高二数学上册《算法案例》教学设计。

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，高中教师要准备好教案，这是高中教师的任务之一。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？经过搜索和整理，小编为大家呈现“高二数学上册《算法案例》教学设计”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

高二数学上册《算法案例》教学设计

一、教学目标：

1、知识与技能

⑴理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析；

⑵基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序.

2、过程与方法

在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法与计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤.

3、情感与价值观

⑴通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献.

⑵在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力.

二、教学重点、难点：

重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法.

难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言.

三、教学过程：

（一）创设情景、导入课题

1.研究一个实际问题的算法，主要从哪几方面展开？

算法步骤、程序框图和编写程序三方面展开.

2.在程序框图中算法的基本逻辑结构有哪几种？

顺序结构、条件结构、循环结构

3.在程序设计中基本的算法语句有哪几种？

输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句

4.思考1:18与30的最大公约数是多少？你是怎样得到的？

5.思考2:对于8251与6105这两个数，它们的最大公约数是多少？你是怎样得到的？

由于它们公有的质因数较大，利用上述方法求最大公约数就比较困难.有没有其它的方法可以较简单的找出它们的最大公约数呢？

（板书课题）

（二）师生互动、探究新知

1.辗转相除法

思考3：注意到8251=6105×1+2146，那么8251与6105这两个数的公约数和6105与2146的公约数有什么关系？

我们发现6105=2146×2+1813，同理，6105与2146的公约数和2146与1813的公约数相等.

思考4：重复上述操作，你能得到8251与6105这两个数的最大公约数吗？

6105＝2146×2＋1813

2146＝1813×1＋333

1813＝333×5＋148

333＝148×2＋37

148＝37×4＋0

以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法，也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的.

利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：

第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商和一个余数；

第二步：若＝0，则n为m，n的最大公约数；若≠0，则用除数n除以余数得到一个商和一个余数；

第三步：若＝0，则为m，n的最大公约数；若≠0，则用除数除以余数得到一个商和一个余数；

……

依次计算直至＝0，此时所得到的即为所求的最大公约数.

思考5:你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？

第一步，给定两个正整数m，n(mn).

第二步，计算m除以n所得的余数r.

第三步，m=n，n=r.wWW.jab88.CoM

第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步.

INPUTm，n

DO

r=mMODn

m=n

n=r

LOOPUNTILr=0

PRINTm

END

思考6:如果用当型循环结构构造算法，则用辗转相除法求两个正整数m，n的最大公约数的程序框图和程序分别如何表示？

INPUTm，n

WHILEn0

r=mMODn

m=n

n=r

WEND

PRINTm

END

2.更相减损术

《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数

更相减损术求最大公约数的步骤如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”

翻译出来为：

第一步：任意给出两个正整数；判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.

第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.

例1（课本P36例1）用更相减损术求98与63的最大公约数.

解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98－63＝35

63－35＝28

35－28＝7

28－7＝21

21－7＝14

14－7＝7

所以，98与63的最大公约数是7。

练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。（答案：12）

（三）讲练结合，巩固提高

例2：分别用辗转相除法和更相减损术求168与93的最大公约数.

辗转相除法：

168=93×1+75，

93=75×1+18，

75=18×4+3，

18=3×6.

更相减损术:

168-93=75，

93-75=18，

75-18=57，

57-18=39，

39-18=21，

21-18=3，

18-3=15，

15-3=12，

12-3=9，

9-3=6，

6-3=3.

例3：求325，130，270三个数的最大公约数.

因为325=130×2+65，130=65×2，所以325与130的最大公约数是65.

因为270=65×4+10，65=10×6+5，10=5×2，所以65与270最大公约数是5.

故325，130，270三个数的最大公约数是5.

练习:用更相减损术求两个正整数m，n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？

第一步，给定两个正整数m，n(mn).

第二步，计算m-n所得的差k.

第三步，比较n与k的大小，其中大者用m表示，小者用n表示.

第四步，若m=n，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步.

讨论:该算法的程序框图如何表示？

讨论:该程序框图对应的程序如何表述？

（四）小结

1、辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数.

2、更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数.

