高三数学教案：《圆锥曲线的方程》教学设计。

一名优秀的教师就要对每一课堂负责，教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，使教师有一个简单易懂的教学思路。你知道怎么写具体的教案内容吗？以下是小编收集整理的“高三数学教案：《圆锥曲线的方程》教学设计”，相信您能找到对自己有用的内容。

高考要求

求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法

重难点归纳

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤

定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置

定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)

定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小

典型题例示范讲解

例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m 建立坐标系并写出该双曲线方程

命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力

知识依托 待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积

同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程

命题意图 本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强

知识依托 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题

错解分析 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键

技巧与方法 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式 解法二，用韦达定理

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第二章圆锥曲线与方程(曲线方程、椭圆)教学设计

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以更好的帮助学生们打好基础，让教师能够快速的解决各种教学问题。你知道如何去写好一份优秀的教案呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“第二章圆锥曲线与方程(曲线方程、椭圆)教学设计”，欢迎阅读，希望您能阅读并收藏。

2.1曲线与方程
2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的轨迹方程
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点
通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．
(三)学科渗透点
通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．
二、教材分析
1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．
(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．
(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．)
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
三、教学过程
学生探究过程：
(一)复习引入
大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：
(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
(2)通过方程，研究平面曲线的性质．
我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．
(二)几种常见求轨迹方程的方法
1．直接法
由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．
例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；
(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．
对(1)分析：
动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．
解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．
即x2+y2=4R2或x2+y2=0．
故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．
对(2)分析：
题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：
设弦的中点为M(x，y)，连结OM，
则OM⊥AM．
∵kOMkAM=-1，
其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．
2．定义法
利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．
直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．
分析：
∵点P在AQ的垂直平分线上，
∴|PQ|=|PA|．
又P在半径OQ上．
∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．
故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义
写出P点的轨迹方程．
解：连接PA∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．
又P在半径OQ上．
∴|PO|+|PQ|=2．
由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．
3．相关点法
若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．
例3已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．
分析：
P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．
解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)
∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．
4．待定系数法
求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．
例4已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲
曲线方程．
分析：
因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方
ax2-4b2x+a2b2=0
∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根．
∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b．
(以下由学生完成)
由弦长公式得：
即a2b2=4b2-a2．
(三)巩固练习
用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果．练习题用一小黑板给出．
1．△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的
2．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？
3．求抛物线y2=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程．
答案：
义法)
由中点坐标公式得：

(四)、教学反思
求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍．

五、布置作业
1．两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程．
2．动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0)的距离少2，求P点的轨迹．
3．已知圆x2+y2=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程．作业答案：
1．以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4
2．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P点只能在x轴上且x＜1，轨迹是一条射线
六、板书设计

圆锥曲线与方程导学案

§2.2.1椭圆及其标准方程(1)
学习目标
1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；
2．掌握椭圆的定义；
3．掌握椭圆的标准方程．

学习过程
一、课前准备
（预习教材理P61~P63，文P32~P34找出疑惑之处）
复习1：过两点,的直线方程．

复习2：方程表示以为圆心,为半径的．

二、新课导学
※学习探究
取一条定长的细绳，
把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个．
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的保持不变，即笔尖等于常数．

新知１：我们把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

反思：若将常数记为，为什么？
当时，其轨迹为；
当时，其轨迹为．

试试：
已知，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是．
小结：应用椭圆的定义注意两点：
①分清动点和定点；
②看是否满足常数．
新知２：焦点在轴上的椭圆的标准方程
其中

若焦点在轴上，两个焦点坐标，

则椭圆的标准方程是．
※典型例题
例1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴，焦点在轴上；
⑵，焦点在轴上；
⑶．
变式：方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的范围．
小结：椭圆标准方程中：；．

例2已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程．

变式：椭圆过点，，，求它的标准方程．

小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程．

※动手试试
练1.已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（）．
A．B．6C．D．12

练2．方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的范围．

三、总结提升
※学习小结
1.椭圆的定义：
2.椭圆的标准方程：

※知识拓展
1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长．
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）．
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．平面内一动点到两定点、距离之和为常数，则点的轨迹为（）．
A．椭圆B．圆
C．无轨迹D．椭圆或线段或无轨迹
2．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（）．
A．B．
C．D．
3．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一个焦点的距离是（）．
A．4B．14C．12D．8
4．椭圆两焦点间的距离为，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于和，则椭圆的标准方程
是．
5．如果点在运动过程中，总满足关系式，点的轨迹是，它的方程是．

