小学三年级数学教案

新人教版九年级数学下册制作立体模型教案。

每个老师上课需要准备的东西是教案课件，到写教案课件的时候了。需要我们认真规划教案课件工作计划，可以更好完成工作任务！你们知道多少范文适合教案课件？下面是小编为大家整理的“新人教版九年级数学下册制作立体模型教案”，仅供您在工作和学习中参考。

29.3课题学习制作立体模型（活动课）

一、学习目的

通过根据三视图制作立体模型的实践活动，体验平面图形向立体图形转化的过程，体会用三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图形之间的联系。

二、工具准备

刻度尺、剪刀、小刀、胶水、硬纸板、马铃薯（或萝卜）等。

三、具体活动

１、以硬纸板为主要材料，分别做出下面的两组视图所表示的立体模型。

２、按照下面给出的两组视图，用马铃薯（或萝卜）做出相应的实物模型

３、下面的每一组平面图形都是由四个等边三角形组成的。

（１）指出其中哪些可以折叠成多面体。把上面的图形描在纸上，剪下来，叠一叠，验证你的答案；

（２）画出由上面图形能折叠成的多面体的三视图，并指出三视图中是怎样体现“长对正，高平齐，宽相等”的；

（３）如果上图中小三角形的边长为１，那么对应的多面体的体积和表面积各是多少？

四、课题拓广

三视图和展开图都是与立体图形有关的平面图形，了解有关生产实际，结合具体例子，写一篇短文介绍三视图、展开图的应用。

扩展阅读

新人教版九年级数学下册全册教案

正弦和余弦（一）

一、素质教育目标

（一）知识教学点

使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实．

（二）能力训练点

逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．

（三）德育渗透点

引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．

二、教学重点、难点

1．重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实．

2．难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论．

三、教学步骤

（一）明确目标

1．如图6-1，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则A、B间距离为多少米？

2．长5米的梯子以倾斜角∠CAB为30°靠在墙上，则A、B间的距离为多少？

3．若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A、B间距离为多少？

4．若长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2米，则倾斜角∠CAB为多少度？

前两个问题学生很容易回答．这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识．但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用．同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来．

通过四个例子引出课题．

（二）整体感知

1．请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值．

学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值．程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长．

2．请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的．大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？

这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知．

（三）重点、难点的学习与目标完成过程

1．通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”．但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃．对于这个问题，部分学生可能能解决它．因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成．

2．学生经过研究，也许能解决这个问题．若不能解决，教师可适当引导：

若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其

顶点A1，A2，A3重合在一起，记作A，并使直角边AC1，AC2，AC3……落在同一条直线上，则斜边AB1，AB2，AB3……落在另一条直线上．这样同学们能解决这个问题吗？引导学生独立证明：易知，B1C1∥B2C2∥B3C3……，∴△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽……，∴

形中，∠A的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值．

通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透．

而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计．这一设计同时起到培养学生思维能力的作用．

练习题为作了孕伏同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来．

(四)总结与扩展

1．引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的．

教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识．

2．扩展：当锐角为30°时，它的对边与斜边比值我们知道．今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的．如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了．看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同学可以提前预习一下．通过这种扩展，不仅对正、余弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的兴趣．

四、布置作业

本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求学生预习正余弦概念．

五、板书设计

第十四章解直角三角形

一、锐角三角函数证明：------------------

结论：--------------------

练习：---------------------

正弦和余弦(二)

一、素质教育目标

(一)知识教学点

使学生初步了解正弦、余弦概念；能够较正确地用sinA、cosA表示直角三角形中两边的比；熟记特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．

(二)能力训练点

逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．

(三)德育渗透点

渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点．

二、教学重点、难点

1．教学重点：使学生了解正弦、余弦概念．

2．教学难点：用含有几个字母的符号组sinA、cosA表示正弦、余弦；正弦、余弦概念．

三、教学步骤

(一)明确目标

1．引导学生回忆“直角三角形锐角固定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的．”

2．明确目标：这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值——正弦和余弦．

(二)整体感知

只要知道三角形任一边长，其他两边就可知．

而上节课我们发现：只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定．这样只要能求出这个比值，那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了．

通过与“30°角所对的直角边等于斜边的一半”相类比，学生自然产生想学习的欲望，产生浓厚的学习兴趣，同时对以下要研究的内容有了大体印象．

(三)重点、难点的学习与目标完成过程

正弦、余弦的概念是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，因此确定它为本课重点，同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，因此概念也是难点．

在上节课研究的基础上，引入正、余弦，“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”．如图6－3：

请学生结合图形叙述正弦、余弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力．教师板书：在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA．

若把∠A的对边BC记作a，邻边AC记作b，斜边AB记作c，则

引导学生思考：当∠A为锐角时，sinA、cosA的值会在什么范围内？得结论0＜sinA＜1，0＜cosA＜1(∠A为锐角)．这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，同时这个问题也使学生将数与形结合起来．

教材例1的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦，这里不妨增问“cosA、cosB”，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点．

例1求出图6－4所示的Rt△ABC中的sinA、sinB和cosA、cosB的值．

学生练习1中1、2、3．

让每个学生画含30°、45°的直角三角形，分别求sin30°、sin45°、sin60°和cos30°、cos45°、cos60°．这一练习既用到以前的知识，又巩固正弦、余弦的概念，经过学习亲自动笔计算后，对特殊角三角函数值印象很深刻．

例2求下列各式的值：

为了使学生熟练掌握特殊角三角函数值，这里还应安排六个小题：

(1)sin45°+cos45；(2)sin30°cos60°；

在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后，引导学生思考，“请大家观察特殊角的正弦和余弦值，猜测一下，sin20°大概在什么范围内，cos50°呢？”这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力，而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神．还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小．”为查正余弦表作准备．

(四)总结、扩展

首先请学生作小结，教师适当补充，“主要研究了锐角的正弦、余弦概念，已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余弦值．知道任意锐角A的正、余弦值都在0～1之间，即

0＜sinA＜1，0＜cosA＜1(∠A为锐角)．

还发现Rt△ABC的两锐角∠A、∠B，sinA＝cosB，cosA＝sinB．正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小．”

