什么是体温？如何测量？测量部位一般是哪三处？
实习：测量体温
各处体温的平均值是多少？
不同人的体温一样吗？
什么是我们平时所说的“发热”？
你是如何看到发热现象？
第十一章人体内的废物排入环境
人体泌尿系统的组成
人每天要摄入一定的水，需要喝水2000毫升左右，相当于5-6杯水。水喝多了，你会有什么反应？你下课之后，通常会到什么地方去？
人体泌尿系统的组成
谁知道人体代谢活动的废物有哪些吗？(水、无机盐、二氧化碳、尿素）
人体为什么要排出废物？（维持体内环境的相对稳定）
人体代谢的废物主要由什么系统排出？
泌尿系统由哪些器官组成？
肾有几个？输尿管有几条？膀胱有几个？
肾有什么功能？肾的质量一般是多少？男性与女性的肾一样大吗？
输尿管有什么功能？如何完成其功能？
膀胱有什么功能？膀胱的大小和形状会变化吗？正常人的容量一般为多少？
尿道由什么作用？尿液如何排才出体外？
肾是泌尿系统的主要器官
肾在人体哪个部位?——脊柱的两侧左右各一
从外形上看，肾主要结构有哪几部分组成?
如何区分肾皮质和肾髓质？
肾孟位于哪？什么形状？与什么相通?
肾的结构和功能单位是什么？
正常人的肾由多少个肾单位？
肾单位由哪部分组成？
肾小球是怎样形成的?
肾小囊呈什么形状？有什么特点？
肾小管形状有什么特点？与什么相通？
识图：肾单位组成示意图
第二节人体废物的排出（5课时）（课件教学和实验）
一、复习引入
二、尿液的形成和排出
根据测定，成年人一昼夜产生的原尿为多少？排出的尿液有多少？
这是什么原因？
《讨论：尿液的组成成分》
血浆中有哪些物质？含量分别是多少？
有人说，血液中没有尿素等废物，这话对吗？
肾小囊内液（原尿）中有哪些物质？含量分别是多少？
尿液中有哪些物质？含量分别是多少？
血浆、肾小囊内液和尿液中的蛋白质（葡萄糖、尿素和无机盐）数值分别是多少？有什么变化？变化的特点是什么？
尿素和无机盐的含量的数值在这三处，为什么会有变化？
原尿是这样形成的？
肾小囊滤过作用。血液流经肾小球时，血液中的哪些物质不能滤过到肾小囊内？（血细胞和蛋白质）
如果一个人的尿液中检测出有血细胞或者是血蛋白质，这说明肾的哪个部位出现毛病？（肾小球）
血液中的哪些物质滤过到肾小囊内？（水、无机盐、葡萄糖、氨基酸、尿素）
原尿流经肾小管时，哪些物质被重新吸收？
尿液排出的途径如何？
补充：肾透析
尿量的多少取决于什么？
为什么冬天上厕所排尿的次数比夏天的多？
每天适当地喝水，对人体有什么好处？
什么是排泄？
排泄的途径有哪三条？
什么是排遗？
排泄与排遗有什么区别？
人体排出废物的处理
人体排出的粪便和尿液中有哪些物质？哪些物质对人体还可利用？哪些对人体有害？
讨论：为什么要对人粪尿进行处理
第十二章人体生命活动的调节
第一节人体的激素调节（课件教学）
一、人体主要的内分泌腺
如何区分内分泌腺和外分泌腺？
人体主要的内分泌腺有哪些？
识图、填图
垂体位置？大小？重量？作用？举例说明
巨人症、侏儒症、肢端肥大症的比较（见《补充习题》）
肾上腺位置？重量？作用？举例
胸腺位置？作用？举例
性腺位置？作用？举例
二、甲状腺激素
甲状腺位置、重量、形状？
讨论：甲状腺激素对蝌蚪发育的影响
甲状腺激素的作用
甲状腺肿大、呆小症、甲亢
如何预防地方性甲状腺肿？
哪些食物中含碘？碘有什么作用？
三、胰岛素
胰岛素作用？
什么是血糖？如何测定？数值范围？
糖尿病
调查：糖尿病的危害及发病率
糖尿病的症状？
“三多一少”是指什么？
第二节人体的神经调节
听到上课铃声，你会怎么做？
看到红灯，你会怎么做？
手不小心被东西刺了，你会有什么反应？
一脊髓和脑
人的神经系统由哪两部分组成？
中枢神经系统包括哪些结构？
脊髓位于哪？脑位于哪？
周围神经系统包括哪些结构？
谁能够设计一个表格来区分中枢神经系统和周围神经系统吗？
概念
组成
中枢神经系统
周围神经系统
1、神经系统的组成
中枢神经系统：脑和脊髓
周围神经系统：脑神经、脊神经
2、神经元——神经系统的结构和功能单位
⑴结构：
细胞体
神经元树突：短，分支多，接受兴奋，并传给细胞体
突起神经纤维
轴突：长，分支少，传导细胞体发出的兴奋
⑵功能：接受刺激，产生兴奋，并传导兴奋。
神经中枢：在灰质里，功能相同的神经元细胞体汇集在一起，调节人体的某一项相应的生理活动，这些调节某一特定生理功能的神经元群就叫做神经中枢（nervecentre）。神经中枢又称反射中枢。生理学上的解释是，在中枢神经系统中，对机体的某一特定的生理机能，具有调节和控制神经反射作用的神经细胞群组织，如呼吸、吞咽、排泄、心血管功能、语言、视觉和听觉等等许多神经中枢即是。分布在中枢神经系统的各个部位，如脊髓、延髓、脑桥、中脑、上下丘脑、小脑和大脑半球等不同神经组织中，有的属于神经的低级部位，有的属于高级部位。
⑶分布：（在脑中的分布是“外灰内白”，而在脊髓中的分布“外白内灰”）
灰质——细胞体集中的部位，色泽灰暗
白质——神经纤维集中的部位，色泽亮白
神经系统的结构和功能的基本单位是什么？
神经元的构成是怎样的？
细胞体是怎样的结构？
突起可分哪两种？如何区分？
神经纤维是指什么？
什么称为神经末梢？
哪些结构构成了一条神经？
识别并填图“神经元模式图”
巩固：完成《补充习题》61-EX1、2、3
你知道灰质和白质吗？会区分它们吗？
什么是灰质？其构成是怎样的？
什么是白质？其构成是怎样的？
谁能够设计一个表格来区分灰质和白质吗？
组成
功能
形状、颜色
灰质
白质
脊髓中的灰质是什么形状？作用是什么？
脑分哪几部分？
大脑由哪两部分组成？
大脑皮层是灰质还是白质？
其中有哪些神经中枢？
补充：神经中枢的概念
小脑有什么功能？
喝醉酒的人走路是什么样子？为什么？
脑干有什么功能？
谁能够设计一个表格来区分大脑、小脑和脑干吗？
位置
功能
大脑
小脑
脑干
灰质（表层）——“大脑皮层”，有语言、视觉、听觉和运动大脑中枢，是调节人体生命活动的最高级中枢。
白质（内部）
脑小脑——维持身体的平衡，使运动协调准确。
脑干——“生命中枢”，管理人的心跳、血液循环和呼吸等生命活动。
⑴大脑半球
左脑控制右边身体的活动，还负责语言及逻辑思维，如科学、数学和棋艺。
右脑控制左边身体的活动，还负责艺术思维，如绘画、舞蹈、音乐等。
⑵大脑皮层的特点：表面布满沟和回，增大了大脑的表面积。
三、反射和反射的类型
1反射的定义2非条件反射3、膝跳反射（实习及过程分析-书本101的课外阅读）4条件反射、条件反射的建立过程5、人和动物的条件反射的区别（吃梅止渴、望梅止渴、谈梅止渴）6、非条件反射和条件反射的区别
四、人类特有的条件反射
实习：测定学习时间
人与动物的条件反射的区别
五、睡眠
为什么要睡眠？睡眠的好处？
调查：每天睡眠的时间
青少年的睡眠时间？
如何高效睡眠？
第三节感知信息
1、眼和视觉
⑴眼球——眼的主要结构
角膜—聚光
外层
眼球壁巩膜—白色，称“眼白”
虹膜（中间是瞳孔）—黑眼珠
眼球中层睫状体——调节晶状体
脉络膜——富含血管，营养作用
内层：视网膜——感光细胞，能感光，形成物像
内容物：晶状体（透明，有弹性）——曲度可以改变，折射光线
①虹膜——自动调节瞳孔，调节进入眼内光线的多少；决定眼球的颜色
（昏暗—瞳孔放大；明亮—瞳孔缩小）
②晶状体的曲度可以根据眼和所视物体之间的不同距离而改变。
⑵视觉形成过程
外界光线→角膜→瞳孔→晶状体→视网膜（成像）→大脑皮层（形成视觉）
物像形成部位——视网膜
视觉形成的部位——大脑皮层的视觉中枢
⑶眼和照相机的比喻关系
眼——照相机；晶状体——镜头；视网膜——胶片；瞳孔——光圈
⑷近视眼：
①原因：
假性近视——晶状体凸度过大物象在视网膜的前方
真性近视——晶状体凸度过大，眼球的前后径过长
②矫正：凹透镜
2、耳和听觉
⑴耳的结构
外耳：耳廓和外耳道，有收集和传导声波的作用
鼓膜——随声波振动，传导、放大声波
中耳鼓室
咽鼓管——开放，保持鼓膜内外空气压力平衡，使鼓膜能正常振动。
听小骨——传导、放大声波
内耳：耳蜗，内有听觉感受器，能感受声波信息
①咽鼓管：当吞咽、打哈欠时，开放，保持鼓膜内外空气压力的平衡，使鼓膜能正常振动。
如：遇到巨大声响时，张开嘴巴或捂住耳朵，紧闭嘴巴。
②中耳炎：鼻、咽、喉发炎时，病菌通过咽鼓管侵入中耳。
⑵听觉形成：
外界声波→外耳道→鼓膜（振动）→听小骨→耳蜗（听觉感受器）→大脑皮层的听觉中枢（形成听觉）
3、皮肤感觉
⑴四种：触压觉、痛觉、冷觉和热觉
⑵原因：皮肤里有各种感受器。（盲人“阅读”盲文——触压觉感受器）
⑶感觉的灵敏性取决于感受器在皮肤上分布的多少。如指尖、嘴唇等最敏感

