从自然数到有理数。

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1.1（1）从自然数到分数
【教学目标】
知识目标：1．理解自然数、分数的产生和发展的实际背景。
2．通过身边的例子体验自然数与分数的意义和在计数、测量、标号和排序等方面的应用。
能力目标：会运用自然数、分数（小数）的计算解决简单的实际问题，并从实际中体验由于需要而再次将数进行扩充的必要性。
情感目标：1．通过同学之间的交流、讨论，以面对面互动的形式，完成合作交流，培养良好的与人合作的精神，感受集体的力量，体验成功的喜悦。
2．从具体的例子使学生感受数学来源于生活，生活离不开数学，从而增加学习数学的兴趣。
【教学重点、难点】
重点：自然数和分数的意义及运用自然数、分数的计算解决简单的实际问题。
难点：用自然数、分数（小数）的计算解决简单的实际问题。
【教学过程】
一、新课引入
小学里，我们学习了自然数和分数，这节课我们就来回顾一下这部分的内容：从自然数到分数。
二、新课过程
用多媒体展示杭州湾大桥效果图，并显示以下报道：世界上最长的跨海大桥——杭州湾大桥于2003年6月8日奠基，这座设计日通车量为8万辆，全长36千米的6车道公路斜拉桥，是中国大陆的第一座跨海大桥，计划在5年后建成通车。
师问：你在这段报道中看到了哪些数？它们都属于哪一类数？
学生很快解决这两个问题之后，由上面这几个数，师生共同得出自然数的几个应用：
⑴属于计数如8万辆、5年后、6车道⑵表示测量结果如全长36千米⑶表示标号和排序如2003年6月8日、第一座等
显示以下练习让学生口答
下列语句中用到的数，哪些属于计数？哪些表示测量结果？哪些属于标号和排序？
（1）2002年全国共有高等学校2003所。（标号和排序计数）
（2）小明哥哥乘1425次列车从北京到天津，然后乘15路公交车到了小明家。（标号和排序标号和排序）
（3）香港特别行政区的中国银行大厦高368米，地上70层，至1993年为止是世界上第5高楼。（测量结果，计数，标号和排序，标号和排序）
做完练习之后师：随着生活和生产的需要，自然数已经不能满足实际需要了。如
（1）小华和她的7位朋友一起过生日，要平均分享一块生日蛋糕，每人可得多少蛋糕？（18）
（2）小明的身高是168厘米，如果改用米作单位，应怎样表示？（1.68米）
由于分配和测量等实际需要而产生了分数（如第（1）题）和小数（如第（2）题），它们是表示量的两种不同方式，分数小数之间可以互相转化。分数可以化为小数，因为分数可以看作两个整数相除如35=3÷5=0.6，13=0.333…反过来小学里学过的小数都可以化为分数，如0.31=31100
三、典例分析
利用自然数、分数的运算可以解决一些实际问题
例1（多媒体展示）详见书本合作学习第1题
师：请同学们分小组进行讨论，帮助小惠合理地安排时间，在列算式之前，首先解决以下几个问题，（1）从温州出发到21：40在杭州上火车，这一段时间包括哪几部分时间？（2）市内的交通和检票进站要花30到40分钟，这两个数据在计算时用哪个数据？（3）最迟的含义是什么？
由一学生回答，而后给出解题思路
用自然数列：400÷100=4（时）
21时40分—4时—40分=17时
用分数列：400÷100=4（时）
2123时—4时—23时=17时
由上题可以看到许多实际问题可以通过自然数和分数的运算得到解决。
例2（多媒体展示）详见书本合作学习第2题
师：请同学们思考我们要解决的问题涉及哪几个量？他们之间有怎样的数量关系？
生：有销售总额度，发行成本，社会福利资金，中奖者奖金
他们之间的关系：销售总额度=发行成本+社会福利资金+中奖者奖金
发行成本=15%×销售总额度
（1）中奖者奖金总额：4000-15%×4000-1400=2000（万元）
（2）以小组为单位进行探究活动，而后由一学生回答给出解题思路
思路1：在社会福利资金提高10%，发行成本保持不变，中奖者奖金总额减少6%的情形下:
销售总额度为：600+1400×（1＋10%）+2000×（1-6%）=4020≠4000所以方案不可行。
思路2：在销售总额度不变的条件下，为使社会福利资金提高10%，发行成本保持不变
这时中奖者奖金总额变为：4000-1400×（1+10%）-600=1860（万元）
原来的奖金总额是2000万元，减少了（2000-1860）÷2000=7%≠6%所以方案不可行。
思路3：销售总额度=发行成本+社会福利资金+中奖者奖金在这个式子中，由于销售总额与发行成本保持不变，当提高的社会福利资金等于减少的中奖者奖金额时，这种方案可行，否则不可行。所以问题（2）可以用如下算式求解：2000×6%=120（万元）1400×10%=140（万元）因为120≠140，所以方案不可行。
也可以用2000×6%-1400×10%=120-140
算式中被减数小于减数，能否用已学过的自然数和分数来表示结果？看来数还需作进一步的扩展，这就是我们下节课要讲的内容，在很多实际生活中，还存在着许多自然数、分数还不能满足人们生活和生产实际的需要的例子，请举个例子？（气温零上温度与零下温度的表示，飞机上升5米与下降5米的表示等）
课内练习见书本1和2（注第2题首先让学生了解一米有多长，再估计）
四、探究学习
1．由于商场在搞活动，一件衣服的价格先上涨了10%，后又下降了10%，则此时这件衣服的价格比原价是贵了还是便宜了？
五、小结
可采用先让学生谈谈本节课所学，然后教师补充的形式。本节课主要讲了自然数、分数的意义及会用自然数、分数的计算解决简单的实际问题。
六、布置作业
作业本

