二次函数。

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为高中教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助高中教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。我们要如何写好一份值得称赞的高中教案呢？下面是小编精心为您整理的“二次函数”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

年级高一学科数学课题二次函数再研究（2）
授课时间撰写时间2011年8月21
学习重点配方法是研究二次函数图像性质和数学结合思想
学习难点有关二次函数综合问题的研究方法、思路
学习目标1.会对二次函数配方，并讨论图像的开口方向，开口大小，顶点，对称轴，单调性等性质。
2.会求二次函数的最值，体会图像的形状。
教学过程
一自主学习
二次函数（）的性质

开口方向
顶点坐标
对称轴
单调区间
最值
值域

二师生互动
例1已知函数，
(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)求这个函数的最小值；
(3)不直接计算函数值，试比较f(－1)和f(1)的大小
练一练
1.已知二次函数，求函数在区间的最大值与最小值
例2已知函数的定义域为R，值域为，则a的值
练一练
已知函数且，则下列不等式成立的是（）
AB
CD

三巩固练习
1.若x为实数，则函数y＝x2＋3x－5的最小值为…………………………………()
?A.?－294?B.?－5
?C.?0?D.?不存在
2.函数f(x)＝11－x(1－x)的最大值是…………………………………()
?A.?45?B.?54
?C.?34?D.?43
3.二次函数y＝－x2＋bx＋c图象的最高点是(－3,1)，则b、c的值是……………()
?A.?b＝6，c＝8?B.?b＝6，c＝－8
?C.?b＝－6，c＝8?D.?b＝－6，c＝－8
4.已知二次函数y＝f(x)在区间(－∞，5］上单调递减，在区间［5，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是…………………………………()
?A.?f(－2)＜f(6)＜f(11)?B.?f(11)＜f(6)＜f(－2)
?C.?f(6)＜f(11)＜f(－2)?D.?f(11)＜f(－2)＜f(6)
5.已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈［1，a］，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是.
6.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的根为.

四课后反思

五课后巩固练习
1.方程的两根均大于1，则实数a的取值范围
2.已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间［－2,3］上的最大值为6，求a的值.

扩展阅读

二次函数与一元二次方程

俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助教师营造一个良好的教学氛围。教案的内容具体要怎样写呢？为此，小编从网络上为大家精心整理了《二次函数与一元二次方程》，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

总课题函数与方程分课时第1课时总课时总第37课时
分课题二次函数与一元二次方程课型新授课
教学目标会用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的情况。弄清二次函数的零点与方程根的关系。渗透数形结合思想和函数与方程的相互转化的数学思想方法。
重点函数与方程的关系。
难点数形结合思想和函数与方程的相互转化的数学思想方法。
一、复习引入
问题1、不解方程如何判断一元二次方程解的情况。
问题2、画出二次函数的图象，观察图象，指出取哪些值时，。
二、建构数学
1、探究函数与方程图象之间的关系，填表：
Δ=
Δ
Δ
Δ

的根
的图象

的零点
2、零点：对于函数，我们把使的实数x叫做的零点；
有实数根的图象与轴有交点有零点。
三、例题分析
例1、（如图）是一个二次函数图象的一部分，（1）的零点为。
（2）。

例2、求证：一元二次方程有两个不相等的实数根（用两种方法证）。

例3、（1）在区间上是否存在零点？
（2）在区间、上是否存在零点？

观察：值的符号特点；、值的符号特点。
结论：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且，那么函数在区间内有零点。（即存在，使得．这个也就是方程的根。）
思考：
（1）若在上是单调函数，且，则在上的零点情况如何？
（2）若是二次函数的零点，且，那么一定成立吗？
四、随堂练习
1、分别指出下列各图象对应的二次函数中与0的大小关系：
(1)(2)（1）______0，_____0，______0，______0
（2）______0，_____0，______0，______0

