高三上学期《一元二次不等式及其解法》导学案。

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高三上学期《一元二次不等式及其解法》导学案
一、教学内容解析
一元二次不等式的解法是高中数学最重要的内容之一，在高中数学中起着广泛的应用工具作用，蕴藏着重要的数形结合思想，是代数、三角、解析几何交汇综合的部分，在高中数学中具有举足轻重的地位。
教科书中对一元二次不等式的解法，没有介绍较繁琐的纯代数方法，而是采取简洁明了的数形结合的方法，从具体到抽象，从特殊到一般，用二次函数的图象来研究一元二次不等式的解法。教学中，利用几何画板的动态演示功能，引导学生结合二次函数的图象探究一元二次不等式、一元二次方程、二次函数“三个二次”间的联系，归纳总结出一元二次不等式的求解过程。通过对一元二次不等式解集的探究过程，渗透函数与方程、数形结合、分类讨论等重要的数学思想。
一元二次不等式的解法是程序性较强的内容，探究中应注意对“特例”的处理，让学生注意对“特殊情况”的处理，才能让学习的内容更加完整。
因此，本节课教学的重点是围绕一元二次不等式的解法，通过图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，突出体现数形结合的思想。
二、教学目标解析
1.通过对一元二次不等式解法的探究，让学生了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
2.掌握一元二次不等式的求解步骤，尤其是对“特例”的处理。
3.通过图象解法渗透数形结合、分类化归等重要的数学思想，培养学生动手能力，观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质。
三、学生学情分析
学生已有的认知基础是，学生已经学习了二次函数、一元二次方程、函数的零点等有关知识，为本节课的学习打下了基础。
学生根据具体的二次函数的图象得对应一元二次不等式的解集时问题不大，学生可能存在的困难：（1）二次函数是初中学习的难点，许多学生对二次函数的知识掌握欠缺，对本节课的顺利开展有一定的影响；（2）从特殊的一元二次不等式的求解到一般的一元二次不等式的求解，学生全面考虑不同情况下的解集有一定的困难。教学中，（1）教师可提前让学生复习二次函数的有关知识点，为本节课的学习扫清障碍。（2）利用几何画板的动态演示功能，通过变换二次函数图象，引导学生在变化中寻找不变的规律，从而得出影响一元二次不等式解集的因素，确定分类的标准，全面考虑一元二次不等式解的情况。
因此，本节课教学的难点是探究一元二次不等式的解集。
四、教学策略分析
依据本节课的教学内容，采用启发引导式教学。教学中启发学生一元二次不等式的解法可以类比“一元一次不等式与一次函数、一元一次方程三者间的关系”，利用二次函数的图象进行求解。从特殊到一般，从具体到抽象，通过几何画板的动态演示，引导学生观察、猜想、主动发现一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，得出一元二次不等式的求解步骤。教学中让学生通过动手实践、自主探索、合作学习完成学习过程，从动态中观察、探索归纳知识。
为了有效实现教学目标，教学中通过几何画板动态演示函数图象上的点在移动时，随着横坐标的变化，纵坐标的取值变化情况，更直观地向学生展示或时对应的的取值范围。利用图象的直观性，观察二次函数图象的变化对一元二次不等式解集的影响，恰当确定分类的标准，有效解决教学中的难点。
五、教学过程设计
新课导入：刚才我们回顾了初中学过的一元一次方程、一元一次不等式、一次函数三者间的联系，利用这种联系可以快速准确地求出一元一次不等式的解集。那么对于一元二次不等式能否用类似的方法求解？我们以上网计时收费问题中得到的一元二次不等式为例进行探究。
问题一：如何求一元二次不等式的解集？
设计意图：通过具体的例子，观察三个二次的关系，直观理解一元二次不等式的求法，由特殊到一般。
引导一：画出二次函数的草图。
引导二：观察一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数三者间有何联系？
引导三：要写出一元二次不等式的解集，需要确定哪些量？
师生活动：教师引导学生思考三个二次的关系，首先画出函数的图象。让学生通过观察图象，发现“一元二次方程的两个根是对应二次函数的零点”的结论，一元二次不等式的解即是二次函数的图象上函数值时对应的的取值。利用几何画板的动态演示功能，在函数的图象上任取一点，观察当点在抛物线上移动时，随着的横坐标的变化，的纵坐标有什么变化，借用动态演示帮助看图有困难的同学。
问题二：探究一元二次不等式的解集。
设计意图：进一步加深学生对“三个二次”间关系的理解，通过二次函数图象的动态变化，寻找出恰当的分类标准，写出二次不等式的解集，从具体到抽象。
引导一：要得到一个一元二次不等式的解集，关键应考虑哪些因素？
师生活动：教师利用几何画板的动态演示功能，改变二次函数中的常数的值，让学生观察随着函数图象的变化，不等式的解的变化情况，在变化中寻找不变的规律，从而得出确定一元二次不等式解集的两个因素：（1）对应的一元二次方程的根的情况；（2）对应的二次函数的开口方向。
引导二：应如何分类讨论一元二次不等式的解集？
师生活动：在引导、分析的基础上，由学生归纳得出分类的两个标准：（1）分和；（2）分，，。并让学生完成课本77页的表，写出时一元二次方程根和一元二次不等式的解集。
应用理解：
例1求下列不等式的解集
（1）；
（2）
设计意图：让学生进一步掌握一元二次不等式的解法，并学会规范书写，注意对于“特殊情况”——，的处理。
师生活动：先由学生自主完成，教师指出其中的不足之处，提醒学生注意解题的规范性。指出通过代数变换与几何直观相结合，是解一元二次不等式常规和有效的方法。
问题三：根据上述例题的求解过程，归纳一元二次不等式的解题步骤。
设计意图：通过总结归纳得出解一元二次不等式的步骤，发展学生有条理思考和表达的能力，提高学生的逻辑思维能力。
师生活动：学生总结，教师板书，得出一元二次不等式解题步骤：（1）化为的形式。（2）判断，确定对应方程根的个数。（3）求对应方程的根。（4）根据对应二次函数的图象得出原不等式的解集。
问题四：通过这部分内容的学习，你有何收获？试从知识点、思想方法等方面加以总结。
设计意图：通过小结，使学生对本部分的学习有一个全面、系统的认识，让学生的学习更上一层楼。
师生活动：学生小结，不足之处教师补充。
知识方面：了解了二次函数、一元二次不等式、一元二次方程“三个二次”间的联系，会解一元二次不等式。
思想方法：通过图象解法渗透数形结合、分类讨论、化归等重要的数学思想。
经验：（1）画二次函数的图象把握开口方向和与轴的交点。（2）不要死记硬背书上的解集表，重视数形结合的思想，活学活用。