扩展阅读

1.2有理数

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1.2有理数
一、教学目标：
（一）知识与技能
1、借助生活中的实例，了解从自然数、分数到有理数的扩展过程，体会有理数应用的广泛性。
2、理解有理数的概念。
3、会用正数、负数、零表示生活中具有相反意义的量。
4、理解有理数的分类。
（二）能力训练要求
通过大量的现实实例，多彩的数学活动机会，让学生体验数学和现实生活的紧密联系，提高学习的兴趣，培养学习的合作交流能力，促进对知识的理解和掌握。
二、重点、难点：
1、重点：有理数的概念。
2、难点：建立正数、负数的概念对学生来说是数学抽象思维的一次重大飞跃。
三、教学过程：
1、创设情景，引入新知：
将学生从生活中寻找到的几段含有数据的材料在幻灯片中投影出来：
（说明：学生自己做的作业，较能引起学生的兴趣。）
问：材料中含有哪几类数据？
（1）本次大赛共有包括港、奥、台在内的近200支代表队，300个节目赛，其中22支代表队，37个节目进入总决赛。我市爱绿艺校代表队的32名小演员是本次参赛选手中年龄最小的，平均年龄仅5岁，但获得的荣誉却是幼儿组最高的金奖。
答：都是自然数。
（2）据了解，我国公路隧道总数已达1782座，总长度704公里，分别是改革开放之初的4.7倍和倍，是世界上公路隧道最多的国家。我国目前最长的隧道是铁路线上的秦岭隧道，全长18.46公里。正在施工的双向分离式四车道终南山隧道是世界第二、亚洲第一的公路隧道。
答：有自然数，分数。
师：我们在小学的时候已经学过自然数和分数，这些数能够满足我们生活的需要吗？还会不会有新的数?
(3)珠穆朗玛峰是喜玛拉雅山脉的主峰，海拔8848米，是中国第一高峰，也是地球上第一高峰;吐鲁番盆地位于新疆维吾尔自治区中部，天山山地东端。盆地底部海拔-155米。是中国海拔最低处。
2、具有相反意义的量：
师：这里的两个数据分别表示什么意思？“-155”这个带符号的数我们以前没有见过，它在这里表示什么意思？
生：地理上学过测量高度时，规定海平面的高度为0米，8848表示比海平面高出8848米，而-155表示比海平面低155米。
切换到另一个投影材料：
月球表面白天气温可高达123℃，夜晚可低至-233℃，图中阿波罗11号的宇航员登上月球后不得不穿着既防寒又御热的太空服。
师：这里123℃，-233℃这两个量分别表示什么意思？
生：123℃表示零上123℃，-233℃表示零下233℃。
师：你还在哪些地方见过用带“－”这个号的数？
生：企业的年收入的盈利与亏损中的亏损数经常用带“－”号的数表示，如盈利500用500记，亏损500用-500记。
生：股票中上升5元记做5，下跌3元记做-3。
师：大家观察黑板上我们刚刚举的这些例子，每个例子中出现的一对量，有什么共同特点呢？
生：这里出现的每一对量，都是表示相反意义的量。
