完全平方数和完全平方式。

教案课件是每个老师工作中上课需要准备的东西，大家在细心筹备教案课件中。必须要写好了教案课件计划，新的工作才会如鱼得水！你们知道多少范文适合教案课件？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“完全平方数和完全平方式”，希望能对您有所帮助，请收藏。

第三十一讲完全平方数和完全平方式
设n是自然数，若存在自然数m，使得n=m2，则称n是一个完全平方数(或平方数)．常见的题型有：判断一个数是否是完全平方数；证明一个数不是完全平方数；关于存在性问题和其他有关问题等．最常用的性质有：
(1)任何一个完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，个位数字是2，3，7，8的数一定不是平方数；
(2)个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为6，而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数；
(3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数；
(4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式；
(5)任何整数平方之后，只能是3n或3n+1的形式，从而知，形如3n+2的数绝不是平方数；任何整数平方之后只能是5n，5n+1，5n+4的形式，从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数；
(6)相邻两个整数之积不是完全平方数；
(7)如果自然数n不是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是偶数；如果自然数n是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是奇数；
(8)偶数的平方一定能被4整除；奇数的平方被8除余1，且十位数字必是偶数．
例题求解
【例1】n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全平方数之和．
思路点拨设3n+1=m2，显然3卜m，因此，m=3k+1或m=3k+2(k是正整数)．
若rn=3k+1，则．
∴n+1=3k2+2k+1=k2+k2+(k+1)2．
若m=3k+2，则
∴n+1=3k2+4k+2=k2+(k+1)2+(k+1)2．
故n+1是3个完全平方数之和．
【例2】一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数．
思路点拨引入参数，利用奇偶分析求解．
设所求正整数为x，则
x+100=m2----①
x+168==n2-----②
其中m，n都是正整数，②—①得n2—m2=68，即（n—m）(n+m)=22×17．----③
因n—m，n+m具有相同的奇偶性，由③知n—m，n+m都是偶数．注意到0n—mn+m，由③可得．
解得n=18．代人②得x=156，即为所求．
【例3】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=52—32，16就是一个“智慧数”．在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数?并请你说明理由．
思路点拨1不能表为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=(k+1)2－k2(k=1，2，…)．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．
对于被4整除的偶数4k，有4k=(k+1)2—(k—1)2(k=2，3，…)．即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．
对于被4除余2的数4k+2(k=0，1，2，3，…)，设4k+2=x2—y2=(x+y)(x－y)，其中x，y为正整数，当x，y奇偶性相同时，(x+y)(x－y)被4整除，而4k+2不被4整除；当x，y奇偶性相异时，(x+y)(x－y)为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．所以不存在自然数x，y使得x2—y2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．
因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．
因为1998=(1+3×665)+2，4×(665+1)=2664，所以2664是第1996个“智慧数”，2665是第1997个“智慧数”，注意到2666不是“智慧数”，因此2667是第1998个“智慧数”，即第1998个“智慧数”是2667．
【例4】(太原市竞赛题)已知：五位数满足下列条件：
(1)它的各位数字均不为零；
(2)它是一个完全平方数；
(3)它的万位上的数字a是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数也都是完全平方数．
试求出满足上述条件的所有五位数．
思路点拨设，且(一位数)，(两位数)，(两位数)，则①
由式①知②
比较式①、式②得n2=2mt．
因为n2是2的倍数，故n也是2的倍数，所以，n2是4的倍数，且是完全平方数．
故n2=16或36或64．
当n2=16时，得，则m=l，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合条件，舍去；
故或41616．
当n2=36时，得．则m=2，3，1，t=9，6，18．最后一解不合条件，舍去．
故或93636．
当n2=64时，得．则m=1，2，4，8，t=32，16，8，4都不合条件，舍去．
因此，满足条件的五位数只有4个：11664，41616，43681，93636．
【例5】(2002年北京)能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够，请举出一例；若不能够；请说明理由．
思路点拨不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数．
理由如下：
偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，也就是正整数的平方被4除余0或1．若存在正整数满足；=1，2，3，4，rn是正整数；因为2002被4除余2，所以被4除应余2或3．
(1)若正整数n1，n2，n3，n4中有两个是偶数，不妨设n1，n2是偶数，则被4除余2，与正整数的平方被4除余0或1不符，所以正整数n1，n2，n3，n4中至多有—个是偶数，至少有三个是奇数．
(2)在这三个奇数中，被4除的余数可分为余1或3两类，根据抽屉原则，必有两个奇数属于同一类，则它们的乘积被4除余1，与被4除余2或3的结论矛盾．
综上所述，不能找到这样的四个正整数，使得褥它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数．
【例6】使得(n2—19n+91)为完全平方数的自然数n的个数是多少?
思路点拨若(n2—19n+91)处在两个相邻整数的完全平方数之间，则它的取值便固定了．
∵n2一19n+91=(n-9)2+(10一n)
当n10时，(n－10)2n2－19n+19(n-9)2
∴当n10时(n2—19n+19)不会成为完全平方数
∴当n≤10时，(n2—19n+91)才是完全平方数
经试算，n=9和n=10时，n2—19n+91是完全平方数．
所以满足题意的值有2个．
【例7】(“我爱数学”夏令营)已知的值都是1或—1，设m是这2002个数的两两乘积之和．
(1)求m的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；
(2)求m的最小正值，并指出能达到最小正值的条件．
思路点拨(1)，．
当或时，m取最大值2003001．
当中恰有1001个1，1001个时，m取最小值—1001．
(2)因为大于2002的最小完全平方数为452=2025，且必为偶数，所以，当或；
即中恰有1024个1，978个或恰有1024个，978个1时，m取最小值．
【例8】(全国竞赛题)如果对一切x的整数值，x的二次三项式都是平方数(即整数的平方)，证明：
(1)2a、2b都是整数；
(2)a、b、c都是整数，并且c是平方数．
反过来，如果(2)成立，是否对一切x的整数值，的值都是平方数?
思路点拨(1)令x=0，得c=平方数=；
令x=±1，得，，其中m、n都是整数．所以，，都是整数．
(2)如果2b是奇数2k+l(k是整数)，令x=4得，其中h是整数．
由于2a是整数，所以16a被4整除，有除以4余2．
而，在h、l的奇偶性不同时，是奇数；在h、l的奇偶性相同时，能被4整除．
因此，，从而2b是偶数，b是整数，^也是整数．
在(2)成立时，不一定对x的整数值都是平方数．例如，a=2，b=2，c=4，x=1时，=8不是平方数．
另解(2)：
令x=±2，得4a+2b+c=h2，4a—2b+c=k2，其中h、k为整数．两式相减得
4b=h2—k2=(h+k)(h—k)．
由于4b=2(2b)是偶数，所以h、k的奇偶性相同，(h+k)(h—k)能被4整除．
因此，b是整数，也是整数．

