高二物理第十章知识点总结：磁场。

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高二物理第十章知识点总结：磁场

第十章磁场
一、磁场：
1、磁场的基本性质：磁场对放入其中的磁极、电流有磁场力的作用；
2、磁铁、电流都能能产生磁场；
3、磁极和磁极之间，磁极和电流之间，电流和电流之间都通过磁场发生相互作用；
4、磁场的方向：磁场中小磁针北极的指向就是该点磁场的方向；

二、磁感线：在磁场中画一条有向的曲线，在这些曲线中每点的切线方向就是该点的磁场方向；
1、磁感线是人们为了描述磁场而人为假设的线；
2、磁铁的磁感线，在外部从北极到南极，内部从南极到北极；3、磁感线是封闭曲线；

三、安培定则：
1、通电直导线的磁感线：用右手握住通电导线，让伸直的大拇指所指方向跟电流方向一致，弯曲的四指所指的方向就是磁感线的环绕方向；
2、环形电流的磁感线：让右手弯曲的四指和环形电流方向一致，伸直的大拇指所指的方向就是环形导线中心轴上磁感线的方向；
3、通电螺旋管的磁场：用右手握住螺旋管，让弯曲的四指方向和电流方向一致，大拇指所指的方向就是螺旋管内部磁感线的方向；

四、地磁场：地球本身产生的磁场；从地磁北极（地理南极）到地磁南极（地理北极）；

五、磁感应强度：磁感应强度是描述磁场强弱的物理量。1、磁感应强度的大小：在磁场中垂直于磁场方向的通电导线，所受的安培力F跟电流I和导线长度L的乘积的比值，叫磁感应强度。B=F/IL2、磁感应强度的方向就是该点磁场的方向（放在该点的小磁针北极的指向）
3、磁感应强度的国际单位：特斯拉T，1T=1N/A。m

六、安培力：磁场对电流的作用力；1、大小：在匀强磁场中，当通电导线与磁场垂直时，电流所受安培力F等于磁感应强度B、电流I和导线长度L三者的乘积。
2、定义式F=BIL（适用于匀强电场、导线很短时）3、安培力的方向：左手定则：伸开左手，使大拇指根其余四个手指垂直，并且跟手掌在同一个平面内，把手放入磁场中，让磁感线垂直穿过手心，并使伸开四指指向电流的方向，那么大拇指所指的方向就是通电导线所受安培力的方向。

七、磁铁和电流都可产生磁场；
八、磁场对电流有力的作用；

九、电流和电流之间亦有力的作用；
（1）同向电流产生引力；
（2）异向电流产生斥力；

十、分子电流假说：所有磁场都是由电流产生的；

十一、磁性材料:能够被强烈磁化的物质叫磁性材料：
（1）软磁材料：磁化后容易去磁的材料；例：软铁；硅钢；应用：制造电磁铁、变压器、
（2）硬磁材料：磁化后不容易去磁的材料；例：碳钢、钨钢、制造：永久磁铁；

十二、磁场对运动电荷的作用力，叫做洛伦兹力
1、洛仑兹力的方向由左手定则判断：伸开左手让大拇指和其余四指共面且垂直，把左手放入磁场中，让磁感线垂直穿过手心，四指为正电荷运动方向（与负电荷运动方向相反）大拇指所指方向就是洛仑兹力的方向；
（1）洛仑兹力F一定和B、V决定的平面垂直。
（2）洛仑兹力只改变速度的方向而不改变其大小
（3）洛伦兹力永远不做功。
2、洛伦兹力的大小
（1）当v平行于B时：F=0
（2）当v垂直于B时：F=qvB

