九年级数学上册第24章圆教案（共23套新人教版）。

每个老师上课需要准备的东西是教案课件，大家静下心来写教案课件了。需要我们认真规划教案课件工作计划，才能对工作更加有帮助！你们到底知道多少优秀的教案课件呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“九年级数学上册第24章圆教案（共23套新人教版）”，仅供参考，欢迎大家阅读。

第二十四章圆

24.1圆的有关性质

24.1.1圆

※教学目标※

【知识与技能】

探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别.

【过程与方法】

1.体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系．

2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．

【情感态度】

在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性．

【教学重点】

圆的两种定义的探索，能够解释一些生活问题．

【教学难点】

圆的集合定义方法．

※教学过程※

一、情境导入

（课件展示图片）观察下列图形，从中找出共同特点．

学生观察图形，发现图中都有圆，然后回答问题，此时学生可以再举出一些生活中类似的图形．

二、探索新知

1.圆的定义

（课件展示）观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？

在学生归纳的基础上，引导学生对圆的一些基本概念作界定：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

同时从圆的定义中归纳：

（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

于是得到圆的第二定义：所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．

思考为什么车轮是圆的？

把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与地面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．

2.圆的有关概念

弦：连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.

直径：经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A，B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”．

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

优弧：大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的）叫做优弧.

劣弧：小于半圆的弧（如图中的）叫做劣弧.

等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等.

等弧：在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧.

三、巩固练习

1.如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由.

2.你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚地看出树木生长的年龄,如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉树的半径平均每年增加多少?

3.如图,一根5m长的绳子,一端拴在柱子上,另一端拴着一只羊,请画出羊的活动区域.

答案：1.首先确定圆心,然后用5米长的绳子一端固定为圆心端,另一端系在一端尖木棒,木棒以5米长尖端划动一周,所形成的图形就是所画的圆.

2.23÷2÷20=0.575(cm),故这棵红衫树的半径每年增加0.575cm.

3.

四、归纳小结

1.师生共同回顾圆的两种定义，弦（直径），弧（半圆、优弧、劣弧、等弧），等圆等知识点．

2.通过这节课的学习，你还有那些收获？

※布置作业※

从教材习题24.1中选取．

※教学反思※

本节课是从学生感受生活中圆的应用开始，到通过学生动手画圆，培养学生动手、动脑的习惯，在操作过程中观察圆的特点，加深对所学知识的认识吗，并运用所学知识解决实际问题，体验应用知识的成就感，激发他们的学习兴趣.

24．1.1圆

01教学目标

1．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．

2．理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．

02预习反馈

阅读教材P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．

1．如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．

2．圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．

3．连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

4．以点A为圆心，可以画无数个圆；以已知线段AB的长为半径，可以画无数个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画1个圆．

【点拨】确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．

5．到定点O的距离为5的点的集合是以O为圆心，5为半径的圆．

03新课讲授

例1(教材P80例1)矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上．

【思路点拨】要求证几个点在同一个圆上，即需要证明这几个点到同一个点(即圆心)的距离相等．

【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，

∴OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，AC＝BD.

∴OA＝OC＝OB＝OD.

∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上(如图)．

例2(教材P80例1的变式)△ABC中，∠C＝90°.求证：A，B，C三点在同一个圆上．

【解答】证明：如图，取AB的中点O，连接OC.

∵在△ABC中，∠C＝90°，

∴△ABC是直角三角形．

∴OC＝OA＝OB＝12AB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)．

∴A，B，C三点在同一个圆上．

【跟踪训练1】(例1的变式题)(1)在图中，画出⊙O的两条直径；

(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．

解：(1)作图略．

(2)矩形．理由：因为该四边形的对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形．

【思考】由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？

例3已知⊙O的半径为2，则它的弦长d的取值范围是0d≤4．

【点拨】直径是圆中最长的弦．

例4在⊙O中，若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是等边三角形．

【点拨】与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．

【跟踪训练2】如图，点A，B，C，D都在⊙O上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？

解：图略.6条．

04巩固训练

1．如图，图中有1条直径，2条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有4条，劣弧有4条．

【点拨】这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数．

2．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数为2．

3．(24.1.1习题)点P到⊙O上各点的最大距离为10cm，最小距离为8cm，则⊙O的半径是1或9cm.