第十二章运动和力

第十二章运动和力

第一节运动的描述（1）

素质教学目标

1、知识与技能

（1）知道机械运动的概念；

（2）知道参照物的概念，知道判断物体的运动情况时需要选定参照物；

（3）知道物体的运动和静止是相对的；

2、过程与方法

(1)体验物体运动和静止的相对性了；

(2)在观察现象、研究物体运动的相对性过程中，培养学生的分析和归纳能力。

3、情感态度与价值观

认识运动是宇宙中的普遍现象，运动和静止是相对的，建立辩证唯物主义世界观。

教学重点

1、机械运动的概念

2、研究物体运动的相对性

教学难点

1、参照物的概念

2、认识物体运动的相对性

3、用实例解释机械运动。

教学过程

一、运动的世界

通过现实生活中的事例让学生体验到我们生活的宇宙每时每刻都在运动，我们就生活在运动的世界里。

对于这些现象，我们能否用一句话加以概括？

结论：宇宙中一切物体都在运动。运动是宇宙中的普遍现象。

二、机械运动

我们已经认识到了运动是宇宙中的普遍现象。下面老师和同学们一起对前面所举的例子中物体运动的共同特征进行归纳。用科学的语言对这些运动进行描述。

问题：1、在同学们眼里，球场上哪些物体是运动的，哪些物体是静止的？

1、运动的物体有什么特点？静止的物体有什么特点？

在物理学里，我们把物体位置的变化叫做机械运动。

前面所举例子中物体运动的共同特征是运动时，它们的位置都发生了变化，它们进行的是机械运动。

三、参照物

1、问题：小明在路边看见路上汽车飞快的从他面前驶过，车上的司机看乘客觉得他不动，看小明，却觉得小明在身后运动。司机为什么会这样感觉呢？

学生回忆类似的场景：乘坐在公共汽车上时，看路边同方向行驶的自行车，觉得它们都在向后退。再看看同车的乘客都觉得他们没有动，为什么会有这样的感觉呢？

由此我们可以知道：要描述物体的运动，要确定一个标准，与这个标准比较，描述物体怎样运动。这个被选作标准的物体人们把它叫做参照物。

2、学生自己举例描述某一物体的运动情况，看看各是以什么物体作为参照物。

3、让学生做下面的实验：把课本平放在桌上，课本上放一个笔盒，推动课本使它沿桌面缓缓移动，让学生思考问题：

(1)选取课桌作标准，笔盒和课本是运动的还是静止的？(运动)