、电阻定律：导体两端电阻与导体长度、横截面积及材料性质有关。
R=pl/S（电阻的决定式）
P只与导体材料性质有关。
R与温度有关。
2、伏安特性曲线：描述电压与电流之间的函数关系的图象。
3、二极管：单向导电性；正极与电源正极相连。
4、串联特点：①总电压等于各部分电压之和。
②电流处处相等
③总电阻等于各部分电阻和
④总功率等于各部分功率和
5、并联特点：①总电压等于各支路电压
②总电流等于各支路电流和
③总电阻的倒数等于各支路电阻倒数之和
④总功率等于各支路功率和
6、伏安法：（1）限流式；（2）分压式。
7、等效图的接法：（1）节点搭桥法；（2）等电势法（拉扯法）。
8、电动势：（1）定义：非静电力对电荷所做的功与被移送的电荷量之比。
（2）物理意义：反映电源提供电能的本领。
（3）公式：E电动势=W其/q
（4）电动势只与电源性质有关
（5）电动势、内阻是电源性质的衡量指标。电动势以大为好，内阻以小为好。
9、闭合电路欧姆定律：E=U外+U内
10、外阻与路端电压成正比。
11、测量电源电动势与内阻的方法：伏安法、伏箱法、安箱法。
12、外接、内接的原则：观察分压、分流效果哪个明显。
外接、内接的口诀：小外偏小、大内偏大。
13、表头改装电压表须串联大电阻
表头改装电流表须并联小电阻
14、多用电表→闭合电路欧姆定律→标欧姆表的刻度
15、功率
16、纯电阻电路：电能全部转化为热能的电路。
17、电源总功率：EI=IU外+IU内
18、与门电路、或门电路、非门电路（我只了解了解）
19、电学黑箱问题（我也了解一下）
20、I=Q/t=nqvS………………………S指电荷通过的截面；V指电荷定向移动的速度

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高二物理《磁场》知识点

高二物理《磁场》知识点

一、磁场：
1、磁场的基本性质：磁场对放入其中的磁极、电流有磁场力的作用；
2、磁铁、电流都能能产生磁场；
3、磁极和磁极之间，磁极和电流之间，电流和电流之间都通过磁场发生相互作用；
4、磁场的方向：磁场中小磁针北极的指向就是该点磁场的方向；
二、磁感线：在磁场中画一条有向的曲线，在这些曲线中每点的切线方向就是该点的磁场方向；
1、磁感线是人们为了描述磁场而人为假设的线；
2、磁铁的磁感线，在外部从北极到南极，内部从南极到北极；
3、磁感线是封闭曲线；
三、安培定则：
1、通电直导线的磁感线：用右手握住通电导线，让伸直的大拇指所指方向跟电流方向一致，弯曲的四指所指的方向就是磁感线的环绕方向；
2、环形电流的磁感线：让右手弯曲的四指和环形电流方向一致，伸直的大拇指所指的方向就是环形导线中心轴上磁感线的方向；
3、通电螺旋管的磁场：用右手握住螺旋管，让弯曲的四指方向和电流方向一致，大拇指所指的方向就是螺旋管内部磁感线的方向；
四、地磁场：地球本身产生的磁场；从地磁北极（地理南极）到地磁南极（地理北极）；
五、磁感应强度：磁感应强度是描述磁场强弱的物理量。
1、磁感应强度的大小：在磁场中垂直于磁场方向的通电导线，所受的安培力F跟电流I和导线长度L的乘积的比值，叫磁感应强度。B=F/IL
2、磁感应强度的方向就是该点磁场的方向（放在该点的小磁针北极的指向）
3、磁感应强度的国际单位：特斯拉T，1T=1N/A。m
六、安培力：磁场对电流的作用力；1、大小：在匀强磁场中，当通电导线与磁场垂直时，电流所受安培力F等于磁感应强度B、电流I和导线长度L三者的乘积。