【点拨】这里分点在圆外和点在圆内两种情况．

4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC的中点．若AC＝10cm，则OD的长为5__cm．

【点拨】圆心O是直径AB的中点．

5．如图，CD为⊙O的直径，∠EOD＝72°，AE交⊙O于B，且AB＝OC，则∠A的度数为24°．

【点拨】连接OB构造三角形，从而得出角的关系．

05课堂小结

1．这节课你学了哪些知识？

2．学会了哪些解圆的有关问题的技巧？

相关知识

九年级数学上册第25章概率初步教案（共9套新人教版）

25．1.1随机事件
01教学目标
1．理解必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并会判断．
2．了解和体会随机事件发生的可能性是有大小的．

02预习反馈
1．在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称确定性事件．
2．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
3．下列事件：①打开电视正在播放电视剧；②投掷一枚普通的骰子，掷得的点数小于9；③射击运动员射击一次，命中10环；④在一个只装有红球的袋中摸出白球．其中必然事件有②，不可能事件有④，随机事件有①③．
4．一副去掉大小王的扑克牌(共52张)，洗匀后，摸到红桃的可能性＞摸到K的可能性．(填“＜”“＞”或“＝”)

03新课讲授
类型1事件的分类
例1(教材P127问题1变式)五名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序．为了抽签，我们在盒中放五个大小相同的签，每个签上面分别标有表示出场顺序的数字1，2，3，4，5，在看不到数字的情况下，小军先抽，他任意(随机)从盒中抽取一个签．请思考以下问题：
(1)抽到的数字有几种可能的结果？
(2)抽到的数字大于0吗？是什么事件？
(3)抽到的数字会是6吗？是什么事件？
(4)抽到的数字会是3吗？是什么事件？
【解答】(1)1，2，3，4，5，共5种．
(2)必然大于0；是必然事件．
(3)不可能是6；是不可能事件．
(4)可能是3，也可能不是3；是随机事件．
思考：确定性事件和随机事件的特点各是什么呢？
确定性事件：在发生之前可以预测结果．
随机事件：事先不能预料事件是否发生，即事件的发生具有不确定性．

【跟踪训练1】下列事件中，是必然事件的是(B)
A．购买一张彩票，中奖
B．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
C．明天一定是晴天
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

【跟踪训练2】不透明的口袋中装有形状、大小与质地都相同的红球2个，黄球1个，下列事件为随机事件的是(C)
A．随机摸出1个球，是白球
B．随机摸出2个球，都是黄球
C．随机摸出1个球，是红球
D．随机摸出1个球，是红球或黄球
类型2事件发生的可能性大小
例2(教材P129练习2变式)一只不透明的袋子中有2个红球，3个绿球和5个白球，每个球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球．
(1)会有哪些可能的结果？
(2)你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？
(3)能否通过改变某种颜色球的数量，使“摸到红球”和“摸到白球”的可能性大小相同？
【解答】(1)从袋子中任意摸出一个球，可能是红球，也可能是绿球或白球．
(2)∵白球最多，红球最少，
∴摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小．
(3)拿出3个白球，或放入3个红球即可．
思考：我们如何比较随机事件发生的可能性大小呢？
事件发生的可能性大小往往是由发生事件的条件来决定的，因此我们可以通过比较各事件发生的条件及其对事件发生的影响来比较事件发生的可能性大小．

【跟踪训练3】(25.1.1练习)如图，一个任意转动的转盘被均匀分成六份，随意转动一次，停止后指针落在阴影部分的可能性比指针落在非阴影部分的可能性(A)
A．大
B．小
C．相等
D．不能确定