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一元二次不等式解法

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第十二教时

教材：一元二次不等式解法

目的：从一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系出发，掌握运用二次函数求解一元二次不等式的方法。

过程：

一、课题：一元二次不等式的解法

先回忆一下初中学过的一元一次不等式的解法：如2x-70x

y

这里利用不等式的性质解题

从另一个角度考虑：令y=2x-7作一次函数图象：

xc

O

引导观察，并列表，见P17略

当x=3.5时,y=0即2x-7=0

当x3.5时,y0即2x-70

当x3.5时,y0即2x-70

结论：略见P17

注意强调：1°直线与x轴的交点x0是方程ax+b=0的解

2°当a0时,ax+b0的解集为{x|xx0}

当a0时,ax+b0可化为-ax-b0来解

y

二、一元二次不等式的解法

同样用图象来解，实例：y=x2-x-6作图、列表、观察

-2O3x

当x=-2或x=3时,y=0即x2-x-6=0

当x-2或x3时,y0即x2-x-60

当-2x3时,y0即x2-x-60

∴方程x2-x-6=0的解集：{x|x=-2或x=3}

不等式x2-x-60的解集：{x|x-2或x3}

不等式x2-x-60的解集：{x|-2x3}

这是△0的情况：

若△=0,△0分别作图观察讨论

得出结论：见P18--19

说明：上述结论是一元二次不等式ax+bx+c0(0)当a0时的情况

若a0,一般可先把二次项系数化成正数再求解

三、例题P19例一至例四

练习：（板演）

有时间多余，则处理《课课练》P14“例题推荐”

