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小学一年级数学的教案

发表时间:2021-04-08

九年级数学竞赛明快简捷—构造方程的妙用讲座。

学生们有一个生动有趣的课堂,离不开老师辛苦准备的教案,大家应该开始写教案课件了。认真做好教案课件的工作计划,才能完成制定的工作目标!你们知道多少范文适合教案课件?小编特地为大家精心收集和整理了“九年级数学竞赛明快简捷—构造方程的妙用讲座”,但愿对您的学习工作带来帮助。

有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关,但是如果我们能构造一元二次方程,那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题,构造一元二次方程的常用方法是:

1.利用根的定义构造

当已知等式具有相同的结构,就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根.

2.利用韦达定理逆定理构造

若问题中有形如,的关系式时,则、可看作方程的两实根.

3.确定主元构造

对于含有多个变元的等式,可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程.

成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之上的;成功的构造能收到明快简捷、出奇制胜的效果.

注:许多数学问题表面上看难以求解,但如果我们创造性地运用已知条件,以已知条件为素材,以所求结论为方向,有效地运用数学知识,构造出一种辅助问题及其数学形式,就能使问题在新的形式下获得简解,这就是解题中的“构造”策略,构造图形,构造方程、构造函数、构造反例是常用构造方法.

【例题求解】

【例1】已知、是正整数,并且,,则.

思路点拨,变形题设条件,可视、为某个一元二次方程两根,这样问题可从整体上获得简解.

【例2】若,且有及,则的值是()

A.B.C.D.

思路点拨第二个方程可变形为,这样两个方程具有相同的结构,从利用定义构造方程入手.

【例3】已知实数、满足,且,求的取值范围.

思路点拨由两个等式可求出、的表达式,这样既可以从配方法入手,又能从构造方程的角度去探索,有较大的思维空间.

【例4】已知实数、、满足,.

(1)求、、中最大者的最小值;

(2)求的最小值.

思路点拨不妨设a≥b,a≥c,由条件得,.构造以b、c为实根的一元二次方程,通过△≥0探求的取值范围,并以此为基础去解(2).

注:构造一元二次方程,在问题有解的前提下,运用判别式△≥0,建立含参数的不等式,

缩小范围逼近求解,在求字母的取值范围,求最值等方面有广泛的应用.

【例5】试求出这样的四位数,它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方,恰好等于这个四位数.(2003年全国初中数学联赛试题)

思路点拨设前后两个二位数分别为,,则有,将此方程整理成关于(或)的一元二次方程,在方程有解的前提下,运用判别式确定(或)的取值范围.

学历训练

1.若方程的两个实数根的倒数和是,则的取值范围是.

2.如图,在Rt△ABC中,斜边AB=5,CD⊥AB,已知BC、AC是一元二次方程的两个根,则m的值是.

3.已知、满足,,则=.

4.已知,,,则的值为()

A.2B.-2C.-1D.0

5.已知梯形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若S△AOB=4,S△COD=9,则四边形ABCD的面积S的最小值为()

A.21B.25C.26D.36

6.如图,菱形A6CD的边长是5,两条对角线交于O点,且AO、BO的长分别是关于的方程的根,则m的值为()

A.一3B.5C.5或一3n一5或3

7.已知,,其中、为实数,求的值.

8.已知和是正整数,并且满足条件,,求的值.

9.已知,,其中m、n为实数,则=.

10.如果、、为互不相等的实数,且满足关系式与,那么的取值范围是.

11.已知,则=,=.;

12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=b,AB=c,若D、E分别是AB和AB延长线上的两点,BD=BC,CE⊥CD,则以AD和AE的长为根的一元二次方程是.

13.已知、、均为实数,且,,求的最小值.

14.设实数、、满足,求的取值范围.

15.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,,梯形的高AE=,且.

(1)求∠B的度数;

(2)设点M为梯形对角线AC上一点,DM的延长线与BC相交于点F,当,求作以CF、DF的长为根的一元二次方程.