高二物理下册《磁场》知识点梳理

高二物理下册《磁场》知识点梳理

《磁场》
1、首先发现电流的磁效应的科学家：丹麦的奥斯特
2、磁场(磁感应强度B)方向：与小磁针北极受力方向相同，也是磁感线的切线方向。
3、安培定则(右手螺旋定则)：判定电流产生的磁场方向
4、安培力：通电导体(电流)在磁场中所受的力通常叫安培力
(1)方向：用左手定则判定(2)大小：F=BIL(B⊥I)，F=0(B‖I)
通电直导线所受安培力的方向和磁场方向、电流方向之间的关系，可以用左手定则来判定：伸开左手，使大拇指跟其余四个手指垂直，并且都和手掌在一个平面内，把手放入磁场中，让磁感线垂直穿入手心，并使伸开的四指指向电流的方向，那么，大拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向。注意：F安⊥B
5、洛仑兹力：磁场对运动电荷的作用力。(1)F络=0(B‖v)(2)方向：用左手定则
洛仑兹力方向用左手定则来判定：伸开左手，使大拇指跟其余四个手指垂直，并且都和手掌在一个平面内，把手放入磁场中，让磁感线垂直穿入手心，并使伸开的四指指向正电荷的运动方向(负电荷，四指指向负电荷的运动的反方向)，那么，大拇指所指的方向就是运动电荷在磁场中所受洛仑兹力力的方向。

高考物理磁场知识点总结复习

磁场
磁场的主要概念磁场对直线电流的作用磁场对运动电荷的作用力

知识要点：
1、磁场
磁场是存在于磁体、电流和运动电荷周围空间的一种特殊形态的物质。
（1）磁场的基本特性——磁场对处于其中的磁体、电流和运动电荷有磁场力的作用。
（2）磁现象的电本质——磁体、电流和运动电荷的磁场都产生于电荷的运动，并通过磁场而相互作用。
（3）最早揭示磁现象的电本质的假说和实验——安培分子环流假说和罗兰实验。

2、磁感应强度
为了定量描述磁场的大小和方向，引入磁感应强度的概念，在磁场中垂直于磁场方向的通电导线，受到磁场力F跟电流强度I和导线长度L的乘积IL的比值，叫通电导线所在处的磁感应强度。用公式表示是
磁感应强度是矢量。它的方向就是小磁针N极在该点所受磁场力的方向。
公式是定义式，磁场中某点的磁感应强度与产生磁场的磁极或电流有关，和该点在磁场中的位置有关。与该点是否存在通电导线无关。

3、磁感线
磁感线是为了形象描绘磁场中各点磁感应强度情况而假想出来的曲线，在磁场中画出一组有方向的曲线。在这些曲线上每一点的切线方向，都和该点的磁场方向相同，这组曲线就叫磁感线。磁感线的特点是：
磁感线上每点的切线方向，都表示该点磁感应强度的方向。
磁感线密的地方磁场强，疏的地方磁场弱。
在磁体外部，磁感线由N极到S极，在磁体内部磁感线从S极到N极，形成闭合曲线。
磁感线不能相交。
对于条形、蹄形磁铁、直线电流、环形电流和通电螺线管的磁感线画法必须掌握。

4、磁通量（)和磁通密度（B）
（1）磁通量（）——穿过某一面积（S）的磁感线的条数。
（2）磁通密度——垂直穿过单位面积的磁感线条数，也即磁感应强度的大小。
（3）与B的关系=BScos式中Scos为面积S在中性面上投影的大小。

5、公式=BScos及其应用
磁通量的定义式=BScos，是一个重要的公式。它不仅定义了的物理意义，而且还表明改变磁通量有三种基本方法，即改变B、S或。在使用此公式时，应注意以下几点：
（1）公式的适用条件——一般只适用于计算平面在匀强磁场中的磁通量。
（2）角的物理意义——表示平面法线（n）方向与磁场（B）的夹角或平面（S）与磁场中性面（OO）的夹角（图1），而不是平面（S）与磁场（B）的夹角（）。
因为+=90°，所以磁通量公式还可表示为=BSsin
（3）是双向标量，其正负表示与规定的正方向（如平面法线的方向）是相同还是相反，当磁感线沿相反向穿过同一平面时，磁通量等于穿过平面的磁感线的净条数——磁通量的代数和，即
=1－2