04巩固训练
1．下列事件是必然事件的是(D)
A．打开手机就有未接电话
B．乘坐公共汽车恰好有空座
C．明天会下雨
D．将油滴入水中，油会浮在水面上
2．下列事件中，不可能事件是(C)
A．两点确定一条直线
B．五边形的内角和为540°
C．实数的绝对值小于0
D．如果a2＝b2，那么a＝b
3．下列事件中，是随机事件的为(B)
A．水涨船高B．冬天下雪
C．水中捞月D．冬去春来
4．小明同学参加“献爱心”活动，买了2元一注的爱心福利彩票5注，则“小明中奖”的事件为随机事件(填“必然”“不可能”或“随机”)．
5．一个袋中装有10个红球，6个黄球，4个白球，每个球除颜色外都相同，搅匀后，任意摸出一个球，摸到红球的可能性最大．

05课堂小结
事件确定性事件必然事件不可能事件随机事件
随机事件的特点：
(1)事先不能预料事件是否发生，即事件的发生具有不确定性；
(2)一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.

25.1.2概率
01教学目标
1．理解有限等可能事件概率的意义，掌握其计算公式．
2．利用概率公式求简单事件的概率．

02预习反馈
1．一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)．
2．一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝mn．
3．当A是必然事件时，P(A)＝1；当A是不可能事件时，P(A)＝0；当A是随机事件时，P(A)的取值范围是0＜P(A)＜1．
4．对“某市明天下雨的概率是75%”这句话，理解正确的是(D)
A．某市明天将有75%的时间下雨
B．某市明天将有75%的地区下雨
C．某市明天一定下雨
D．某市明天下雨的可能性较大
5．在一个不透明的口袋中装有5张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字－2，－1，0，1，3，从中随机抽出一张卡片，卡片上面的数字是负数的概率为(C)
A.45B.35C.25D.15

03新课讲授
类型1简单概率的计算
例1(教材P131例1变式)掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
(1)点数为1；
(2)点数为偶数；
(3)点数大于3且小于6.
【解答】掷一枚质地均匀的骰子时，向上一面的点数可能是1，2，3，4，5，6，共6种．这些点数出现的可能性相等．
(1)点数为1有1种可能，因此P(点数为1)＝16.
(2)点数为偶数有3种可能，即点数为2，4，6，
因此P(点数为偶数)＝12.
(3)点数大于3且小于6有2种可能，即点数为4，5，
因此P(点数大于3且小于6)＝13.
思考：如何求简单随机事件的概率？
(1)要清楚关注的是发生哪个或哪些结果；
(2)要清楚所有等可能出现的结果；
(3)上面两个结果个数之比就是关注的结果发生的概率，即P＝事件发生的结果数所有等可能出现的结果数.

【跟踪训练1】在一个不透明袋子中装有5个红球、3个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，摸出红球的概率是(D)
A.13B.35C.38D.58

【跟踪训练2】把分别写有数字1，2，3，4，5的5张同样的小卡片放进不透明的盒子里，搅拌均匀后随机取出一张小卡片，则取出的卡片上的数字大于3的概率是25．

类型2几何概率的计算
例2(教材P132例2变式)如图是一个材质均匀的转盘，转盘分成8个全等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止(若指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)，转动一次转盘：
(1)求指针指向红色扇形的概率；
(2)指针指向红色扇形的概率大，还是黄色扇形概率大？为什么？
【解答】按颜色把8个扇形分别记为红1，红2，绿1，绿2，绿3，黄1，黄2，黄3，所有可能结果的总数为8，并且它们出现的可能性相等．
(1)指针指向红色扇形(记为事件A)的结果有2种，即红1，红2，因此P(A)＝28＝14.
(2)指针指向黄色扇形的概率大．理由：
指针指向黄色扇形(记为事件B)的结果有3种，即黄1，黄2，黄3，因此P(B)＝38.
∵14＜38，
∴P(A)＜P(B)，即指针指向黄色扇形的概率大．
归纳：几何概率的公式P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.

