2017高考数学必考点：古典概型定义及计算。

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助教师能够井然有序的进行教学。教案的内容要写些什么更好呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“2017高考数学必考点：古典概型定义及计算”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

2017高考数学必考点：古典概型定义及计算

数学是高考考试中最能拉分的学科，很多学生的数学成绩难以提高往往是因为没有掌握好大纲要求掌握的考点，为了帮助大家复习好这些考点，下面xx为大家带来2017高考数学必考点【古典概型定义及计算】整理，希望高考生能够认真阅读。
基本事件的定义：
一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
等可能基本事件：
若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。
古典概型：
如果一个随机试验满足：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
(2)每个基本事件的发生都是等可能的;
那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型.
古典概型的概率：
如果一次试验的等可能事件有n个,考试技巧，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是;如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为。
古典概型解题步骤：
(1)阅读题目，搜集信息;
(2)判断是否是等可能事件，并用字母表示事件;
(3)求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m;
(4)用公式求出概率并下结论。
求古典概型的概率的关键：
求古典概型的概率的关键是如何确定基本事件总数及事件A包含的基本事件的个数。
2017高考数学必考点【古典概型定义及计算】整理xx为大家带来过了，希望高考生能够在记忆这些考点的时候多下功夫，这样在考试的时候就能熟练应用。

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古典概型及随机数的产生

一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，帮助高中教师缓解教学的压力，提高教学质量。高中教案的内容要写些什么更好呢？以下是小编为大家精心整理的“古典概型及随机数的产生”，但愿对您的学习工作带来帮助。

3.2.2古典概型及随机数的产生

一、教学目标：
1、知识与技能：（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；
（2）掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=
（3）了解随机数的概念；
（4）利用计算机产生随机数，并能直接统计出频数与频率。
二、重点与难点：1、正确理解掌握古典概型及其概率公式；
2、正确理解随机数的概念，并能应用计算机产生随机数．
三、学法与教学用具：1、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题；2、通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯．
四、教学过程：
1、创设情境：（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件。
（2）一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1，2，3，…，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1，2，3…，10。
师生共同探讨：根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？
2、基本概念：
（1）基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念见课本P121~126；
（2）古典概型的概率计算公式：P（A）=．
3、例题分析：
例1掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。
分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。
解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点）
所以基本事件数n=6，事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），
其包含的基本事件数m=3
所以，P（A）====0.5
例2从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]
事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）==。
例3现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．
分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样．
解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P(A)==0.512．
（2）解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336,所以P(B)=≈0.467．
解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)=≈0.467．
例4利用计算器产生10个1~100之间的取整数值的随机数。
解：具体操作如下：
键入

反复操作10次即可得之
例5某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少？
分析：其投篮的可能结果有有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能用古典概型的概率公式计算，我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%。
解：我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以生产0到9之间的取整数值的随机数。
我们用1，2，3，4表示投中，用5，6，7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是40%。因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组。
例如：产生20组随机数：
812，932，569，683，271，989，730，537，925，
907，113，966，191，431，257，393，027，556．
这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个数在1，2，3，4中，则表示恰有两次投中，它们分别是812，932，271，191，393，即共有5个数，我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为=25%。
例6你还知道哪些产生随机数的函数？请列举出来。
解：（1）每次按SHIFTRNA#键都会产生一个0~1之间的随机数，而且出现0~1内任何一个数的可能性是相同的。
（2）还可以使用计算机软件来产生随机数，如Scilab中产生随机数的方法。Scilab中用rand（）函数来产生0~1之间的随机数，每周用一次rand（）函数，就产生一个随机数，如果要产生a~b之间的随机数，可以使用变换rand（）*（b－a）+a得到．
4、课堂小结：本节主要研究了古典概型的概率求法，解题时要注意两点：
（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
（3）随机数量具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验，比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中。
5课堂练习：
1．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是（）
A．B．C．D．以上都不对
2．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是
A．B．C．D．
3．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是。
4．抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率。
5．利用计算器生产10个1到20之间的取整数值的随机数。
6．用0表示反面朝上，1表正面朝上，请用计算器做模拟掷硬币试验。
6、课堂练习答案：
1．B[提示：在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为，因此选B.]
2．C[提示：（方法1）从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10，其中抽到合格铁订（记为事件A）包含8个基本事件，所以，所求概率为P（A）==.（方法2）本题还可以用对立事件的概率公式求解，因为从盒中任取一个铁钉，取到合格品（记为事件A）与取到不合格品（记为事件B）恰为对立事件，因此，P（A）=1－P（B）=1－=.]
3．[提示；记大小相同的5个球分别为红1，红2，白1，白2，白3，则基本事件为：（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2）（红1，白3），（红2，白3），共10个，其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件，所以，所求事件的概率为.本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解，对于求“至多”“至少”等事件的概率头问题，常采用间接法，即求其对立事件的概率P（A），然后利用P（A）1－P（A）求解]。
4.解：在抛掷2颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现1点，2点，…，6点6种不同的结果，我们把两颗骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的一个结果，因此同时掷两颗骰子的结果共有6×6=36种，在上面的所有结果中，向上的点数之和为8的结果有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）5种，所以，所求事件的概率为.
5．解：具体操作如下
键入