四、布置作业

教材习题14.1中A组3．

预习下一课内容．

五、板书设计

14.1正弦和余弦（二）

一、概念：三、例1----------四、特殊角的正余弦值

-------------------------------------------------------

二、范围：------------------五、例2------------

正弦和余弦(三)

一、素质教育目标

(一)知识教学点

使学生了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系．

(二)能力训练点

逐步培养学生观察、比较、分析、综合、抽象、概括的逻辑思维能力．

(三)德育渗透点

培养学生独立思考、勇于创新的精神．

二、教学重点、难点

1．重点：使学生了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系并会应用．

2．难点：一个锐角的正弦(余弦)与它的余角的余弦(正弦)之间的关系的应用．

三、教学步骤

(一)明确目标

1．复习提问

(1)、什么是∠A的正弦、什么是∠A的余弦，结合图形请学生回答．因为正弦、余弦的概念是研究本课内容的知识基础，请中下学生回答，从中可以了解教学班还有多少人不清楚的，可以采取适当的补救措施．

(2)请同学们回忆30°、45°、60°角的正、余弦值(教师板书)．

(3)请同学们观察，从中发现什么特征？学生一定会回答“sin30°＝cos60°，sin45°＝cos45°，sin60°＝cos30°，这三个角的正弦值等于它们余角的余弦值”．

2．导入新课

根据这一特征，学生们可能会猜想“一个锐角的正弦(余弦)值等于它的余角的余弦(正弦)值．”这是否是真命题呢？引出课题．

(二)、整体感知

关于锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系，是通过30°、45°、60°角的正弦、余弦值之间的关系引入的，然后加以证明．引入这两个关系式是为了便于查“正弦和余弦表”，关系式虽然用黑体字并加以文字语言的证明，但不标明是定理，其证明也不要求学生理解，更不应要求学生利用这两个关系式去推证其他三角恒等式．在本章，这两个关系式的用处仅仅限于查表和计算，而不是证明．

(三)重点、难点的学习和目标完成过程

1．通过复习特殊角的三角函数值，引导学生观察，并猜想“任一锐角的正弦(余弦)值等于它的余角的余弦(正弦)值吗？”提出问题，激发学生的学习热情，使学生的思维积极活跃．

2．这时少数反应快的学生可能头脑中已经“画”出了图形，并有了思路，但对部分学生来说仍思路凌乱．因此教师应进一步引导：sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A)(A是锐角)成立吗？这时，学生结合正、余弦的概念，完全可以自己解决，教师要给学生足够的研究解决问题的时间，以培养学生逻辑思维能力及独立思考、勇于创新的精神．

3．教师板书：

任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．

sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A)．

4．在学习了正、余弦概念的基础上，学生了解以上内容并不困难，但是，由于学生初次接触三角函数，还不熟练，而定理又涉及余角、余函数，使学生极易混淆．因此，定理的应用对学生来说是难点、在给出定理后，需加以巩固．

已知∠A和∠B都是锐角，

(1)把cos(90°-A)写成∠A的正弦．

(2)把sin(90°-A)写成∠A的余弦．

这一练习只能起到巩固定理的作用．为了运用定理，教材安排了例3．

(2)已知sin35°=0.5736，求cos55°；

(3)已知cos47°6′=0.6807，求sin42°54′．

(1)问比较简单，对照定理，学生立即可以回答．(2)、(3)比(1)则更深一步，因为(1)明确指出∠B与∠A互余，(2)、(3)让学生自己发现35°与55°的角，47°6′分42°54′的角互余，从而根据定理得出答案，因此(2)、(3)问在课堂上应该请基础好一些的同学讲清思维过程，便于全体学生掌握，在三个问题处理完之后，最好将题目变形：

(2)已知sin35°=0.5736，则cos______=0.5736．

(3)cos47°6′=0.6807，则sin______=0.6807，以培养学生思维能力．

为了配合例3的教学，教材中配备了练习题2．

(2)已知sin67°18′=0.9225，求cos22°42′；

(3)已知cos4°24′=0.9971，求sin85°36′．

学生独立完成练习2，就说明定理的教学较成功，学生基本会运用．

教材中3的设置，实际上是对前二节课内容的综合运用，既考察学生正、余弦概念的掌握程度，同时又对本课知识加以巩固练习，因此例3的安排恰到好处．同时，做例3也为下一节查正余弦表做了准备．

(四)小结与扩展

1．请学生做知识小结，使学生对所学内容进行归纳总结，将所学内容变成自己知识的组成部分．

2．本节课我们由特殊角的正弦(余弦)和它的余角的余弦(正弦)值间关系，以及正弦、余弦的概念得出的结论：任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．

四、布置作业

教材习题14.1A组4、5．

五、板书设计

14.1正弦和余弦（三）

一、余角余函数关系二、例3

-------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------

正弦和余弦(四)

一、素质教育目标

(一)知识教学点

使学生会查“正弦和余弦表”，即由已知锐角求正弦、余弦值．(二)能力渗透点

逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．

(三)德育训练点

培养学生良好的学习习惯．

二、教学重点、难点

1．重点：“正弦和余弦表”的查法．

2．难点：当角度在0°～90°间变化时，正弦值与余弦值随角度变化而变化的规律．

三、教学步骤

(一)明确目标

1．复习提问

1)30°、45°、60°的正弦值和余弦值各是多少？请学生口答．

2)任意锐角的正弦(余弦)与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系怎样？通过复习，使学生便于理解正弦和余弦表的设计方式．

(二)整体感知

我们已经求出了30°、45°、60°这三个特殊角的正弦值和余弦值，但在生产和科研中还常用到其他锐角的正弦值和余弦值，为了使用上的方便，我们把0°—90°间每隔1′的各个角所对应的正弦值和余弦值(一般是含有四位有效数字的近似值)，列成表格——正弦和余弦表．本节课我们来研究如何使用正弦和余弦表．