(2)选取课本作标准，笔盒、课桌是运动的还是静止的？(笔盒是静止的，课桌是运动的)

(3)选取笔盒作标准，课桌和课本是运动的还是静止的？(课桌是运动的，课本是静止的)

讨论：描述物体的是运动和静止，与所选择的参照物有关。参照物可以根据需要来选择。如果选择的参照物不同，描述同一物体的运动时，结论也不一样。

由以上讨论我们知道，物体的运动和静止是相对的。为了方便，我们常用地面作参照物。

4、让学生阅读课文第27页第四自然段，然后讨论为什么会产生“错觉”。

(产生错觉的原因是以行驶的火车作为参照物，观察者所乘坐的火车与作为参照物的火车的位置关系随作为参照物的火车的行驶而发生变化，觉得观察者所乘坐的火车发生了运动。)

5、让学生回答前面所提出的问题：

(1)行人看路上行驶的汽车，通常是以路面或路边不动的建筑物为参照物，相对于参照物，汽车的位置在不断地变化，所以观察者就觉得汽车在运动；

(2)车上的司机看乘客觉得他不动，是以汽车为参照物，乘客相对于汽车，位置没有发生变化，因此觉得乘客不动。

(3)在行驶的汽车上看路边的行人和同方向行驶的自行车，观察者往往习惯于以汽车为参照物，相对于汽车，路边的行人和同方向行驶的自行车与汽车的距离越来越大，所以，观察者就觉得行人和自行车向相反的方向运动。

6、让学生看课本第:office:smarttags?>2000m高空飞行的时候，发现脸旁有一只小昆虫在游动，他顺手抓过来一看，竟然是一颗子弹，你认为这可能的原因是()

A、子弹是静止在空中的

B、子弹前进的方向与飞机飞行的方向相反，但子弹运动得很慢

C、子弹飞行的方向与飞机相同，并且子弹运动的速度与飞机一样

D、这件事情根本不可能发生

6、两只轮船沿河岸顺流而下，甲船在前，乙船在后，甲船的速度大于乙船的速度，甲船上的人感到乙船在后退，甲船上的人所选择的参照物为()

A、甲船B、乙船C、一定运动D、都有可能

7、甲物体以乙物体为参照物是静止的，甲物体以丙物体为参照物是运动的，那么以丙物体为参照物的乙物体是()

A、可能运动B、可能静止C、一定运动D、都有可能

能力提高

8、在美国电影生死时速中，一辆正在行驶的公共汽车上发现被恐怖分子安装了炸弹，只要车速低于50km/h炸弹就会自动爆炸，如何将车上的乘客安全撤离汽车，谈谈你的方法，并与看过电影的同学交流。

9、小明随爸爸坐飞机旅游，当飞机准备降落时，空中小姐要求所有的乘客坐在自己的座位上不动，系好安全带。小明系好安全带，心里却在想：我坐在这儿真的没动吗？如果没动，我怎么会降落到地面上呢？你能帮小明解释一下吗？

10、我们在描述物体的运动情况时要选择参照物，实际上我们日常生活中在其他时候也经常要选择参照物，你能举出两例吗？

第一节运动的描述（2）

新课标要求

一、知识与技能

1、通过观察和回忆再现初步认识机械运动的现象．

2、知道机械运动是指物体位置的变化。

3、知道参照物．

4、会选择参照物描述机械运动，会根据对运动的描述指明参照物．

5、知道运动和静止是相对的。

二、过程与方法

1、通过观察和回忆再现的方法认识什么是机械运动．

2、通过亲身体验的方法认识选择不同的参照物描述运动的结果会不相同．

3、通过学习活动，培养学生的观察能力、想象能力和分析能力，掌握研究问题的

三、情感、态度、价值观

1、通过教师的引导和学生的观察、想象、讨论等双边活动，激发学生的学习兴趣和探究欲望，使学生乐于探索自然现象和日常生活中涉及的物理学知识．

2、通过对“物体的运动和静止是相对的”这一观点的认识，培养学生辩证唯物主义的认识方法论，养成科学的学习态度．

教材内容详解

一、机械运动

探究：什么是机械运动呢?

1．春天，风筝在空中迎风摆动；2，夏天，蚊虫在灯下飞舞；3．秋天，落叶纷纷飘落；

4．冬天，雪花漫天飘洒；5．昨天，“神舟五号”飞船腾空而起；

6．今天，你上学的路上，路旁的树木不断被甩在身后

7．此时，钟表的秒针在不停地“走动”；

生命在于运动，运动是宇宙中最普遍的现象，我们每一个人时刻都在运动(如心脏在跳动，血液在流动)，仔细体会与比较上面列举的物体运动的例子，我们得到的结论是：物体相对位置的变化叫做机械运动。

想想议议

宇宙及自然界中关于机械运动的例子还有许多；同学们通过思考、讨论可以多找一些例子，提出来发表让大家共享：①流星划过夜空②小鸟在空中飞行③河水在不停地流动④稻穗在随风起伏⑤房屋、树木随地球一起运动。这些都是机械运动吗?

二、参照物

1．探究

提出问题：如何恰当地描述物体的运动状态?

猜想和假说：(1)要选择一个物体做标准，对照要研究的物体和选择的标准物体相对位置是否变化后再做出判断．

(2)很简单，用眼睛看看动不动就行了。

进行实验：(1)两名同学乘坐公交车，一名同学盯着另一辆车上的某乘客，另一名同学盯着站牌，此时另一辆车开动，两同学乘坐的汽车未开动，请两同学说出自己乘坐的汽车的运动状态．

(2)乘坐观光电梯时，眼睛看地板和看外面的景物对自己运动状态的描述分别是怎样的?

2．参照物该怎样选择?