学力训练
(A级)
1．(山东省竞赛题)如果是整数，那么a满足()
A．a0，且a是完全平方数B．a0，且－a是完全平方数
C．a≥0，且a是完全平方数D．a≤0，且—a是完全平方数
2．设n是自然数，如果n2的十位数字是7，那么n2的末位数字是()
A．1B．4C．5D．6
3．(五羊杯，初二)设自然数N是完全平方数，N至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2位数字后，剩下的数还是完全平方数，则N的最大值是．
4．使得n2—19n+95为完全平方数的自然数n的值是．
5．自然数n减去52的差以及n加上37的和都是整数的平方，则n=．
6．两个两位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数分别是
．
7．是否存在一个三位数(a，b，c取从1到9的自然数)，使得为完全平方数?
8．求证：四个连续自然数的积加l，其和必为完全平方数．
（B级）
1．若x是自然数，设，则()
A．y一定是完全平方数B．存在有限个，使y是完全平方数
C．y一定不是完全平方数D．存在无限多个，使y是完全平方数
2．已知a和b是两个完全平方数，b的个位数字为l，十位数字为x；b的个位数为6，十位数字为y，则()
A．x，y都是奇数B．x，y都是偶数
C．x是奇数，y是偶数D．x为偶数，y为奇数
3．若四位数是一个完全平方数，则这个四位数是．
4．设m是一个完全平方数，则比m大的最小完全平方数是．
5．(全国联赛题)设平方数y2是11个连续整数的平方和，则y的最小值是．
6．(北京市竞赛，初二)p是负整数，且2001+p是—个完全平方数，则p的最大值为．
7．有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列．若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后，都能组成一个正方形队列．问原长方形队列共有多少名战士?
8．证明：是一个完全平方数．
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相关知识