(三)重点、难点的学习与目标完成过程

1．“正弦和余弦表”简介

学生已经会查平方表、立方表、平方根表、立方根表，对数学用表的结构与查法有所了解．但正弦和余弦表与其又有所区别，因此首先向学生介绍“正弦和余弦表”．

(1)“正弦和余弦表”的作用是：求锐角的正弦、余弦值，已知锐角的正弦、余弦值，求这个锐角．

2)表中角精确到1′，正弦、余弦值有四位有效数字．

3)凡表中所查得的值，都用等号，而非“≈”，根据查表所求得的值进行近似计算，结果四舍五入后，一般用约等号“≈”表示．

2．举例说明

例4查表求37°24′的正弦值．

学生因为有查表经验，因此查sin37°24′的值不会是到困难，完全可以自己解决．

例5查表求37°26′的正弦值．

学生在独自查表时，在正弦表顶端的横行里找不到26′，但26′在24′～30′间而靠近24′，比24′多2′，可引导学生注意修正值栏，这样学生可能直接得答案．教师这时可设问“为什么将查得的5加在0.6074的最后一个数位上，而不是0.6074减去0.0005”．通过引导学生观察思考，得结论：当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)．

解：sin37°24′=0.6074．

角度增2′值增0.0005

sin37°26′=0.6079．

例6查表求sin37°23′的值．

如果例5学生已经理解，那么例6学生完全可以自己解决，通过对比，加强学生的理解．

解：sin37°24′=0.6074

角度减1′值减0.0002

sin37°23′=0.6072．

在查表中，还应引导学生查得：

sin0°=0，sin90°=1．

根据正弦值随角度变化规律：当角度从0°增加到90°时，正弦值从0增加到1；当角度从90°减少到0°时，正弦值从1减到0．

可引导学生查得：

cos0°=1，cos90°=0．

根据余弦值随角度变化规律知：当角度从0°增加到90°时，余弦值从1减小到0，当角度从90°减小到0°时，余弦值从0增加到1．

(四)总结与扩展

1．请学生总结

本节课主要讨论了“正弦和余弦表”的查法．了解正弦值，余弦值随角度的变化而变化的规律：当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小；当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大．

2．“正弦和余弦表”的用处除了已知锐角查其正、余弦值外，还可以已知正、余弦值，求锐角，同学们可以试试看．

四、布置作业

预习教材中例8、例9、例10，养成良好的学习习惯．

五、板书设计

14.1正弦和余弦（四）

一、正余弦值随角度变二、例题例5例6

化规律例4

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正弦和余弦(五)

一、素质教育目标

(一)知识教学点

使学生会根据一个锐角的正弦值和余弦值，查出这个锐角的大小．(二)能力训练点

逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．

(三)德育渗透点

培养学生良好的学习习惯．

二、教学重点、难点和疑点

1．重点：由锐角的正弦值或余弦值，查出这个锐角的大小．

2．难点：由锐角的正弦值或余弦值，查出这个锐角的大小．

3．疑点：由于余弦是减函数，查表时“值增角减，值减角增”学生常常出错．

三、教学步骤

(一)明确目标

1．锐角的正弦值与余弦值随角度变化的规律是什么？

这一规律也是本课查表的依据，因此课前还得引导学生回忆．

答：当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；当角度在0°～90°间变化时，余弦值随角度的增大(或减小)而减小(或增大)．

2．若cos21°30′=0.9304，且表中同一行的修正值是则cos21°31′=______，

cos21°28′=______．

3．不查表，比较大小：

(1)sin20°______sin20°15′；

(2)cos51°______cos50°10′；

(3)sin21°______cos68°．

学生在回答2题时极易出错，教师一定要引导学生叙述思考过程，然后得出答案．

3题的设计主要是考察学生对函数值随角度的变化规律的理解，同时培养学生估算．

(二)整体感知

已知一个锐角，我们可用“正弦和余弦表”查出这个角的正弦值或余弦值．反过来，已知一个锐角的正弦值或余弦值，可用“正弦和余弦表”查出这个角的大小．因为学生有查“平方表”、“立方表”等经验，对这一点必深信无疑．而且通过逆向思维，可能很快会掌握已知函数值求角的方法．

(三)重点、难点的学习与目标完成过程．

例8已知sinA＝0.2974，求锐角A．

学生通过上节课已知锐角查其正弦值和余弦值的经验，完全能独立查得锐角A，但教师应请同学讲解查的过程：从正弦表中找出0.2974，由这个数所在行向左查得17°，由同一数所在列向上查得18′，即0.2974＝sin17°18′，以培养学生语言表达能力．

解：查表得sin17°18′＝0.2974，所以

锐角A＝17°18′．

例9已知cosA＝0.7857，求锐角A．

分析：学生在表中找不到0.7857，这时部分学生可能束手无策，但有上节课查表的经验，少数思维较活跃的学生可能会想出办法．这时教师最好让学生讨论，在探讨中寻求办法．这对解决本题会有好处，使学生印象更深，理解更透彻．

若条件许可，应在讨论后请一名学生讲解查表过程：在余弦表中查不到0.7857．但能找到同它最接近的数0.7859，由这个数所在行向右查得38°，由同一个数向下查得12′，即0.7859＝cos38°12′．但cosA＝0.7857，比0.7859小0.0002，这说明∠A比38°12′要大，由0.7859所在行向右查得修正值0.0002对应的角度是1′，所以∠A＝38°12′＋1′＝38°13′．

解：查表得cos38°12′＝0.7859，所以：

0.7859＝cos38°12′．

值减0.0002角度增1′

0.7857＝cos38°13′，

即锐角A＝38°13′．

例10已知cosB＝0.4511，求锐角B．

例10与例9相比较，只是出现余差(本例中的0.0002)与修正值不一致．教师只要讲清如何使用修正值(用最接近的值)，以使误差最小即可，其余部分学生在例9的基础上，可以独立完成．

解：0.4509＝cos63°12′

值增0.0003角度减1′

0.4512＝cos63°11′

∴锐角B＝63°11′

为了对例题加以巩固，教师在此应设计练习题，教材P．15中2、3．

2．已知下列正弦值或余弦值，求锐角A或B：

(1)sinA=0.7083，sinB=0.9371，

sinA=0.3526，sinB=0.5688；

(2)cosA=0.8290，cosB=0.7611，

cosA=0.2996，cosB=0.9931．

此题是配合例题而设置的，要求学生能快速准确得到答案．

(1)45°6′，69°34′，20°39′，34°40′；

(2)34°0′，40°26′，72°34′，6°44′．

3．查表求sin57°与cos33°，所得的值有什么关系？

此题是让学生通过查表进一步印证关系式sinA＝cos(90°-A)，cosA＝0.8387，∴sin57°＝cos33°，或sin57°＝cos(90°-57°)，cos33°＝sin(90°-33°)．