2、判断函数在区间上是否存在零点。
3、证明：（1）函数有两个不同的零点；
（2）函数在区间（0，1）上有零点。

五、回顾小结
1、函数与方程的关系。
课后作业
班级：高一（）班姓名__________
一、基础题
１、若二次函数的两个零点分别是2和3，则，的值分别是（）
A、B、C、D、
２、函数的零点个数是（）
ABCD
3、若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是。
4、已知函数在区间[，]上的最小值大于0，则该函数的零点个数有个。
5、若二次函数的图象与轴有公共点，则。
6、设二次函数的两个零点分别为和，则。（填＞，＜）。
7、函数的图象如图所示。
（1）写出方程的根；
（2）求，，的值。

8、二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，求的面积。

9、已知二次函数满足且最小值为，求的表达式。

二、提高题
10、求证：方程没有实数根（用两种方法证）。
11、若方程方程的一个根在区间（，）内，另一个在区间（，）内，求实数的取值范围。

三、提高题
12、当为何值时，方程在区间（，）内有实数解？

二次函数的性质与图像

每个老师上课需要准备的东西是教案课件，大家静下心来写教案课件了。需要我们认真规划教案课件工作计划，才能对工作更加有帮助！你们到底知道多少优秀的教案课件呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“二次函数的性质与图像”，仅供参考，欢迎大家阅读。

二次函数的性质与图像（第2课时）
一学习目标：1、掌握二次函数的图象及性质；
2、会用二次函数的图象与性质解决问题；
学习重点：二次函数的性质；
学习难点：二次函数的性质与图像的应用；
二知识点回顾：
函数的性质
函数函数

图象a0a0
性质
三典型例题：
例1：已知是二次函数，求m的值

例2：（1）已知函数在区间上为增函数，求a的范围；
（2）知函数的单调区间是，求a；

例3：求二次函数在区间[0,3]上的最大值和最小值；

变式：（1）已知在[t,t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式。

（2）已知在区间[0，1]内有最大值-5，求a。
（3）已知，a0，求的最值。

四、限时训练：
1、如果函数在区间上是增函数，那么实数a的取值
范围为B
A、a≤-2B、a≥-2Ｃ、a≤-6D、B、a≥-6
2、函数的定义域为[0，m]，值域为[，-4]，则m的取值范围是
A、B、C、D、
3、定义域为R的二次函数，其对称轴为y轴，且在上为减函数，则下列不等式成立的是
A、B、
C、D、
4、已知函数在[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是
A、B、C、D、
5、函数，当时是减函数，当时是增函数，则
f（2）=
6、已知函数，有下列命题：
①为偶函数②的图像与y轴交点的纵坐标为3
③在上为增函数④有最大值4
7、已知在区间[0，1]上的最大值为2，求a的值。

8、已知在[t,t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式。

9、已知函数，求a的取值范围使在[-5，5]上是单调函数。

10、设函数，当时≥a恒成立，求a的取值范围。

二次函数性质的再研究

§二次函数性质的再研究
一、内容与解析
（一）内容：二次函数性质的再研究。
（二）解析：二次函数问题多以解答题的一个部分出现，主要考查利用二次函数的图像和性质研究最值、值域、单调性、求函数值等问题.特别是定轴动区间或（动轴定区间）问题是高考考查的热点也是难点，学本节时应加强练习，并能灵活运用数形结合的思想来解决问题.
二、目标及其解析：
（一）教学目标
（1）掌握二次函数的求最值、对称性和平移以及二次函数解析式的求法和二次函数的应用；
（二）解析
（1）二次函数是一重要的函数，掌握好二次函数，对学生学习以后的函数有重要的启发作用，学习时，要特别注意其性质的把握，这里面一个最关键的是对称轴。
三、问题诊断分析
研究二次函数问题一定注意问题成立的范围，超出范围的解是无效的.因此研究二次函数时，不仅要关注函数的解析式还要关注函数的定义域，这一点对初学者来说，是很容易犯错的。
四、教学支持条件分析
在本节课一次递推的教学中，准备使用PowerPoint2003。因为使用PowerPoint2003，有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。
五、教学过程
（一）研探新知：
（1）1.二次函数的性质