6、磁场对通电导线的作用
磁场对电流的作用力，叫做安培力，如图2所示，一根长为L的直导线，处于磁感应强度为B的匀强磁场中，且与B的夹角为。当通以电流I时，安培力的大小可以表示为F=BIlsin
式中为B与I（或l）的夹角，Bsin为B垂直于I的分量。在B、I、L一定时，Fsin.
当=90°时，安培力最大为：Fm=BIL
当=0°或180°时，安培力为零：F=0
应用安培力公式应注意的问题
第一、安培力的方向，总是垂直B、I所决定的平面，即一定垂直B和I，但B与I不一定垂直（图3）。
第二、弯曲导线的有效长度L，等于两端点连接直线的长度（如图4所示）相应的电流方向，沿L由始端流向末端。
所以，任何形状的闭合平面线圈，通电后在匀强磁场受到的安培力的矢量和一定为零，因为有效长度L=0。
公式的运动条件——一般只运用于匀强磁场。

7、安培力矩公式
在磁感应强度为B的匀强磁场中，一个匝数为N、面积为S的矩形线圈，当通以电流I时，受到的安培力矩为M=Nfadsin=NBIabadsin（图5所示），即M=NBISsin
在使用安培力矩公式时，应注意下列问题。
（1）角与的区别与联系
公式中的角，表示线圈平面（S）与磁场中性面（S0）的夹角或线圈平面法线（n）与B方向的夹角，而不是线圈平面与B的夹角（）。
因为+=90°，所以安培力矩公式还可以表示为M=NBIScos
一般，规定通电线圈平面的法线方向由右手螺旋定则确定，即与环形电流中心的磁场方向一致。
（2）公式的适用条件
匀强磁场，且转轴（OO）与B垂直；相对平行于B的任意转轴，安培力矩均为零。
任意形状的平面线圈，如三角形、圆形和梯形等。因为任意形状的平面线圈，都可以通过微分法，视为无数矩形元组成。

8、磁场对运动电荷的作用
在不计带电粒子（如电子、质子、粒子等基本粒子）的重力的条件下，带电粒子在匀强磁场有三种典型的运动，它们决定于粒子的速度（v）方向与磁场的磁感应强度（B）方向的夹角（）。
（1）当v与B平行，即=0°或180°时——落仑兹力f=Bqvsin=0，带电粒子以入射速度（v）作匀速直线运动，其运动方程为：s=vt
（2）当v与B垂直，即=90°时——带电粒子以入射速度（v）作匀速圆周运动，四个基本公式：
向心力公式：
轨道半径公式：
周期、频率和角频率公式：
动能公式：
T、f和的两个特点
第一、T、f的的大小与轨道半径（R）和运行速率（V）无关，而只与磁场的磁感应强度（B）和粒子的荷质比（q/m）有关。
第二、荷质比（q/m）相同的带电粒子，在同样的匀强磁场中，T、f和相同。
（3）带电粒子的轨道圆心（O）、速度偏向角（）、回旋角（）和弦切角（）。
在分析和解答带电粒子作匀速圆周运动的问题时，除了应熟悉上述基本规律之外，还必须掌握确定轨道圆心的基本方法和计算、和的定量关系。如图6所示，在洛仑兹力作用下，一个作匀速圆周运动的粒子，不论沿顺时针方向还是逆时针方向，从A点运动到B点，均具有三个重要特点。
第一、轨道圆心（O）总是位于A、B两点洛仑兹力（f）的交点上或AB弦的中垂线（OO）与任一个f的交点上。
第二、粒子的速度偏向角（），等于回旋角（），并等于AB弦与切线的夹角——弦切角（）的2倍，即==2=t。
第三、相对的弦切角（）相等，与相邻的弦切角（）互补，即+=180°。