(四)、总结、扩展

本节课我们重点学习了已知一个锐角的正弦值或余弦值，可用“正弦和余弦表”查出这个锐角的大小，这也是本课难点，同学们要会依据正弦值和余弦值随角度变化规律(角度变化范围0°～90°)查“正弦和余弦表”．

四、布置作业

教材复习题十四A组3、4，要求学生只查正、余弦。

五、板书设计

14.1正弦和余弦（五）

例8例9例10

新人教版九年级数学上册全册教案

教案课件是老师需要精心准备的，是认真规划好自己教案课件的时候了。认真做好教案课件的工作计划，才能促进我们的工作进一步发展！有没有出色的范文是关于教案课件的？下面是小编精心为您整理的“新人教版九年级数学上册全册教案”，欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！

《人教版九年级上册全书教案》

第二十一章二次根式

教材内容

1．本单元教学的主要内容：

二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．

2．本单元在教材中的地位和作用：

二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．

教学目标

1．知识与技能

（1）理解二次根式的概念．

（2）理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）．

（3）掌握＝（a≥0，b≥0），=；

=（a≥0，b0），=（a≥0，b0）．

（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．

2．过程与方法

（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．

（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，并运用规定进行计算．

（3）利用逆向思维，得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．

（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．

3．情感、态度与价值观

通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．

教学重点

1．二次根式（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负数；（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）及其运用．

2．二次根式乘除法的规定及其运用．

3．最简二次根式的概念．

4．二次根式的加减运算．

教学难点

1．对（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及应用．

2．二次根式的乘法、除法的条件限制．

3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．

教学关键

1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．

2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神．

单元课时划分

本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：

21．1二次根式3课时

21．2二次根式的乘法3课时

21．3二次根式的加减3课时

教学活动、习题课、小结2课时

21．1二次根式

第一课时

教学内容

二次根式的概念及其运用

教学目标

理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．

提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

教学重难点关键

1．重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

2．难点与关键：利用“（a≥0）”解决具体问题．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：

问题1：已知反比例函数y=，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是___________．

问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．

问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．

老师点评：

问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x=，所以所求点的坐标（，）．

问题2：由勾股定理得AB=

问题3：由方差的概念得S=.

二、探索新知

很明显、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

（学生活动）议一议：

1．-1有算术平方根吗？

2．0的算术平方根是多少？

3．当a0，有意义吗？

老师点评:（略）

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．

解：二次根式有：、（x0）、、-、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、．

例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．

解：由3x-1≥0，得：x≥

当x≥时，在实数范围内有意义．

三、巩固练习

教材P练习1、2、3．

四、应用拓展

例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？

分析：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0．

解：依题意，得

由①得：x≥-

由②得：x≠-1

当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．

例4(1)已知y=++5，求的值．(答案:2)

(2)若+=0，求a2004+b2004的值．(答案:)

五、归纳小结（学生活动，老师点评）

本节课要掌握：

1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

六、布置作业

1．教材P8复习巩固1、综合应用5．

2．选用课时作业设计．

3.课后作业:《同步训练》

第一课时作业设计

一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）

A．-B．C．D．x

2．下列式子中，不是二次根式的是（）

A．B．C．D．

3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）

A．5B．C．D．以上皆不对

二、填空题

1．形如________的式子叫做二次根式．

2．面积为a的正方形的边长为________．

3．负数________平方根．

三、综合提高题

1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？

2．当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？

3．若+有意义，则=_______．

4.使式子有意义的未知数x有（）个．

A．0B．1C．2D．无数

5.已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值．

第一课时作业设计答案:

一、1．A2．D3．B

二、1．（a≥0）2．3．没有

三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x=．

2．依题意得：，

∴当x-且x≠0时，＋x2在实数范围内没有意义．

3.

4．B

5．a=5，b=-4

21.1二次根式(2)

第二课时

教学内容

1．（a≥0）是一个非负数；

2．（）2=a（a≥0）．

教学目标

理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．

通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．

教学重难点关键

1．重点：（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用．

2．难点、关键：用分类思想的方法导出（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出（）2=a（a≥0）．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）口答

1．什么叫二次根式？

2．当a≥0时，叫什么？当a0时，有意义吗？

老师点评（略）．

二、探究新知

议一议：（学生分组讨论，提问解答）

（a≥0）是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

（a≥0）是一个非负数．

做一做：根据算术平方根的意义填空：

（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；

（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．

老师点评：是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有（）2=4．

同理可得：（）2=2，（）2=9，（）2=3，（）2=，（）2=，（）2=0，所以

（）2=a（a≥0）

例1计算

1．（）22．（3）23．（）24．（）2

分析：我们可以直接利用（）2=a（a≥0）的结论解题．

解：（）2=，（3）2=32（）2=325=45，

（）2=，（）2=．

三、巩固练习

计算下列各式的值：

（）2（）2（）2（）2（4）2

四、应用拓展

例2计算

1．（）2（x≥0）2．（）23．（）2

4．（）2

分析：（1）因为x≥0，所以x+10；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；

（4）4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）2≥0．

所以上面的4题都可以运用（）2=a（a≥0）的重要结论解题．

解：（1）因为x≥0，所以x+10

（）2=x+1

（2）∵a2≥0，∴（）2=a2

（3）∵a2+2a+1=（a+1）2

又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴=a2+2a+1

（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）2

又∵（2x-3）2≥0

∴4x2-12x+9≥0，∴（）2=4x2-12x+9

例3在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3（2）x4-4(3)2x2-3

分析：(略)

五、归纳小结

本节课应掌握：

1．（a≥0）是一个非负数；

2．（）2=a（a≥0）;反之:a=（）2（a≥0）．

六、布置作业

1．教材P8复习巩固2．（1）、（2）P97．

2．选用课时作业设计．

3.课后作业:《同步训练》

第二课时作业设计

一、选择题

1．下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（）．

A．4B．3C．2D．1

2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．

A．a0B．a≥0C．a0D．a=0

二、填空题

1．（-）2=________．

2．已知有意义，那么是一个_______数．

三、综合提高题

1．计算

（1）（）2（2）-（）2（3）（）2（4）（-3）2

(5)