【跟踪训练3】如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的三角形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是(C)
A.16B.14C.13D.12
【跟踪训练4】一只小狗跳来跳去，然后随意落在如图所示的某一方格中(每个方格除颜色外完全相同)，则小狗停留在黑色方格中的概率是13．
04巩固训练
1．在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等腰三角形、正六边形，现从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是(C)
A.14B.13C.34D．1
2．一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时是绿灯的概率是(B)
A.14B.512C.13D.12
3．一个不透明的口袋中有6个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6，从中随机摸取一个小球，取出的小球标号恰好是偶数的概率是12．
4．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘(转盘被平均分成16份)，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得玩具熊、童话书、水彩笔．小明和妈妈购买了125元的商品，请你分析计算：
(1)小明获得奖品的概率是多少？
(2)小明获得玩具熊、童话书、水彩笔的概率分别是多少？
解：(1)∵转盘被平均分成16份，其中有颜色部分占6份，
∴P(获得奖品)＝616＝38.
(2)∵转盘被平均分成16份，其中红色、黄色、绿色部分分别占1份、2份、3份，
∴P(获得玩具熊)＝116，P(获得童话书)＝216＝18，P(获得水彩笔)＝316.

05课堂小结
1．当A为必然事件时，P(A)＝1；当A为不可能事件时，P(A)＝0；当A为随机事件时，0＜P(A)＜1.
2．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0.
3．一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝mn，即事件A发生的概率P(A)＝事件A发生的结果数所有可能的结果总数.

九年级数学上册第22章二次函数教案（共14套新人教版）

22．1.1二次函数
01教学目标
1．结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念．
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．

02预习反馈
阅读教材P28～29，理解二次函数的意义及有关概念，完成下列内容．
1．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a，b，c．
(1)下列函数中，不是二次函数的是(D)
A．y＝1－2x2B．y＝(x－1)2－1
C．y＝12(x＋1)(x－1)D．y＝(x－2)2－x2
(2)二次函数y＝x2＋4x中，二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0．
【点拨】判断二次函数要紧扣定义．
2．现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数，它们的表达式分别是y＝ax＋b(a，b是常数，a≠0)、y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)．
如：一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式．
解：S表＝4πr2.

03新课讲授
例1(教材P28问题1)n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式．
【解答】每个球队要与其他(n－1)个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数是m＝12n(n－1)＝12n2－12n.

【跟踪训练1】(22.1.1习题)某校九(1)班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数关系式y＝12x2－12x，它是(填“是”或“不是”)二次函数．

例2(教材P28问题2)某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
【解答】这种产品的原产量是20t，一年后的产量是20(1＋x)t，再经过一年后的产量是20(1＋x)(1＋x)t，即两年后的产量y＝20(1＋x)2．

【跟踪训练2】(22.1.1习题)国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为(C)
A．y＝36(1－x)B．y＝36(1＋x)
C．y＝18(1－x)2D．y＝18(1＋x2)

例3(教材P29练习T2的变式)一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x＋1)cm的小矩形，剩余部分的面积为ycm2.
(1)写出y与x之间的关系式，并指出y是x的什么函数？
(2)当小矩形中x的值分别为2和4时，相应的剩余部分的面积是多少？
【解答】(1)y＝122－2x(x＋1)，即y＝－2x2－2x＋144.
∴y是x的二次函数．
(2)当x＝2和4时，相应的y的值分别为132和104.
【点拨】几何图形的面积一般需画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来．
【跟踪训练3】用总长为60m的篱笆围成矩形场地，写出场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的关系式．
解：S＝a（60－2a）2＝－a2＋30a.