（五）布置作业

P45练习：1题.

P48习题1.3A组：1题

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高二数学必修三考点解析：算法案例

一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责，作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，使教师有一个简单易懂的教学思路。你知道如何去写好一份优秀的教案呢？下面的内容是小编为大家整理的高二数学必修三考点解析：算法案例，但愿对您的学习工作带来帮助。

高二数学必修三考点解析：算法案例

1.辗转相除法是用于求最大公约数的一种方法，这种算法由欧几里得在公元前年左右首先提出，因而又叫欧几里得算法.
2.所谓辗转相法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数.若余数不为零，则将较小的数和余数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时的除数就是原来两个数的最大公约数.
3.更相减损术是一种求两数最大公约数的方法.其基本过程是：对于给定的两数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数就是所求的最大公约数.
4.秦九韶算法是一种用于计算一元二次多项式的值的方法.
5.常用的排序方法是直接插入排序和冒泡排序.
6.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统.“满进一”，就是k进制，进制的基数是k.
7.将进制的数化为十进制数的方法是：先将进制数写成用各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果.
8.将十进制数化为进制数的方法是：除k取余法.即用k连续去除该十进制数或所得的商，直到商为零为止，然后把每次所得的余数倒着排成一个数就是相应的进制数.
★重难点突破★
1.重点：理解辗转相除法与更相减损术的原理,会求两个数的最大公约数;理解秦九韶算法原理，会求一元多项式的值;会对一组数据按照一定的规则进行排序;理解进位制，能进行各种进位制之间的转化.
2.难点：秦九韶算法求一元多项式的值及各种进位制之间的转化.
3.重难点：理解辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法原理、排序方法、进位制之间的转化方法.
【同步练习题】
1、在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：(16，12)→(4，12)→(4，8)→(4，4)，由此可以看出12和16的最大公约数是()
A、4B、12C、16D、8
2、下列各组关于最大公约数的说法中不正确的是()
A、16和12的最大公约数是4B、78和36的最大公约数是6
C、85和357的最大公约数是34D、105和315的最大公约数是105