2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:

（1）5（2）3.4（3）（4）x（x≥0）

3．已知+=0，求xy的值．

4．在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-2（2）x4-93x2-5

第二课时作业设计答案:

一、1．B2．C

二、1．32．非负数

三、1．（1）（）2=9（2）-（）2=-3（3）（）2=×6=

（4）（-3）2=9×=6(5)-6

2．（1）5=（）2（2）3.4=（）2

（3）=（）2（4）x=（）2（x≥0）

3．xy=34=81

4.（1）x2-2=（x+）（x-）

（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+）（x-）

(3)略

21.1二次根式(3)

第三课时

教学内容

＝a（a≥0）

教学目标

理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．

通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．

教学重难点关键

1．重点：＝a（a≥0）．

2．难点：探究结论．

3．关键：讲清a≥0时，＝a才成立．

教学过程

一、复习引入

老师口述并板收上两节课的重要内容；

1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式；

2．（a≥0）是一个非负数；

3．()2＝a（a≥0）．

那么，我们猜想当a≥0时，=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．

二、探究新知

（学生活动）填空：

=_______；=_______；=______；

=________；=________；=_______．

（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

=2；=0.01；=；=；=0；=．

因此，一般地：=a（a≥0）

例1化简

（1）（2）（3）（4）

分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，

（4）（-3）2=32，所以都可运用=a（a≥0）去化简．

解：（1）==3（2）==4

（3）==5（4）==3

三、巩固练习

教材P7练习2．

四、应用拓展

例2填空：当a≥0时，=_____；当a0时，=_______，并根据这一性质回答下列问题．

（1）若=a，则a可以是什么数？

（2）若=-a，则a可以是什么数？

（3）a，则a可以是什么数？

分析：∵=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，=，那么-a≥0．

（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a0．

解：（1）因为=a，所以a≥0；

（2）因为=-a，所以a≤0；

（3）因为当a≥0时=a，要使a，即使aa所以a不存在；当a0时，=-a，要使a，即使-aa，a0综上，a0

例3当x2，化简-．

分析：(略)

五、归纳小结

本节课应掌握：=a（a≥0）及其运用，同时理解当a0时，＝－a的应用拓展．

六、布置作业

1．教材P8习题21．13、4、6、8．

2．选作课时作业设计．

3.课后作业:《同步训练》

第三课时作业设计

一、选择题

1．的值是（）．

A．0B．C．4D．以上都不对

2．a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．

A．=≥-B．-

C．-D．-=

二、填空题

1．-=________．

2．若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．

三、综合提高题

1．先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：

甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；

乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．

两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．

2．若│1995-a│+=a，求a-19952的值．

（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）

3.若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。

答案:

一、1．C2．A

二、1．-0．022．5

三、1．甲甲没有先判定1-a是正数还是负数

2．由已知得a-2000≥0，a≥2000

所以a-1995+=a，=1995，a-2000=19952，

所以a-19952=2000．

3.10-x

21．2二次根式的乘除

第一课时

教学内容

＝（a≥0，b≥0），反之=（a≥0，b≥0）及其运用．

教学目标

理解＝（a≥0，b≥0），=（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简

由具体数据，发现规律，导出＝（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出=（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．

教学重难点关键

重点：＝（a≥0，b≥0），=（a≥0，b≥0）及它们的运用．

难点：发现规律，导出＝（a≥0，b≥0）．

关键：要讲清（a0,b0）=，如=或==×．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题．

1．填空

（1）×=_______，=______；

（2）×=_______，=________．

（3）×=________，=_______．

参考上面的结果，用“、或＝”填空．

×_____，×_____，×________

2．利用计算器计算填空

（1）×______，（2）×______，

（3）×______，（4）×______，

（5）×______．

老师点评（纠正学生练习中的错误）

二、探索新知

（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．

老师点评：（1）被开方数都是正数；

（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．

一般地，对二次根式的乘法规定为

＝．（a≥0，b≥0）

反过来:=（a≥0，b≥0）

例1．计算

（1）×（2）×（3）×（4）×

分析：直接利用＝（a≥0，b≥0）计算即可．

解：（1）×=

（2）×==

（3）×==9

（4）×==

例2化简

（1）（2）（3）

（4）（5）

分析：利用=（a≥0，b≥0）直接化简即可．

解：（1）=×=3×4=12

（2）=×=4×9=36

（3）=×=9×10=90

（4）=×=××=3xy

（5）==×=3

三、巩固练习

（1）计算（学生练习，老师点评）

①×②3×2③

(2)化简:;;;;

教材P11练习全部

四、应用拓展

例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1）

（2）×=4××=4×=4=8

解：（1）不正确．

改正：=＝×=2×3=6

（2）不正确．

改正：×=×===＝4

五、归纳小结

本节课应掌握：（1）＝=（a≥0，b≥0），=（a≥0，b≥0）及其运用．

六、布置作业

1．课本P151，4，5，6．（1）（2）．

2．选用课时作业设计．

3.课后作业:《同步训练》

第一课时作业设计

一、选择题

1．若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是（）．

A．3cmB．3cmC．9cmD．27cm

2．化简a的结果是（）．

A．B．C．-D．-

3．等式成立的条件是（）

A．x≥1B．x≥-1C．-1≤x≤1D．x≥1或x≤-1

4．下列各等式成立的是（）．

A．4×2=8B．5×4=20

C．4×3=7D．5×4=20

二、填空题

1．=_______．

2．自由落体的公式为S=gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．

三、综合提高题

1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？

2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．

（1）2=

验证：2=×==

==

（2）3=

验证：3=×==

==

同理可得：4

5，……

通过上述探究你能猜测出：a=_______（a0）,并验证你的结论．

答案:

一、1．B2．C3.A4.D

二、1．132．12s

三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为x，

则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，

x=×=30．

2．a=

验证：a=

===.