04巩固训练
1．下列方程是一元二次方程的是(A)
A．(5－a)2＝2B．3x2＋x－y2＝0
C．y2＝5－(2y－y3)D．x－1x2＋1＝0
2．若y＝(b－1)x2＋3是二次函数，则b≠1．
3．有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数关系式为y＝x2＋2x＋1．
4．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为xm，则菜园的面积y(m2)与x(m)的函数解析式为y＝－12x2＋15x(不要求写出自变量x的取值范围)．
5．已知函数y＝(m＋1)xm2－3m－2＋(m－1)x(m是常数)．m为何值时，它是二次函数？
解：m＝4.
【点拨】不要忽视m＋1≠0.

05课堂小结
1．二次函数的定义．
2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a≠0，a，b，c为常数．
3．如何表示简单变量之间的二次函数关系？

22.1.2二次函数y＝ax2的图象和性质
01教学目标
1．能够用描点法画函数y＝ax2的图象，并能根据图象认识和理解其性质．
2．初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数与形的结合与转化．

02预习反馈
阅读教材P30～32，自学“例1”“思考”“探究”“归纳”，掌握用描点法画函数y＝ax2图象的方法，理解其性质，完成下列内容．
1．一般地，当a0时，抛物线y＝ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小．
2．一般地，当a0时，抛物线y＝ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小．
3．从二次函数y＝ax2的图象可以看出：如果a0，当x0时，y随x的增大而减小，当x0时，y随x的增大而增大；如果a0，当x0时，y随x的增大而增大，当x0时，y随x的增大而减小．
4．(1)抛物线y＝2x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点；
(2)抛物线y＝－3x2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点；
(3)在抛物线y＝2x2对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；
(4)在抛物线y＝－3x2对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．

03新课导入
回顾：一次函数的图象是一条直线．
思考：二次函数的图象是什么形状呢？还记得如何用描点法画一个函数的图象吗？
画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．
导入：你能画出二次函数y＝x2的图象吗？
第一步：列表：

x…－3－2－10123…
y＝x2…9410149…
第二步：描点，在平面直角坐标系中描出表中各点，如图1.
图1
图2

第三步：连线，用平滑的曲线顺次连接各点，就得到二次函数y＝x2的图象，如图2.
思考：观察函数y＝x2的图象，它有什么特点？
总结：(1)二次函数的图象是一条曲线，它的开口向上，这条曲线叫做抛物线；
(2)抛物线y＝x2的对称轴是y轴，抛物线与它的对称轴的交点是(0，0)，它是图象的最低点，叫做抛物线的顶点；
(3)在对称轴的左侧，抛物线y＝x2从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线y＝x2从左到右上升．也就是说，当x0时，y随x的增大而减小；当x0时，y随x的增大而增大．

04新课讲授
例1(教材P30例1)在同一直角坐标系中，画出函数y＝12x2，y＝2x2的图象．
【解答】分别列表，画出它们的图象，如图．

x…－4－3－2－101234…
y＝12x2
…84.520.500.524.58…

x…－2－1.5－1－0.500.511.52…
y＝2x2…84.520.500.524.58…
思考：函数y＝12x2，y＝2x2的图象与函数y＝x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
总结：共同点是开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点；不同点是开口大小不同，x2的系数越大，抛物线的开口越小．

例2(教材P30例1的变式)在同一直角坐标系中，画出函数y＝－x2，y＝－12x2，y＝－2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？
【解答】画出图象如图．
思考：当a＜0时，二次函数y＝ax2的图象有什么特点？
【点拨】可从开口方向、对称轴、顶点、开口大小去比较和寻找规律．

【跟踪训练1】(1)函数y＝－2x2的图象是抛物线，顶点坐标是(0，0)，对称轴是y轴，开口方向是向下；
(2)函数y＝x2，y＝12x2和y＝－2x2的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式．
解：根据抛物线y＝ax2中a的值来判断，上面最外面的抛物线为y＝12x2，中间为y＝x2，在x轴下方的为y＝－2x2.
【点拨】抛物线y＝ax2，当a0时，开口向上；当a0时，开口向下，|a|越大，开口越小．