课后作业
1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在轴上，焦距等于，并且经过点；
⑵焦点坐标分别为，；
⑶．

2.椭圆的焦距为，求的值．
§2.2.1椭圆及其标准方程(2)
学习目标
1．掌握点的轨迹的求法；
2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．

学习过程
一、课前准备
复习1：椭圆上一点到椭圆的左焦点的距离为，则到椭圆右焦点的距离
是．
复习2：在椭圆的标准方程中,,,则椭

圆的标准方程是

二、新课导学
※学习探究
问题：圆的圆心和半径分别是什么?
问题：圆上的所有点到(圆心)的距离都等于(半径)；

反之,到点的距离等于的所有点都在
圆上．

※典型例题
例1在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？

变式：若点在的延长线上，且，则点的轨迹又是什么？
小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．

例2设点的坐标分别为，.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程．

变式：点的坐标是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是，点的轨迹是什么？

※动手试试
练1．求到定点与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程．

练2．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．
三、总结提升
※学习小结
1.①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；

②相关点法：寻求点的坐标与中间的关系，然后消去，得到点的轨迹方程．

※知识拓展
椭圆的第二定义：
到定点与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹．
定点是椭圆的焦点；
定直线是椭圆的准线；
常数是椭圆的离心率．
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．若关于的方程所表示的曲线是椭圆，则在（）．
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2．若的个顶点坐标、，的周长为，则顶点C的轨迹方程为（）．
A．B．C．D．
3．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（）．
A．椭圆B．线段
C．不存在D．椭圆或线段
4．与轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是．
5.设为定点，||=，动点满足，则动点的轨迹是．

课后作业
1．已知三角形的一边长为，周长为，求顶点的轨迹方程．
2．点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．

§2.2.2椭圆及其简单几何性质（1）
学习目标
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；
2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．

学习过程
一、课前准备
（预习教材理P43~P46，文P37~P40找出疑惑之处）
复习1：椭圆上一点到左焦点的距离是，那么它到右焦点的距离是．

复习2：方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是．
※学习探究
问题1：椭圆的标准方程，它有哪些几何性质呢？
范围：：：

对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；

顶点：（），（），（），（）；

长轴，其长为；短轴，其长为；

离心率：刻画椭圆程度．
椭圆的焦距与长轴长的比称为离心率，
记，且．
试试：椭圆的几何性质呢？
图形：
范围：：：

对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；

顶点：（），（），（），（）；

长轴，其长为；短轴，其长为；

离心率：=．
反思：或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？

※典型例题
例1求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．

变式：若椭圆是呢？

小结：①先化为标准方程，找出，求出；
②注意焦点所在坐标轴．
例2点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹．

小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆．

※动手试试
练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在轴上，，；
⑵焦点在轴上，，；
⑶经过点，；
⑷长轴长等到于，离心率等于．

三、总结提升
※学习小结
1．椭圆的几何性质：
图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；

2．理解椭圆的离心率．

※知识拓展
（数学与生活）已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆，且篮球与地面的接触点是椭圆的焦点．
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．若椭圆的离心率，则的值是（）．
A．B．或C．D．或
2．若椭圆经过原点，且焦点分别为，，则其离心率为（）．
A．B．C．D．
3．短轴长为，离心率的椭圆两焦点为，过作直线交椭圆于两点，则的周长为（）．
A．B．C．D．
4．已知点是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于，则点的坐标是．
5．某椭圆中心在原点，焦点在轴上，若长轴长为，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是．

课后作业
1．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？
⑴与；
⑵与．

2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴经过点，；
⑵长轴长是短轴长的倍，且经过点；
⑶焦距是，离心率等于．

§2.2.2椭圆及其简单几何性质(2)
学习目标
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质；
2．椭圆与直线的关系．