图像
开口方向①②
顶点坐标③④
对称轴

单调区间单调递减区间
⑤调递增区间单调递增区间
⑥单调递减区间
最值当,取得最小值为
当,取得最大值为

2．二次函数性质的应用
①如何确定二次函数的性质
②如何确定二次函数在闭区间上的值域或最值
3.二次函数的三种解析式
①顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0),其中点(h,k)为顶点,对称轴为x=h.如果已知顶点，则可设成这种形式.
②交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标.如果已知二次函数与x轴的交点坐标，则可设成这种形式.
③一般式：y=ax2+bx+c(a≠0),若已知二次函数上任意3点坐标，可设为这种形式.
（二）类型题探究
题型一二次函数的最值与解析式问题
例1已知，函数、表示函数在区间上的最小值，最大值，求、表达式．
解析：由，知图像关于对称，结合图像知，
当，即时，；
而当，即时，；
当，即时，．
∴．
当，即时，；
当，即时，．
∴．
题型二二次函数的实际应用问题
例2某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解析：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：，所以这时租出了88辆车；
（2）设每辆车的月租金定为元，则租赁公司的月收益为：
，
整理得：，
所以，当时，取最大值，其最大值为，
即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.

设计意图：通过以上问题的探讨，使学生逐渐体会研究函数问题的一般方法。
(三）小结：
六、目标检测
一、选择题
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c满足f（4）＝f（1），那么（）
A.f（2）＞f（3）B.f（2）＜f（3）
C.f（2）＝f（3）D.f（2）与f（3）的大小关系不能确定
1.C解析：函数对称轴两侧的单调性与二次项系数的正负有关，结合对称轴的位置即可得到答案．
2.一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根，则a的范围是（）
A.B.C.D.
2.C解析：方程△＝4－4a0，设两根为，则．∵异号，∴,结合两个不等式可得解.
3.函数是单调函数，则（）
A.B.C.D.
3．Ａ解析：函数的对称轴，∴函数）是单调函数，
4.二次函数，若，则等于（）
A.B.C.D.

4.Ｄ解析：二次函数对称轴，顶点坐标,所以=
二、填空题
5.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x（x∈Z）为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过________年.
5.7解析：首先根据条件求出y＝－（x－6）2＋11，本题要求的“客车有营运利润的时间”实际上是求图像与x轴两个交点的横坐标之差．
6.若函数f（x）=x2+2（a－1）x+2在区间（－∞，4］上是减函数，那么实数a的取值范围是_____
6.a≤－3解析：利用二次函数的单调区间与其对称轴的关系来解题,已知函数二次项系数为10,所以在对称轴的左侧该函数为减函数.该函数对称轴为,所给区间都在对称轴的左侧,即a≤－3
三、解答题
7．(1)求函数（x∈N）的最小值.
(2)在区间上,求函数的最大值与最小值.
(3)在区间上,求函数的最大值与最小值.
7.解析：(1)因为,又因为∈N,所以当=1或=2时函数值都等于－9且最小.
(2)该函数的对称轴为x=,所给区间在对称轴的同侧,都在右侧,又二次项系数为10,所以在上该函数为增函数,所以当=2时,函数值最小,最小值为-9,当=3时函数有最大值,最大值为-7
(3)所给区间在对称轴的异侧,所以在对称轴的时候对应的函数值最小,最小值为,当时,,当时,,所以该函数的最大值为.
8.已知二次函数当x=4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式.
8.解析：解法一：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），由条件，可得抛物线的顶点为（4，－3），且过（1，0）与（7，0）两点，将三个点的坐标代入，得解得
∴所求二次函数解析式为y=x2－x+.
解法二：∵抛物线与x轴的两个交点坐标是（1，0）与（7，0），
∴设二次函数的解析式为y=a（x－1）（x－7），把顶点（4，－3）代入，得－3=a（4－1）（4－7），解得a=.
∴二次函数解析式为y=（x－1）（x－7），即y=x2－x+.
解法三：∵抛物线的顶点为（4，－3），且过点（1，0），∴设二次函数解析式为y=a（x－4）2－3.
将（1，0）代入，得0=a（1－4）2－3，解得a=.
∴二次函数解析式为y=（x－4）2－3，即y=x2－x+.
高考能力演练
9.若函数f（x）=x2+ax+b与x轴的交点为（1，0）和（3，0），则函数f（x）的单调性