高中数学竞赛标准教材(第十章直线与圆的方程)

第十章直线与圆的方程

一、基础知识
1．解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。如x2+y2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。
2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。
3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。规定平行于x轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。
4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y0=k(x-x0)；（3）斜截式：y=kx+b；（4）截距式：；（5）两点式：；（6）法线式方程：xcosθ+ysinθ=p（其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：（其中θ为该直线倾斜角），t的几何意义是定点P0（x0,y0）到动点P（x,y）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P0P方向向上则取正，否则取负）。
5．到角与夹角：若直线l1,l2的斜率分别为k1,k2，将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；l1与l2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。若记到角为θ，夹角为α，则tanθ=,tanα=.
6．平行与垂直：若直线l1与l2的斜率分别为k1,k2。且两者不重合，则l1//l2的充要条件是k1=k2；l1l2的充要条件是k1k2=-1。
7．两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)间的距离公式：|P1P2|=。
8．点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式：。
9．直线系的方程：若已知两直线的方程是l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0，则过l1,l2交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2=0；由l1与l2组成的二次曲线方程为（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0；与l2平行的直线方程为A1x+B1y+C=0().
10．二元一次不等式表示的平面区域，若直线l方程为Ax+By+C=0.若B0，则Ax+By+C0表示的区域为l上方的部分，Ax+By+C0表示的区域为l下方的部分。
11．解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x和y表示；（2）写出线性约束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。
12．圆的标准方程：圆心是点(a,b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，其参数方程为（θ为参数）。
13．圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)。其圆心为，半径为。若点P(x0,y0)为圆上一点，则过点P的切线方程为
①
14．根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分），这条直线叫两圆的根轴。给定如下三个不同的圆：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0,i=1,2,3.则它们两两的根轴方程分别为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0;(D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0;(D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。
二、方法与例题
1．坐标系的选取：建立坐标系应讲究简单、对称，以便使方程容易化简。
例1在ΔABC中，AB=AC，∠A=900，过A引中线BD的垂线与BC交于点E，求证：∠ADB=∠CDE。
[证明]见图10-1，以A为原点，AC所在直线为x轴，建立直角坐标系。设点B，C坐标分别为（0,2a）,(2a,0)，则点D坐标为（a,0）。直线BD方程为，①直线BC方程为x+y=2a，②设直线BD和AE的斜率分别为k1,k2，则k1=-2。因为BDAE，所以k1k2=-1.所以，所以直线AE方程为，由解得点E坐标为。