学习过程
一、课前准备
（预习教材理P46~P48，文P40~P41找出疑惑之处）
复习1：椭圆的焦点坐标是（）（）；长轴长、短轴长；离心率．
复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？
二、新课导学
学习探究
问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？
问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？
反思：点与椭圆的位置如何判定？
典型例题
例1已知椭圆，直线：
。椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？

变式：最大距离是多少？

动手试试
练1已知地球运行的轨道是长半轴长
，离心率的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．

练2．经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求的长．
三、总结提升
学习小结
1．椭圆在生活中的运用；
2．椭圆与直线的位置关系：
相交、相切、相离（用判定）．
※知识拓展直线与椭圆相交，得到弦，
弦长
其中为直线的斜率，是两交点坐标．
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．设是椭圆，到两焦点的距离之差为，则是（）．
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
2．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）．
A.B.C.D.
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（）．
A.B.3C.D.
4．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列，则其离心率为．
5．椭圆的焦点分别是和，过原点作直线与椭圆相交于两点，若的面积是，则直线的方程式是．
课后作业
1．求下列直线与椭圆的交点坐标．2．若椭圆，一组平行直线的斜率是
⑴这组直线何时与椭圆相交？
⑵当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上？

§2.3.1双曲线及其标准方程
学习目标
1．掌握双曲线的定义；
2．掌握双曲线的标准方程．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P52~P55，文P45~P48找出疑惑之处）
复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？

复习2：在椭圆的标准方程中，有何关系？若，则写出符合条件的椭圆方程．

二、新课导学
※学习探究
问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？

如图2-23，定点是两个按钉，是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点移动时，
是常数，这样就画出一条曲线；
由是同一常数，可以画出另一支．

新知1：双曲线的定义：
平面内与两定点的距离的差的等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线。
两定点叫做双曲线的，
两焦点间的距离叫做双曲线的．

反思：设常数为，为什么？
时，轨迹是；
时，轨迹．
试试：点，，若，则点的轨迹是．

新知2：双曲线的标准方程：

（焦点在轴）
其焦点坐标为，．

思考：若焦点在轴，标准方程又如何？

※典型例题
例1已知双曲线的两焦点为，，双曲线上任意点到的距离的差的绝对值等于，求双曲线的标准方程．

变式：已知双曲线的左支上一点到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为．

例2已知两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程．

变式：如果两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？

小结：采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置．

动手试试
练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：
（1）焦点在轴上，，；
（2）焦点为，且经过点．

练2．点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们斜率之积是，试求点的轨迹方程式，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状．

三、总结提升
※学习小结
1．双曲线的定义；
2．双曲线的标准方程．
※知识拓展
GPS(全球定位系统)：双曲线的一个重要应用．
在例2中，再增设一个观察点，利用，两处测得的点发出的信号的时间差，就可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定点的准确位置．

学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（）．
A.双曲线B.双曲线的一支
C.两条射线D.一条射线
2．双曲线的一个焦点是，那么实数的值为（）．
A．B．C．D．
3．双曲线的两焦点分别为，若，则（）．
A.5B.13C.D.
4．已知点，动点满足条件.则动点的轨迹方程为．
5．已知方程表示双曲线，则的取值范围．

课后作业
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程式：
（1）焦点在轴上，，经过点；
（2）经过两点，．

2．相距两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差，已知声速是，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？

§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)
学习目标
1．理解并掌握双曲线的几何性质．
学习过程
一、课前准备：
（预习教材理P56~P58，文P49~P51找出疑惑之处）
复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程：
①，焦点在轴上；
②焦点在轴上，焦距为8，．
复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？

二、新课导学：
※学习探究
问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线的几何性质?

范围：：：

对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．

顶点：（），（）．
实轴，其长为；虚轴，其长为．
离心率：．
渐近线：
双曲线的渐近线方程为：．

问题2：双曲线的几何性质?
图形：

范围：：：

对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．

顶点：（），（）
实轴，其长为；虚轴，其长为．

离心率：．
渐近线：
双曲线的渐近线方程为：．
新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫双曲线．
典型例题
例1求双曲线的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．

变式：求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

例2求双曲线的标准方程：
⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；
⑵离心率，经过点；
⑶渐近线方程为，经过点．
※动手试试
练1．求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．