例3(补充例题)已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数．
(1)求满足条件的m的值；
(2)当m为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；
(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？当x为何值时，y随x的增大而减小？
【解答】(1)由题意，得
m2＋m－4＝2，m＋2≠0.解得m＝2或m＝－3，m≠－2.
∴当m＝2或m＝－3时，函数为二次函数．
(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，
∴m＋20，即m－2.∴m＝2.
这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，
(3)当x0时，y随x的增大而增大；当x0时，y随x的增大而减小．
【点拨】也可结合图象来分析完成此题．

【跟踪训练2】已知函数y＝(m－1)xm2－2m＋2＋(m－2)x是二次函数，且开口向上．求m的值及二次函数的解析式，并回答y随x的变化规律．
解：由题意有m－10，m2－2m＋2＝2.
解得m＝0(舍去)，m＝2.
所以二次函数的解析式为y＝x2.
所以当x0时，y随x的增大而减小，
当x0时，y随x的增大而增大．

05巩固训练
1．抛物线y＝－13x2的开口向下，顶点坐标是(0，0)，顶点是抛物线的最高(填“低”或“高”)点．

2．在同一直角坐标系中，抛物线y＝13x2与抛物线y＝－13x2的形状相同，开口方向相反，两条抛物线关于x轴对称．
3．当m＝－2时，抛物线y＝(m－1)xm2＋m开口向下，对称轴为y轴，当x0时，y随x的增大而增大；当x0时，y随x的增大而减小．
4．二次函数y＝－6x2，当x1x20时，y1与y2的大小关系是y1y2．
5．一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点(－1，14)．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)画出这个二次函数的图象；
(3)根据图象指出，当x＞0时，若x增大，y怎样变化？当x＜0时，若x增大，y怎样变化？
解：(1)由题意，设二次函数解析式为y＝ax2，
将(－1，14)代入，得y＝14x2。
(2)画出这个二次函数的图象如图．
(3)当x＞0时，y随x增大而增大；当x＜0时，y随x增大而减小．

06课堂小结
1．画二次函数y＝ax2的图象时，应注意些什么？
2．你是如何理解并熟记抛物线y＝ax2的性质的？

抛物线y＝ax2(a0)y＝ax2(a0)
顶点坐标(0，0)(0，0)
对称轴y轴y轴
位置在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)
开口方向向上向下
增减性在对称轴的左侧，y随x的增大而减小
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大在对称轴的左侧，y随x的增大而增大
在对称轴的右侧，y随x的增大而减小
开口大小a越大，开口越小
a越大，开口越小

九年级数学上册第21章一元二次方程教案（共19套新人教版）

第二十一章一元二次方程
21．1一元二次方程
※教学目标※
【知识与技能】
1.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式.
2.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根.
【过程与方法】
1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.
2.通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其他三种特殊形式.
3.经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念.
【情感态度】
通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
【教学重点】
一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念．
【教学难点】
通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
※教学过程※
一、情境导入
（课件展示问题）雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为2m，设计者当初设计它的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，即下部高度的平方等于上部与全部的积，如果设此雕像的下部高为xm，则其上部高为(2-x)m，由此可得到的等量关系如何？它是关于x的方程吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗?
二、探索新知
由上述问题，我们可以得到，即.显然这个方程只含有一个未知数，且x的最高次数为2，这类方程在现实生活中有广泛的应用.
探究问题1如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四角突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