所以直线DE斜率为因为k1+k3=0.
所以∠BDC+∠EDC=1800，即∠BDA=∠EDC。
例2半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明：三角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为600。
[证明]以A为原点，平行于正三角形ABC的边BC的直线为x轴，建立直角坐标系见图10-2，设⊙D的半径等于BC边上的高，并且在B能上能下滚动到某位置时与AB，AC的交点分别为E，F，设半径为r，则直线AB，AC的方程分别为,.设⊙D的方程为(x-m)2+y2=r2.①设点E，F的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则，分别代入①并消去y得
所以x1,x2是方程4x2-2mx+m2-r2=0的两根。
由韦达定理，所以
|EF|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2
=4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-r2)=r2.
所以|EF|=r。所以∠EDF=600。
2．到角公式的使用。
例3设双曲线xy=1的两支为C1，C2，正ΔPQR三顶点在此双曲线上，求证：P，Q，R不可能在双曲线的同一支上。
[证明]假设P，Q，R在同一支上，不妨设在右侧一支C1上，并设P，Q，R三点的坐标分别为且0x1x2x3.记∠RQP=θ，它是直线QR到PQ的角，由假设知直线QR，PQ的斜率分别为，
由到角公式
所以θ为钝角，与ΔPQR为等边三角形矛盾。所以命题成立。
3．代数形式的几何意义。
例4求函数的最大值。
[解]因为表示动点P(x,x2)到两定点A(3,2),B(0,1)的距离之差，见图10-3，当AB延长线与抛物线y=x2的交点C与点P重合时，f(x)取最大值|AB|=
4．最值问题。
例5已知三条直线l1:mx-y+m=0,l2:x+my-m(m+1)=0,l3:(m+1)x-y+m+1=0围成ΔABC，求m为何值时，ΔABC的面积有最大值、最小值。
[解]记l1,l2,l3的方程分别为①，②，③。在①，③中取x=-1,y=0，知等式成立，所以A(-1,0)为l1与l3的交点；在②，③中取x=0,y=m+1，等式也成立，所以B(0,m+1)为l2与l3的交点。设l1,l2斜率分别为k1,k2,若m0，则k1k2=,SΔABC=，由点到直线距离公式|AC|=，|BC|=。
所以SΔABC=。因为2m≤m2+1，所以SΔABC≤。又因为-m2-1≤2m，所以，所以SΔABC≥
当m=1时，（SΔABC）max=；当m=-1时，（SΔABC）min=.
5．线性规划。
例6设x,y满足不等式组
（1）求点(x,y)所在的平面区域；
（2）设a-1，在（1）区域里，求函数f(x,y)=y-ax的最大值、最小值。
[解]（1）由已知得或
解得点(x,y)所在的平面区域如图10-4所示，其中各直线方程如图所示。AB：y=2x-5；CD：y=-2x+1；AD：x+y=1；BC：x+y=4.
(2)f(x,y)是直线l:y-ax=k在y轴上的截距，直线l与阴影相交，因为a-1，所以它过顶点C时，f(x,y)最大，C点坐标为（-3，7），于是f(x,y)的最大值为3a+7.如果-1a≤2，则l通过点A（2，-1）时，f(x,y)最小，此时值为-2a-1；如果a2，则l通过B（3，1）时，f(x,y)取最小值为-3a+1.
6．参数方程的应用。
例7如图10-5所示，过原点引直线交圆x2+(y-1)2=1于Q点，在该直线上取P点，使P到直线y=2的距离等于|PQ|，求P点的轨迹方程。
[解]设直线OP的参数方程为（t参数）。
代入已知圆的方程得t2-t2sinα=0.
所以t=0或t=2sinα。所以|OQ|=2|sinα|，而|OP|=t.
所以|PQ|=|t-2sinα|，而|PM|=|2-tsinα|.
所以|t-2sinα|=|2-tsinα|.化简得t=2或t=-2或sinα=-1.
当t=±2时，轨迹方程为x2+y2=4；当sinα=1时，轨迹方程为x=0.
7．与圆有关的问题。
例8点A，B，C依次在直线l上，且AB=ABC，过C作l的垂线，M是这条垂线上的动点，以A为圆心，AB为半径作圆，MT1与MT2是这个圆的切线，确定ΔAT1T2垂心的轨迹。
[解]见图10-6，以A为原点，直线AB为x轴建立坐标系，H为OM与圆的交点，N为T1T2与OM的交点，记BC=1。
以A为圆心的圆方程为x2+y2=16，连结OT1，OT2。因为OT2MT2，T1HMT2，所以OT2//HT1，同理OT1//HT2，又OT1=OT2，所以OT1HT2是菱形。所以2ON=OH。