21．2二次根式的乘除

第二课时

教学内容

=（a≥0，b0），反过来=（a≥0，b0）及利用它们进行计算和化简．

教学目标

理解=（a≥0，b0）和=（a≥0，b0）及利用它们进行运算．

利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．

教学重难点关键

1．重点：理解=（a≥0，b0），=（a≥0，b0）及利用它们进行计算和化简．

2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题：

1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．

2．填空

（1）=________，=_________；

（2）=________，=________；

（3）=________，=_________；

（4）=________，=________．

规律：______；______；_______；

_______．

3．利用计算器计算填空:

（1）=_________，（2）=_________，（3）=______，（4）=________．

规律：______；_______；_____；_____。

每组推荐一名学生上台阐述运算结果．

（老师点评）

二、探索新知

刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：

一般地，对二次根式的除法规定：

=（a≥0，b0），

反过来，=（a≥0，b0）

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．

例1．计算：（1）（2）（3）（4）

分析：上面4小题利用=（a≥0，b0）便可直接得出答案．

解：（1）===2

（2）==×=2

（3）===2

（4）===2

例2．化简：

（1）（2）（3）（4）

分析：直接利用=（a≥0，b0）就可以达到化简之目的．

解：（1）=

（2）=

（3）=

（4）=

三、巩固练习

教材P14练习1．

四、应用拓展

例3．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．

分析：式子=，只有a≥0，b0时才能成立．

因此得到9-x≥0且x-60，即6x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．

解：由题意得，即

∴6x≤9

∵x为偶数

∴x=8

∴原式=（1+x）

=（1+x）

=（1+x）=

∴当x=8时，原式的值==6．

五、归纳小结

本节课要掌握=（a≥0，b0）和=（a≥0，b0）及其运用．

六、布置作业

1．教材P15习题21．22、7、8、9．

2．选用课时作业设计．

3.课后作业:《同步训练》

第二课时作业设计

一、选择题

1．计算的结果是（）．

A．B．C．D．

2．阅读下列运算过程：

，

数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（）．

A．2B．6C．D．

二、填空题

1．分母有理化:(1)=_________;(2)=________;(3)=______.

2．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______．

三、综合提高题

1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，现用直径为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？

2．计算

（1）（-）÷（m0，n0）

（2）-3÷（）×（a0）

答案:

一、1．A2．C

二、1．(1);(2);(3)

2．

三、1．设：矩形房梁的宽为x（cm），则长为xcm，依题意，

得：（x）2+x2=（3）2，

4x2=9×15，x=（cm），

xx=x2=（cm2）．

2．（1）原式＝-÷=-

=-=-

（2）原式=-2=-2=-a

21.2二次根式的乘除(3)

第三课时

教学内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．

教学目标

理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．

通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．

重难点关键

1．重点：最简二次根式的运用．

2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）

1．计算（1），（2），（3）

老师点评：=，=，=

2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径的比是_________．

它们的比是．

二、探索新知

观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：

1．被开方数不含分母；

2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．

学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．

老师点评：不是．

=.

例1．(1);(2);(3)

例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．

解：因为AB2=AC2+BC2

所以AB===6.5（cm）

因此AB的长为6.5cm．

三、巩固练习

教材P14练习2、3

四、应用拓展

例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

==-1，

==-，

同理可得：=-，……

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

（+++……）（+1）的值．

分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．

解：原式=（-1+-+-+……+-）×（+1）

=（-1）（+1）

=2002-1=2001

五、归纳小结

本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．

六、布置作业

1．教材P15习题21．23、7、10．

2．选用课时作业设计．

3.课后作业:《同步训练》

第三课时作业设计

一、选择题

1．如果（y0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．

A．（y0）B．（y0）C．（y0）D．以上都不对

2．把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（）．

A．B．C．-D．-

3．在下列各式中，化简正确的是（）

A．=3B．=±

C．=a2D．=x

4．化简的结果是（）

A．-B．-C．-D．-

二、填空题

1．化简=_________．（x≥0）

2．a化简二次根式号后的结果是_________．

三、综合提高题

1．已知a为实数，化简：-a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程：

解：-a=a-a=（a-1）

2．若x、y为实数，且y=，求的值．

答案:

一、1．C2．D3.C4.C

二、1．x2．-

三、1．不正确，正确解答：

因为，所以a0，

原式＝-a=-a=-a+=(1-a)

2．∵∴x-4=0，∴x=±2，但∵x+2≠0，∴x=2，y=

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第十六章分式
16．1分式
16.1.1从分数到分式
一、教学目标
1．了解分式、有理式的概念.
2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
二、重点、难点
1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
3.认知难点与突破方法
难点是能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.突破难点的方法是利用分式与分数有许多类似之处，从分数入手，研究出分式的有关概念，同时还要讲清分式与分数的联系与区别.
三、例、习题的意图分析
本章从实际问题引出分式方程=，给出分式的描述性的定义：像这样分母中含有字母的式子属于分式.不要在列方程时耽误时间，列方程在这节课里不是重点，也不要求解这个方程.
1．本节进一步提出P4[思考]让学生自己依次填出：，，，.为下面的[观察]提供具体的式子，就以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？
可以发现，这些式子都像分数一样都是（即A÷B）的形式.分数的分子A与分母B都是整数，而这些式子中的A、B都是整式，并且B中都含有字母.
P5[归纳]顺理成章地给出了分式的定义.分式与分数有许多类似之处，研究分式往往要类比分数的有关概念，所以要引导学生了解分式与分数的联系与区别.
希望老师注意：分式比分数更具有一般性，例如分式可以表示为两个整式相除的商（除式不能为零），其中包括所有的分数.
2．P5[思考]引发学生思考分式的分母应满足什么条件，分式才有意义？由分数的分母不能为零，用类比的方法归纳出：分式的分母也不能为零.注意只有满足了分式的分母不能为零这个条件，分式才有意义.即当B≠0时，分式才有意义.
3．P5例1填空是应用分式有意义的条件—分母不为零，解出字母x的值.还可以利用这道题，不改变分式，只把题目改成“分式无意义”，使学生比较全面地理解分式及有关的概念，也为今后求函数的自变量的取值范围，打下良好的基础.
4．P12[拓广探索]中第13题提到了“在什么条件下，分式的值为0？”，下面补充的例2为了学生更全面地体验分式的值为0时，必须同时满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零.这两个条件得到的解集的公共部分才是这一类题目的解.

