高中必修一函数教案

高一数学上册知识点整理：指数函数、函数奇偶性。

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，帮助高中教师更好的完成实现教学目标。高中教案的内容要写些什么更好呢？为此，小编从网络上为大家精心整理了《高一数学上册知识点整理：指数函数、函数奇偶性》，仅供参考，欢迎大家阅读。

高一数学上册知识点整理：指数函数、函数奇偶性

指数函数
(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3)函数图形都是下凹的。
(4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。
(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。
(7)函数总是通过(0，1)这点。
(8)显然指数函数无界。
奇偶性
注图：(1)为奇函数(2)为偶函数
1.定义
一般地，对于函数f(x)
(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇(或偶)函数。
(分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
2.奇偶函数图像的特征：
定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。
f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称
点(x，y)→(-x，-y)
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
3.奇偶函数运算
(1).两个偶函数相加所得的和为偶函数.
(2).两个奇函数相加所得的和为奇函数.
(3).一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
(4).两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
(5).两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
(6).一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

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高一数学函数的奇偶性37

第十一课时函数的奇偶性（2）
【学习导航】
学习要求
1．熟练掌握判断函数奇偶性的方法；
2．熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质；
3．能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题．

【精典范例】
一．函数的单调性和奇偶性结合性质推导：
例1：已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)0，试问：F(x)=在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论
思维分析：根据函数单调性的定义，可以设x1x20，进而判断：
F(x1)－F(x2)=－=符号解：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1x2，则－x1－x20
因为y=f(x)在(0，+∞]上是增函数，且f(x)0，
所以f(－x2)f(－x1)0，①又因为f(x)是奇函数
所以f(－x2)=－f(x2)，f(－x1)=f(x1)②
由①②得f(x2)f(x1)0
于是F(x1)－F(x2)=－
所以F(x)=在(－∞，0)上是减函数。
【证明】
设，则，∵在上是增函数，
∴，∵是奇函数，∴，，
∴，∴，∴在上也是增函数．

说明：一般情况下，若要证在区间上单调，就在区间上设．

二．利用函数奇偶性求函数解析式：
例2：已知是定义域为的奇函数，当x0时，f(x)=x|x－2|，求x0时，f(x)的解析式．
解：设x0，则－x0且满足表达式f(x)=x|x－2|
所以f(－x)=－x|－x－2|=－x|x+2|
又f(x)是奇函数，有f(－x)=－f(x)
所以－f(x)=－x|x+2|
所以f(x)=x|x+2|
故当x0时
F(x)表达式为f(x)=x|x+2|.

3：定义在（－2，2）上的奇函数在整个定义域上是减函数，若f(m－1)+f(2m－1)0，
求实数m的取值范围．
解：因为f(m－1)+f(2m－1)0
所以f(m－1)－f(2m－1)
因为f(x)在(－2，2)上奇函数且为减函数
所以f(m－1)f(1－2m)
所以
所以m
追踪训练一
1.设是定义在R上的偶函数,且在[0，+∞)上是减函数,则f(－)与f(a2－a+1)
（）的大小关系是（B）
A．f(－)f(a2－a+1)
B．f(－)≥f(a2－a+1)
C．f(－)f(a2－a+1)
D．与a的取值无关
2.定义在上的奇函数，则常数０，０；
3.函数是定义在上的奇函数，且为增函数，若，求实数a的范围。
解：定义域是
即
又
是奇函数
在上是增函数
即
解之得
故a的取值范围是
思维点拔：
一、函数奇偶性与函数单调性关系
若函数是偶函数，则该函数在关于＂０＂对称的区间上的单调性是相反的，且一般情况下偶函数在定义域上不是单调函数；若函数是奇函数，则该函数在关于＂０＂对称区间上的点调性是相同的．
追踪训练
1．已知是偶函数，其图象与轴共有四个交点，则方程的所有实数解的和是（C）
420不能确定
2.定义在(－∞，+∞)上的函数满足f(－x)=f(x)且f(x)在(0，+∞)上，则不等式f(a)f(b)等价于(C)
A.abB.ab
C.|a||b|D.0≤ab或ab≥0
3.是奇函数，它在区间（其中）上为增函数，则它在区间上（D）
A.是减函数且有最大值
B.是减函数且有最小值
C.是增函数且有最小值
D.是增函数且有最大值
4已知函数ax7+6x5+cx3+dx+8，且f(－5)=－15，则f(5)=31．
5．定义在实数集上的函数f(x)，对任意，有且。
（1）求证；（2）求证：是偶函数。
解（1）令，则有
（2）令，则有
这说明是偶函数
学生质疑
教师释疑

