八年级数学重要复习资料：一元二次方程根与系数的关系。

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八年级数学重要复习资料：一元二次方程根与系数的关系

1．理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。
2．会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。
3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。
考点讲解
1．若一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2，则x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
2．以x1,x2为根的一元二次方程是(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax^2+bx+c=0(a≠0)。
3．对二次项系数为1的方程x^2+px+q=0的两根为x1,x2时，那么x1+x2=-p，x1x2=q。反之，以x1，x2为根的一元二次方程是：(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：x^2+px+q=0。
4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：
（1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。
（2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。
（3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。
（4）验根、求根、确定根的符号。
（5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。
（6）已知两数和与积，求这两个数。
（7）解特殊的方程或方程组。

对于一元二次方程
，当判别式△＝
时，其求根公式为：
；若两根为
，当△≥0时，则两根的关系为：
；
，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当
，
时，那么
则是
的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程
根的判别式
存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程
的两个根
，进而分解因式，即
。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于
的方程（1）
有两个不相等的实数根，且关于
的方程（2）
没有实数根，问
取什么整数时，方程（1）有整数解？
分析：在同时满足方程（1），（2）条件的
的取值范围中筛选符合条件的
的整数值。
解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，
∴
解得
；
∵方程（2）没有实数根，
∴
解得
；
于是，同时满足方程（1），（2）条件的
的取值范围是
其中，
的整数值有
或
当
时，方程（1）为
，无整数根；
当
时，方程（1）为
，有整数根。
解得：
所以，使方程（1）有整数根的
的整数值是
。
说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定
的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出
，这也正是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程
两根的符号。
分析：对于
来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定
或
的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定
或
的正负情况。
解：∵
，∴△＝
—4×2×(—7)＝65＞0
∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为
，
∵
＜0
∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中
＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若
＞0，仍需考虑
的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
例2：已知方程
的一个根为2，求另一个根及
的值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把
代入原方程，先求出
的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及
的值。
解法一：把
代入原方程，得：
即
解得
当
时，原方程均可化为：
，
解得：
∴方程
的另一个根为4，
的值为3或—1。
解法二：设方程的另一个根为
，
根据题意，利用韦达定理得：
，
∵
，∴把
代入
，可得：
∴把
代入
，可得：
，
即
解得
∴方程
的另一个根为4，
的值为3或—1。
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
例3：已知方程
有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求
的值。
分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于
的方程，即可求得
的值。
解：∵方程有两个实数根，
∴△
解这个不等式，得
≤0
设方程两根为
则
，
∵
∴
∴
整理得：
解得：
又∵
，∴
说明：当求出
后，还需注意隐含条件
，应舍去不合题意的
。
四、运用判别式及根与系数的关系解题。
例5：已知
、
是关于
的一元二次方程
的两个非零实数根，问
和
能否同号？若能同号，请求出相应的
的取值范围；若不能同号，请说明理由，
解：因为关于
的一元二次方程
有两个非零实数根，
∴则有
∴
又∵
、
是方程
的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：
假设
、
同号，则有两种可能：
（1）
（2）
若
，则有：
；
即有：
解这个不等式组，得
∵
时方程才有实树根，∴此种情况不成立。
若
，则有：
即有：
解这个不等式组，得
；
又∵
，∴当
时，两根能同号
说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。

精选阅读

一元二次方程的根与系数的关系

19.4一元二次方程的根与系数的关系
1.设是方程的两根，不解方程，求下列各式的值：
①；②；③；④.

2.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程的两根的平方.
3.已知一元二次方程的两根分别是，求的值.

4．已知方程的两根之比为，求的值。

5.已知关于x的方程，根据下列条件，分别求出m的值：①两根互为相反数；②两根互为倒数；③有一根为零；④有一根为1.

6.已知是关于x的方程的两个实根，且，求m的值.

7.已知是关于x的方程的两个实根，k取什么值时，.

8.当k为何值时，一元二次方程的两实根的绝对值相等，求出与k值相应的实数根.

9.已知关于x的方程有两个正实根，求k的取值范围.

10．若矩形的长和宽是方程的两根，求矩形的周长和面积。

11．若方程的两根的绝对值相等，求的值及这个方程的根。

12．已知方程
（1）求证方程必有相异实根
（2）取何值时，方程有两个正根
（3）取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？
（4）取何值时，方程有一根为零？

参考答案
1.①；②；③；④；
2.；
3.或；
4．;
5.①；②；③；④1或3；
6.；
7.－3；
8.时，时，时，；
9.（提示：需，两根和大于0，两根积也大于0）.
10．周长，面积6.
11．，
12．（1）（2）（3）（4）

八年级数学重要复习资料：二次函数与一元二次方程

八年级数学重要复习资料：二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同。
当h0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
当h0时，则向左平行移动|h|个单位得到.
当h0,k0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h0,k0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a0时，开口向上，当a0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);
(2)当△=b^2-4ac0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x-x|
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△0.图象与x轴没有交点.当a0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y0;当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0.
5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a0(a0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0).

二次函数
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c
(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]
交点式：y=a(x-x)(x-x)[仅限于与x轴有交点A(x，0)和B(x，0)的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax,x=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)
V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
当h0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
当h0时，则向左平行移动|h|个单位得到.
当h0,k0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h0,k0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a0时，开口向上，当a0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);
(2)当△=b^2-4ac0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x-x|
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△0.图象与x轴没有交点.当a0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y0;当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0.
5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a0(a0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0).
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.

九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》学案

九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》学案

一元二次方程的根与系数的关系

（总第学时）

主备人：备课组审核：

学习目标：

掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。

学习重难点：

重点：根与系数的关系及其推导。

难点：正确理解根与系数的关系。

学习过程：

一、温顾互查

1.一元二次方程的一般形式是什么？

2.一元二次方程的求根公式是什么？

3.如何判断一元二次方程根的情况？

二、探索新知

1.思考：解方程并观察x1＋x2,x1x2与系数的关系

方程x1x2x1＋x2x1x2

x2－5x＋6=0

x2＋3x－4=0

x2－x－2=0

x2＋3x＋2=0

2.问题：观察两根之和，两根之积与方程的系数之间有什么关系？

3.猜一猜：请根据以上的观察猜想：方程的两根与系数a,b,c之间的关系：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

4.验证结论：

设为方程的两个实数根，证明上述结论

（1）当满足条件___________时，方程的两根是

（2）两根之和两根之积

5．结论：一元二次方程根与系数关系：

（1）如果为方程的两个实数根，那么

______,_________.

(2)如果为方程的两个实数根,那么

______,_________.

三、合作探究

1.不解方程，求下列方程两根的和与积：

（1），

2.写出以-２与１为根的一元二次方程。

3、已知方程的一个根是-3，求另一根及K的值。

四.当堂训练

1．若方程(a≠0)的两根为，,则==

2．方程则==

3．若方程的一个根2，则它的另一个根为p=

4．已知方程的一个根1，则它的另一根是m=

5．若0和-3是方程的两根，则p+q=

6.在解方程x2+px+q=0时，甲同学看错了p，解得方程根为x=1与x=-3；乙同学看错了q，解得方程的根为x=4与x=-2，你认为方程中的p=，q=。

7．两根均为负数的一元二次方程是（）

A.B.C.D.

8．若方程的两根中只有一个为0，那么（）

A.p=q=0B.P=0,q≠0C.p≠0,q=0D.p≠0,q≠0

9、不解方程，求下列方程的两根和与两根积：

（1）x2-5x-10=0（2）2x2+7x+1=0

（3）3x2-1=2x+5（4）x（x-1）=3x+7

学后反思：