四、课堂引入
1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：，，，.
2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
请同学们跟着教师一起设未知数，列方程.
设江水的流速为x千米/时.
轮船顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间小时，所以=.
3.以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？
五、例题讲解
P5例1.当x为何值时，分式有意义.
[分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解
出字母x的取值范围.
[提问]如果题目为：当x为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.
(补充)例2.当m为何值时，分式的值为0？
（1）（2）(3)
[分析]分式的值为0时，必须同时满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m的解集中的公共部分，就是这类题目的解.
[答案]（1）m=0（2）m=2（3）m=1
六、随堂练习
1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？
9x+4,,,,，
2.当x取何值时，下列分式有意义？
（1）（2）（3）
3.当x为何值时，分式的值为0？
（1）（2）(3)

七、课后练习
1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？
(1）甲每小时做x个零件，则他8小时做零件个，做80个零件需小时.
（2）轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是千米/时，轮船的逆流速度是千米/时.
(3)x与y的差于4的商是.

2．当x取何值时，分式无意义？
3.当x为何值时，分式的值为0？
八、答案：
六、1.整式：9x+4,,分式：,，
2．(1）x≠-2（2）x≠（3）x≠±2
3．（1）x=-7（2）x=0(3)x=-1
七、1．18x,,a+b,,;整式：8x,a+b,;
分式：,
2．X=3.x=-1

16.1.2分式的基本性质
一、教学目标
1．理解分式的基本性质.
2．会用分式的基本性质将分式变形.
二、重点、难点
1．重点:理解分式的基本性质.
2．难点:灵活应用分式的基本性质将分式变形.
3.认知难点与突破方法
教学难点是灵活应用分式的基本性质将分式变形.突破的方法是通过复习分数的通分、约分总结出分数的基本性质，再用类比的方法得出分式的基本性质.应用分式的基本性质导出通分、约分的概念，使学生在理解的基础上灵活地将分式变形.
三、例、习题的意图分析
1．P7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以了什么整式，然后应用分式的基本性质，相应地把分子（或分母）乘以或除以了这个整式，填到括号里作为答案，使分式的值不变.
2．P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.
教师要讲清方法，还要及时地纠正学生做题时出现的错误，使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.
3．P11习题16.1的第5题是：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.
“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性质的应用之一，所以补充例5.
四、课堂引入
1．请同学们考虑：与相等吗？与相等吗？为什么？

2．说出与之间变形的过程，与之间变形的过程，并说出变形依据？

3．提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质.
五、例题讲解
P7例2.填空：
[分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变.
P11例3．约分：
[分析]约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.
P11例4．通分：
[分析]通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.
（补充）例5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.
，，，，。
[分析]每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同时改变，分式的值不变.
解：=，=，=，=，=。
六、随堂练习
1．填空：
(1)=(2)=
（3)=(4)=

2．约分：
（1）（2）（3）（4）

3．通分：
（1）和（2）和
（3）和（4）和
4．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.
(1)(2)（3)(4)
七、课后练习
1．判断下列约分是否正确：
（1）=（2）=
（3）=0
2．通分：
（1）和（2）和
3．不改变分式的值，使分子第一项系数为正，分式本身不带“-”号.
（1）（2）
八、答案：
六、1．(1)2x(2)4b（3）bn+n(4)x+y
2．（1）（2）（3）（4）-2(x-y)2
3．通分：
（1）=，=
（2）=，=
（3）==
（4）==
4．(1)(2)（3)(4)

16．2分式的运算
16．2．1分式的乘除(一)
一、教学目标：理解分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算.
二、重点、难点
1．重点：会用分式乘除的法则进行运算.
2．难点：灵活运用分式乘除的法则进行运算.
3.难点与突破方法
分式的运算以有理数和整式的运算为基础，以因式分解为手段，经过转化后往经过转化后往往可视为整式的运算.分式的乘除的法则和运算顺序可类比分数的有关内容得到.所以，教给学生类比的数学思想方法能较好地实现新知识的转化.只要做到这一点就可充分发挥学生的主体性，使学生主动获取知识.教师要重点处理分式中有别于分数运算的有关内容，使学生规范掌握，特别是运算符号的问题，要抓住出现的问题认真落实.
三、例、习题的意图分析
1．P13本节的引入还是用问题1求容积的高，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍，这两个引例所得到的容积的高是，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍.引出了分式的乘除法的实际存在的意义，进一步引出P14[观察]从分数的乘除法引导学生类比出分式的乘除法的法则.但分析题意、列式子时，不易耽误太多时间.
2．P14例1应用分式的乘除法法则进行计算，注意计算的结果如能约分，应化简到最简.
3．P14例2是较复杂的分式乘除，分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.
4．P14例3是应用题，题意也比较容易理解，式子也比较容易列出来，但要注意根据问题的实际意义可知a1,因此(a-1)2=a2-2a+1a2-2+1,即(a-1)2a2-1.这一点要给学生讲清楚，才能分析清楚“丰收2号”单位面积产量高.（或用求差法比较两代数式的大小）

四、课堂引入
1.出示P13本节的引入的问题1求容积的高，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍.
[引入]从上面的问题可知，有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨论数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入手，类比出分式的乘除法法则.
1．P14[观察]从上面的算式可以看到分式的乘除法法则.
3．[提问]P14[思考]类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则？
类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论.

五、例题讲解
P14例1.
[分析]这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，在计算结果.
P15例2.
[分析]这道例题的分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘是不必把它们展开.
P15例.
[分析]这道应用题有两问，第一问是：哪一种小麦的单位面积产量最高？先分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的面积，再分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量，分别是、，还要判断出以上两个分式的值，哪一个值更大.要根据问题的实际意义可知a1,因此(a-1)2=a2-2a+1a2-2+1,即(a-1)2a2-1，可得出“丰收2号”单位面积产量高.
六、随堂练习
计算
（1）（2）（3）
（4）-8xy(5)(6)
七、课后练习
计算
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
八、答案：
六、（1）ab（2）（3）（4）-20x2（5）
（6）
七、（1）（2）（3）（4）
（5）（6）