人教版高一数学《函数奇偶性》教案

人教版高一数学《函数奇偶性》教案

指对数的运算
一、反思数学符号：“”“”出现的背景
1.数学总是在不断的发明创造中去解决所遇到的问题。
2.方程的根是多少？;
①.这样的数存在却无法写出来？怎么办呢？你怎样向别人介绍一个人？描述出来。
②..那么这个写不出来的数是一个什么样的数呢？怎样描述呢？
①我们发明了新的公认符号“”作为这样数的“标志”的形式.即是一个平方等于三的数.
②推广:则.
③后又常用另一种形式分数指数幂形式
3.方程的根又是多少？①也存在却无法写出来？？同样也发明了新的公认符号“”专门作为这样数的标志，的形式.
即是一个2为底结果等于3的数.
②推广:则.
二、指对数运算法则及性质：
1.幂的有关概念:
(1)正整数指数幂:=().(2)零指数幂:).
(3)负整数指数幂:(4)正分数指数幂:
(5)负分数指数幂:(6)0的正分数指数幂等于0,负分指数幂没意义.
2.根式:
(1)如果一个数的n次方等于a,那么这个数叫做a的n次方根.如果,那么x叫做a的次方根,则x=(2)0的任何次方根都是0,记作.(3)式子叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数.
(4).(5)当n为奇数时,=.(6)当n为偶数时,==.
3.指数幂的运算法则:
(1)=.(2)=.3)=.4)=.
二.对数
1.对数的定义:如果,那么数b叫做以a为底N的对数,记作,其中a叫做,叫做真数.
2.特殊对数:
(1)=;(2)=.(其中
3.对数的换底公式及对数恒等式
(1)=(对数恒等式).(2);(3);(4).
(5)=(6)=.(7)=.(8)=;(9)=
(10)
三、经典体验：
1.化简根式:；；；
2.解方程：;;；；
3.化简求值:
；
4.【徐州六县一区09-10高一期中】16.求函数的定义域。

四、经典例题
例：1画出函数草图:.
练习：1.“等式log3x2=2成立”是“等式log3x=1成立”的▲．必要不充分条件
例：2.若则▲．
练习：1.已知函数求的值▲．.

例3：函数f(x)=lg()是（奇、偶）函数。

点拨：
为奇函数。

练习：已知则．
练习：已知则的值等于.
练习：已知定义域为R的函数在是增函数，满足且，求不等式的解集。
例：4解方程．
解：设，则，代入原方程，解得，或（舍去）．由，得．经检验知，为原方程的解．
练习：解方程．
练习：解方程．
练习：解方程：.
练习：设，求实数、的值。

解：原方程等价于，显然，我们考虑函数，显然，即是原方程的根．又和都是减函数，故也是减函数．
当时，；当时，，因此，原方程只有一个解．分析：注意到，，故倒数换元可求解．
解：原方程两边同除以，得．设，原方程化为，化简整理，得．，，即．．
解析：令，则，∴原方程变形为，解得，。由得，∴，
即，∴，∴。由得，∴，∵，∴此方程无实根。故原方程的解为。评注：将指数方程转化为基本型求解，是解决该类问题的关键。
解析：由题意可得，，，原方程可化为，即。
∴，∴。
∴由非负数的性质得，且，∴，。
评注：通过拆项配方，使问题巧妙获解。
例5：已知关于的方程有实数解，求的取值范围。