第3节算法案例教学案

[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P34～P45，回答下列问题．
(1)小学学过的求两个正整数的最大公约数的方法是什么？
提示：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来．
(2)辗转相除法的操作步骤是什么？
提示：两个数中用较大的数除以较小的数，求得商和余数，再用除数除以余数，如此重复，直到所得余数为0，即可求得两个数的最大公约数．
(3)更相减损术的操作步骤什么？
提示：第一步，任意给定两个正整数，判定它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．
第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
(4)应用秦九韶算法求多项式的值时应怎样操作？
提示：求多项式的值时，先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，再由内向外逐层计算一次多项式vk(k＝2,3,4，…，n)的值．
(5)将k进制数转化为十进制的方法是什么？
提示：“除k取余法”．
2．归纳总结，核心必记
(1)辗转相除法与更相减损术
①辗转相除法：又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．
②更相减损术：我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公约数的算法．
(2)秦九韶算法
求多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值时，常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少，是多项式求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个一次多项式的值，共进行n次乘法运算和n次加法运算．其过程是：
改写多项式为：
f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0
＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0
＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.
设v1＝anx＋an－1，
v2＝v1x＋an－2，
v3＝v2x＋an－3，
……
vn＝vn－1x＋a0.
(3)进位制
①进位制
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．
②其他进位制与十进制间的转化
(ⅰ)其他进位制化成十进制
其他进位制的数化成十进制时，表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式．
(ⅱ)十进制化成k进制的方法——“除k取余法”．
[问题思考]
(1)辗转相除法与更相减损术有什么联系？
提示：①都是求两个正整数的最大公约数的方法．
②二者的实质都是递推的过程．
③二者都是用循环结构来实现．
(2)辗转相除法与更相减损术有什么区别？
提示：
辗转相除法更相减损术
区别①以除法为主．
②两个整数差值较大时运算次数较少．
③相除余数为零时得结果①以减法为主．
②两个整数的差值较大时，运算次数较多．
③相减，差与减数相等得结果．
④相减前要做是否都是偶数的判断
(3)当所给的多项式按x的降幂排列“缺项”时，用秦九韶算法改写多项式时，应注意什么？
提示：所缺的项写成系数为零的形式，即写成0xn的形式．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
(1)辗转相除法是什么？
；
(2)更相减损术是什么？
；
(3)秦九韶算法是什么？
；
(4)进位制及进位制间的互化：.
观察如图所示的内容：
[思考1]辗转相除法的算理是什么？
名师指津：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数．若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数．
[思考2]更相减损术的算理是什么？
名师指津：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤，直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数．
?讲一讲
1．用辗转相除法求612与468的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果．
[尝试解答]用辗转相除法：
612＝468×1＋144,468＝144×3＋36,144＝36×4，
即612和468的最大公约数是36.
用更相减损术检验：
612和468为偶数，两次用2约简得153和117,153－117＝36,117－36＝81,81－36＝45,45－36＝9,36－9＝27,27－9＝18,18－9＝9，
所以612和468的最大公约数为9×2×2＝36.
求最大公约数的两种方法步骤
(1)利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数．
(2)利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是：首先判断两个正整数是否都是偶数．若是，用2约简，也可以不除以2，直接求最大公约数，这样不影响最后结果．
?练一练
1．用辗转相除法求840与1785的最大公约数；
解：因为1785＝840×2＋105，
840＝105×8.
所以840和1785的最大公约数是105.
观察如图所示的内容：
[思考]秦九韶算法的原理是什么？
名师指津：秦九韶算法是按从内到外的顺序依次计算求值的．
设f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，将其改写为
f(x)＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0
＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
＝…
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0
令v0＝an，则有公式v0＝an，vk＝vk－1x＋an－k，其中k＝1,2，…，n.
这样我们便可由v0依次求出v1，v2，…，vn：
v1＝v0x＋an－1，v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…，
vn＝vn－1x＋a0.
?讲一讲
2．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋3x＋2当x＝－2时的值为()
A．320B．－160C．－320D．300
[尝试解答]将多项式变式为f(x)＝(((((x－5)x＋6)x＋0)x＋1)x＋3)x＋2，v0＝1，v1＝－2＋(－5)＝－7，v2＝－7×(－2)＋6＝20，v3＝20×(－2)＋0＝－40，v4＝－40×(－2)＋1＝81，v5＝81×(－2)＋3＝－159，v6＝－159×(－2)＋2＝320，即x＝－2时，多项式的值为320.
答案：A
利用秦九韶算法计算多项式的值的关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于后项计算需用到前项的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性．
?练一练
2．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时的值时，v3的值为()
A．－144B．－136
C．－57D．34
解析：选B根据秦九韶算法多项式可化为f(x)＝(((((3x＋5)x＋6)x＋0)x－8)x＋35)x＋12.
由内向外计算v0＝3；
v1＝3×(－4)＋5＝－7；
v2＝－7×(－4)＋6＝34；
v3＝34×(－4)＋0＝－136.
观察如图所示的内容：
[思考1]进位制应如何表示？
名师指津：若一个数为十进制数，其基数可以省略不写，若是其他进位制，在没有特别说明的前提下，其基数必须写出，常在数的右下角标明基数．
[思考2]常见的进位制有哪些？
名师指津：(1)二进制：
①只使用0和1两个数字；②满二进一，如1＋1＝10(2)．
(2)八进制：
①使用0,1,2,3,4,5,6,7八个不同数字；
②满八进一，如7＋1＝10(8)；
(3)十六进制：
①使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，A，B，C，D，E，F这十六个不同的数码，其中A，B，C，D，E，F分别代表十进制中的10,11,12,13,14,15；
②满十六进一，如F＋1＝2＋E＝10(16)．
?讲一讲
3．(1)把二进制数101101(2)化为十进制数；
(2)把十进制数458转化为四进制数．
[尝试解答](1)101101(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝32＋8＋4＋1＝45，
所以二进制数101101(2)转化为十进制数为45.
(2)
458＝13022(4)．
进位制的转换方法
(1)将k进制转化为十进制的方法是：先将这个k进制数写成各个数位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果．
(2)十进制转化为k进制，采用除k取余法，也就是除基数，倒取余．
?练一练
3．(1)二进制数算式1010(2)＋10(2)的值是()
A．1011(2)B．1100(2)
C．1101(2)D．1000(2)
(2)下列各组数中最小的数是()
A．1111(2)B．210(6)
C．1000(4)D．101(8)
解析：(1)选B二进制数的加法是逢二进一，所以选B.
(2)选A统一化为十进制数为1111(2)＝15；210(6)＝78；1000(4)＝64；101(8)＝65.
——————————————[课堂归纳感悟提升]——————————————
1．本节课的重点是会用辗转相除法与更相减损术求两个数的最大公约数，会用秦九韶算法求多项式的值，会在不同进位制间进行相互转化．难点是会用秦九韶算法求多项式的值．
2．本节课要掌握以下几类问题：
(1)掌握求最大公约数的两种方法步骤，见讲1.
(2)掌握秦九韶算法步骤，见讲2.
(3)进位制的转换方法，见讲3.
3．本节课的易错点有两个：
(1)弄不清秦九韶算法的原理而致错，如讲2；
(2)进位制之间转换的方法混淆而致错，如讲3.
课下能力提升(八)
[学业水平达标练]
题组1辗转相除法与更相减损术
1．下列关于利用更相减损术求156和72的最大公约数的说法中正确的是()
A．都是偶数必须约简
B．可以约简，也可以不约简
C．第一步作差为156－72＝84；第二步作差为72－84＝－12
D．以上都不对
解析：选B约简是为了使运算更加简捷，故不一定要约简，A错．C中第二步应为84－72＝12，故选B.
2．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法运算的次数是()
A．2B．3C．4D．5
解析：选C294－84＝210,210－84＝126,126－84＝42,84－42＝42，共做4次减法运算．
3．1624与899的最大公约数是________．
解析：1624＝899×1＋725，
899＝725×1＋174，
725＝174×4＋29，
174＝29×6，
故1624与899的最大公约数是29.
答案：29
4．用两种方法求210与98的最大公约数．
解：用辗转相除法：
210＝98×2＋14，
98＝14×7.
∴210与98的最大公约数为14.
用更相减损术：
∵210与98都是偶数，用2约简得
105和49，
105－49＝56,56－49＝7，
49－7＝42,42－7＝35，
35－7＝28,28－7＝21，
21－7＝14,14－7＝7.
∴210与98的最大公约数为2×7＝14.
题组2秦九韶算法
5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是()