16.如图,已知△ABC和平行于BC的直线DE,且△BDE的面积等于定值,那么当与△BDE之间满足什么关系时,存在直线DE,有几条?

参考答案

相关知识

九年级数学竞赛坐标平面上的直线讲座


每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件,大家在认真准备自己的教案课件了吧。写好教案课件工作计划,才能规范的完成工作!你们会写一段优秀的教案课件吗?考虑到您的需要,小编特地编辑了“九年级数学竞赛坐标平面上的直线讲座”,相信能对大家有所帮助。

一般地,若(,是常数,),则叫做的一次函数,它的图象是一条直线,函数解析式6中的系数符号,决定图象的大致位置及单调性(随的变化情况).如图所示:

一次函数、二元一次方程、直线有着深刻的联系,任意一个一次函数都可看作是关于、的一个二元一次方程;任意一个关于、的二元一次方程,可化为形如()的函数形式.坐标平面上的直线可以表示一次函数与二元一次方程,而利用方程和函数的思想可以研究直线位置关系,求坐标平面上的直线交点坐标转化为解由函数解析式联立的方程组.

【例题求解】

【例1】如图,在直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A(3,0)、B(2,7),P为线段OC上一点,若过B、P两点的直线为,过A、P两点的直线为,且BP⊥AP,则=.

思路点拨解题的关键是求出P点坐标,只需运用几何知识建立OP的等式即可.

【例2】设直线(为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为(=1,2,…2000),则S1+S2+…+S2000的值为()

A.1B.C.D.

思路点拨求出直线与轴、轴交点坐标,从一般形式入手,把用含的代数式表示.

【例3】某空军加油飞机接到命令,立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油.在加油过程中,设运输飞机的油箱余油量为Q1吨,加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨,加油时间为分钟,Q1、Q2与之间的函数图象如图所示,结合图象回答下列问题:

(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?

(2)求加油过程中,运输飞机的余油量Q1(吨)与时间(分钟)的函数关系式;

(3)运输飞机加完油后,以原速继续飞行,需10小时到达目的地,油料是否够用?说明理由.

思路点拨对于(3),解题的关键是先求出运输飞机每小时耗油量.

注:(1)当自变量受限制时,一次函数图象可能是射线、线段、折线或点,一次函数当自变量取值受限制时,存在最大值与最小值,根据图象求最值直观明了.

(2)当一次函数图象与两坐标轴有交点时,就与直角三角形联系在一起,求两交点坐标并能发掘隐含条件是解相关综合题的基础.

【例4】如图,直线与轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,∠BAC=90°,如果在第二象限内有一点P(,),且△ABP的面积与△AABC的面积相等,求的值.

思路点拨利用S△ABP=S△ABC建立含的方程,解题的关键是把S△ABP表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差.

注:解函数图象与面积结合的问题,关键是把相关三角形用边落在坐标轴的其他三角形面积来表示,这样面积与坐标就建立了联系.

【例5】在直角坐标系中,有以A(一1,一1),B(1,一1),C(1,1),D(一1,1)为顶点的正方形,设它在折线上侧部分的面积为S,试求S关于的函数关系式,并画出它们的图象.

思路点拨先画出符合题意的图形,然后对不确定折线及其中的字母的取值范围进行分类讨论,的取值决定了正方形在折线上侧部分的图形的形状.

注:我们把有自变量或关于自变量的代数式包含在绝对值符号在内的一类函数称为绝对值函数.去掉绝对值符号,把绝对值函数化为分段函数,这是解绝对值的一般思路.

学历训练

1.一次函数的自变量的取值范围是-3≤≤6,相应函数值的取值范围是-5≤≤-2,则这个函数的解析式为.

2.已知,且,则关于自变量的一次函数的图象一定经过第象限.

3.一家小型放影厅的盈利额(元)与售票数之间的关系如图所示,其中超过150人时,要缴纳公安消防保险费50元.试根据关系图回答下列问题:

(1)当售票数满足0≤150时,盈利额(元)与之间的函数关系式是.