练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是，求它的标准方程和渐近线方程．

三、总结提升：
※学习小结
双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线．
※知识拓展
与双曲线有相同的渐近线的双曲线系方程式为
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．双曲线实轴和虚轴长分别是（）．
A．、B．、
C．4、D．4、
2．双曲线的顶点坐标是（）．
A．B．C．D．（）
3．双曲线的离心率为（）．
A．1B．C．D．2
4．双曲线的渐近线方程是．
5．经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是．

课后作业
1．求焦点在轴上，焦距是16，的双曲线的标准方程．

2．求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程．

§2.3.2双曲线的简单几何性质(2)
学习目标
1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；
2．掌握椭圆的定义；
3．掌握椭圆的标准方程．

学习过程
一、课前准备
（预习教材理P58~P60，文P51~P53找出疑惑之处）
复习1：说出双曲线的几何性质?

复习2：双曲线的方程为，
其顶点坐标是()，()；

渐近线方程．

二、新课导学
※学习探究
探究1：椭圆的焦点是？

探究2：双曲线的一条渐近线方程是，则可设双曲线方程为？

问题：若双曲线与有相同的焦点，它的一条渐近线方程是，则双曲线的方程是？

※典型例题
例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．
例2点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点的轨迹．

（理）例3过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求两点的坐标．
变式：求？
思考：的周长？
※动手试试
练1．若椭圆与双曲线的焦点相同，则=____.
练2．若双曲线的渐近线方程为，求双曲线的焦点坐标．
三、总结提升
※学习小结
1．双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合；

2．双曲线的另一定义；

3．（理）直线与双曲线的位置关系．

※知识拓展

双曲线的第二定义：

到定点的距离与到定直线的距离之比大于1的点的轨迹是双曲线．

学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则的值为（）．
A．B．C．D．
2．以椭圆的焦点为顶点，离心率为的双曲线的方程（）．
A.B.
C.或D.以上都不对
3．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线于、，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（）．
A.B.C.D.
4．双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_______________.
5．方程表示焦点在x轴上的双曲线，则的取值范围．

课后作业
1．已知双曲线的焦点在轴上，方程为，两顶点的距离为，一渐近线上有点，试求此双曲线的方程．

§2.4.1抛物线及其标准方程
学习目标
掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形．

学习过程
一、课前准备
（预习教材理P64~P67，文P56~P59找出疑惑之处）
复习1：函数的图象是，它的顶点坐标是（），对称轴是．

复习2：点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则点的轨迹是什么图形？

二、新课导学
※学习探究
探究1：若一个动点到一个定点和一条定直线的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？

新知1：抛物线
平面内与一个定点和一条定直线的
距离的点的轨迹叫做抛物线．

点叫做抛物线的；
直线叫做抛物线的．

新知2：抛物线的标准方程
定点到定直线的距离为（）．

建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式：

图形标准方程焦点坐标准线方程
试试：
抛物线的焦点坐标是（），
准线方程是；
抛物线的焦点坐标是（），
准线方程是．

※典型例题
例1（1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程．
变式：根据下列条件写出抛物线的标准方程：
⑴焦点坐标是(0,4)；
⑵准线方程是；
⑶焦点到准线的距离是．
例2一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径为，深度为，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
※动手试试
练1．求满足下列条件的抛物线的标准方程:
(1)焦点坐标是；
(2)焦点在直线上．
练2．抛物线上一点到焦点距离是，则点到准线的距离是，点的横坐标是．
三、总结提升
※学习小结
1．抛物线的定义；
2．抛物线的标准方程、几何图形．
※知识拓展
焦半径公式：
设是抛物线上一点，焦点为，则线段叫做抛物线的焦半径．
若在抛物线上，则
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．对抛物线，下列描述正确的是（）．
A．开口向上，焦点为
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为
D．开口向右，焦点为
2．抛物线的准线方程式是（）．
A．B．
C．D．
3．抛物线的焦点到准线的距离是（）．
A.B.C.D.
4．抛物线上与焦点的距离等于的点的坐标是．
5．抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为．
课后作业
1．点到的距离比它到直线的距离大1，求点的轨迹方程．

2．抛物线上一点到焦点的距离，求点的坐标．

§2.4.2抛物线的简单几何性质（1）
学习目标
1．掌握抛物线的几何性质；
2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．
学习过程
一、课前准备
复习1：准线方程为x=2的抛物线的标准方程是．