想想议议

每个同学都来描述同一物体的运动情况，看看各是以什么物体作为参照物的．如：夜间趁着月光走路时，要描述影子的运动情况，若以地面为参照物，影子在动；若以人为参照物，影子是静止的。

三、运动和静止的相对性

宇宙中的一切物体都在运动着，绝对静止的物体是没有的．我们平常所说的运动和静止都是相对的，都是相对于某个物体而言的．如果一个物体相对于另一个物体的位置发生了变化，我们就说第一个物体是运动的；若一个物体相对于另一个物体没有发生位置的变化，我们就说第一个物体是静止的．对于同一物体，若选择不同的物体作参照标准来研究它的运动情况，得到的结论可能是不同的．因此，不事先选择参照物，就无法判定物体是否在运动．例如，司机开着车行驶在高速公路上，以车为参照物，司机是静止的，以路面为参照物，司机是运动的；李明和王红晚餐后并肩散步，以路旁的树木为参照物，他们两位都是运动的，若以李明为参照物，王红是静止的；树木、房子相对于大地是静止的，若以行驶的车为参照物，它们都是运动的．

四、相对静止

两个运动物体运动的快慢相同，运动的方向相同，这两个物体就是相对静止．例如，卡车和联合收割机，同样快慢，向同一方向前进，以其中一个为参照物，另一个是静止的，属于相对静止．

天气预报与物理学中的机械运动有密切联系．经验丰富的气象预报员会根据卫星云图结合其运动速度准确判断冷空气在什么时候到达什么地区造成大风降温或冷暖空气，什么时候在什么地区上空交汇形成雨雪天气等等，提醒人们做好预防准备工作．

课内练习

题型I双基巩固

例1小明同学乘火车去旅游．“火车开动”前后他一直坐在座位上“一动不动”

地看着火车外的景物，他发现路旁的“树正在飞快地后退”．这段话中加引号的三种运

动情况，各以什么为参照物?

分析：在判定一个物体是否运动或怎样运动时，一般应按以下步骤进行：①确定被研究的物体②选定参照物③根据研究物体相对于参照物的位置是否发生变化来确定物体的运动情况．

本题中讲到的三种运动，已知结果，找参照物是一个逆过程．首先，“火车开动”研究物体是火车，物体运动情况是开动，那么火车相对于“谁”在“开动”呢?相对于哪个物体的位置发生了变化?显然，小明是以车外景物为参照物判断车在“开动”的，这里的景物可以是地面、建筑、树木等．

其次，“一动不动”的研究对象是小明本人，其运动情况是“一动不动”(即静止)，判断小明处于静止状态又是以“谁”为参照物呢?显然不能再以车外景物为参照物，因为如果以车外景物为参照物，火车开动前小明是“一动不动”，而丰开动后再以车外景物为参照物小明就是“运动”的了．那么，车外景物作参照物被排除后，我们自然而然地应想到车厢或者车厢内的座位、行李等，显然无论车开动与否，小明相对于车厢位置没有变化，那参照物即是车厢了．

最后，“树正在飞快地后退”，研究对象是树，树的运动状态是在“后退”，那么树“后退”又是以“谁”为参照物呢?我们想到了“后退”的反义词是“前进”，哦，车在前进，那以“车”为参照物树就是在“后退”的了．

答案：“火车开动”是以车外景物为参照物；“一动不动”是以车厢为参照物；“树正在飞快地后退”是以火车为参照物

例2人造地球同步卫星以___________为参照物是静止的；以__________为参照物是运动的．由此可见同步卫星绕地球一周的时间是_____________小时．答案：地球太阳24

A、A船肯定是向左运动B、A船肯定是静止的

C、B船肯定是向右运动，速度大于风速D、B船肯定向左运动，速度大于风速

分析：岸上的旗帜在风的作用下，飘到右侧，说明风由左向右刮，而月船的旗帜却飘到左侧，说明月船的速度大于风速向右移动．

例14在现代交通中，高速列车已成为现实．为了不影响高速列车的运行，有人设想，若能使高速列车在进出站时既不停车、又能上下乘客，岂不更好．你能进行这样的设计吗?若能设计，说明理由．

答案：可以设计一辆与高速列车A相类似的列车月，在列车A进站前，乘客先乘上列车月，当列车A进站时，令列车月加速到与列车A车速相同，并与列车A并排向同一方向前进，保持A、月相对静止，待乘客下完后，B车减速行驶最后停在站上，A车则继续高速前进．

1．命题方向

近年来，中考试题有关本节的题目，多是给出参照物判断某物体的运动和静止，或是给出运动情况判断是以什么物体为参照物，这部分知识的关键是理解好机械运动的概念和参照物，出题的形式主要是填空和选择．填空题主要考查基本概念，选择题考查对机械运动和参照物的深刻理解．

2．热点考题举例

例1(2002·福州中考试题)下面几种运动现象中，不是机械运动的是()答案：C

A、科学家研究发现，中、日两国陆地距离平均每年靠近2.9cmB、月球围绕地球转动

C、菊花幼苗两个月长高了15cmD、成熟的苹果从树上落到地面

例2(2003·辽宁省实验中学试题)在一列沿乎直铁轨行驶的列车上，坐在车上的某乘客认为自己是静止不动的，他选择的参照物是()

A、对面开来的列车B、自己乘坐的列车C、平行铁轨上同向运动，快慢相同的列车

D、从身旁走过的列车员

分析：此乘客在行驶的列车上，相对于地球是运动的，但是相对于他自己乘坐的列车是静止的，人与车没有相对运动．这位乘客相对于沿着平行铁轨上同向运动、快慢相同的另外一辆列车，位置也不发生变化，也保持相对静止，选项B、C都是正确的．

1、第一次世界大战期间，一名法国飞行员在2km高空飞行时，发现脸旁似乎有一条“小虫”，他伸手抓来一看，竟然是颗子弹，如图11—3所示，此时子弹相对于________是运动，相对于____________是静止的．

2．长征三号火箭运载同步卫星升空，此时，以地球为参照物，卫星是___________的，以火箭为参照物，卫星是____________的；当卫星脱离火箭绕地球运转时，以火箭为参照物，卫星是___________的，以地球为参照物，卫星是_____________的．

3．甲、乙、丙三人分别乘坐直升机．甲看见地面楼房匀速下降，乙看见甲静止不动，丙看见乙匀速上升．这三架直升机各作何种运动?