(2)当售票数满足150x≤200时,盈利额(元)与之间的函数关系式是.

(3)当售票数为时,不赔不赚;当售票数满足时,放影厅要赔本;若放影厅要获得最大利润200元,此时售票数应为

(4)当售票数满足时,此时利润比=150时多.

4.如图,在平行四边形ABCD中,AC=4,BD=6,P是BD上的任一点,过P作EF∥AC,与平行四边形的两条边分别交于点E,F,设BP=,EF=,则能反映与之间关系的图象是()

5.下列图象中,不可能是关于的一次函数的图象是()

6.小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售,在销售了部分西瓜之后,余下的每千克降价0.4元,全部售完.销售金额与卖瓜的千克数之间关系如图所示,那么小李赚了()

A.32元B.36元C.38元D.44元

7.某医药研究所开发了一种新药,在试验药效时发现,如果成人按规定剂量服用,那么服药后2小时时血液中含药量最高,达每毫升6微克(1微克=10-3毫克),接着逐步衰减,10小时时血液中含药量为每毫升3微克,每毫升血液中含药量(微克)随时间(小时)的变化如图所示,当成人按规定剂量服用后.

(1)分别求出≤2和≥2时与之间的函数关系式;

(2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效的,那么这个有效时间是多长?

8.如图,正方形ABCD的边长是4,将此正方形置于平面直角坐标系O中,使AB在轴的正半轴上,A点的坐标是(1,0)

(1)经过C点的直线与轴交于点E,求四边形AECD的面积;

(2)若直线经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分,求直线的方程,并在坐标系中画出直线.(2001年湖北省荆州市中考题)

9.如图,已知点A与B的坐标分别为(4,0),(0,2)

(1)求直线AB的解析式.

(2)过点C(2,0)的直线(与轴不重合)与△AOB的另一边相交于点P,若截得的三角形与△AOB相似,求点P的坐标.

10.如图,直线与轴、y轴分别交于P、Q两点,把△POQ沿PQ翻折,点O落在R处,则点R的坐标是.

11.在直角坐标系O中,轴上的动点M(,0)到定点P(5,5)、Q(2,1)的距离分别为MP和MQ,那么,当MP+MQ取最小值时,点M的横坐标为.

12.如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(15,6),直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分,那么b=.

13.如果—条直线经过不同的三点A(a,b),B(b,a),C(a-b,b-a),那么,直线经过()象限.

A.二、四B.—、三C.二、三、四D.一、三、四

14.一个一次函数的图象与直线平行,与轴、轴的交点分别为A、B,并且过点(一l,—25),则在线段AB(包括端点A、B)上,横、纵坐标都是整数的的点有()

A.4个B.5个C.6个D.7个

15.点A(一4,0),B(2,0)是坐标平面上两定点,C是的图象上的动点,则满足上述条件的直角△ABC可以画出()

A.1个B.2个C.3个D.4个

16.有—个附有进、出水管的容器,每单位时间进、出的水量都是一定的,设从某时刻开始5分钟内只进不出水,在随后的15分钟内既进水又出水,得到时间(分)与水量(升)之间的关系如下图.若20分钟后只出水不进水,求这时(即≥20)y与之间的函数关系式.

17.如图,△AOB为正三角形,点B坐标为(2,0),过点C(一2,0)作直线交AO于D,交AB于E,且使△ADE和△DCO的面积相等,求直线的函数解析式.

18.在直角坐标系中,有四个点A(一8,3),B(一4,5),C(0,),D(,0),当四边形ABCD的周长最短时,求的值.

19.转炉炼钢产生的棕红色烟尘会污染大气,某装置可通过回收棕红色烟尘中的氧化铁从而降低污染,该装置的氧化铁回收率与其通过的电流有关.现经过试验得到下列数据:

通过电流强度(单位A)11.71.92.12.4

氧化铁回收率(%)7579888778

如图建立直角坐标系,用横坐标表示通过的电流强度,纵坐标表示氧化铁回收率.