又因为OMT1T2，OT1MT1，所以ONOM。设点H坐标为（x,y）。
点M坐标为(5,b)，则点N坐标为，将坐标代入=ONOM，再由得
在AB上取点K，使AK=AB，所求轨迹是以K为圆心，AK为半径的圆。
例9已知圆x2+y2=1和直线y=2x+m相交于A，B，且OA，OB与x轴正方向所成的角是α和β，见图10-7，求证：sin(α+β)是定值。
[证明]过D作ODAB于D。则直线OD的倾斜角为，因为ODAB，所以2,
所以。所以
例10已知⊙O是单位圆，正方形ABCD的一边AB是⊙O的弦，试确定|OD|的最大值、最小值。
[解]以单位圆的圆心为原点，AB的中垂线为x轴建立直角坐标系，设点A，B的坐标分别为A(cosα,sinα),B(cosα,-sinα)，由题设|AD|=|AB|=2sinα，这里不妨设A在x轴上方，则α∈(0,π).由对称性可设点D在点A的右侧（否则将整个图形关于y轴作对称即可），从而点D坐标为(cosα+2sinα,sinα)，
所以|OD|=
=
因为，所以
当时，|OD|max=+1；当时，|OD|min=
例11当m变化且m≠0时，求证：圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2的圆心在一条定直线上，并求这一系列圆的公切线的方程。
[证明]由消去m得a-2b+1=0.故这些圆的圆心在直线x-2y+1=0上。设公切线方程为y=kx+b，则由相切有2|m|=，对一切m≠0成立。即(-4k-3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0对一切m≠0成立
所以即当k不存在时直线为x=1。所以公切线方程y=和x=1.
三、基础训练题
1．已知两点A(-3,4)和B(3,2)，过点P(2,-1)的直线与线段AB有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是__________.
2．已知θ∈[0,π]，则的取值范围是__________.
3．三条直线2x+3y-6=0,x-y=2,3x+y+2=0围成一个三角形，当点P(x,y)在此三角形边上或内部运动时，2x+y的取值范围是__________.
4．若三条直线4x+y=4,mx+y=0,2x-3my=4能围成三角形，则m的范围是__________.
5．若λ∈R。直线(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0与点P(-2,2)的距离为d，比较大小：d__________.
6．一圆经过A(4,2),B(-1,3)两点，且在两个坐标轴上的四个截距的和为14，则此圆的方程为__________.
7．自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C：x2+y2-4x-4y+7=0相切，则光线l所在的方程为__________.
8．D2=4F且E≠0是圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切的__________条件.
9．方程|x|-1=表示的曲线是__________.
10．已知点M到点A（1，0），B（a,2）及到y轴的距离都相等，若这样的点M恰好有一个，则a可能值的个数为__________.
11．已知函数S=x+y，变量x,y满足条件y2-2x≤0和2x+y≤2，试求S的最大值和最小值。
12．A，B是x轴正半轴上两点，OA=a，OB=b(ab)，M是y轴正半轴上的动点。
（1）求∠AMB的最大值；
（2）当∠AMB取最大值时，求OM长；
（3）当∠AMB取最大值时，求过A，B，M三点的圆的半径。
四、高考水平训练题
1．已知ΔABC的顶点A(3,4)，重心G(1,1)，顶点B在第二象限，垂心在原点O，则点B的坐标为__________.
2．把直线绕点（-1，2）旋转300得到的直线方程为__________.
3．M是直线l:上一动点，过M作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，则在线段AB上满足的点P的轨迹方程为__________.
4．以相交两圆C1：x2+y2+4x+y+1=0及C2：x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆的方程为__________.
5．已知M={(x,y)|y=,a0},N={(x,y)|(x-1)2+(y-)2=a2,a0}.MN，a的最大值与最小值的和是__________.
6．圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0交于P，Q两点，O为原点，OPOQ，则m=__________.
7．已知对于圆x2+(y-1)2=1上任意一点P(x,y)，使x+y+m≥0恒成立，m范围是__________.