第十二章　轴对称

第十二章轴对称
本章小结
小结1本章概述
本章主要从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用．在此基础上，利用轴对称探索等腰三角形的性质及其判定方法，进一步学习等边三角形的性质和判定．
轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是密切数学知识与现实联系的重要内容．本章内容是上一章内容的继续．又是后面学习四边形、圆的基础，所以学好本节知识至关重要．本节中涉及轴对称、等腰三角形、等边三角形、垂直平分线等重要概念，涉及等腰三角形“等边对等角”、“三线合一”等重要性质，在学习时应特别注意．
小结2本章学习重难点
【本章重点】
1．轴对称的概念和性质和判定．
2．等腰(或等边)三角形的性质和判定．
【本章难点】1．利用轴对称的性质进行图案设计．
2．书写推理证明过程．
小结3学法指导
1．注意联系实际，通过观察、动手操作等直观方式掌握轴对称及等腰三角形的性质和判定，利用轴对称的观点解释生活中的有关现象，设计图案选择最佳方案等，体现知识的应用，体现具体——抽象——具体的过程．
2．注意知识间的联系．图形的轴对称变换、图形与坐标、图形的证明在本章都有涉及，注意各部分知识之间的联系，把所学知识纳入已有的知识体系．
3．注意体会转化思想、类比思想、分类讨论思想在本章学习中的应用．
知识网络结构图

专题总结及应用
一、知识性专题
专题1轴对称及轴对称图形
【专题解读】此部分内容是近几年中考中常见的题型，也是新题型之一，解题的依据主要是轴对称及轴对称的性质．
例1如图12－112所示的是小方画的正方形风筝图案，她以图中的对角线所在直线为对称轴，在对角线的下方画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若如图12－113所示的图形中有一图形为此轴对称图形，则此图为()
分析本题主要考查轴对称图形的性质，即对应点连线被对称轴垂直平分，只有C为轴对称图形．故选C．
规律方法判断某图形是否为轴对称图形(或两个图形是否成轴对称)，关键是能否找到一条直线可将这个图形(或两个图形)沿着这条直线对折，使对折后的两部分(或两个图形)重合．
专题2利用轴对称变换作轴对称变换后的图形及设计方案
【专题解读】利用轴对称变换设计精美图案，当对称轴改变方向时，原图形的对称图形也改变方向，一个图形经过若干次轴对称变换，再结合平移、旋转等．就可以得到非常美丽的图案．
例2如图12－114①所示，给出了一个图案的一半，其中的虚线就是这个图案的对称轴，请画出这个图案的另一半．
解：如图12－114②所示．
【解题策略】先作出特殊点的对称点，然后连接即可．
专题3等腰三角形的性质和判定
【专题解读】等腰三角形的性质和判定可以用来证明角相等、线段相等以及线段垂直，这是几何证明中最重要的知识之一，它经常与其他几何知识(如四边形、圆等)综合在一起考查．
例3如图12－115所示，AB＝AC，E，D分别在AB，AC上，BD和CE相交于点F，且∠ABD＝∠ACE．求证BF＝CF．
分析本题综合考查等腰三角形的性质和判定．由于AB＝AC，所以作辅助线BC，则可以构造等腰三角形，从而利用等腰三角形的性质解决问题．
证明：连接BC，
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC(等边对等角)．
又∵∠ACE＝∠ABD，∴∠FCB＝∠FBC．
∴BF＝CF(等角对等边)．
【解题策略】本题解题时灵活运用了等腰三角形的性质和判定，也可以连辅助线AF，来证明BF＝CF，用这个方法证明要用到三角形全等，比较麻烦．
专题4等边三角形的性质和判定
【专题解读】等边三角形是一个很特殊的三角形，它的三边都相等，三个角都是60°，正是由于它的特殊性，因此在很多的几何证明题中都会用到．
例4如图12－116所示，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝4，若将△ADC沿直线AD折叠，则C点落在点E的位置上，求BE的长．
分析本题综合考查轴对称和等边三角形的判定和性质．
解：由折叠得∠ADE＝∠ADC＝60°，CD＝DE．
又∵BD＝DC，∴DE＝BD．
∵∠ADE＝∠ADC＝60°，
∴∠BDE＝180°－60°－60°＝60°．
∴△BDE为等边三角形．
∴BE＝BD＝BC＝2．
【解题策略】本题运用了“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定方法．
专题5含30°角的直角三角形的性质与等腰三角形的综合应用
【专题解读】直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，这条性质在实际生活中有着广泛的应用．由角的特殊性，揭示了直角三角形中直角边和斜边的关系．
例5如图12－117所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D．求证BE＝3AD．
分析本题综合考查等腰三角形的性质和判定，以及直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半的性质．
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角)．
又∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°．
∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°．
∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝120°－90°＝30°．∴∠B＝∠BAD．
∴BD＝AD(等角对等边)．
在Rt△ADC中，∵∠C＝30°，∴CD＝2AD．
∴BC＝BD＋CD＝AD＋2AD＝3AD．
二、规律方法专题
专题6正确作辅助线解决问题
【专题解读】本章涉及等腰三角形的性质、角平分线及线段的垂直平分线的性质，做题时可通过添加适当的辅助线由全等等知识获得结论．
例6如图12－118所示，∠B＝90°，AD＝AB＝BC，DE⊥AC．求证BF＝DC．
证明：连接AE．
∵ED⊥AC，∴∠ADE＝90°．
又∵∠B＝90°．
∴在Rt△ABE和Rt△ADE中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADE(HL)，∴BE＝ED．
∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠C．
又∵∠B＝90°，∴∠BAC＋∠C＝90°．
∴∠C＝45°．
∵∠EDC＝90°，∴∠C＝∠DEC＝45°．
∴DE＝DC，∴BE＝DC．
例7如图12－119所示，在△ABC中，AB＝AC，在AB上取一点E，在AC的延长线上取一点F，使BE＝CF，EF交BC于G．求证EG＝FG．
证明：过E作EM∥AC，交BC于点M，
则∠EMB＝∠ACB，∠MEG＝∠F．
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．
∴∠B＝∠EMB，∴EB＝EM．
又∵BE＝CF，∴EM＝FC．
在△MEG和△CFG中，
∴△MEG≌△CFG(AAS)．
∴EG＝FG．
三、思想方法专题
专题7分类讨论思想
【专题解读】本章涉及等腰三角形的边、角的计算，应通过题意探讨其可能存在的情况，运用相关知识一一讨论不难获得结论．
例8已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为13cm和15cm两部分，试求此等腰三角形的腰长和底边长．
分析这是一类常见的等腰三角形分类讨论的问题，解题时应注意到分为13cm和15cm两部分时的两种可能情形，进行分类讨论即可．
解：如图12－120所示，AB＝AC，D为AC的中点，
所以AD＝CD，
由题意知或
解得AB＝AC＝，BC＝或AB＝AC＝10，BC＝8．
即此等腰三角形的腰长与底边长分别为cm，cm或10cm，8cm．
规律方法本题的分类讨论既可以说是来源于不同的图形．也可以说是来源于题设中的“不明确”，解题过程应从题设中挖掘出类似的信息，以使解答完整．
专题8数形结合思想
【专题解读】数形结合思想是比较常用的数学思想，在解有关三角形的问题时显得尤为重要．
例9(开放题)如图12－121所示，△ABC中，已知AB＝AC，要使AD＝AE，需添加的条件是．
分析从确定△ADE是等腰三角形着眼，若∠ADE＝∠AED，可得AD＝AE，除此以外还可加∠ADB＝∠AEC或∠BAD＝∠CAE或BD＝CE．故填∠ADE＝∠AED或∠ADB=∠AEC或∠BAD＝∠CAE或BD＝CE(答案不唯一)．
例10(探究题)如图12－122所示，线段OP的一个端点O在直线a上，以OP为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画几个?
分析以OP为一边画等腰三角形，要考虑OP作腰和OP作底边两种情况．
解：(1)当OP作等腰三角形的腰时，分O作顶点和P作顶点两种情况．当O作顶点，OP作腰时，则以O为圆心，OP为半径画弧，与直线a交于M1，M2两点，则△OPM1和△OPM2都是等腰三角形；当P作顶点，PO作腰时，则以P为圆心，PO为半径画弧，交直线a于M3，则△POM3为等腰三角形．(2)当OP作等腰三角形的底边时，作OP的垂直平分线交直线a于M4，则△OPM4为等腰三角形．
所以这样的等腰三角形能画4个．如图12－123所示．
例11(动手操作题)如图12－124①所示，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，仿照图①请你再用两种不同的方法，将△ABC分割成3个三角形，使每个三角形都是等腰三角形(作图工具不限，不写作法和证明，但要标出所分得的每个等腰三角形的内角的度数)．
分析在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，所以∠B＝∠C＝72°．所以分割出的等腰三角形的底角或顶角为36°，72°，108°，18°，144°，以这些度数为基础设计分割方案，便可得出符合条件的图形．
解：如图12－124②③④⑤所示均符合要求．
2011中考真题精选
1.（2011江苏淮安，2，3分）下列交通标志是轴对称图形的是（）
A、B、C、D、
考点：轴对称图形。
分析：根据轴对称图形的概念求解，只要寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，既是轴对称图形．
解答：解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、是轴对称图形．
故选：D．
点评：此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.（2011南通）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A、B、
C、D、
考点：中心对称图形；轴对称图形。
分析：结合轴对称图形与中心对称图形的定义进行分析
解答：解：A项是中心对称图形，不是轴对称图形，故本项错误，B项为中心对称图形，不是轴对称图形，故本项错误，C项为中心对称图形，也是轴对称图形，故本项正确，
D项为轴对称图形，不是中心对称图形，故本项错误故答案选择C．
点评：本题主要考察轴对称图象的定义和中心对称图形的定义，解题的关键是找到图形是否符合轴对称图形和中心对称图形的定义
3.（2011江苏无锡，6，3分）一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是（）
A．B．C．D．
考点：轴对称图形。
专题：数形结合。
分析：轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．
解答：解：A、图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线都是其对称轴；故不符合题意；
B、图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线都是其对称轴；故不符合题意；
C、图象关于对角线所在的直线对称，有一条对称轴；故不符合题意；
D、图象关于对角线所在的直线不对称；故符合题意；
故选D．
点评：本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
4.（2011山西，6，2分）将一个矩形纸片依次按图（1）、图⑵的方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后头将图（4）的纸再展开铺平，所得到的图案是（）