复习2：双曲线有哪些几何性质？

二、新课导学
※学习探究
探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？

新知：抛物线的几何性质

图形

试试：画出抛物线的图形，
顶点坐标（）、焦点坐标（）、
准线方程、对称轴、
离心率．
※典型例题
例1已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程．

变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？求出它们的标准方程．

小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解．
例2斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长．

变式：过点作斜率为的直线，交抛物线于，两点，求．

小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解．
※动手试试
练1.求适合下列条件的抛物线的标准方程：
⑴顶点在原点，关于轴对称，并且经过点
，；
⑵顶点在原点，焦点是；
⑶焦点是，准线是．

三、总结提升
※学习小结
1．抛物线的几何性质；
2．求过一点的抛物线方程；
3．求抛物线的弦长．

※知识拓展
抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径．
其长为．

学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．下列抛物线中，开口最大的是（）．
A．B．
C．D．
2．顶点在原点，焦点是的抛物线方程（）．
A．B．
C．D．
3．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为，则等于（）．
A．B．C．D．
4．抛物线的准线方程是．
5．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，则=．

课后作业
1．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出
图形：
⑴顶点在原点，对称轴是轴，并且顶点与焦点的距离等到于；
⑵顶点在原点，对称轴是轴，并且经过点．

2是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，求．

§2.4.2抛物线的简单几何性质（2）
学习目标
1．掌握抛物线的几何性质；
2．抛物线与直线的关系．
学习过程
一、课前准备
复习1：以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点的抛物线的方程为（）．
A．B.或
C.D.或
复习2：已知抛物线的焦点恰好是椭圆的左焦点，则=．
二、新课导学
※学习探究
探究1：抛物线上一点的横坐标为6，这点到焦点距离为10，则：
①这点到准线的距离为；
②焦点到准线的距离为；
③抛物线方程；
④这点的坐标是；
⑤此抛物线过焦点的最短的弦长为．
※典型例题
例1过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，通过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴．

（理）例2已知抛物线的方程，直线过定点，斜率为为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
小结：
①直线与抛物线的位置关系：相离、相交、相切；
②直线与抛物线只有一个公共点时，
它们可能相切，也可能相交．
※动手试试
练1.直线与抛物线相交于，两点，求证：．

2．垂直于轴的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程．
三、总结提升
※学习小结
1．抛物线的几何性质；
2．抛物线与直线的关系．
※知识拓展
过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，则为定值，其值为．
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（）．
A.B.C.D.无法确定
2．抛物线的焦点到准线的距离是（）．
A.B.C.D.
3．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）．
A．条B．条C．条D．条
4．若直线与抛物线交于、两点，则线段的中点坐标是______．
5．抛物线上一点到焦点的距离是，则抛物线的标准方程是．
课后作业
1．已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线与直线交于，两点，=，求抛物线的方程．

2．从抛物线上各点向轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线．

第二章圆锥曲线与方程（复习）
学习目标
1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程；
2．掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质；
3．能解决直线与圆锥曲线的一些问题．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P78~P81，文P66~P69找出疑惑之处）
复习1：完成下列表格：
椭圆双曲线抛物线
定义

图形

标准方程
顶点坐标
对称轴
焦点坐标
离心率
（以上每类选取一种情形填写）
复习2：
①若椭圆的离心率为，则它的长半轴长为__________；
②双曲线的渐近线方程为，焦距为，则双曲线的方程为；
③以椭圆的右焦点为焦点的抛物线方程为．
二、新课导学
※典型例题
例1当从到变化时，方程
表示的曲线的形状怎样变化？
变式：若曲线表示椭圆，则的取值范围是．

小结：掌握好每类标准方程的形式．
例2设，分别为椭圆C：=1
的左、右两个焦点．
⑴若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
⑵设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．

变式：双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求双曲线的方程．

※动手试试
练1．已知的两个顶点，坐标分别是，，且，所在直线的斜率之积等于，试探求顶点的轨迹．

练2．斜率为的直线与双曲线交于，两点，且，求直线的方程．
三、总结提升
※学习小结
1．椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程；
2．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质；
3．直线与圆锥曲线．