已知关于的方程的实数解在区间，求的取值范围。

反思提炼：1.常见的四种指数方程的一般解法
（1）方程的解法：
（2）方程的解法：
（3）方程的解法：
（4）方程的解法：
2．常见的三种对数方程的一般解法
（1）方程的解法：
（2）方程的解法：
（3）方程的解法：
3．方程与函数之间的转化。
4．通过数形结合解决方程有无根的问题。
课后作业：
1.对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是
[答案]2n＋1－2
[解析]∵y＝xn(1－x)，∴y′＝(xn)′(1－x)＋(1－x)′xn＝nxn－1(1－x)－xn.
f′(2)＝－n2n－1－2n＝(－n－2)2n－1.
在点x＝2处点的纵坐标为y＝－2n.
∴切线方程为y＋2n＝(－n－2)2n－1(x－2)．
令x＝0得，y＝(n＋1)2n，
∴an＝(n＋1)2n，
∴数列ann＋1的前n项和为2(2n－1)2－1＝2n＋1－2.
2．在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________
解析：设则，过点P作的垂线
，所以，t在上单调增，在单调减，。

高一数学函数的奇偶性38

高一数学《指数函数》学案

高一数学《指数函数》学案
.2.2指数函数（一）的教学设计
教材分析:
.2.2“指数函数”是在学生系统地学习了函数概念及性质，掌握了指数与指数幂的运算性质的基础上展开研究的．作为重要的基本初等函数之一，指数函数既是函数近代定义及性质的第一次应用，也为今后研究其他函数提供了方法和模式，为后续的学习奠定基础．指数函数在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以指数函数应重点研究．
学情分析:
通过初中阶段的学习和高中对函数、指数的运算等知识的系统学习，学生对函数已经有了一定的认识，学生对用“描点法”描绘出函数图象的方法已基本掌握，已初步了解数形结合的思想．另外，学生对由特殊到一般再到特殊的数学活动过程已有一定的体会．
教学目标：
知识与技能：理解指数函数的概念和意义，能正确作出其图象，掌握指数函数的性质并能自觉、灵活地应用其性质（单调性、中介值）比较大小．
过程与方法：
(1)体会从特殊到一般再到特殊的研究问题的方法，培养学生观察、归纳、猜想、概括的能力，让学生了解数学来源于生活又在生活中有广泛的应用；理解并掌握探求函数性质的一般方法；
(2)从数和形两方面理解指数函数的性质，体会数形结合、分类讨论的数学思想方法，提高思维的灵活性，培养学生直观、严谨的思维品质．
情感、态度与价值观：
(1)体验从特殊到一般再到特殊的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题，激发学生自主探究的精神，在探究过程中体验合作学习的乐趣；
(2)让学生在数形结合中感悟数学的统一美、和谐美，进一步培养学生的学习兴趣．
教学重点：指数函数的图象和性质

教学难点：指数函数概念的引入及指数函数性质的应用
教法研究:
本节课准备由实际问题引入指数函数的概念，这样可以让学生知道指数函数的概念来源于客观实际，便于学生接受并有利于培养学生用数学的意识.
利用函数图象来研究函数性质是函数中的一个非常重要的思想，本节课将是利用特殊的指数函数图象归纳总结指数函数的性质，这样便于学生研究其变化规律，理解其性质并掌握一般地探求函数性质的方法同时运用现代信息技术学习、探索和解决问题，帮助学生理解新知识
本节课使用的教学方法有：直观教学法、启发引导法、发现法
教学过程：
一、问题情境：
问题1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，以此类推，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么？
问题2：一种放射性物质不断变化为其它物质，每经过一年剩余质量约是原来的，设该物质的初始质量为1，经过年后的剩余质量为，你能写出之间的函数关系式吗？
分析可知，函数的关系式分别是与
问题3：在问题1和2中，两个函数的自变量都是正整数，但在实际问题中自变量不一定都是正整数，比如在问题2中，我们除了关心1年、2年、3年后该物质的剩余量外，还想知道3个月、一年半后该物质的剩余量，怎么办？
这就需要对函数的定义域进行扩充，结合指数概念的的扩充，我们也可以将函数的定义域扩充至全体实数，这样就得到了一个新的函数──指数函数．
二、数学建构：
1]定义：
一般地，函数叫做指数函数，其中．
问题4：为什么规定？