完全平方公式与平方差公式

老师会对课本中的主要教学内容整理到教案课件中，大家应该开始写教案课件了。我们制定教案课件工作计划，才能对工作更加有帮助！你们会写多少教案课件范文呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“完全平方公式与平方差公式”，仅供您在工作和学习中参考。

内容：8.3完全平方公式与平方差公式（2）P64--67
课型：新授日期：
学习目标：
1、经历探索平方差公式的过程，发展学生观察、交流、归纳、猜测、验证等能力。
2、会推导平方差公式，了解公式的几何背景，会用公式计算。
3、进一步体会数形结合的数学思想和方法。
学习重点：会推导平差方公式，并能运用公式进行简单的计算。
学习难点：掌握平方差公式的结构特征，理解公式中a.b的广泛含义。
学习过程：
一、学习准备
1、利用多项式乘以多项式计算：
（1）(a+1)(a-1)
（2）(x+y)(x-y)
（3）(3a+2b)(3a-2b)
（4）(0.2x+0.04y)(0.2x-0.04y)
观察以上算式及运算结果，你发现了什么？再举两例验证你的发现。

2、以上算式都是两个数的和与这两个的差相乘，运算结果是这两个数的平方的差。我们把这样特殊形式的多项式相乘，称为平方差公式，以后可以直接使用。
平方差公式用字母表示为：(a+b)(a-b)=a2-b2
尝试用自己的语言叙述平方差公式：

3、平方差公式的几何意义：阅读课本65页，完成填空。
4、平方差公式的结构特征：(a+b)(a-b)=a2-b2
左边是两个二项式相乘，两个二项式中的项有什么特点？右边的结果与左边的项有什么关系？

注意：公式中字母的含义广泛，可以是，只要题目符合公式的结构特征，就可以运用这一公式，可用符号表示为：(□+○)(□-○)=□2-○2
5、判断下列算式能否运用平方差公式。
(1)(x+y)(-x-y)(2)(-y+x)(x+y)
(3)(x-y)(-x-y)(4)(x-y)(-x+y)
二、合作探究
1、利用乘法公式计算：
(1)(2m+3)(2m-3)(2)(-4x+5y)(4x+5y)
分析：要分清题目中哪个式子相当于公式中的a（相同的一项），哪个式子相当于公式中的b（互为相反数的一项）
2、利用乘法公式计算：
(1)999×1001(2)
分析：要利用完全平方公式，需具备完全平方公式的结构，所以999×1001可以转化为（）×（）,可以转化为（）×（）

3、利用乘法公式计算：
(1)(x+y+z)(x+y-z)(2)(a-2b+3c)(a+2b-3c)

三、学习体会
对照学习目标，通过预习，你觉得自己有哪些方面的收获？又存在哪些方面的疑惑？

四、自我测试
1、下列计算是否正确，若不正确，请订正；
(1)(x+2)(2-x)=x2-4
(2)(2x+y2)(2x-y2)=2x2-y4
(3)(3x2+1)(3x2-1)=9x2-1
(4)(x+2)(x-3)=x2-6
2、利用乘法公式计算：
(1)(m+n)(m-m)+3n2(2)(a+2b)(a-2b)(a2+4b4)

(3)1007×993(4)(x+3)2-(x+2)(x-1)

4、先化简，再求值；
(-b+a)(a+b)+(a+b)2-2a2,其中a=3,b=

五、思维拓展
1、如果x2-y2=6,x+y=3，则x-y=
2、计算：20072-4014×2008+20082

3、计算：123462-12345×12347

4、计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）

1.8完全平方公式（2）

作为老师的任务写教案课件是少不了的，大家在认真写教案课件了。各行各业都在开始准备新的教案课件工作计划了，我们的工作会变得更加顺利！你们知道哪些教案课件的范文呢？为此，小编从网络上为大家精心整理了《1.8完全平方公式（2）》，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。

1.8完全平方公式（2）

教学目标：

1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力．

2．会运用完全平方公式进行一些数的简便运算．

3．综合运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算．教学重点：

1．运用完全平方公式进行一些数的简便运算；

2．综合运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算．教学难点：灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算．活动准备：学生熟记公式

