高中函数的应用教案

函数概念的应用。

1.2.1函数的概念
第二课时函数概念的应用

课前预习学案
一、预习目标
1．通过预习熟知函数的概念
2．了解函数定义域及值域的概念
二、预习内容
1．函数的概念：设A、B是__________，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的_______数x，在集合B中都有__________的数f(x)和它对应，那么就称_______为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的_______；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合_________叫做函数的值域．值域是集合B的______。
注意：①如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；②函数的定义域、值域要写成_________的形式．
定义域补充：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：（1）分式的分母________；(2)偶次方根的被开方数_________；(3)对数式的真数_______；(4)指数、对数式的底_________.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以_______(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
2．构成函数的三要素：_______、_________和__________
注意：（1）函数三个要素中．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的_______和_________完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①____________________；②______________________(两点必须同时具备)
3.函数图象的画法
①描点法：②图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、__________和___________
4．区间的概念（1）区间的分类：________、_________、_________；
说明：实数集可以表示成(–∞，+∞)不可以表示成[–∞，+∞]--------切记高.考.资.源.
5．什么叫做映射：一般地，设A、B是两个____的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的________元素x，在集合B中都有_________的元素y与之对应，那么就称对应_________为从集合A到集合B的一个映射。
说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应
①集合A、B及对应法则f是确定的②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有____与之对应（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是____；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有对应的元素。
6．函数最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：
（1）__________________________________(2)________________________________
那么我们称M是函数y=f(x)的最大值；
函数最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：
（1）__________________________________(2)__________________________________
那么我们称M是函数y=f(x)的最小值
7：分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应把几种不同的表达式用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．说明：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的____，值域是各段值域的_____．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容

课内探究学案
一、学习目标
1．进一步加深对函数概念的理解，掌握同一函数的标准；
2．了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域．
学习重点
能熟练求解常见函数的定义域和值域．
学习难点
对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解．
二、学习过程
创设情境
下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数？为什么？
（1）f(x)＝(x－1)0；g(x)＝1；（2）f(x)＝x；g(x)＝x2；
（3）f(x)＝x2；g(x)＝(x+1)2；、（4）f(x)＝|x|；g(x)＝x2．
讲解新课
总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同
例1求下列函数的定义域：
（1）；（2）；

变式练习1求下列函数的定义域：（1）；（2）．

若A是函数的定义域，则对于A中的每一个x，在集合B都有一个值输出值y与之对应．我们将所有的输出值y组成的集合称为函数的值域．

因此我们可以知道：对于函数f：AB而言，如果如果值域是C，那么，因此不能将集合B当成是函数的值域．
我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了．

例2．求下列两个函数的定义域与值域：
（1）f(x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}；
（2）f(x)=(x-1)2+1．

变式练习2求下列函数的值域：
（1），，；
（2）；

三、当堂检测
（1）P25练习7；
（2）求下列函数的值域：
①；②,，6]．③．

课后练习与提高
1.函数满足则常数等于（）
A.B.C.D.
2.设，则的值为（）
A.B.C.D.
3.已知函数定义域是，则的定义域是（）
A.B.C.D.
4.函数的值域是（）
A.B.C.D.
5.已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，f（－2）＝10，则f（2）=____．
6.若函数，则=

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函数的概念与性质

函数的概念与性质
一、学习要求
①了解映射的概念，理解函数的概念；
②了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数单调性奇偶性的方法；
③了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数；
④理解分数指数幂的概念，掌握有理数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质；
⑤理解对数函数的概念、图象和性质；⑥能够应用函数的性质、指数函数和对数函数性质解决某些简单实际问题．

二、两点解读
重点：①求函数定义域；②求函数的值域或最值；③求函数表达式或函数值；④二次函数与二次方程、二次不等式相结合的有关问题；⑤指数函数与对数函数；⑥求反函数；⑦利用原函数和反函数的定义域值域互换关系解题．
难点：①抽象函数性质的研究；②二次方程根的分布．

三、课前训练
1．函数的定义域是（D）
（A）（B）（C）（D）
2．函数的反函数为（B）
（A）（B）
（C）（D）
3．设则．
4．设，函数是增函数，则不等式的解集为(2,3)

四、典型例题
例1设，则的定义域为（）
（A）（B）
（C）（D）
解：∵在中，由，得，∴，
∴在中，．
故选B
例2已知是上的减函数，那么a的取值范围是（）
（A）（B）（C）（D）
解：∵是上的减函数，当时，，∴；又当时，，∴，∴，且，解得：．∴综上，，故选C
例3函数对于任意实数满足条件，若，则
解：∵函数对于任意实数满足条件，
∴，即的周期为4，
∴，
∴
例4设的反函数为,若×
，则2
解：
∴m+n=3，f(m+n)=log3(3+6)=log39=2
（另解∵,
∴）
例5已知是关于的方程的两个实根，则实数为何值时，大于3且小于3？
解：令，则方程
的两个实根可以看成是抛物线与轴的两个交点（如图所示），
故有：，所以：，
解之得：
例6已知函数有如下性质:如果常数,那么该函数在上是减函数,在上是增函数．如果函数的值域为，求b的值；
解：函数的最小值是，则＝6，∴；