反复按键10次即可得到。

6．解：具体操作如下：
键入

7、作业：根据情况安排

8板书设计：
3.2.2古典概型及随机数的产生
基本概念：例3例5
3.2.2古典概型及随机数的产生

课前预习学案
一、预习目标：
1、正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；
2、掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=
3、了解随机数的概念；
二、预习内容：1、基本事件
2、古典概率模型
3、随机数
4、伪随机数的概念
5、古典概型的概率计算公式：P（A）=．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标：（1）正确理解古典概型的两大特点
（2）掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=
（3）了解随机数的概念
二、重点与难点：1、正确理解掌握古典概型及其概率公式；
2、正确理解随机数的概念，并能应用计算机产生随机数．
三、学习过程：
1、创设情境：（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件。
（2）一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1，2，3，…，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1，2，3…，10。
根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？

2、例题：
例1掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。
解：

例2从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
解：

例3现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．
解：

例4利用计算器产生10个1~100之间的取整数值的随机数。
解

例5某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少？
解：

例6你还知道哪些产生随机数的函数？请列举出来。
解：

3、反思总结
（1）、数学知识：
（2）、数学思想方法：

4、当堂检测：
一、选择题
1．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是（）
A．B．C．D．以上都不对
2．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是
A．B．C．D．
3将骰子抛2次，其中向上的数之和是5的概率是()
A、B、C、D、9
二、填空题
4在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是。
5．抛掷2颗质地均匀的骰子，则点数和为8的概率为。
三、解答题
6．用0表示反面朝上，1表正面朝上，请用计算器做模拟掷硬币试验。

答案：1．B[提示：在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为，因此选B.]
2．C[提示：（方法1）从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10，其中抽到合格铁订（记为事件A）包含8个基本事件，所以，所求概率为P（A）==.（方法2）本题还可以用对立事件的概率公式求解，因为从盒中任取一个铁钉，取到合格品（记为事件A）与取到不合格品（记为事件B）恰为对立事件，因此，P（A）=1－P（B）=1－=.]
3A
4．[提示；记大小相同的5个球分别为红1，红2，白1，白2，白3，则基本事件为：（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2）（红1，白3），（红2，白3），共10个，其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件，所以，所求事件的概率为.本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解，对于求“至多”“至少”等事件的概率头问题，常采用间接法，即求其对立事件的概率P（A），然后利用P（A）1－P（A）求解]。
5.解：在抛掷2颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现1点，2点，…，6点6种不同的结果，我们把两颗骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的一个结果，因此同时掷两颗骰子的结果共有6×6=36种，在上面的所有结果中，向上的点数之和为8的结果有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）5种，所以，所求事件的概率为.
6．解：具体操作如下：
键入