16．2．1分式的乘除(二)
一、教学目标：熟练地进行分式乘除法的混合运算.
二、重点、难点
1．重点：熟练地进行分式乘除法的混合运算.
2．难点：熟练地进行分式乘除法的混合运算.
3．认知难点与突破方法：
紧紧抓住分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算这一点，然后利用上节课分式乘法运算的基础，达到熟练地进行分式乘除法的混合运算的目的.课堂练习以学生自己讨论为主，教师可组织学生对所做的题目作自我评价，关键是点拨运算符号问题、变号法则.
三、例、习题的意图分析
1．P17页例4是分式乘除法的混合运算.分式乘除法的混合运算先把除法统一成乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.
教材P17例4只把运算统一乘法，而没有把25x2-9分解因式,就得出了最后的结果，教师在见解是不要跳步太快，以免学习有困难的学生理解不了，造成新的疑点.
2，P17页例4中没有涉及到符号问题，可运算符号问题、变号法则是学生学习中重点，也是难点，故补充例题，突破符号问题.
四、课堂引入
计算
（1）(2)
五、例题讲解
（P17）例4.计算
[分析]是分式乘除法的混合运算.分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简的.
（补充）例.计算
(1)
=(先把除法统一成乘法运算)
=（判断运算的符号）
=（约分到最简分式）

(2)
=(先把除法统一成乘法运算)
=(分子、分母中的多项式分解因式)
=
=

六、随堂练习
计算
(1)（2）
（3）（4）

七、课后练习
计算
(1)(2)
(3)(4)

八、答案：
六.（1）（2）（3）（4）-y
七.(1)(2)（3）（4）

16．2．1分式的乘除(三)
一、教学目标：理解分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方的运算.
二、重点、难点
1．重点：熟练地进行分式乘方的运算.
2．难点：熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算.
3．认知难点与突破方法
讲解分式乘方的运算法则之前，根据乘方的意义和分式乘法的法则，计算===，===，……
顺其自然地推导可得：

===，即=.（n为正整数）

归纳出分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方.
三、例、习题的意图分析
1．P17例5第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判
断乘方的结果的符号，在分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除..
2．教材P17例5中象第（1）题这样的分式的乘方运算只有一题，对于初学者来说，练习的量显然少了些，故教师应作适当的补充练习.同样象第（2）题这样的分式的乘除与乘方的混合运算，也应相应的增加几题为好.
分式的乘除与乘方的混合运算是学生学习中重点，也是难点，故补充例题，强调运算顺序，不要盲目地跳步计算，提高正确率，突破这个难点.
四、课堂引入
计算下列各题：
（1）==（）(2)==（）
（3）==（）
[提问]由以上计算的结果你能推出（n为正整数）的结果吗？
五、例题讲解
（P17）例5.计算
[分析]第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除.

六、随堂练习
1．判断下列各式是否成立，并改正.
（1）=（2）=
（3）=（4）=
2．计算
(1)（2）（3）
（4）5)
(6)
七、课后练习
计算
(1)(2)
(3)(4)
八、答案：
六、1.（1）不成立，=（2）不成立，=
（3）不成立，=（4）不成立，=

2.（1）（2）（3）（4）
(5)(6)

七、(1)(2)（3）（4）

16．2．2分式的加减（一）
一、教学目标：（1）熟练地进行同分母的分式加减法的运算.
（2）会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减.
二、重点、难点
1．重点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算.
2．难点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算.
3．认知难点与突破方法
进行异分母的分式加减法的运算是难点，异分母的分式加减法的运算,必须转化为同分母的分式加减法，，然后按同分母的分式加减法的法则计算，转化的关键是通分，通分的关键是正确确定几个分式的最简公分母，确定最简公分母的一般步骤：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）所出现的字母(或含字母的式子)为底的幂的因式都要取；（3）相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最大的.在求出最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母所得的商.
异分母的分式加减法的一般步骤：（1）通分，将异分母的分式化成同分母的分式；（2）写成“分母不便，分子相加减”的形式；（3）分子去括号，合并同类项；（4）分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式.
三、例、习题的意图分析
1．P18问题3是一个工程问题，题意比较简单，只是用字母n天来表示甲工程队完成一项工程的时间，乙工程队完成这一项工程的时间可表示为n+3天，两队共同工作一天完成这项工程的.这样引出分式的加减法的实际背景，问题4的目的与问题3一样，从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算.
2．P19[观察]是为了让学生回忆分数的加减法法则，类比分数的加减法，分式的加减法的实质与分数的加减法相同，让学生自己说出分式的加减法法则.
3．P20例6计算应用分式的加减法法则.第（1）题是同分母的分式减法的运算，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子变号的问题，比较简单，所以要补充分子是多项式的例题，教师要强调分子相减时第二个多项式注意变号；
第（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积，没有涉及分母要因式分解的题型.例6的练习的题量明显不足，题型也过于简单，教师应适当补充一些题，以供学生练习，巩固分式的加减法法则.
（4）P21例7是一道物理的电路题，学生首先要有并联电路总电阻R与各支路电阻R1,R2,…,Rn的关系为.若知道这个公式，就比较容易地用含有R1的式子表示R2，列出，下面的计算就是异分母的分式加法的运算了，得到，再利用倒数的概念得到R的结果.这道题的数学计算并不难，但是物理的知识若不熟悉，就为数学计算设置了难点.鉴于以上分析，教师在讲这道题时要根据学生的物理知识掌握的情况，以及学生的具体掌握异分母的分式加法的运算的情况，可以考虑是否放在例8之后讲.
四、课堂堂引入
1.出示P18问题3、问题4，教师引导学生列出答案.
引语：从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算.
2．下面我们先观察分数的加减法运算，请你说出分数的加减法运算的法则吗？
3.分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则？
4．请同学们说出的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？
五、例题讲解
（P20）例6.计算
[分析]第（1）题是同分母的分式减法的运算，分母不变，只把分子相减，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子是多项式时，第二个多项式要变号的问题，比较简单；第（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积.
（补充）例.计算
（1）
[分析]第（1）题是同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式时，应把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式.
解：
=
=
=
=
(2)
[分析]第（2）题是异分母的分式加减法的运算，先把分母进行因式分解，再确定最简公分母,进行通分，结果要化为最简分式.
解：
=
=
=
=
=
六、随堂练习
计算
(1)（2）
（3）（4）

七、课后练习
计算
(1)(2)
(3)(4)
八、答案：
四.（1）（2）（3）（4）1
五.(1)(2)（3）1（4）