函数概念

年级高一

学科数学

课题

函数概念2

授课时间

撰写人

学习重点

求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；

学习难点

求函数的定义域与值域及对函数的定义域或值域书写形式

学习目标

1.会求一些简单函数的定义域值域

2.对函数概念的进一步理解

3.会对函数的定义域或值域正确书写

教学过程

一自主学习

复习

1.函数的概念：

2．函数的三要素是、、.3.函数与y＝3x是不是同一个函数？为何？4.求函数定义域的规则

练一练

求下列函数的定义域（用区间表示）.（1）；

（2）；

（3）

二师生互动

例1求下列函数的值域（用区间表示）：（1）y＝x－3x＋4；（2）；（3）y＝；（4）.

变式：求函数的值域及定义域。

小结：求函数值域的常用方法有：

观察法、配方法、拆分法、基本函数法.

练一练

求下列函数的定义域及值域

（1）（2）（3）例2对函数，以下说法中正确的是

（1）是的函数；（2）对于不同的，的值也不同；（3）表示当x=a时函数的值，是一个常量；（4）一定可以用一个具体式子表示出来；（5）当和确定后，的值也就确定了。

三巩固练习

1.函数的定义域是（）.A.B.C.RD.2.函数的值域是（）.A.B.C.D.R3.下列各组函数的图象相同的是（）

A.

B.

C.

D.4.函数f(x)=+的定义域用区间表示是.5.已知，则的值6.函数对任意实数满足条件，若，则

四课后反思

五课后巩固练习

1.设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积y关于x的函数的解析式，并写出定义域.

2．(2009江西)函数的定义域

3.（2007北京)已知函数，分别由下表给出

则的值为；当时，．

函数的应用

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助教师更好的完成实现教学目标。教案的内容要写些什么更好呢？下面是由小编为大家整理的“函数的应用”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

2.3函数的应用（Ⅰ）
一．学习目标：１．进一步巩固函数模型在实际中的应用；２．掌握应用题的解答步骤；
３．掌握数学建模的基本思路；
二．上节回顾：１．函数模型：２．数学建模步骤：
三．典例分析：
例1：（见课本第67页例4）
变式训练：南方某地市场信息中心为了分析本地区蔬菜的供求情况，通过调查得到家种野菜“芦蒿”的市场需求量和供应量数据（见下表）
需求量吨
403837.13632.830
价值千元/吨22.42.62.83.44

价值千元/吨22.53.24.4655.3
供应量吨
293236.340.944.647

（1）试写出描述芦蒿市场需求量关于价格的近似函数关系式；
（2）试根据这些信息，探求市场对芦蒿的供求平衡量（需求量与供应量相等，又称供求平衡）（近似到吨）.

例2．为了尽快改善职工住房困难，鼓励个人购房和积累建房公基金，决定住房的职工必须按基本工资的高低交纳建房公积金，假设办法如下表：
每月工资公积金
100元以下不交纳
100元至200元交纳超过100元部分的5％
200元至300元100元至200元部分交纳5％，
超过200元部分交纳10％
300元以上100元至200元部分交纳5％，
200元至300元部分交纳10％，
300元以上部分交纳15％
设职工每月工资为元，交纳公积金后实得工资为元，求与之间的关系式．

变式练习：《国务院关于修改＜中华人民共和国个人所得税法实施条例＞的决定》已于2008年3月1日起施行，个人所得税率表示如下：
级数全月应纳税所得额税率
1不超过500元的部分5%
2超过500元至2000元的部分10%
3超过2000至5000元的部分15%
………
9超过10000元的部分45%
注：本表所称全月应纳税所得额每月改入额减去2000元的余额.
若个人月收入额为元，应缴税费为元，当时，写出与之间的函数关系式.
例3．向高为的水瓶注水，注满为止，如果注水量与水深的函数亲系的图象如
图所示，那么水瓶的形状是（）

变式练习：如右图高为的圆形被高度为的水平线截
得阴影面积为，则的图象大致是（）

限时训练：
1．甲、乙两学生在操场上煅炼身体，操场一圈300米，甲学生以速度跑第一圈，然后以速度走完第二圈，而乙学生以速度走完第一圈，然后以速度跑第二圈，则能反映出两人时间与路程的函数图象是（粗线是甲的图象）（）
2．某工厂八年来某种产品总产量与时间（年）的函数关系如右图，下列四种说法：
○1前三年中产量增长速度越来越快；
○2前三年中产量增长速度越来越慢；
○3第三年后，这种产品停止生产；
○4第三年后，年产量保持不变．
其中说法正确的是＿＿＿＿＿＿．
3．如下图所示，向高为H的水瓶A、B、C、D同时以等速注水，注满为止.
（１）若水量V与水深ｈ的函数图象是下图的（ａ），则水瓶的形状是＿＿＿＿；（２）若水深ｈ与注水时间ｔ的函数图象是下图的（ｂ），则水瓶的形状是＿＿＿＿；（３）若注水时间ｔ与水深ｈ的函数图象是下图的（ｃ），则水瓶的形状是＿＿＿＿；（４）若水量V与注水时间ｔ的函数的图象是下图中的（ｄ），则水瓶的形状是＿＿．