3、正数和负数
师：这里零下233℃不用-233℃表示，直接用自然数233℃表示，可以吗？
生：不可以，因为233℃表示零上233℃而不是零下233℃。
师：看来我们学过的数不够用了，自然数、分数还不能够满足我们生活所需。在日常生活和生产实践中，我们经常会这种具有相反意义的量，如表示高度有“海拔上”与“海拔下”，温度有“零上”与”零下”,经营情况有“盈利”与“亏损”等等，为了表示具有相反意义的量，我们把一种意义的量规定为正，用过去学过的数（零除外）表示，这样的数叫做正数。把另一种与之相反的量规定为负，用过去学过的数（零除外）前面放上“－”这个符号来表示，“－”这个符号称为负号，如-155，-233等，这样的数就叫做负数。读作“负155，负233”。与负号具有相反意义的符号是“＋”号，为了突出符号正数前面可以放上正号（常省略不写）。特别要指出的是：零既不是正数也不是负数。
【做一做】：P7
2、填空：
（1）规定盈利为正，某公司去年亏损了2.5万元，记做_______万元，今年盈利了3.2万元，记做_________万元；
（2）规定海平面以上的海拔高度为正，新疆乌鲁木齐市高于海平面918米，记做海拔________米，吐鲁番盆地最低点低于海平面155米，记做海拔_______米。
【课内练习】：P8
1、填空。
（1）汽车在一条南北走向的高速公路上行驶，规定向北行驶的路程为正，汽车向北行驶75km，记做_______km（或______km）汽车向南行驶100km，记做_____km.
（2）如果向银行存入50元记为50元，那么－30.50元表示_________
（3）规定增加的百分比为正，增加25％记做________,-12%表示__________.
师：在现实生活中有具有相反意义的量实在挺多的，大家总结一下有哪些具有相反意义的量可以用正、负数表示呢？（学生讨论、总结）
一般情况下，正、负规定如下：
符号具有相反意义的量
+零上盈利收入北存入增加……
-零下亏损支出南取出减少……
4、数的分类。
师：通过今天的学习，我们数的家族出现了新的成员——负数。我们来回顾一下我们学过的数有哪些呢，并进行分类。
生讨论结果：

师：还有其他的分类方法吗？
生：

【做一做】：P7
1、（口答）读出下列各数，它们各是正数还是负数？
7，-7.46，0，
师生总结：判断正数与负数的关键师看它前面的正、负号：
有“－”号就是负数，有“＋”号或省略了正号的数就是正数。
例：下面给出的各数，哪些是正数？哪些是负数？哪些是整数？哪些是分数？哪些是有理数？
解：是正数；是负数；是整数；是分数，都是有理数。
5、小结
（1）用正数与负数表示相反意义的量。
（2）正数与负数：像1，+2.5等这样的数叫正数。像-6，-1.4，等这样的数叫负数。0既不是正数也不是负数。
（3）正数与负数在形式上的区别：负数一定带有负号。
（4）数的分类