A．4×4＝16B．7×4＝28
C．4×4×4＝64D．7×4＋6＝34
解析：选D因为f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4的值时，先算的是7×4＋6＝34.
6．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是()
A．6,6B．5,6
C．5,5D．6,5
答案：A
7．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x6＋12x5＋8x4－3.5x3＋7.2x2＋5x－13当x＝6时的值，写出详细步骤．
解：f(x)＝(((((3x＋12)x＋8)x－3.5)x＋7.2)x＋5)x－13.
v0＝3，
v1＝v0×6＋12＝30，
v2＝v1×6＋8＝188，
v3＝v2×6－3.5＝1124.5，
v4＝v3×6＋7.2＝6754.2，
v5＝v4×6＋5＝40530.2，
v6＝v5×6－13＝243168.2.
所以f(6)＝243168.2.
题组3进位制及其转化
8．以下各数有可能是五进制数的是()
A．15B．106
C．731D．21340
解析：选D五进制数中各个数字均是小于5的自然数，故选D.
9．完成下列进位制之间的转化．
(1)1034(7)＝________(10)；
(2)119(10)＝________(6)．
解析：(1)1034(7)＝1×73＋0×72＋3×7＋4×70＝368.
(2)
∴119(10)＝315(6)．
答案：(1)368(2)315
10．若k进制数123(k)与十进制数38相等，则k＝________.
解析：由k进制数123可知k≥4.
下面可用验证法：
若k＝4，则38(10)＝212(4)，不合题意；
若k＝5，则38(10)＝123(5)成立，所以k＝5.
答案：5
11．若10b1(2)＝a02(3)，求数字a，b的值及与此相等的十进制数．
解：∵10b1(2)＝a02(3)，
∴1×23＋b×2＋1＝a×32＋2，
且a只能取1,2，b只能取0,1.
整理得9a－2b＝7.
当b＝0时，a＝79(不合要求，舍去)；
当b＝1时，a＝1.
∴a＝b＝1.
∴102(3)＝1011(2)，
转化为十进制数为1×32＋2＝11.
[能力提升综合练]
1．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11当x＝x0时的值时，应把f(x)变形为()
A．x3－(3x－2)x－11
B．(x－3)x2＋(2x－11)
C．(x－1)(x－2)x－11
D．((x－3)x＋2)x－11
解析：选Df(x)＝x3－3x2＋2x－11＝(x2－3x＋2)x－11＝((x－3)x＋2)x－11，故选D.
2．45和150的最大公约数和最小公倍数分别是()
A．5,150B．15,450
C．450,15D．15,150
解析：选B利用辗转相除法求45和150的最大公约数：150＝45×3＋15,45＝15×3,45和150的最大公约数为15.45和150的最小公倍数为15×(45÷15)×(150÷15)＝450，故选B.
3．下列各数中，最小的是()
A．101010(2)B．111(5)
C．32(8)D．54(6)
解析：选C101010(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝42,111(5)＝1×52＋1×51＋1×50＝31,32(8)＝3×81＋2×80＝26,54(6)＝5×61＋4×60＝34.
又42343126，故最小的是32(8)．
4．(2016福州高一检测)三进制数2022(3)化为六进制数为abc(6)，则a＋b＋c＝________.
解析：2022(3)＝2×33＋0×32＋2×31＋2×30＝62.
三进制数2022(3)化为六进制数为142(6)，
∴a＋b＋c＝7.
答案：7
5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1－5x－8x2＋10x3＋6x4＋12x5＋3x6当x＝－4时的值时，v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是________．
解析：多项式变形为
f(x)＝3x6＋12x5＋6x4＋10x3－8x2－5x＋1
＝(((((3x＋12)x＋6)x＋10)x－8)x－5)x＋1，
v0＝3，
v1＝3×(－4)＋12＝0，
v2＝0×(－4)＋6＝6，
v3＝6×(－4)＋10＝－14，
v4＝－14×(－4)－8＝48，
所以v4最大，v3最小，所以v4－v3＝48＋14＝62.
答案：62
6．有甲、乙、丙三种溶液分别重147g、343g、133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，问每瓶最多装多少？
解：先求147与343的最大公约数．
343－147＝196，
196－147＝49，
147－49＝98，
98－49＝49.
所以147与343的最大公约数是49.
再求49与133的最大公约数．
133－49＝84，
84－49＝35，
49－35＝14，
35－14＝21，
21－14＝7，
14－7＝7.
所以147,343,133的最大公约数为7.
所以每瓶最多装7g.
7．古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，如图，烽火台上点火，表示数字1，不点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制的单位是1000，请你计算一下，这组烽火台表示约有多少敌人入侵？
解：由图可知从左到右的五个烽火台，表示二进制数的自左到右五个数位，依题意知这组烽火台表示的二进制数是11011，改写为十进制为：
11011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20
＝16＋8＋2＋1＝27(10)．
又27×1000＝27000，
所以这组烽火台表示边境约有27000个敌人来犯.