课后练习与提高

一、选择题
1、从长度为1，3，5，7，9五条线段中任取三条能构成三角形的概率是()
A、B、C、D、

2、将8个参赛队伍通过抽签分成A、B两组，每组4队，其中甲、乙两队恰好不在同组的概率为()
A、B、C、D、

3、袋中有白球5只，黑球6只，连续取出3只球，则顺序为“黑白黑”的概率为()
A、B、C、D、
二、填空题
4、接连三次掷一硬币，正反面轮流出现的概率等于，

5、在100个产品中，有10个是次品，若从这100个产品中任取5个，其中恰有2个次品的概率等于。
三、解答题
6在第1，3，5，8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有1位乘客等候第1路或第3路汽车、假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，求首先到站正好是这位乘客所要乘的汽车的概率、

答案
一、选择题
1、B2、A3、D
二、填空题
4、
5、
三解答题解：记“首先到站的汽车正好是这位乘客所要乘的汽车”为事件A，则事件A的概率P(A)=
答：首先到站正好是这位乘客所要乘的汽车的概率为

第2节古典概型教学案

[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P125～P130，回答下列问题．
教材中的两个试验：(1)掷一枚质地均匀的硬币的试验；
(2)掷一枚质地均匀的骰子的试验．
(1)试验(1)中的基本事件是什么？试验(2)中的基本事件又是什么？
提示：试验(1)的基本事件有：“正面朝上”、“反面朝上”；试验(2)的基本事件有：“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”．
(2)基本事件有什么特点？
提示：①任何两个基本事件是互斥的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
(3)古典概型的概率计算公式是什么？
提示：P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.
2．归纳总结，核心必记
(1)基本事件
①定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为该次试验的基本事件．
②特点：一是任何两个基本事件是互斥的；二是任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
(2)古典概型
①定义：如果一个概率模型满足：
(ⅰ)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(ⅱ)每个基本事件出现的可能性相等．
那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
②计算公式：对于古典概型，任何事件的概率为P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.
[问题思考]
(1)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？
提示：不一定是，还要看每个事件发生的可能性是否相同，若相同才是，否则不是．
(2)掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率，这个概率模型还是古典概型吗？
提示：不是．因为骰子不均匀，所以每个基本事件出现的可能性不相等，不满足特点(ⅱ)．
(3)“在区间[0,10]上任取一个数，这个数恰为2的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？
提示：不是，因为在区间[0,_10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
(1)基本事件的定义：；
(2)基本事件的特点：；
(3)古典概型的定义：；
(4)古典概型的计算公式：.
掷一枚质地均匀的硬币两次，观察哪一面朝上．
[思考1]这个试验共有哪几种结果？基本事件总数有多少？事件A＝{恰有一次正面朝上}包含哪些试验结果？
名师指津：共有正正、正反、反正、反反四种结果．基本事件有4个．事件A包含的结果有：正反、反正．
[思考2]基本事件有什么特点？
名师指津：基本事件具有以下特点：(1)不可能再分为更小的随机事件；(2)两个基本事件不可能同时发生．
?讲一讲
1．先后抛掷3枚均匀的壹分，贰分，伍分硬币．
(1)求试验的基本事件数；
(2)求出现“2枚正面，1枚反面”的基本事件数．
[尝试解答](1)因为抛掷壹分，贰分，伍分硬币时，各自都会出现正面和反面2种情况，所以一共可能出现的结果有8种．可列表为：
硬币种类试验结果(共8种)
壹分正面正面正面正面反面反面反面反面
贰分正面反面正面反面正面反面正面反面
伍分正面反面反面正面正面反面反面正面
所以试验基本事件数为8.
(2)从(1)中表格知，出现“2枚正面，1枚反面”的结果有3种，即(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．所以“2枚正面，1枚反面”的基本事件数为3.
基本事件的两个探求方法
(1)列表法：将基本事件用表格的形式表示出来，通过表格可以清楚地弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数，列表法适合于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法．
(2)树状图法：树状图法是用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．树状图法适合于较复杂的试验的题目．
?练一练
1．从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？
解：所求的基本事件共有6个：
即A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}，D＝{b，c}，
E＝{b，d}，F＝{c，d}．
观察图形，思考下列问题
[思考1]某射击运动员随机地向一靶心进行射击，试验的结果有：命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中)，你认为这是古典概型吗？
名师指津：试验的所有结果只有11个，但是命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中)的出现不是等可能的，这个试验不是古典概型．
[思考2]若一个试验是古典概型，它需要具备什么条件？
名师指津：若一个试验是古典概型，需具备以下两点：
(1)有限性：首先判断试验的基本事件是否是有限个，若基本事件无限个，即不可数，则试验不是古典概型．
(2)等可能性：其次考查基本事件的发生是不是等可能的，若基本事件发生的可能性不一样，则试验不是古典概型．
?讲一讲
2．某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