教师设置如下问题学生讨论：
如果设四角折起的正方形的边长为xcm，则制成的无盖方盒的底面长为多少？宽为多少？由底面积为3600m2可得到的方程又是怎样的？
讨论结果：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100-2x)cm，
宽为(50-2x)cm.根据方盒的底面积为3600m2，得(100-2x)(50-2x)=3600.整理，得.化简得.由次方程可以得出所切正方形的具体尺寸.
探究问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
教师提出以下问题，引导学生思考方程的建模过程：
（1）这次比赛共安排多少场？
（2）若设应邀请x个队参赛，则每个队与其他几个队各赛一场？这样共应有多少场比赛？
（3）由此可列出的方程是什么？化简后的方程是什么？
讨论结果：全部比赛的场数为.设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场.列方程.整理，得.化简，得，即.
观察思考，口答下面的问题：
（1）上面的方程整理后含有几个未知数？
（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？
老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．
归纳总结
像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
想一想
二次项系数a为什么不能为0？在指出二次项系数、一次项系数和常数项时，a、b、c一定是正数吗？
探究问题3探究问题2中可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，由此可列下表：
x12345678910......
x2-x-56
由上表可得，当x=8时，，所以x=8是方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
学生思考
方程有一个根为x=8，它还有其他的根吗？
当x=-7时，，故x=-7也是方程的一个根.
归纳总结
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的根.一个一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为，．
三、掌握新知
例1求证：关于x的方程，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明即可．
证明：
∵，
∴，即．
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
例2将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
分析：一元二次方程的一般形式是．因此，方程必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
解：去括号，得．
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式．
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10．
四、巩固练习
1.在下列方程中，一元二次方程的个数是（）
①,②,③,④.
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.已知方程的一个根是，则m的值为________．
3.关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是_________.
4.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式，指出其二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;
（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.
答案：1.A2.-133.a≠14.（1），其中二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-25；（2），其中二次项系数为1，一次项系数为12，常数项为-100.
五、归纳小结
1.本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．
2.通过这节课的学习，你还有那些收获？
※布置作业※
从教材习题21．1中选取.
※教学反思※
1.注重知识的前后练习，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.
2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.
3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.
4.对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.

21．1一元二次方程
01教学目标
1．理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，确定出二次项系数、一次项系数和常数项．
2．理解一元二次方程的根的意义，能够运用代入法检验根的正确性．

02预习反馈
1．等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．如：下列方程：①1－x2＝0；②2(x2－1)＝3y；③2x2－3x－1＝0；④1x2－2x＝0中，是一元二次方程的是①③．
2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
3．使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．求方程的解的过程，叫做解方程．
如：下面哪些数是方程x2－x－6＝0的根？－2，3．
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.

03新课讲授
类型1一元二次方程的一般形式
例1(教材P3例)将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
【解答】去括号，得3x2－3x＝5x＋10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2－8x－10＝0.
其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.
【方法归纳】1.把一元二次方程化为一般形式，就是把一元二次方程化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式．其中，二次项系数、一次项系数、常数项均包括数字前的符号．
2．将一元二次方程化为一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．

【跟踪训练1】方程x2－2(3x－2)＋(x＋1)＝0的一般形式是(A)
A．x2－5x＋5＝0B．x2＋5x＋5＝0
C．x2＋5x－5＝0D．x2＋5＝0

【跟踪训练2】(21.1习题)一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－5，则这个一元二次方程是2x2＋3x－5＝0．

类型2一元二次方程的解的意义
例2(教材补充例题)关于x的一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a－1＝0的一个根为0，则a＝1．
【思路点拨】将x＝0代入一元二次方程，得到关于a的方程，解方程即可．注意二次项系数a＋1≠0.
【跟踪训练3】已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是x＝－a(a≠0)，则a－b的值为(A)
A．－1B．0C．1D．2

04巩固训练

1．若(p－2)x2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，则(D)
A．p＝2B．p≠0C．p＞2D．p≠2
2．把方程(x－2)(x＋2)＋(2x－1)2＝0化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是(D)
A．5、－4、6B．1、－5、0C．5、－2、1D．5、－4、－3
3．若x＝3是关于x的方程2x2＋ax－6＝0的一个根，则a的值是－4．
4．根据题意，列出方程(不必解答)：
(1)两个连续整数的积是210，求这两个数；
(2)在一块长250m、宽150m的草地四周修一条路，路修好后草地的面积减少1191m2，求这条路的宽度．
解：(1)设其中一个整数为x，则另一个整数为(x＋1)，依题意，得x(x＋1)＝210.
(2)设这条路的宽为xm，则(250－2x)(150－2x)＝250×150－1191.

05课堂小结