(1)将试验所得数据在右图所给的直角坐标系中用点表示(注:该图中坐标轴的交点代表点(1,70);

(2)用线段将题(1)所画的点从左到右顺次连接,若用此图象来模拟氧化铁回收率y关于通过电流x的函数关系,试写出该函数在1.7≤x≤2.4时的表达式;

(3)利用题(2)所得函数关系,求氧化铁回收率大于85%时,该装置通过的电流应该控制的范围(精确到0.1A).

20.如图,直线OC、BC的函数关系式分别为和,动点P(x,0)在OB上移动(03),过点P作直线与轴垂直.

(1)求点C的坐标;

(2)设△OBC中位于直线左侧部分的面积为S,写出S与之间的函数关系式;

(3)在直角坐标系中画出(2)中的函数的图象;

(4)当为何值时,直线平分△OBC的面积?

参考答案

九年级数学竞赛走进追问求根公式讲座


形如()的方程叫一元二次方程,配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法.而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法.
求根公式内涵丰富:它包含了初中阶段已学过的全部代数运算;它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题;它展示了数学的简洁美.
降次转化是解方程的基本思想,有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题,直接求解可能给解题带来许多不便,往往不是去解这个二次方程,而是对方程进行适当的变形来代换,从而使问题易于解决.解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法.
【例题求解】
【例1】满足的整数n有个.

思路点拨从指数运算律、±1的特征人手,将问题转化为解方程.

【例2】设、是二次方程的两个根,那么的值等于()
A.一4B.8C.6D.0
思路点拨求出、的值再代入计算,则计算繁难,解题的关键是利用根的定义及变形,使多项式降次,如,.

【例3】解关于的方程.
思路点拨因不知晓原方程的类型,故需分及两种情况讨论.

【例4】设方程,求满足该方程的所有根之和.
思路点拨通过讨论,脱去绝对值符号,把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解.

【例5】已知实数、、、互不相等,且,试求的值.
思路点拨运用连等式,通过迭代把、、用的代数式表示,由解方程求得的值.

注:一元二次方程常见的变形形式有:
(1)把方程()直接作零值多项式代换;
(2)把方程()变形为,代换后降次;
(3)把方程()变形为或,代换后使之转化关系或整体地消去.
解合字母系数方程时,在未指明方程类型时,应分及两种情况讨论;解绝对值方程需脱去绝对值符号,并用到绝对值一些性质,如.

学历训练
1.已知、是实数,且,那么关于的方程的根为.
2.已知,那么代数式的值是.

3.若,,则的值为.

4.若两个方程和只有一个公共根,则()
A.B.C.D.
5.当分式有意义时,的取值范围是()
A.B.C.D.且
6.方程的实根的个数是()
A.0B.1C.2D.3
7.解下列关于的方程:
(1);
(2);(3).
8.已知,求代数式的值.

9.是否存在某个实数m,使得方程和有且只有一个公共的实根?如果存在,求出这个实数m及两方程的公共实根;如果不存在,请说明理由.
注:解公共根问题的基本策略是:当方程的根有简单形式表示时,利用公共根相等求解,当方程的根不便于求出时,可设出公共根,设而不求,通过消去二次项寻找解题突破口.
10.若,则=.
11.已知、是有理数,方程有一个根是,则的值为.
12.已知是方程的一个正根。则代数式的值为.
13.对于方程,如果方程实根的个数恰为3个,则m值等于()
A.1n.2C.D.2.5
14.自然数满足,这样的的个数是()
A.2B.1C.3D.4
15.已知、都是负实数,且,那么的值是()
A.B.C.D.
16.已知,求的值.
20.如图,锐角△ABC中,PQRS是△ABC的内接矩形,且S△ABC=S矩形PQRS,其中为不小于3的自然数.求证:需为无理数.