古代数学中的算法案例

中国古代数学中的算法案例
教学目标：
１．知识与技能目标：
（１）了解中国古代数学中求两个正整数最大公约数的算法以及割圆术的算法；
（２）通过对“更相减损之术”及“割圆术”的学习，更好的理解将要解决的问题“算法化”
的思维方法，并注意理解推导“割圆术”的操作步骤。
２．过程与方法目标：
（１）改变解决问题的思路，要将抽象的数学思维转变为具体的步骤化的思维方法，提高逻
辑思维能力；
（２）学会借助实例分析，探究数学问题。
３．情感与价值目标：
（１）通过学生的主动参与，师生，生生的合作交流，提高学生兴趣，激发其求知欲，培养探索精神；
（２）体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀。
教学重点与难点：
重点：了解“更相减损之术”及“割圆术”的算法。
难点：体会算法案例中蕴含的算法思想，利用它解决具体问题。
教学方法：
通过典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑
结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解决问题的过程整理成程序框图。
教学过程：
教学
环节教学内容师生互动设计意图
创设情境

引入新课引导学生回顾
人们在长期的生活，生产和劳动过程中，创造了整数，分数，小数，正负数及其计算，以及无限逼近任一实数的方法，在代数学，几何学方面，我国在宋，元之前也都处于世界的前列。我们在小学，中学学到的算术，代数，从记数到多元一次联立方程的求根方法，都是我国古代数学家最先创造的。更为重要的是我国古代数学的发展有着自己鲜明的特色，也就是“寓理于算”，即把解决的问题“算法化”。本章的内容是算法，特别是在中国古代也有着很多算法案例，我们来看一下并且进一步体会“算法”的概念。
教师引导，学生回顾。
教师启发学生回忆小学初中时所学算术代数知识，共同创设情景，引入新课。
通过对以往所学数学知识的回顾，使学生理清知识脉络，并且向学生指明，我国古代数学的发展“寓理于算”，不同于西方数学，在今天看仍然有很大的优越性，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀。
阅读
课本

探究
新知

１．求两个正整数最大公约数的算法
学生通常会用辗转相除法求两个正整数的最大公约数：
例１：求７８和３６的最大公约数
（１）利用辗转相除法
步骤：
计算出７８３６的余数６，再将前面的除数３６作为新的被除数，３６６＝６，余数为０，则此时的除数即为７８和３６的最大公约数。
理论依据：，得与有相同的公约数
（２）更相减损之术
指导阅读课本P----P，总结步骤
步骤：
以两数中较大的数减去较小的数，即７８－３６＝４２；以差数４２和较小的数3６构成新的一对数，对这一对数再用大数减去小数，即４２－３６＝６,再以差数６和较小的数３６构成新的一对数，对这一对数再用大数减去小数，即３６－６＝３０,继续这一过程,直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数
即，
理论依据：
由，得与有相同的公约数
算法：
输入两个正数；
如果，则执行，否则转到；
将的值赋予；
若，则把赋予，把赋予，否则把赋予，重新执行；
输出最大公约数
程序:
a=input(“a=”)
b=input(“b=”)
whileab
ifa=b
a=a-b;
else
b=b-a
end
end
print(%io(2),a,b)
学生阅读课本内容，分析研究，独立的解决问题。
教师巡视，加强对学生的个别指导。
由学生回答求最大公约数的两种方法，简要说明其步骤，并能说出其理论依据。

由学生写出更相减损法和辗转相除法的算法，并编出简单程序。
教师将两种算法同时显示在屏幕上，以方便学生对比。
教师将程序显示于屏幕上，使学生加以了解。数学教学要有学生根据自己的经验，用自己的思维方式把要学的知识重新创造出来。这种再创造积累和发展到一定程度，就有可能发生质的飞跃。在教学中应创造自主探索与合作交流的学习环境，让学生有充分的时间和空间去观察，分析，动手实践，从而主动发现和创造所学的数学知识。