一年级二年级三年级
男同学ABC
女同学XYZ
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．
(1)用表中字母列举出所有可能的结果；
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
[尝试解答](1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．
因此，事件M发生的概率P(M)＝615＝25.
(1)古典概型求法步骤
①确定等可能基本事件总数n；
②确定所求事件包含基本事件数m；
③P(A)＝mn.
(2)使用古典概型概率公式应注意
①首先确定是否为古典概型；
②所求事件是什么，包含的基本事件有哪些．
?练一练
2．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求：
(1)基本事件总数；
(2)事件“摸出2个黑球”包含多少个基本事件？
(3)摸出2个黑球的概率是多少？
解：由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型．
(1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，所有基本事件构成集合Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6个基本事件．
(2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个基本事件．
(3)基本事件总数n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数m＝3，故P＝12.
?讲一讲
3．袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球．
(1)写出所有不同的结果；
(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；
(3)求至少摸出1个黑球的概率．
[思路点拨](1)可以利用初中学过的树状图写出；(2)找出恰好摸出1个黑球和1个红球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出；(3)找出至少摸出1个黑球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出．
[尝试解答](1)用树状图表示所有的结果为
所以所有不同的结果是
ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
(2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，
则事件A包含的基本事件为ac，ad，ae，bc，bd，be，共6个基本事件，
所以P(A)＝610＝0.6，
即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6.
(3)记“至少摸出1个黑球”为事件B，
则事件B包含的基本事件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共7个基本事件，
所以P(B)＝710＝0.7，
即至少摸出1个黑球的概率为0.7.
利用事件间的关系求概率
在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式P(A1∪A2∪A3∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)求得，或采用正难则反的原则，转化为求其对立事件，再用公式P(A)＝1－P(A)(A为A的对立事件)求得．
?练一练
3．先后掷两枚大小相同的骰子．
(1)求点数之和出现7点的概率；
(2)求出现两个4点的概率；
(3)求点数之和能被3整除的概率．
解：如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36个．
(1)记“点数之和出现7点”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P(A)＝636＝16.
(2)记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件只有1个，即(4,4)．故P(B)＝136.
(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．
故P(C)＝1236＝13.
——————————————[课堂归纳感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是了解基本事件的特点，能写出一次试验所出现的基本事件，会用列举法求古典概型的概率．难点是理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型．
2．本节课要掌握以下几类问题：
(1)基本事件的两种探求方法，见讲1.
(2)求古典概型的步骤及使用古典概型概率公式的注意点，见讲2.
(3)利用事件的关系结合古典概型求概率，见讲3.
3．本节课的易错点有两个：
(1)列举基本事件时易漏掉或重复，如讲1；
(2)判断一个事件是否是古典概型易出错．
课下能力提升(十八)
[学业水平达标练]
题组1基本事件的列举问题
1．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是()
A．3B．4C．5D．6
解析：选D事件A包含的基本事件有6个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)．故选D.
2．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．
①写出这个试验的基本事件；
②求出这个试验的基本事件的总数；
③写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的基本事件．
解：①这个试验的基本事件为(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)．
②基本事件的总数为6.
③“第1次取出的数字是2”包含以下2个基本事件：(2,0)，(2,1)．
题组2简单古典概型的计算
3．下列关于古典概型的说法中正确的是()
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝kn.
A．②④B．①③④C．①④D．③④
解析：选B根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B.
4．下列试验中，属于古典概型的是()
A．种下一粒种子，观察它是否发芽