8．当a为不等于1的任何实数时，圆x2-2ax+y2+2(a-2)y+2=0均与直线l相切，则直线l的方程为__________.
9．在ΔABC中，三个内角A，B，C所对应的边分别为a,b,c，若lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列，那么直线xsin2A+ysinA=a与直线xsin2B+ysinC=c的位置关系是__________.
10．设A={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2},B={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x-4}是坐标平面xOy上的点集，C=所围成图形的面积是__________.
11．求圆C1：x2+y2+2x+6y+9=0与圆C2：x2+y2-6x+2y+1=0的公切线方程。
12．设集合L={直线l与直线y=2x相交，且以交点的横坐标为斜率}。
（1）点(-2,2)到L中的哪条直线的距离最小？
（2）设a∈R+，点P(-2,a)到L中的直线的距离的最小值设为dmin，求dmin的表达式。
13．已知圆C：x2+y2-6x-8y=0和x轴交于原点O和定点A，点B是动点，且∠OBA=900，OB交⊙C于M，AB交⊙C于N。求MN的中点P的轨迹。
五、联赛一试水平训练题
1．在直角坐标系中纵横坐标都是有理数的点称为有理点。若a为无理数，过点(a,0)的所有直线中，每条直线上至少存在两个有理点的直线有_______条。
2．等腰ΔABC的底边BC在直线x+y=0上，顶点A(2,3)，如果它的一腰平行于直线x-4y+2=0，则另一腰AC所在的直线方程为__________.
3．若方程2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0表示表示条互相垂直的直线，则m=__________.
4．直线x+7y-5=0分圆x2+y2=1所成的两部分弧长之差的绝对值是__________.
5．直线y=kx-1与曲线y=有交点，则k的取值范围是__________.
6．经过点A(0,5)且与直线x-2y=0,2x+y=0都相切的圆方程为__________.
7．在直角坐标平面上，同时满足条件：y≤3x,y≥x,x+y≤100的整点个数是__________.
8．平面上的整点到直线的距离中的最小值是__________.
9．y=lg(10-mx2)的定义域为R，直线y=xsin(arctanm)+10的倾斜角为__________.
10．已知f(x)=x2-6x+5，满足的点(x,y)构成图形的面积为__________.
11．已知在ΔABC边上作匀速运动的点D，E，F，在t=0时分别从A，B，C出发，各以一定速度向B，C，A前进，当时刻t=1时，分别到达B，C，A。
（1）证明：运动过程中ΔDEF的重心不变；
（2）当ΔDEF面积取得最小值时，其值是ΔABC面积的多少倍？
12．已知矩形ABCD，点C(4,4)，点A在圆O：x2+y2=9(x0,y0)上移动，且AB，AD两边始终分别平行于x轴、y轴。求矩形ABCD面积的最小值，以及取得最小值时点A的坐标。
13．已知直线l:y=x+b和圆C：x2+y2+2y=0相交于不同两点A，B，点P在直线l上，且满足|PA||PB|=2,当b变化时，求点P的轨迹方程。
六、联赛二试水平训练题
1．设点P(x,y)为曲线|5x+y|+|5x-y|=20上任意一点，求x2-xy+y2的最大值、最小值。
2．给定矩形Ⅰ（长为b，宽为a），矩形Ⅱ（长为c、宽为d），其中adcb，求证：矩形Ⅰ能够放入矩形Ⅱ的充要条件是：(ac-bd)2+(ad-bc)2≥(a2-b2)2.
3．在直角坐标平面内给定凸五边形ABCDE，它的顶点都是整点，求证：见图10-8，A1，B1，C1，D1，E1构成的凸五边形内部或边界上至少有一个整点。
4．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点，试证：存在一个同心圆的集合，使得：（1）每个整点都在此集合的某一圆周上；（2）此集合的每个圆周上，有且只有一个整点。
5．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线l1,l2,…，ln，…的直线族，它满足条件：（1）点（1,1）∈ln,n=1,2,3,…；（2）kn+1≥an-bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，n=1,2,3,…；（3）knkn+1≥0,n=1,2,3,….并证明你的结论。
6．在坐标平面内，一圆交x轴正半径于R，S，过原点的直线l1,l2都与此圆相交，l1交圆于A，B，l2交圆于D，C，直线AC，BD分别交x轴正半轴于P，Q，求证：