参考答案

九年级数学竞赛从创新构造入手专题教案


【例题求解】
【例1】设、、、都为实数,,满足,求证:.
思路点拨可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试.仔细观察已知等式特点,、可看作方程的两根,则,通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律,解题思路新颖而深刻.

注:一般说来,构造法包含下述两层意思:利用抽象的普遍性,把实际问题转化为数学模型;利用具体问题的特殊性,给所解决的问题设计一个框架,强调数学应用的数学建模是前一层意思的代表,而后一层意思的“框架”含义更为广泛,如方程、函数、图形、“抽屉”等.
【例2】求代数式的最小值.
思路点拨用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值.
,于是问题转化为:在轴上求一点C(1,0),使它到两点A(一1,1)和B(2,3)的距离和(CA+CB)最小,利用对称性可求出C点坐标.这样,通过构造图形而使问题获解.

【例3】已知、为整数,方程的两根都大于且小于0,求和的值.
思路点拨利用求根公式,解不等式组求出、的范围,这是解本例的基本思路,解法繁难.由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系,构造函数,令,从讨论抛物线与轴交点在与0之间所满足的约束条件入手.
【例4】如图,在矩形ABCD中,AD=,AB=,问:能否在Ab边上找一点E,使E点与C、D的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?若能找到,这样的E点有几个?若不能找到,请说明理由.
思路点拨假设在AB边上存在点E,使Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD,又设AE=,则,即,于是将问题转化为关于的一元二次方程是否有实根,在一定条件下有几个实根的研究,通过构造方程解决问题.

【例5】试证:世界上任何6个人,总有3人彼此认识或者彼此不认识.
思路点拨构造图形解题,我们把“人”看作“点”,把2个人之间的关系看作染成颜色的线段.比如2个人彼此认识就把连接2个人的对应点的线段染成红色;2个人彼此不认识,就把相应的线段染成蓝色,这样,有3个人彼此认识就是存在一个3边都是红色的三角形,否则就是存在一个3边都是蓝色的三角形,这样本题就化作:
已知有6个点,任何3点不共线,每2点之间用线段连结起来,并染上红色或蓝色,并且一条边只能染成一种颜色.证明:不管怎么染色,总可以找出三边同色的三角形.

注:“数缺形时少直观,形缺少时难入微”数形互助是一种重要的思想方法,主要体现在:
(1)几何问题代数化;
(2)利用图形图表解代数问题;
(3)构造函数,借用函数图象探讨方程的解.
利用代数法解几何题,往往是以较少的量的字母表示相关的几何量,根据几何图形性质列出代数式或方程(组),再进行计算或证明.
特别地,证明几何存在性的问题可构造方程,利用一元二次方程必定有解的的的代数模型求证;应用为韦达定理,讨论几何图形位置的可能性.
有些问题可通过改变形式或换个说法,构造等价命题或辅助命题,使问题清晰且易于把握.
对于存在性问题,可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象,即所谓的存在性问题的“构造性证明”.
学历训练
1.若关于的方程的所有根都是比1小的正实数,则实数的取值范围是.
2.已知、、、是四个不同的有理数,且,,那么的值是.
3.代数式的最小值为.
4.A、B、C、D、E、F六个足球队单循环赛,已知A、B、C、D、E五个队已经分别比赛了5、4、3、2、1场,则还未与B队比赛的球队是.
5.若实数、满足,且,则的取值范围是.
6.设实数分别、分别满足,,并且,求的值.
7.已知实数、、满足,求证:.
8.写出10个不同的自然数,使得它们中的每个是这10个数和的一个约数,并说明写出的10个自然数符合题设条件的理由.
9.求所有的实数,使得.
10.若是不全为零且绝对值都小于106的整数.求证:.
11.已知关于的方程有四个不同的实根,求的取值范围.
12.设0,求证.
13.从自然数l,2,3,…354中任取178个数,试证:其中必有两个数,它们的差为177.
14.已知、、、、是满足,的实数,试确定的最大值.

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