B．从规格直径为250mm±0.6mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C．抛掷一枚硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
解析：选C依据古典概型的特点判断，只有C项满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相同．
5．设a是掷一枚骰子得到的点数，则方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实根的概率为()
A.23B.13C.12D.512
解析：选A基本事件总数为6，若方程有两个不相等的实根则a2－8＞0，满足上述条件的a为3,4,5,6，故P＝46＝23.
6．一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为()
A.38B.23C.13D.14
解析：选A所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8个，仅有2次出现正面向上的有：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个．则所求概率为38.
7．袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球1个是白球，另1个是红球．
解：设4个白球的编号为1,2,3,4；2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．
(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法共有6种，为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．
∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)＝615＝25.
(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)共8种．
∴取出的两个球一个是白球，一个是红球的概率为P(B)＝815.
题组3较复杂的古典概型的计算
8．某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算)．现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时．
(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13，停车费多于14元的概率为512，求甲的停车费为6元的概率；
(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率．
解：(1)记“一次停车不超过1小时”为事件A，“一次停车1到2小时”为事件B，“一次停车2到3小时”为事件C，“一次停车3到4小时”为事件D.
由已知得P(B)＝13，P(C＋D)＝512.
又事件A，B，C，D互斥，所以P(A)＝1－13－512＝14.
所以甲的停车费为6元的概率为14.
(2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个；
而“停车费之和为28元”的事件有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个，
所以所求概率为316.
[能力提升综合练]
1．下列是古典概型的是()
A．任意掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
解析：选CA项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件可能会是无限个，故D不是．
2．(2015广东高考)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为()
A．0.4B．0.6
C．0.8D．1
解析：选B5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，有10种结果，分别是(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，恰有一件次品，有6种结果，分别是(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，设事件A＝{恰有一件次品}，则P(A)＝610＝0.6，故选B.
3．(2015新课标全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()
A.310B.15C.110D.120
解析：选C从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.故选C.
4．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是()
A.49B.13C.29D.19
解析：选D分类讨论法求解．
个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必一个奇数一个偶数，所以可以分两类．
(1)当个位为奇数时，有5×4＝20个符合条件的两位数．
(2)当个位为偶数时，有5×5＝25个符合条件的两位数．
因此共有20＋25＝45个符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P＝545＝19.
5．(2016石家庄高一检测)一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为________．
解析：该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为26＝13.
答案：13
6．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．
解析：用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为：AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc,2名都是女同学的选法为：ab，ac，bc，故所求的概率为315＝15.
答案：15
7．(2015天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．
因此，事件A发生的概率P(A)＝915＝35.
8．(2014山东高考)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区ABC
数量50150100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：
{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.