求两个正整数的最大公约数是本节课的一个重点，用学生非常熟悉的问题为载体来讲解算法的有关知识，，强调了提供典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解决问题的过程整理成程序框图。为了能在计算机上实现，还适当展示了将自然语言或程序框图翻译成计算机语
言的内容。总的来说，不追求形式上的严谨，通过案例引导学生理解相应内容所反映的数学思想与数学方法。
应用
举例例1：用等值算法（更相减损术）求下列两数的最大公约数。
（1）225，135（2）98，280
例2：用辗转相除法验证上例中两数的最大公约数是否正确。学生练习，教师巡视检查。
学生回答。巩固所学知识，进一步加深对知识的理解，用辗转相除法步骤较少，而更相减损术虽然有些步骤较长，但运算简单。
体会我国古代数学中“寓理于算”的思想。
深化
算法
应用
举例2．割圆术
魏晋时期数学家刘徽，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”
即从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些内接正多边形的面积，从而得到一系列逐次递增的数值。
阅读课本P----P，
步骤：
第一，从半径为１的圆内接正六边形开始，计算它的面积；
第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分别计算圆内接正十二边形，正二十四边形，正四十八边形…的面积，到一定的边数（设为２m）为止，得到一列递增的数，
第三，在第二步中各正边形每边上作一高为余径的矩形，把其面积与相应的面积相加，得，这样又得到一列递增数：，，，…，。
第四，圆面积满足不等式
估计的近似值，即圆周率的近似值。
算法：
设圆的半径为１，弦心距为，正边形的边长为，面积为，由勾股定理得
，
则
图可知，正边形的面积等于正边形的面积加上个等腰三角形的面积和，即
（）
利用这个递推公式，可以得到正六边形的面积为，
由于圆的半径为１，所以随着的增大，的值不断趋近于圆周率。
程序：
n=6;
x=1;
s=6*sqrt(3)/4;
forI=1:1:16
h=sqrt(1-(x/2)2);
s=s+n*x*(1-h)/2;
n=2*n;
x=sqrt((x/2)2+(1-h)2);
end
print(%io(2),n,s)学生阅读课本，教师巡视注意个别指导，帮助学生识图，分析。
教师概括割圆术的步骤，学生观察图形，引导学生提出问题并解答。
步骤较复杂，教师注意结合图形帮助学生分析，理解。

通过教师分析的割圆术的步骤，又学生讨论制定割圆术的算法，教师注意指导，适当提示，引导学生出现算法中的递推关系。

教师将算法显现在屏幕上，又学生对应写出简单的程序。

割圆术是从圆内接六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些内接正多边形的面积，从而得到一系列逐次递增的数值。在但是要付出艰辛的劳动，现在有计算机，我们只需利用刘徽的思想，寻找割圆术中的算法，即运算规律，计算机会迅速得到所求答案。

分析刘徽割圆术中的算法是难点所在，学生先阅读课本，有初步印象之后教师再与学生一起总结割圆术的步骤，在此基础上，又学生将所分析的步骤写为算法，引导学生体会算法的核心是一般意义上的解决问题策略的具体化。面临一个问题时，在分析、思考后获得了解决它的基本思路（解题策略），将这种思路具体化、条理化，用适当的方式表达出来（画出程序框图，转化为程序语句），这个过程就是算法设计过程，这是一个思维的条理化、逻辑化的过程。

归纳小结1．求最大公约数的辗转相除法和更相减损法；
2．割圆术的算法学生小结并相互补充，师生共同整理完善。学生学后反思总结，可以提高学生自己获得知识的能力以及归纳概括能力。
课后作业习题1—31，2
选作习题1—3
巩固所学知识，是学有余力的同学的创造性得到进一步的发挥。

高二上学期数学算法案例知识点（苏教版）

高二上学期数学算法案例知识点（苏教版）

知识点一：解析算法
用解析的方法找出表示问题的前提条件与结果之间关系的数学表达式，并通过表达式的计算来实现问题求解。
解析算法的结构可能是顺序结构，可能是分支或循环结构，也可能是几种结构的组合。解析法的关键是分析题目中各已知条件与问题之间的关系，运用已有的数学、物理等学科知识，找到最终解决问题所需要的表达式。
知识点二：枚举算法（穷举法）
指一一列举各个可能的解，用题目给定的约束条件检验每个可能解是否是问题的真正解，根据检验的结果执行相应的操作。
枚举算法适用于解决变量确定的连续值域的问题，对于可确定取值范围但又找不到其他更好的算法时，可以使用枚举法。通常用来解决“有几种组合”、“找出所有符合条件的情况”、解不定方程等类型的问题。
(1)结构特点：循环结构中嵌套分支结构
列举——由循环结构实现
检验——由分支结构实现
(2)设计步骤
1)确定列举的范围：不能随意扩大和缩小范围，否则会造成多解或漏解
2)明确检验的条件：根据检验的对象来设定条件，以及检验后所执行的相关操作。
3)确定循环控制的方式和列举的方式：借助循环变量的变化来列举。