四、小结：一元二次不等式解法（务必联系图象法）

五、作业：P21习题1.5

《课课练》第8课余下部分

一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法

教学目标

（1）掌握一元二次不等式的解法；
（2）知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；
（3）了解简单的分式不等式的解法；
（4）能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联系；
（5）能够进行较简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求解简单的含字母的一元二次不等式；
（6）通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；
（7）通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观．

教学重点：一元二次不等式的解法；

教学难点：弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．

教与学过程设计

第一课时

Ⅰ．设置情境

问题：

①解方程
②作函数的图像
③解不等式

【置疑】在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？
【回答】函数图像与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图像落在x轴上方部分对应的横坐标。能。
通过多媒体或其他载体给出下列表格。扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集。注意色彩或彩色粉笔的运用

在这里我们发现一元一次方程，一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图像上！）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？

Ⅱ．探索与研究

我们现在就结合不等式的求解来试一试。（师生共同活动用“特殊点法”而非课本上的“列表描点”的方法作出的图像，然后请一位程度中下的同学写出相应一元二次方程及一元二次不等式的解集。）
【答】方程的解集为
不等式的解集为

【置疑】哪位同学还能写出的解法？（请一程度差的同学回答）
【答】不等式的解集为
我们通过二次函数的图像，不仅求得了开始上课时我们还不知如何求解的那个第（5）小题的解集，还求出了的解集，可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个十分有效的方法。
下面我们再对一般的一元二次不等式与来进行讨论。为简便起见，暂只考虑的情形。请同学们思考下列问题：
如果相应的一元二次方程分别有两实根、惟一实根，无实根的话，其对应的二次函数的图像与x轴的位置关系如何？（提问程度较好的学生）
【答】二次函数的图像开口向上且分别与x轴交于两点，一点及无交点。
现在请同学们观察表中的二次函数图，并写出相应一元二次不等式的解集。（通过多媒体或其他载体给出以下表格）

【答】的解集依次是
的解集依次是
它是我们今后求解一元二次不等式的主要工具。应尽快将表中的结果记住。其关键就是抓住相应二次函数的图像。
课本第19页上的例1．例2．例3．它们均是求解二次项系数的一元二次不等式，却都没有给出相应二次函数的图像。其解答过程虽很简练，却不太直观。现在我们在课本预留的位置上分别给它们补上相应二次函数图像。
（教师巡视，重点关注程度稍差的同学。）
Ⅲ．演练反馈
1．解下列不等式：
（1）（2）
（3）（4）
2．若代数式的值恒取非负实数，则实数x的取值范围是。
3．解不等式
（1）（2）
参考答案：
1．（1）；（2）；（3）；（4）R
2．
3．（1）
（2）当或时，，当时，
当或时，。
Ⅳ．总结提炼
这节课我们学习了二次项系数的一元二次不等式的解法，其关键是抓住相应二次函数的图像与x轴的交点，再对照课本第39页上表格中的结论给出所求一元二次不等式的解集。
（五）、课时作业
（P20．练习等3、4两题）
（六）、板书设计