高三数学教案：《古典概型复习》教学设计

本文题目：高三数学复习教案：古典概型复习教案

【高考要求】古典概型(B); 互斥事件及其发生的概率(A)

【学习目标】：1、了解概率的频率定义，知道随机事件的发生是随机性与规律性的统一;

2、 理解古典概型的特点，会解较简单的古典概型问题;

3、 了解互斥事件与对立事件的概率公式，并能运用于简单的概率计算.

【知识复习与自学质疑】

1、古典概型是一种理想化的概率模型，假设试验的结果数具有 性和 性.解古典概型问题关键是判断和计数，要掌握简单的记数方法(主要是列举法).借助于互斥、对立关系将事件分解或转化是很重要的方法.

2、(A)在10件同类产品中，其中8件为正品，2件为次品。从中任意抽出3件，则下列4个事件：①3件都是正品;②至少有一件是正品;③3件都是次品;④至少有一件是次品.是必然事件的是 .

3、(A)从5个红球，1个黄球中随机取出2个，所取出的两个球颜色不同的概率是 。

4、(A)同时抛两个各面上分别标有1、2、3、4、5、6均匀的正方体玩具一次，“向上的两个数字之和为3”的概率是 .

5、(A)某人射击5枪，命中3枪，三枪中恰好有2枪连中的概率是 .

6、(B)若实数 ,则曲线 表示焦点在y轴上的双曲线的概率是 .

【例题精讲】

1、(A)甲、乙两人参加知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题.(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少?

(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?

2、(B)黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示：

血型 A B AB O

该血型的人所占的比(%) 28 29 8 35

已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血，若小明因病需要输血，问：

(1) 任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少?

(2) 任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少?

3、(B)将两粒骰子投掷两次，求：(1)向上的点数之和是8的概率;(2)向上的点数之和不小于8 的概率;(3)向上的点数之和不超过10的概率.

4、(B)将一个各面上均涂有颜色的正方体锯成 (n个同样大小的正方体，从这些小正方体中任取一个，求下列事件的概率：(1)三面涂有颜色;(2)恰有两面涂有颜色;

(3)恰有一面涂有颜色;(4)至少有一面涂有颜色.

【矫正反馈】

1、(A)一个三位数的密码锁，每位上的数字都可在0到10这十个数字中任选，某人忘记了密码最后一个号码，开锁时在对好前两位号码后，随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率是 .

2、(A)第1、2、5、7路公共汽车都要停靠的一个车站，有一位乘客等候着1路或5路汽车，假定各路汽车首先到站的可能性相等，那么首先到站的正好是这位乘客所要乘的的车的概率是 .

3、(A)某射击运动员在打靶中，连续射击3次，事件“至少有两次中靶”的对立事件是 .

4、(B)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下出现乙级品和丙级品的概率分别为3%和1%，求抽验一只是正品(甲级)的概率 .

5、(B)袋中装有4只白球和2只黑球，从中先后摸出2只求(不放回).求：(1)第一次摸出黑球的概率;(2)第二次摸出黑球的概率;(3)第一次及第二次都摸出黑球的概率.

【迁移应用】

1、(A)将一粒骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率是 .

2、(A)从鱼塘中打一网鱼，共M条，做上标记后放回池塘中，过了几天，又打上来一网鱼，共N条，其中K条有标记，估计池塘中鱼的条数为 .

3、(A)从分别写有A,B,C,D,E的5张卡片中，任取2张，这两张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是 .

4、(B)电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率是 .

5、(B)将甲、乙两粒骰子先后各抛一次，a,b分别表示抛掷甲、乙两粒骰子所出现的点数.

(1)若点P(a,b)落在不等式组 表示的平面区域记为A，求事件A的概率;

(2)求P(a,b)落在直线x+y=m(m为常数)上，且使此事件的概率最大，求m的值.

高中数学必修三导学案-3.2古典概型

3.2古典概型
【学习目标】
1．理解基本事件、古典概型及其古典概型的概率公式；
2．会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
3.学会用概率的性质求古典概型的一些方法
【知识梳理】
知识回顾：
概率的基本性质

新知梳理：
1.基本事件
（1）定义：一次某试验中连同其中可能出现的每一个结果，称为一个基本事件。它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，一次试验中只能出现一个基本事件．
（2）基本事件的特征
①互斥性：任何两个基本事件是；（两个基本事件不可能在一次试验中同时出现）
②单位性：任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的．
2.古典概型
（1）定义一个试验具备下列两个特征：
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）
②每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）具备以上两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。
（2）古典概型的两个特性、
．
3.古典概型中基本事件的概率
对于古典概型，如果试验有个基本事件，由于基本事件两两互斥，且是等可能的，故每个基本事件发生的概率为．
4.古典概型的概率公式
对于古典概型，如果试验含有个基本事件，随机事件A包含的基本事件为，由互斥事件的概率加法公式可得：
P(A)==即P(A)=
【感悟】如何确定一个试验是否为古典概型？