考点：轴对称
专题：操作题图形变换
分析：由图案的对称性进行想象，或动手操作一下都可．
解答：A
点评：动手折一折，动脑想一想．不难得出答案．
5.（2011四川广安，5，3分）下列几何图形：①角②平行四边形③扇形④正方形，其中轴对称图形是（）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
考点：轴对称图形
专题：对称
分析：根据轴对称图形的概念及所给出的图形的特点可知①角，③扇形，④正方形是轴对称图形．而平行四边形是中心对称图形．
解答：C
点评：把一个图形沿着某一条直线对称，如果图形左右两边的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，解题时要注意记住初中阶段学过的哪些基本图形是轴对称图形．
6.（2011台湾4，4分）下列有一面国旗是轴对称图形，根据选项中的图形，判断此国旗为何（）
A、B、
C、D、
考点：轴对称图形。
专题：常规题型。
分析：根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．
解答：解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
点评：本题考查轴对称图形，注意掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
7.（2011台湾26，4分）如图1，将某四边形纸片ABCD的AB向BC方向折过去（其中AB＜BC），使得A点落在BC上，展开后出现折线BD，如图2．将B点折向D，使得B、D两点重迭，如图3，展开后出现折线CE，如图4．根据图4，判断下列关系何者正确？（）
A、AD∥BCB、AB∥CD
C、∠ADB=∠BDCD、∠ADB＞∠BDC
考点：翻折变换（折叠问题）。
专题：操作型。
分析：由A点落在BC上，折线为BD，根据折叠的性质得到∠ABD=∠CBD，又B点折向D，使得B、D两点重迭，折线为CE，再根据折叠的性质得到CD=CB，然后转化为角相等，这样就有∠ABD=∠CDB，根据平行线的判定定理即可得到B正确．
解答：解：∵A点落在BC上，折线为BD，
∴∠ABD=∠CBD，
又∵B点折向D，使得B、D两点重迭，折线为CE，
∴CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，即选项B正确．
故选B．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠后重叠的两部分图形全等．也考查了动手能力和空间想象能力．
8.（2011湖北荆州，2，3分）下列四个图案中，轴对称图形的个数是（）
A、1B、2C、3D、4考点：轴对称图形．
分析：根据轴对称图形的定义1得出，图形沿一条直线对着，分成的两部分完全重合及是轴对称图形，分别判断得出即可．
解答：解：根据图象，以及轴对称图形的定义可得，
第1，2，4个图形是轴对称图形，第3个是中心对称图形，
故选：C．
点评：此题主要考查了轴对称图形的定义，根据定义判断出图形形状是解决问题的关键．
9.（2011柳州）在三角形、四边形、五边形、和正六边形中，是轴对称图形的是（）
A、三角形B、四边形
C、五边形D、正六边形
考点：轴对称图形。
专题：几何图形问题。
分析：关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．
解答：解：只有正六边形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形．
故选D．
点评：本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．
10.（2011郴州）观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A、B、
C、D、
考点：中心对称图形；轴对称图形。
专题：几何图形问题。
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A、不是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查轴对称图形及中心对称图形的知识，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．
11.（2011山东青岛，4，3分）下列汽车标志中既是轴对称又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
考点：轴对称图形；中心对称图形。
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
D．是中心对称图形，也是轴对称图形．
故选D．
点评：此题将汽车标志与对称相结合，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
12.（2011泰安，19，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（）
A．B．C．D．6
考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理。
专题：探究型。
分析：先根据图形翻折变换的性质求出AC的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论．
解答：解：∵△CED是△CEB翻折而成，
∴BC＝CD，BE＝DE，
∵O是矩形ABCD的中心，
∴OE是AC的垂直平分线，AC＝2BC＝2×3＝6，
∴AE＝CE，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即62＝AB2＋32，解得AB＝3，
在Rt△AOE中，设OE＝x，则AE＝3－x，
AE2＝AO2＋OE2，即（3－x）2＝（3）2＋32，解得x＝，
∴AE＝EC＝3－＝2．
故选A．
点评：本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．
13.（2011山东省潍坊，4，3分）如图，阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑．得到新的图形(阴影部分)，其中不是轴对称图形的是()