A.在（－∞，2］上减少，在［2，+∞）上增加B.在（－∞，3）上增加
C.在［1，3］上增加D.不能确定
9.A解析：由已知可得该函数的对称轴为,又二次项系数为10,所以在（－∞，2］上为单调递减函数，在［2，+∞）上为单调递增函数.
10．已知函数,且对任意的实数都有成立
(1)求实数的值;(2)利用单调性的定义判断函数在区间上的单调性.
10.解析：(1),所以该函数的对称轴为,
根据函数解析式可知,所以.
(2)由(1)可知,在上该函数为增函数,下面就用定义去证明:
设,则
,,,
即,故函数在区间上的增函数
11.已知函数f（x）=x2－2ax+a2+1，x∈［0，1］，若g（a）为f（x）的最小值.
（1）求g（a）；（2）当g（a）=5时，求a的值.
11.解析：f（x）=（x－a）2+1，
（1）当0≤a≤1时，g（a）=f（a）=1;
当a0时，g（a）=f（0）=a2+1;当a1时，g（a）=f（1）=a2－2a+2.
∴g（a）=
（2）令a=－2.令a=3.∴或时,

二次函数在高中阶段的应用范围

在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。

一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射?:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为?(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知?(x)= 2x2+x+2，求?(x+1)

这里不能把?(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。

类型Ⅱ：设?(x+1)=x2－4x+1,求?(x)

这个问题理解为，已知对应法则?下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。

一般有两种方法：

(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。

?(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得?(x)=x2－6x+6

(2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。

令t=x+1，则x=t-1 ∴(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6从而?(x)= x2－6x+6

二、二次函数的单调性，最值与图象。

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－b2a ]及[－b2a ，+∞） 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。

类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。

（1）y=x2+2|x－1|－1

（2）y=|x2－1|

（3）= x2+2|x|－1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。

类型Ⅳ设?(x)=x2－2x－1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。

求：g(t)并画出 y=g(t)的图象

解：?(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1时取最小值－2

当1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2

当t＞1时，g(t)=?(t)=t2－2t－1

当t＜0时，g(t)=?(t+1)=t2－2

t2－2, (t

g(t)= -2，(0≤t≤1)

t2－2t－1, (t>1)

首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。

如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求该函数的值域。

三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：

类型Ⅴ：设二次函数?(x)=ax2+bx+c(a>0)方程?(x)－x=0的两个根x1，x2满足0(Ⅰ)当X∈(0,x1)时，证明X(x)(Ⅱ)设函数?(x)的图象关于直线x=x0对称，证明x0

解题思路：

本题要证明的是x(x)，?(x)(Ⅰ)先证明x(x)，令?(x)=?(x)-x，因为x1,x2是方程?(x)-x=0的根，?(x)=ax2+bx+c，所以能?(x)=a(x－x1)(x－x2)

因为00,又a＞0,因此?(x) ＞0,即?(x)-x＞0.至此,证得x(x)

根据韦达定理,有 x1x2=ca ∵ 0＜x1＜x2?(0)，所以当x∈(0,x1)时?(x)(x1)=x1，

即x(x)(Ⅱ) ∵?(x)=ax2+bx+c=a（x+－b2a ）2+(c－ ),（a>0）

函数?(x)的图象的对称轴为直线x=－ b2a ,且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=－b2a ，因为x1,x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=－b-1a ，∵x2－1a

∴x0=－b2a =12 （x1+x2－1a ）二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。