有理数

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人教版七年级第一章第二节有理数教案
【教学目标】
知识技能
1.进一步加深对负数的认识。
2.掌握有理数的概念,会对有理数按照一定的标准进行分类,初步了解“集合”的含义。
过程方法
体会分类讨论的思想，能理解不同的分类标准有不同的分类方法，但都要求不重不漏。
情感态度
通过师生合作，使分数、整数在引入负数的基础上达到完善，从而体会到成功的快乐。
【教学重点】
正确理解有理数的概念。
【教学难点】
正确理解分类的标准和按照定的标准进行分类。
【复习引入】
1.我们知道,所有的分数都可以写成两个整数的比.
有限小数0.37可以写成两个整数的比吗?
无限循环小数也可以写成两个整数的比吗?
所有的有限小数都是分数吗?所有的无限循环小数呢?
结论:所有的有限小数和无限循环小数都是分数.
想一想:小数3.14159265是分数吗?圆周率π为什么不是分数?
你能确定小数3.14159265…是不是分数吗?
2.小学所学的整数只包括正整数和零,也就是自然数.学了负整数以后,今后我们所指的整数与小学时所学的整数有什么不同?对，还有负整数。
结论:正整数﹑零﹑负整数统称整数.
3.下列负数哪些是负分数?
-12,,-0.33,.
【教学过程】
1.所有正整数组成正整数集合,所有负整数组成负整数集合.
请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里:
1,0.0708,-700,-3.88,0,3.14159265,,.
正整数集合:{…}负整数集合:{…}
整数集合:{…}
正分数集合:{…}负分数集合:{…}
分数集合:{…}
(注意:大括号内的省略号表示什么?)
数集一般用圆圈或大括号表示，因为集合中的数是无限的，而本题中只填了所给的几个数，所以应该加上省略号。
补充：所有正数组成正数集合，所有负数组成负数集合，所有整数组成整数集合，所有分数组成分数集合，所有正数和0组成非负数集合，所有正整数和0组成自然数集合……
2.归纳概念：整数：正整数、0、负整数统称为整数。
分数：正分数、负分数统称为分数。
有理数：整数和分数统称为有理数。
3.有理数的分类：
说明：①分类的标准不同，结果也不同；②分类的结果应无遗漏、无重复；
③零是整数，零既不是正数，也不是负数.
4.典型例题
例1．把下列各数填入表示它所在的数集的圈内：
－5，－1.2，50，0.618，0，，－1.01001，π，－5%，0.3

负分数集合非负整数集合
有理数集合

正有理数集合整数集合
解：
负分数集合非负整数集合

正有理数集合整数集合

有理数集合
例2．下列命题：（1）0是正数；（2）0是整数；（3）0最小的有理数；（4）0是非负数；（5）0是偶数。正确的命题个数是…………………………（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
解析：选B。（2）（4）（5）正确。
例3.在5分钟内背过5个单词为过关，超过的记为正。现在小明的记录为－3，小华的记录为0，小军的记录为2，小丽的记录为+1，则：
（1）四个人中有几个人过关？（2）他们分别背过了几个单词？
（3）记录中的四个数字统属哪一类有理数？
解：（1）小华、小军、小丽3个过关。
（2）小华背5个，小军背7个，小丽背6个。
(3)属于有理数中的整数集合。