问题5：你能举出指数函数的例子吗？
阅读材料（“放射性碳法”测定古物的年代）：
在动植物体内均含有微量的放射性，动植物死亡后，停止了新陈代谢，不在产生，且原有的会自动衰变.经过5740年（的半衰期），它的残余量为原来的一半.经过科学测定，若的原始含量为1，则经过x年后的残留量为=.
这种方法经常用来推算古物的年代.
练习1：判断下列函数是否为指数函数．
（1）（2）
（3）（4）

说明：指数函数的解析式y=中，的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=+k(a0且a1，kZ)；
有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=(a0,且a1)，因为它可以化为y=，其中0，且1
2]通过图象探究指数函数的性质及其简单应用：利用几何画板及其他多媒体软件和学生一起完成
问题6:我们研究函数的性质，通常都研究哪些性质？一般如何去研究？
函数的定义域，值域，单调性，奇偶性等；
利用函数图象研究函数的性质
问题7:作函数图象的一般步骤是什么？
列表，描点，作图
探究活动1:用列表描点法作出，的图像（借助几何画板演示），观察、比较这两个函数的图像，我们可以得到这两个函数哪些共同的性质？请同学们仔细观察.
引导学生分析图象并总结此时指数函数的性质（底数大于1）：
（1）定义域？R
（2）值域？函数的值域为
（3）过哪个定点？恒过点，即
（4）单调性？时，为上的增函数
（5）何时函数值大于1？小于1？当时，；当时，
问题8:：是否所有的指数函数都是这样的性质？你能找出与刚才的函数性质不一样的指数函数吗？
（引导学生自我分析和反思，培养学生的反思能力和解决问题的能力）.
根据学生的发现，再总结当底数小于1时指数函数的相关性质并作比较.
问题9:到现在，你能自制一份表格，比较及两种不同情况下的图象和性质吗？
（学生完成表格的设计，教师适当引导）

图

象
性
质

（1）定义域：R
值域：
（1）定义域：R
值域：

(2)是R上的增函数(2)是R上的减函数
（3）过（0，1），
即x＝0时，y＝1（3）过（0，1），
即x＝0时，y＝1
（4）当x0时，y1;
当x0时，y1.（4）当x0时，0y1;
当x0时，y1.
问题10:在画图过程中，你还发现了指数函数图象间的其他关系吗？
比如与的图象间具有怎样的关系？可否得出进一步的一般性的结论？
结论：图像关于轴对称
三、数学运用：
例1、比较下列各组数中两个值的
分析：充分利用指数函数的单调性来研究，注意对底数的判定以及“第三者”的介入（充当中间角色）.
（解题过程板书，强调规范）
探究活动2:两个指数函数的自变量相等时，如何比较函数值的大小？比如之间的大小关系？
如右图，作一条直线分别与、图像交与、两点，则，结合图象很容易发现：．
你还能举出一个这样的例子吗？（引导学生分析得出结论既与底数和1的关系有关，又与自变量和0的关系有关）
那么两个指数函数的函数值相等时，自变量大小又该如何比较？
练习2：若，试比较、的大小．
若，试比较、的大小．
你还能举出这样的例子吗？
例2（1）已知，求实数x的取值范围；
（2）已知，求实数x的取值范围.
分析：充分利用单调性解指数不等式，注意化为同底.
探究活动3:探究下列函数的图象与指数函数的图象的关系.
（1）；（2）
思考探究：（1）与，且，图象之间有何关系？
（2）受该结论启发，课后思考研究函数与，图象之间的关系.
四、回顾反思（由学生总结提炼本节课知识与方法及数学思想）：
1.本节课学习了哪些知识，指数函数的概念、图象和性质你掌握了吗?
2.指数函数的性质是怎么被我们大家发现的，有哪些应用？在应用的时候，我们应该考虑哪些性质?
3.重视归纳概括、数形结合、分类讨论等数学思想方法.
五、课后作业：
1.阅读课本有关内容，搜集指数函数在实际生活中的应用实例；
2.课本52页第1-5题；54-55页1-4题，8、9题：
3.思考题:
（1）研究函数的定义域.
（2）与，图象之间的关系？
板书设计：
板书内容：课题、指数函数的概念、指数函数的性质及（仅是标题，具体性质不板书）、例1及例2部分内容规范解题格式的书写、回顾反思等.
教后反思：
针对课堂教学实际反思教法和学法，进一步完善本设计.