【考点】轴对称图形．
【分析】本题需先根据轴对称图形的有关概念沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合对每一个图形进行分析即可得出正确答案．
【解答】解：A∵沿某直线折叠，分成的两部分能互相重合
∴它是轴对称图形
B、∵沿某直线折叠，分成的两部分能互相重合
∴它是轴对称图形
C、∵绕某一点旋转180°以后，能够与原图形重合
∴它是轴对称图形
D、根据轴对称定义
它不是轴对称图形
故选D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的有关概念，在解题时要注意轴对称图形的概念与实际相结合是本题的关键．
2011四川达州，2，3分）图中所示的几个图形是国际通用的交通标志．其中不是轴对称图形的是（）
A、B、
C、D、
考点：轴对称图形。
分析：根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
解答：解：A、B、D都是轴对称图形，而C不是轴对称图形．
故选C．
点评：本题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
14.（2011四川广安，5，3分）下列几何图形：①角②平行四边形③扇形④正方形，其中轴对称图形是（）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
考点：轴对称图形
专题：对称
分析：根据轴对称图形的概念及所给出的图形的特点可知①角，③扇形，④正方形是轴对称图形．而平行四边形是中心对称图形．
解答：C
点评：把一个图形沿着某一条直线对称，如果图形左右两边的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，解题时要注意记住初中阶段学过的哪些基本图形是轴对称图形．
15.2011四川泸州，11，2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将BC向BA方向翻折过去，使点C落在BA上的点C′，折痕为BE，则EC的长度是（）
A.B.－5C.10－D.5+
考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：作ED⊥BC于D，可得含30°的Rt△CED及含45°的直角三角形BED，设所求的EC为x，则CD=0.5x，BD=BE=x，根据BC=5列式求值即可．
解答：解：作ED⊥BC于D，设所求的EC为x，则CD=x，BD=BE=x，
∵∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，∴BC=AC×cosC=5，
∵CD+BD=5，∴CE=－5，故选B．
点评：考查翻折变换问题；构造出含30°及含45°的直角三角形是解决本题的突破点．
16.在下列几何图形中，一定是轴对称图形的有（）
A、1个B、2个C、3个D、4个
【答案】C
【考点】轴对称图形．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据轴对称图形的概念，分析各图形的特征求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．
【解答】解：扇形是轴对称图形，符合题意；等腰梯形是轴对称图形，符合题意；
菱形是轴对称图形，符合题意；直角三角形不一定是轴对称图形，故不符合题意．
共3个轴对称图形．故选C．
【点评】考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
17.12、如图．在直角坐标系中，矩形ABC0的边OA在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为（）
A、B、C、D、
【答案】A
【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．
【专题】计算题；综合题．
【分析】如图，过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．
【解答】解：如图，过D作DF⊥AF于F，
∵点B的坐标为（1，3），∴AO=1，AB=3，
根据折叠可知：CD=OA，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，
∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=1，
设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，
∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，
∴（3-x）2=x2+12，
∴x=，
又DF⊥AF，
∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，
而AD=AB=3，
∴AE=CE=3-，∴，即，
∴DF=，AF=，
∴OF=-1=，
∴D的坐标为（-，）．故选A．
【点评】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．

综合验收评估测试题
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图12－125所示的四个中文艺术字中，不是轴对称图形的是()
一日千里
ABCD
图12-125
2．如图12－126所示，把等腰直角三角形ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是()
A．AB＝BEB．AD＝DCC．AD＝CED．AD＝EC
3．如图12－127所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为()
A．6B．5C．4D．3
4．点P(3，－5)关于x轴对称的点的坐标为()
A．(－3，－5)B．(5，3)C．(－3，5)D．(3，5)
5．如图12－128所示，△ABC与△A′B′C′关于直线，对称，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B的度数为()
A．48°B．54°C．74°D．78°
6．如图12－129所示的是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在()
A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC的三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点
7．如图12－130所示的是把一张长方形的纸沿长边中点的连线对折两次后得到的图形，再沿虚线裁剪，外面部分展开后的图形是图12－131中的()
8．如图12－132所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是△ABC，△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有()
A．5个B．4个C．3个D．2个
9．如图12－133所示，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为()
A．2B．3C．4D．5
10．如图12－134所示，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于()
A．90°B．75°
C．70°D．60°
二、填空题(每小题3分，共30分)
11．等腰三角形ABC的两边长为2和5．则第三边长为．
12．如图12－135所示，镜子中的号码实际是．
13．如图12－136所示．△ABC中，DE垂直平分AC，交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝°．
14．从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于．
15．如图12－137所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为度．
16．若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为35°．则这个三角形的顶角为．
17．等边三角形是轴对称图形，它有条对称轴．
18．(1)若等腰三角形的一个内角等于130°，则其余两个角分别为．
(2)若等腰三角形的一个内角等于70°，则其余两个角分别为．
19．如图12－138所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝3，则点D到AB的距离为．
20．如图12－139所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BE⊥AC于E，延长BC到D，使CD＝CE，连接DE，若△ABC的周长是24，BE＝a，则△BDE的周长是．
三、解答题(每小题10分．共60分)
21．如图12－140所示，有分别过A，B两个加油站的公路l1，l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A，B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路l1，l2的距离也相等．请用尺规作图作出点P(不写作法，保留作图痕迹)．
22．如图12－141所示，∠BAC＝∠ABD．
(1)要使OC＝OD，可以添加的条件为或；(写出2个符合题意的条件即可)
(2)请选择(1)中你所添加的一个条件．证明OC＝OD．
23．如图12－142所示，△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，AE＝AF，AD是BC边上的高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由．
24．如图12－143所示，△ABC中，点E在AC上，点N在BC上，在AB上找一点F，使△ENF的周长最小，并说明理由．
25．如图12－144所示，某船上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东60°方向，该船以每小时10海里的速度向正东方向航行，航行到C处时，再观测海岛B在北偏东30°方向，又以同样的速度继续航行到D处，再观测海岛B在北偏西30°方向，当轮船到达C处时恰好与海岛B相距20海里，请你确定轮船到达C处和D处的时间．
26．如图12－145所示，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD为BC边上的高，延长AB到E点，使BE＝BD，过点D，E引直线交AC于点F，则有AF＝FC．为什么?