※知识拓展
圆锥曲线具有统一性：
⑴它们都是平面截圆锥得到的截口曲线；
⑵它们都是平面内到一个定点的距离和到一条定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，比值的取值范围不同形成了不同的曲线；
⑶它们的方程都是关于，的二次方程．
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．曲线与曲线
的（）．
A．长轴长相等B．短轴长相等
C．离心率相等D．焦距相等
2．与圆及圆都外切的圆的圆心在（）．
A．一个椭圆上B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上D．一个圆上
3．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为，则等于（）．
A．B．C．D．
4．直线与双曲线没有公共点，则的取值范围．
5．到直线的距离最短的抛物线上的点的坐标是．

课后作业
1．就的不同取值，指出方程所表示的曲线的形状．

2．抛物线与过点的直线相交于，两点，为原点，若和的斜率之和为，求直线的方程．

《圆锥曲线》网络教学设计

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助教师在教学期间更好的掌握节奏。你知道怎么写具体的教案内容吗？为此，小编从网络上为大家精心整理了《《圆锥曲线》网络教学设计》，仅供您在工作和学习中参考。

一、学习目标与任务
1、学习目标描述
知识目标
(A)理解和掌握圆锥曲线的第一定义和第二定义,并能应用第一定义和第二定义来解题。
(B)了解圆锥曲线与现实生活中的联系,并能初步利用圆锥曲线的知识进行知识延伸和知识创新。
能力目标
(A)通过学生的操作和协作探讨,培养学生的实践能力和分析问题、解决问题的能力。
(B)通过知识的再现培养学生的创新能力和创新意识。
(C)专题网站中提供各层次的例题和习题,解决各层次学生的学习过程中的各种的需要,从而培养学生应用知识的能力。
德育目标
让学生体会知识产生的全过程,培养学生运动变化的辩证唯物主义思想。
2、学习内容与学习任务说明
本节课的内容是圆锥曲线的第一定义和圆锥曲线的统一定义,以及利用圆锥曲线的定义来解决轨迹问题和最值问题。
学习重点:圆锥曲线的第一定义和统一定义。
学习难点:圆锥曲线第一定义和统一定义的应用。
明确本课的重点和难点,以学习任务驱动为方式,以圆锥曲线定义和定义应用为中心,主动操作实验、大胆分析问题和解决问题。
抓住本节课的重点和难点,采取的基于学科专题网站下的三者结合的教学模式,突出重点、突破难点。
充分利用《圆锥曲线》专题网站内的内容,在着重学习内容的基础上,内延外拓,培养学生的创新精神和克服困难的信心。
二、学习者特征分析
(说明学生的学习特点、学习习惯、学习交往特点等)
l本课的学习对象为高二下学期学生,他们经过近两年的高中学习,已经有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力,基本的计算机操作较为熟练。
高二年下学期学生由于高考的压力,他们保持着传统教学的学习习惯,在
l课堂上的主体作用的体现不是太充分,但是如果他们还是乐于尝试、勇于探索的。
高二年的学生在学习交往上“个别化学习”和“协作讨论学习”并存,也就是说学生是具有一定的群体性小组交流能力与协同讨论学习能力的,还是能完成上课时教师布置的协作学习任务的。
三、学习环境选择与学习资源设计
1.学习环境选择(打√)
(1)Web教室(√)(2)局域网(3)城域网(4)校园网(√)(5)Internet(√)
(6)其它
2、学习资源类型(打√)
(1)课件(网络课件)(√)(2)工具(3)专题学习网站(√)(4)多媒体资源库
(5)案例库(6)题库(7)网络课程(8)其它
3、学习资源内容简要说明
(说明名称、网址、主要内容等)
《圆锥曲线专题网站》:从自然与科技、定义与应用、性质与实践和创新与未来四个方面围绕圆锥曲线进行探讨与研究。(IP:192.168.3.134)
用Flash5、几何画板和Authorware6制作可操作且具有交互性的网络课件放在专题网站里。
四、学习情境创设
1、学习情境类型(打√)
(1)真实性情境(√)(2)问题性情境(√)
(3)虚拟性情境(√)(4)其它
2、学习情境设计
真实性情境:用Flash5制作的一系列教学软件。用几何画板制作的《圆锥曲线的统一定义》的教学软件。
问题性情境:圆锥曲线的截取方法、圆锥曲线的各种定义、典型例题。
虚拟性情境:Authorware6制作的《圆锥曲线的截取》,模拟曲线截取。
五、学习活动的组织
1、自主学习设计(打√并填写相关内容)
(1)抛锚式
(2)支架式(√)相应内容:圆锥曲线的第一定义和统一定义。
使用资源:数学教材、专题网站及专题网站下的多媒体教学软件。
学生活动:分析、操作、协作讨论、总结、提交结论。
教师活动:问题的提出。学习资源获取路径的指导。问题解答和咨询。
(3)随机进入式(√)相应内容:圆锥曲线定义的典型应用。
使用资源:轨迹问题、最值问题、其它问题三种典型例题以及各个题目的动画演示和答案。
学生活动:根据自身情况选题、分析题目、协作讨论、解答题目。
教师活动:讲解例题,总结点评学生做题过程中的问题。
(4)其它
2、协作学习设计(打√并填写相关内容)
(1)竞争
(2)伙伴(√)
相应内容:圆锥曲线的第一定义和统一定义
使用资源:数学教材、专题网站及专题网站下的多媒体教学软件。
分组情况:每组三人
学生活动:学生之间对圆锥曲线的定义展开讨论,从而达到对定义的理解和掌握。
教师活动:问题的提出。学习资源获取路径的指导。问题解答和咨询。
(3)协同(√)
相应内容:圆锥曲线定义的典型应用。
使用资源:轨迹问题、最值问题、其它问题三种典型例题以及各个题目的动画演示和答案。
分组情况:每组三人。
学生活动:通过协作讨论区,同学之间互相配合、互相帮助、各种观点互相补充。
教师活动:总结点评学生做题过程中的问题。
(4)辩