对点练习：
1．掷一枚均匀的硬币的试验，基本事件为．
2.掷一枚质地均匀的骰子的试验中，正面向上的点数为基本事件，则该实验的基本事件的个数为，出现“5点”的概率是.出现的“点数为偶数”的概率是．
3.同时抛掷两枚质地均匀的骰子的试验，基本事件的个数是，出现的“点数和为2”的概率是，出现的“点数和为3”的概率是．
4.试写出：从字母中任意取出两个字母的试验的所有基本事件．

【典型例题】
例题1.一只口袋中装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球.
（1)共有多少个基本事件，这样的基本事件是等可能的吗？该试验是古典概型吗？
（2)两只都是白球包含几个基本事件？

变式练习1.同时抛掷两枚质地均匀的骰子，计算
（1）一共有多少不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？

例题2.一个口袋内装有大小相等的1个白球和已有不同编号的3个黑球，从中任意摸出2个．
（1）摸出的2个球都是黑球记为事件A，问事件A包含几个基本事件？
（2）计算事件A的概率．

变式练习2.某校课外兴趣小组设计了关于2010年上海世博会中国展览馆的6道不同的题目供甲、乙二人竞答.其中有4道选择题，2道判断题.甲、乙二人各抽一题，求甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
例题3.同时抛掷两颗骰子，求：
（1）点数之和是4的倍数的概率；
（2）点数之和大于5小于10的概率；
（3）点数之和大于3的概率.

变式练习3.将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，求：
（1）两数之和为5的概率；
（2）两数中至少有一个奇数的概率.

【课堂小结】

【当堂达标】
1.下列对古典概率的说法中正确的是（）
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④若基本事件的总数为，随机事件包含个基本事件，则.
A.②④B.①③④C.①④D.③④
2.在某次抽签考试中，共有10张不同的考签.每个考生抽取其中的一张.若考生甲会答其中的7张签的内容，则该考生恰巧抽到自己会答的签的概率为（）
A.0.1B.0.3C.0.5D.0.7
3.已知集合,点的坐标为，其中.记点落在第一象限为事件，则=()
A.B.C.D.
4.从含有3个元素的集合的子集中任取一个，则所取得的子集是含有2个元素的集合的概率是
【课时作业】
1.从中任意选取3个字母的试验中，所有可能的事件数为（）
A.3个B.4个C.6个D.24个
2.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组，某学生只选报其中的两个，则基本事件共有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.从数字１，２，３中任取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数大于21的概率是（）
A.B.C.D.
4.将一枚硬币先后抛掷两次，至少出现一次正面的概率是（）
A.B.C.D.１
5.某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为1，2，3册的概率为（）
A.B.C.D.
6.将一枚硬币连续抛掷３次，只有一次出现正面的概率是(）
A.B.C.D.
7.从编号为１到100的100张卡片中任取一张，所得编号是４的倍数的概率为.
8.在夏令营的７名成员中，有３名同学已去过北京。从这７名同学中任选２名同学，选出的这２弥名同学恰是已去过北京的概率是.
9.从3名男同学和2名同学中选1名学生代表，如果每个同学当选的可能性相同，则共有
种选举结果；男同学当选的概率是；女同学当选的概率是.

10.Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ４名学生按任意次序站成一排，则Ａ在边上的概率是.
11.作投掷２颗骰子试验，用（ｘ，ｙ）表示结果，其中ｘ表示第一颗骰子出现的点数.ｙ表示第二颗骰子出现的点数.
（１）写出试验的基本事件；
（２）求事件“出现点数之和大于８”的概率；
（３）求事件“出现的点数相等”的概率；
（４）求事件“出现的点数之和等于７”的概率.

12．从一幅52张的扑克牌中任意抽取一张.
（１）求抽出的一张是７的概率；
（２）求抽出的一张是黑桃的概率；
（３）求抽出的一张是红桃３的概率.

13.某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率有多大？
14.袋中装有罴球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止每个球在每一次被取出的机会是等可能的．
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）取球两次终止的概率；
（3）求甲取到白球的概率.