【课堂作业】
1.把下列各数填入它所属于的集合的圈内：
正整数集合负整数集合

正分数集合负分数集合
思考：上面的练习中四个集合合并在一起就是全体有理数的集合吗？

2.下列各数,哪些是整数?哪些是分数?哪些是正数?哪些是负数?
+7,-5,,,79,0,0.67,,+5.1
3.0是整数吗?自然数一定是整数吗?0一定是正整数吗?整数一定是自然数吗?
4．如图，两个圈内分别表示所有正数组成的正数集合和所有整数组成的整数集合.请写出3个分别满足下列条件的数：
1）属于正数集合，但不属于整数集合的数；
2）属于整数集合，但不属于正数集合的数；
3）既属于正数集合，又属于整数集合的数.
将它们分别填入图中适当的位置.你能说出这两个圈的重叠部分表示什么数的集合吗？
5．在数-100,70.8,-7,π,-3.8,0,,,中,不是分数的是___________________;不是小数的是_____________;不是有理数的是__________.

参考答案：
1.

正整数集合负整数集合

正分数集合负分数集合
答：不是。因为他们漏掉了0。
2.整数有7，-5，79，0。
分数有。
正数有7，79，0.67，+5.1，。
负数有。
3.0是整数；自然数一定是整数；0不是正整数；
整数不一定是自然数，因为负整数就不是自然数。
4.略
5.不是分数的是-100,-7,π,0,；不是小数的是-100,-7,0；
不是有理数的是π,。
【教学反思】
1．本课在引人了负数后对所学过的数按照一定的标准进行分类，提出了有理数的概念．分类是数学中解决问题的常用手段，通过本节课的学习使学生了解分类的思想并进行简单的分类是数学能力的体现，教师在教学中应引起足够的重视．关于分类标准与分类结果的关系，分类标准的确定可向学生作适当的渗透，集合的概念比较抽象，学生真正接受需要很长的过程，本课不要过多展开。
2．本课具有开放性的特点，给学生提供了较大的思维空间，能促进学生积极主动地参加学习，亲自体验知识的形成过程，可避免直接进行分类所带来的枯燥性；同时还体现合作学习、交流、探究提高的特点，对学生分类能力的养成有很好的作用。

《有理数》复习要点

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《有理数》复习要点

一、正数和负数
1、大于0的数叫做正数，在正数前面加一个“—”的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数；
2、表示相反意义的量：
盈利与亏损，存入与支出，增加与减少，运进与运出，上升与下降等
3、正、负数所表示的实际意义：
例题：北京冬季里某天的温度为—3°C～3°C，它的确切含义是什么？这一天北京的温差是多少？吐鲁番盆海拔—155米，世界最高峰珠穆朗玛海拔8848.13米

二、有理数
2.1有理数的分类
2.2数轴
1、定义：用一条直线上的点表示数，这条直线就叫做数轴。
2、满足的条件：
（1）在直线上取一个点表示数0，这个点叫做原点；
（2）通常规定直线从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；
（3）选取适当的长度为单位长度。
2.3相反数
定义：只有符号不相同的两个数叫做相反数
一般地：a和互为相反数，0的相反数仍然是0。
在正数的前面添加负号，就得到这个正数的相反数；在分数的前面添加负号，就得到这个数的相反数。
2.4绝对值
1、定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作∣a∣
由定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
（1）当a是正数时，∣a∣=；（2）当a是负数时，∣a∣=；（3）当a=0时，∣a∣=。
2.5比较两个数的大小
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；
（2）两个负数，绝对值大的反而小。
三、有理数的加减法
1、加法法则：（1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）异号两数相加：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数和零相加：任何数和零相加都等于它本身。
2、加法交换律、结合律
（1）有理数的加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变a+b=b+a
（2）有理数的加法结合律：三个数相加，先把前面两个数相加，或先把后两个数相加，和不变(a+b)+c=a+(b+c)
3、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数：a-b=a+(-b)
四、有理数的乘除法
有理数的乘法法则：
1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相乘。
2.任何数同0相乘，都得0。
3.几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，
当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
4．乘法的：交换律、结合律、分配律
有理数的除法法则：
1、除以一个不等于0的数，等于乘上这个数的倒数；
2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
3、0除以任何一个不等于0的数，都是0.