教学过程：

（一）课前复习：

算下列各题：

1．；2．；3．；4．；

5．；6．；7．．

通过教科书中一个有趣的分糖果场景，使学生进一步巩固，同时帮助学生进一步理解与的关系．（二）提出问题，引入新课：

若没有计算器的情况下，你能很快算出9982的结果吗？（三）新课：

1．例：利用完全平方公式计算：（1）1022；（2）1972．

先分析，再课件演示解答过程

2．练习：利用完全平方公式计算：（1）982；（2）2032．

3．例：计算：（1）；（2）．

方法一：按运算顺序先用完全平方公式展开，再合并同类项；

方法二：先利用平方差公式，再合并同类项．

注意：（2）中按完全平方公式展开后，必须加上括号

4．练习：计算：（1）；

（2）；

（3）．

5．例：计算：（1）；

（2）．

练习：．

6．补例：若，则k＝_________；

若是完全平方式，则k＝________．（四）小结：

利用完全平方公式可以进行一些简便的计算，并体会公式中

的字母既可以表示单项式，也可以表示多项式．（五）作业：

第38页习题1、2、3

教后记：

简便计算完成得较好，但形如的计算多数同学没有掌握，不会分组拆项．

完全平方公式教学设计

每个老师上课需要准备的东西是教案课件，大家静下心来写教案课件了。需要我们认真规划教案课件工作计划，才能对工作更加有帮助！你们到底知道多少优秀的教案课件呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“完全平方公式教学设计”，仅供参考，欢迎大家阅读。

8．3完全平方公式与平方差公式
第1课时完全平方公式
1．能根据多项式的乘法推导出完全平方公式；(重点)
2．理解并掌握完全平方公式，并能进行计算．(重点、难点)
一、情境导入
计算：
(1)(x＋1)2;(2)(x－1)2；
(3)(a＋b)2;(4)(a－b)2.
由上述计算，你发现了什么结论？
二、合作探究
探究点：完全平方公式
【类型一】直接运用完全平方公式进行计算
利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2；
(2)(－3m－4n)2；
(3)(－3a＋b)2.
解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
方法总结：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第12题
【类型二】构造完全平方式
如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．
解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±26x5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型三】运用完全平方公式进行简便计算
利用完全平方公式计算：
(1)992;(2)1022.
解析：(1)把99写成(100－1)的形式，然后利用完全平方公式展开计算．(2)可把102分成100＋2，然后根据完全平方公式计算．
解：(1)992＝(100－1)2＝1002－2×100＋12＝10000－200＋1＝9801；
(2)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋4＝10404.
方法总结：利用完全平方公式计算一个数的平方时，先把这个数写成整十或整百的数与另一个数的和或差，然后根据完全平方公式展开计算．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第13题
【类型四】灵活运用完全平方公式求代数式的值
若(x＋y)2＝9，且(x－y)2＝1.
(1)求1x2＋1y2的值；
(2)求(x2＋1)(y2＋1)的值．
解析：(1)先去括号，再整体代入即可求出答案；(2)先变形，再整体代入，即可求出答案．
解：(1)∵(x＋y)2＝9，(x－y)2＝1，∴x2＋2xy＋y2＝9，x2－2xy＋y2＝1，4xy＝9－1＝8，∴xy＝2，∴1x2＋1y2＝x2＋y2x2y2＝（x＋y）2－2xyx2y2＝9－2×222＝54；
(2)∵(x＋y)2＝9，xy＝2，∴(x2＋1)(y2＋1)＝x2y2＋y2＋x2＋1＝x2y2＋(x＋y)2－2xy＋1＝22＋9－2×2＋1＝10.
方法总结：所求的展开式中都含有xy或x＋y时，我们可以把它们看作一个整体代入到需要求值的代数式中，整体求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
【类型五】完全平方公式的几何背景
我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是()
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
解析：空白部分的面积为(a－b)2，还可以表示为a2－2ab＋b2，所以，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.故选C.
方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
【类型六】与完全平方公式有关的探究问题
下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)n(n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a＋b)6展开式中所缺的系数．
(a＋b)1＝a＋b，
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
则(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋________a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6.
解析：由(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3可得(a＋b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)n－1的相邻两个系数的和，由此可得(a＋b)4的各项系数依次为1、4、6、4、1；(a＋b)5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；因此(a＋b)6的系数分别为1、6、15、20、15、6、1，故填20.
方法总结：对于规律探究题，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题
三、板书设计
1．完全平方公式
两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
2．完全平方公式的运用
本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，注意不要出现如下错误：(a＋b)2＝a2＋b2，(a－b)2＝a2－b2.为帮助学生记忆完全平方公式，可采用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央．教学中，教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解记忆