参考答案
1．C
2．B[提示：由折叠知∠BED＝∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，所以AD＝DE．]
3．B[提示：由CD是AB的垂直平分线可知PB＝PA＝5．]
4．D[提示：两点关于x轴对称，则两点坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标相反．]
5．B[提示：由△ABC和△A′B′C′关于l对称，可知∠C＝∠C′＝48°，所以∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－78°－48°＝54°．]
6．C[提示：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．]
7．D[提示：按要求动手操作即可．]
8．A[提示：有△BCE，△DEC，△ABD，△BCD和△ABC．]
9．C[提示：以O为圆心，OA为半径画圆与x轴有两个交点，以A为圆心，OA为半径画圆与x轴又交于一个与O不重合的一个点，作线段OA的垂直平分线与x轴交于一点，这四点都能使△POA为等腰三角形．]
10．D[提示：∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠A＝15°，∴∠CBD＝30°．∵BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD＝30°，∴∠ECD＝45°．∵DC＝DE，∴∠CED＝∠ECD＝45°，∴∠EDF＝∠A＋∠AED＝15°＋45°＝60°．∵DE＝EF，∴∠DEF＝60°．]
11．5[提示：由于2＋2＜5，所以2只能作底边长，5作腰长．]
12．3265
13．50[提示：由DE是AC的垂直平分线，可知EA＝EC，所以∠ECA＝∠A＝∠30°，又因为∠ACB＝80°，所以∠BCE＝∠ACB－∠ECA＝80°－30°＝50°．]
14．72°或
15．125[提示：由折叠可知∠BEF＝∠DEF，BE∥C′F，由∠BAD＝90°，∠ABE＝20°，可得∠AEB＝70°，所以∠BEF＝∠DEF＝(180°－∠AEB)×＝(180°－70°)×＝55°．由BE∥C′F得∠FEB＋∠EFC′＝180°，所以∠EFC′＝180°－∠BEF＝180°－55°＝125°．]
16．70°[提示：底角＝90°－35°＝55°，∴顶角为180°－55°×2＝70°．]
17．3
18．(1)25°，25°(2)55°，55°或70°，40°[提示：(1)130°为顶角，底角为＝25°．(2)①若70°为顶角，则其余两角为55°，55°；②若70°为底角，则其余两角为40°，70°．]
19．3[提示：过D作DE⊥AB于E，∵AD为∠CAB的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝3．]
20．12＋2a[提示：△BED为等腰三角形，BE＋ED＝2a，△ABC的边长为＝8，△ECD为等腰三角形，CD＝EC＝4．∴△BDE的周长为4＋8＋2a＝12＋2a．]
21．解：点P是∠AOB的平分线和线段AB的垂直平分线的交点(如图12－146所示)．
22．(1)提示：答案不唯一．如∠C＝∠D或∠ABC＝∠BAD或∠OAD＝∠OBC或AC＝BD都可以．(2)提示：答案不唯一，以AC＝BD为例．证明如下：∵∠BAC＝∠ABD，∴OA＝OB．又∵AC＝BD，∴AC－OA＝BD－OB，∴OC＝OD．
23．解：EF与BC的位置关系是：EF⊥BC．理由如下：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠BAC．又∵AE＝AF，∴∠E＝∠AFE．又∵∠BAC＝∠E＋∠AFE，∴∠AFE＝∠BAC．∴∠BAD＝∠AFE．∴EF∥AD．又∵AD⊥BC，∴EF⊥BC．
24．提示：图略．欲使△ENF的周长最小，即EN＋NF＋EF最小，而EN为定长，则必有NF＋EF最小，又点F在AB上，且E，N在AB的同侧．由轴对称的性质，可作点E关于直线AB的对称点E′，连接E′N，与AB的交点即为点F，此时，FE＋FN最小，即△EFN的周长最小．
25．解：∵∠BCD＝60°，∠BAC＝30°，∠BCD＝∠BAC＋∠CBA，∴60°＝30°＋∠CBA，∴∠CBA＝30°．∴∠BAC＝∠CBA．∴CA＝CB．又∵∠BCD＝∠BDC＝60°，∴△BCD是等边三角形．∴CD＝BC．∴AC＝CD＝BC．又∵BC＝20海里，∴AC＝CD＝20海里．∴20÷10＝2(时)，40÷10＝4(时)．∴轮船到达C处的时间是13：30，即下午1时30分．轮船到达D处的时间是15：30，即下午3时30分．
26．解：如图12－147所示．∵BD＝BE，∴∠E＝∠1．又∵∠ABC＝∠E＋∠1＝2∠1，且∠ABC＝2∠C，∴2∠1＝2∠C，∴∠1＝∠C．又∵∠1＝∠2，∴∠C＝∠2．∴FD＝FC．又∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．
∴∠3＝90°－∠2，∠4＝90°－∠C．
∴∠3＝∠4．∴AF＝FD．∴AF＝FC．