4．某市一种出租车标价为1.2元/ｋｍ，但事实上的收费标准如下：最开始4ｋｍ内不管车行驶路程多少，均收费10元（即起步费），4ｋｍ后到15ｋｍ之间，每公里收费1.20元，15km后每公里再加收50%，即每公里1.80元。试写出收费金额与打车路程之间的函数关系（其他因素产生的费用不计）

5.机车开始行驶时，油箱中有油4升，如果每小时耗油0.5升，那么油箱中余油（升）与它工作的时间（小时）之间的函数关系的图象是（）

6．下图中的折线为甲地向乙地打长途电话所需付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的函数关系图象.当时，该图象的解析式为_______________;从图象可知，通话2分钟需付电话费__________元；通话7分钟需付电话费__________元.

7．如图所示，一动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，顺次经过B、C、D点再回到A点，设x表示P点的行程，y表示线段PA的长，求出y关于x的函数关系式.

8．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为，其中ｘ为销售量（单位：辆），若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（）
（A）45.606万元（B）45.6万元（Ｃ）45.56万元（D）45.51万元
９．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
，其中ｘ是仪器的月产量．
（１）将利润表示为月产量的函数；
（２）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收入＝总成本＋利润）

指数函数的概念

课题：指数函数的定义

【教学目标】
1．通过实际问题了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义.
2．在学习的过程中体会研究具体函数的过程和方法.
3．让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活得哲理；培养学生观察问题、分析问题的能力.
【教学重点】
指数函数定义及其理解.
【教学难点】
指数函数的定义及其理解.
【教学步骤】
（一）引入课题
引例1任何有机体都是由细胞作为基本单位组成的，每个细胞每次分裂为2个，则1个细胞第一次分裂后变为2个细胞，第二次分裂就得到4个细胞，第三次分裂后就得到8个细胞……
问题：1个细胞分裂次后，得到的细胞个数与的关系式是什么？
分裂次数细胞个数
……
由上面的对应关系，我们可以归纳出，第次分裂后，细胞的个数为.
这个函数的定义域是非负整数集，由，任给一个值，我们就可以求出对应的值.
引例2一种放射性元素不断衰变为其他元素，每经过一年剩余的质量约为原来的84%.
问题：若设该放射性元素最初的质量为1，则年后的剩余量与的关系式是什么？
时间剩余质量
经过1年
经过2年
经过3年
……
由上面的对应关系，我们可以归纳出，经过年后，剩余量.
问题：上面两个实例得到的函数解析式有什么共同特征？
它们的自变量都出现在指数位置上，底数是一个大于0且不等于1的常量.我们称这样的函数为指数函数.
(二)讲授新课
1．指数函数的定义：
一般地，形如的函数，叫做指数函数，其中是自变量,是不等于1的正的常数．
说明：（1）由于我们已经将指数幂推广到实数指数幂，因此当＞0时，自变量可以取任意的实数，因此指数函数的定义域是R，即.
(2)为什么要规定底数呢.
因为当时，若，则恒为0；若≤0，则无意义.
而当时，不一定有意义，例如，时，显然没有意义.
若时，恒为1，没有研究的必要.
因此，为了避免上述情况，我们规定.注意：此解释只要能说明即可，不必深化，也可视学生情况决定是否向同学解释.
练一练：
下列函数中，哪些是指数函数？
，，，，，，，，.
分析：紧扣指数函数的定义，形如函数叫做指数函数，即前面的系数为1，是一个正常数，指数是.
解：，，，都是指数函数，其余都不是指数函数.
(三)典型例题
例1已知指数函数，求，，，的值.
解：；
；
；
.
例2已知指数函数，若，求自变量的值.
解：将代入，得
，
即，
所以.
例3设，若，求的值.
解：由已知，得
，
即，
因为，
所以.
(四)课堂练习
1．已知指数函数，求，，，的值.
2．已知指数函数，若，求自变量的值.
(五)课堂小结
1.指数函数的定义；
2.研究函数的方法.
(六)课后作业
教材P102练习1，2，3.

(七)板书设计
指数函数的定义
一、指数函数的定义：二、例题：三、练习：四、小结：
例11、
练一练:例22、五、作业：
例3
【教学设计说明】
1．本节课的教学，首先从实际问题引入指数函数的概念，这样既说明指数函数的概念来源于生活实际，也便于学生接受和培养学生用数学的意识.由于本节课是指数函数的起始课，只介绍了指数函数的定义，因此应让学生在理解概念的基础上，落实所学知识.在例题方面，选取紧密联系函数解析式的三种类型题目.例1，已知自变量求函数值；例2，已知函数值求自变量，例3，已知指数函数经过某点确定底数.通过这三方面例题的讲授，使学生对指数函数的解析式有一个较全面的理解，同时为后面指数函数的图像与性质的学习奠定基础.
2．本节课的教学过程：
（1）从实际问题引入，得到指数函数的概念；
（2）对指数函数的进一步理解；
（3）例题、练习、小结、作业.