(5)角色扮演
(6)其它
4、教学结构流程的设计
六、学习评价设计
1、测试形式与工具(打√)
(1)堂上提问(√)(2)书面练习(3)达标测试(4)学生自主网上测试(√)(5)合作完成作品(6)其它
2、测试内容
教师堂上提问:圆锥曲线的定义、学生提交的结论的完整性、学生协作讨论时的疑问、例题讲解过程中问题,课堂总结。
学生自主网上测试:解决轨迹问题、最值问题、其它问题三种典型题目。
(附)圆锥曲线专题网站设计分析
(1)设计思路
(A)给学生操作与实践的机会:在每一环节中建设一个可供学生操作的实验平台。
(B)突出教学中“主导和主体”的作用:在每一环节中建设一个可供师生交流的平台。
(C)突出知识的再创新过程和知识的延伸:如圆锥曲线的作法和知识的创新与应用。
(D)强调教学软件的交互性:如在题目中给出提示的动画过程和解答过程。
(E)突出和各学科的联系:如斜抛运动和行星运动等等。
(F)强调分层次的教学:
如在知识应用中的配置不同层次的例题和练习:

圆锥曲线

古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教师要准备好教案，这是高中教师的任务之一。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，让高中教师能够快速的解决各种教学问题。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？下面是小编为大家整理的“圆锥曲线”，希望能对您有所帮助，请收藏。

一、的最值
若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离心率，求的最小值。
例1.已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。
分析：注意到式中的数值“”恰为，则可由椭圆的第二定义知等于椭圆上的点P到左准线的距离。这种方法在本期《椭圆中减少运算量的主要方法》一文中已经介绍过，这里不再重复，答案为。
二、的最值
若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。
例2.已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。
解：如图1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0）
图1
由椭圆的第一定义得：
可知，当P为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，当P为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为。
故的最大值为，最小值为。
三、的最值
若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。
例3.已知椭圆外一点A（5，6），为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。
解：如图2，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为
图2
根据椭圆的第二定义有：，即
可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，最小，最小值。
故的最小值为10。
四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值
例4.定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。
解：设F为椭圆的右焦点，如图3，作于A”，BB”⊥于B”，MM”⊥于M”
图3
则
当且仅当AB过焦点F时等号成立。
故M到椭圆右准线的最短距离为。
评注：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是AB能过焦点的充要条件。