第二课时

Ⅰ．设置情境
（通过讲评上一节课课后作业中出现的问题，复习利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的主要操作过程。）
上节课我们只讨论了二次项系数的一元二次不等式的求解问题。肯定有同学会问，那么二次项系数的一元二次不等式如何来求解？咱们班上有谁能解答这个疑问呢？
Ⅱ．探索研究
（学生议论纷纷．有的说仍然利用二次函数的图像，有的说将二次项的系数变为正数后再求解，……．教师分别请持上述见解的学生代表进一步说明各自的见解．）
生甲：只要将课本第39页上表中的二次函数图像次依关于x轴翻转变成开口向下的抛物线，再根据可得的图像便可求得二次项系数的一元二次不等式的解集．
生乙：我觉得先在不等式两边同乘以－1将二次项系数变为正数后直接运用上节课所学的方法求解就可以了．
师：首先，这两种见解都是合乎逻辑和可行的．不过按前一见解来操作的话，同学们则需再记住一张类似于第39页上的表格中的各结论．这不但加重了记忆负担，而且两表中的结论容易搞混导致错误．而按后一种见解来操作时则不存在这个问题，请同学们阅读第19页例4．
（待学生阅读完毕，教师再简要讲解一遍．）
[知识运用与解题研究]
由此例可知，对于二次项系数的一元二次不等式是将其通过同解变形化为的一元二次不等式来求解的，因此只要掌握了上一节课所学过的方法。我们就能求
解任意一个一元二次不等式了，请同学们求解以下两不等式．（调两位程度中等的学生演板）
（1）（2）
（分别为课本P21习题1．5中1大题（2）、（4）两小题．教师讲评两位同学的解答，注意纠正表述方面存在的问题．）
训练二可化为一元一次不等式组来求解的不等式．
目前我们熟悉了利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的方法虽然对任意一元二次不等式都适用，但具体操作起来还是让我们感到有点麻烦．故在求解形如（或）的一元二次不等式时则根据（有理数）乘（除）运算的“符号法则”化为同学们更加熟悉的一元一次不等式组来求解．现在清同学们阅读课本P20上关于不等式求解的内容并思考：原不等式的解集为什么是两个一次不等式组解集的并集？（待学生阅读完毕，请一程度较好，表达能力较强的学生回答该问题．）
【答】因为满足不等式组或的x都能使原不等式成立，且反过来也是对的，故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集．
这个回答说明了原不等式的解集A与两个一次不等式组解集的并集B是互为子集的关系，故它们必相等，现在请同学们求解以下各不等式．（调三位程度各异的学生演板．教师巡视，重点关注程度较差的学生）．
（1）［P20练习中第1大题］
（2）［P20练习中第1大题］
（3）［P20练习中第2大题］
（老师扼要讲评三位同学的解答．尤其要注意纠正表述方面存在的问题．然后讲解P21例5）．
例5解不等式
因为（有理数）积与商运算的“符号法则”是一致的，故求解此类不等式时，也可像求解（或）之类的不等式一样，将其化为一元一次不等式组来求解。具体解答过程如下。
解：（略）
现在请同学们完成课本P21练习中第3、4两大题。
（等学生完成后教师给出答案，如有学生对不上答案，由其本人追查原因，自行纠正。）
[训练三]用“符号法则”解不等式的复式训练。
（通过多媒体或其他载体给出下列各题）
1．不等式与的解集相同此说法对吗？为什么[补充]
2．解下列不等式：
（1）［课本P22第8大题（2）小题］
（2）［补充］
（3）［课本P43第4大题（1）小题］
（4）［课本P43第5大题（1）小题］
（5）［补充］
（每题均先由学生说出解题思路，教师扼要板书求解过程）
参考答案：
1．不对。同时前者无意义而后者却能成立，所以它们的解集是不同的。
2．（1）
（2）原不等式可化为：，即
解集为。
（3）原不等式可化为
解集为
（4）原不等式可化为或
解集为
（5）原不等式可化为：或解集为
Ⅲ．总结提炼
这节课我们重点讲解了利用（有理数）乘除法的符号法则求解左式为若干一次因式的积或商而右式为0的不等式。值得注意的是，这一方法对符合上述形状的高次不等式也是有效的，同学们应掌握好这一方法。
（五）布置作业
（P22．2（2）、（4）；4；5；6。）
（六）板书设计

《一元二次不等式的解法》教案分析

《一元二次不等式的解法》教案分析

1．创设情景——引入新课。我们常说“兴趣是最好的老师”，长期以来，学生对学习数学缺乏兴趣，甚至失去信心，一个重要的原因，是老师在教学中不重视学生对学习的情感体验，教学应该充分考虑学生的情感和需要，想方设法让学生在学习中树立信心，感受学习的乐趣。根据教材内容的安排，设计了四个层层递进的问题
问题1：解不等式(x-3)(x+2)0-2问题2：解不等式x2-x-60问题3：y=x2-x-6与x轴的交点坐标是多少？
问题4：x2-x-6=0的根是多少？
第一个问题学生能看出用分类讨论的方法，讨论出x的范围，进而给出答案，将第一个问题中的括号去掉就得到了第二个问题，由第二个问题提出两个问题;1.这个不等式的解是什么？2.能否给这个不等式起个名字？学生能直接给出答案，直接让学生给第二个问题中的不等式起个名字，学生立马给出了答案：一元二次不等式，从而引出一元二次不等式的概念。
2．探究交流——发现规律。从特殊到一般是我们发现问题、寻求规律、揭示问题本质最常用的方法之一。这部分我先给出一个一元二次不等式x2-x-60，师生共同研究二次函数的图像，并探究这个一元二次不等式的解集。之后就直接给出例题x2-x-60,并规范解题步骤，
3．启发引导——形成结论。给出3个例题：
解下列关于一元二次不等式
一元二次不等式的解法教学设计
总结二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的解的情况应该水到渠成。至此，学生可以感受到，解一元二次不等式只须1.化标准：将不等式化成标准形式（右边为0、最高次的系数为正）；
2.计算判别式的值：3.求根：若判别式的值为正或零，则求出相应方程的两根；4.写解集：注意结果要写成集合或者区间的形式4．训练小结——巩固深化。为了巩固和加深二次不等式的两种解法，接下来及时组织学生进行课本练习，本环节请不同层次的学生在黑板上书写解题过程，之后师生共同纠正问题，规范解题过程的书写。
5.小结——巩固深化。
总结一元二次不等式的解法(1)图象法：一般地，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图;③由图象得出不等式的解集．对于a＜0的一元二次不等式,可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解;也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式,再求解．(2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解,当p＜q时,若(x－p)(x－q)＞0,则x＞q或x＜p;若(x－p)(x－q)＜0,则p＜x＜q.
有口诀如下“大于取两边,小于取中间”.总结失误防范1．当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，同时不要忘记不等号改变方向，一元二次不等式的解集要用集合表示．2．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确,表达要有层次,讨论结束后要进行总结。

《一元二次不等式的解法》教学设计

《一元二次不等式的解法》教学设计

1．创设情景——引入新课。我们常说“兴趣是最好的老师”，长期以来，学生对学习数学缺乏兴趣，甚至失去信心，一个重要的原因，是老师在教学中不重视学生对学习的情感体验，教学应该充分考虑学生的情感和需要，想方设法让学生在学习中树立信心，感受学习的乐趣。根据教材内容的安排，设计了四个层层递进的问题

问题1：解不等式(x-3)(x+2)0-2问题2：解不等式x2-x-60问题3：y=x2-x-6与x轴的交点坐标是多少？

问题4：x2-x-6=0的根是多少？

第一个问题学生能看出用分类讨论的方法，讨论出x的范围，进而给出答案，将第一个问题中的括号去掉就得到了第二个问题，由第二个问题提出两个问题;1.这个不等式的解是什么？2.能否给这个不等式起个名字？学生能直接给出答案，直接让学生给第二个问题中的不等式起个名字，学生立马给出了答案：一元二次不等式，从而引出一元二次不等式的概念。

2．探究交流——发现规律。从特殊到一般是我们发现问题、寻求规律、揭示问题本质最常用的方法之一。这部分我先给出一个一元二次不等式x2-x-60，师生共同研究二次函数的图像，并探究这个一元二次不等式的解集。之后就直接给出例题x2-x-60,并规范解题步骤，

3．启发引导——形成结论。给出3个例题：

解下列关于一元二次不等式

一元二次不等式的解法教学设计

总结二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的解的情况应该水到渠成。至此，学生可以感受到，解一元二次不等式只须1.化标准：将不等式化成标准形式（右边为0、最高次的系数为正）；

2.计算判别式的值：3.求根：若判别式的值为正或零，则求出相应方程的两根；4.写解集：注意结果要写成集合或者区间的形式4．训练小结——巩固深化。为了巩固和加深二次不等式的两种解法，接下来及时组织学生进行课本练习，本环节请不同层次的学生在黑板上书写解题过程，之后师生共同纠正问题，规范解题过程的书写。

5.小结——巩固深化。

总结一元二次不等式的解法(1)图象法：一般地，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图;③由图象得出不等式的解集．对于a＜0的一元二次不等式,可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解;也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式,再求解．(2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解,当p＜q时,若(x－p)(x－q)＞0,则x＞q或x＜p;若(x－p)(x－q)＜0,则p＜x＜q.

有口诀如下“大于取两边,小于取中间”.总结失误防范1．当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，同时不要忘记不等号改变方向，一元二次不等式的解集要用集合表示．2．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确,表达要有层次,讨论结束后要进行总结。