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高中函数教案

发表时间:2020-09-27

反函数-。

俗话说,居安思危,思则有备,有备无患。作为高中教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容,有效的提高课堂的教学效率。您知道高中教案应该要怎么下笔吗?下面是小编为大家整理的“反函数-”,欢迎大家与身边的朋友分享吧!

反函数

教学目标

使学生了解反函数的概念,初步掌握求反函数的方法.

通过反函数概念的学习,培养学生分析问题,解决问题的能力及抽象概括的能力.

通过反函数的学习,帮助学生树立辨证唯物主义的世界观.

教学重点,难点

重点是反函数概念的形成与认识.

难点是掌握求反函数的方法.

教学用具

投影仪

教学方法

自主学习与启发结合法

教学过程

揭示课题

今天我们将学习函数中一个重要的概念----反函数.

反函数(板书)

(一)反函数的概念(板书)

二.讲解新课

教师首先提出这样一个问题:在函数中,如果把当作因变量,把当作自变量,能否构成一个函数呢?(让学生思考后回答,要讲明理由)可以根据函数的定义在的允许取值范围内的任一值,按照法则都有唯一的与之相对应.(还可以让学生画出函数的图象,从形的角度解释“任一对唯一”)

学生解释后教师指出不管从哪个角度,它都是一个函数,即有反函数,而且把这个函数称为的反函数.那么这个反函数的解析式是什么呢?

由学生回答出应为.教师再提出它作为函数是没有问题的,但不太符合我们的表示习惯,按习惯用表示自变量,用表示因变量,故它又可以改写成,改动之后带来一个新问题:和是同一函数吗?

由学生讨论,并说明理由,要求学生能从函数三要素的角度去认识,并给出解释,让学生真正承认它们是同一函数.并把叫做有反函数吗?是哪个函数?

学生很快会意识到与是互为反函数的.然后利用问题再引申:是不是所有的函数都有反函数呢?如果有,请举出例子.在教师启发下学生可以举出象这样的函数,若将当自变量,当作因变量,在允许取值范围内一个可能对两个(可画图辅助说明,当时,对应),不能构成函数,说明此函数没有反函数.

通过刚才的例子,了解了什么是反函数,把对的反函数的研究过程一般化,概括起来就可以得到反函数的定义,但这个数学的抽象概括,要求比较高,因此我们一起阅读书上相关的内容.

反函数的定义:(板书)(用投影仪打出反函数的定义)

为了帮助学生理解,还可以把定义中的换成某个具体简单的函数如解释每一步骤,如得,再判断它是个函数,最后改写为.给出定义后,再对概念作点深入研究.

2.对概念得理解(板书)

教师先提出问题:反函数的“反”字应当是相对原来给出的函数而言,指的是两者的关系

你能否从函数三要素的角度解释“反”的含义呢?(仍可以与为例来说)

学生很容易先想到对应法则是“反”过来的,把与的位置换位了,教师再追问它们的互

换还会带来什么变化?启发学生找出另两个要素之间的关系.最后得出结论:的定义域和值域分别由的值域和定义域决定的.再把结论从特殊发展到一般,概括为:反函数的三要素是由原来函数的三要素决定的.给出的函数确定了,反函数的三要素就已经确定了.简记为“三定”.

(1)“三定”(板书)

然后要求学生把刚才的三定具体化,也就是“反”字的具体体现.由学生一一说出反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域,反函数的对应法则就是把原来函数对应法则中与的位置互换.(用投影仪打出互换过程)如图

最后教师进一步明确“反”实际体现为“三反”,“三反”中起决定作用的是与的位置的反置,正是由于它的反置,才把它的范围也带走了,引起了另外两“反”.

(2)“三反”(板书)

此时教师可把问题再次引向深入,提出:如果一个函数存在反函数,应怎样求这个反函数呢?下面我给出两个函数,请同学们根据自己对概念的理解来求一下它们的反函数.

例1.求的反函数.(板书)

(由学生说求解过程,有错或不规范之处,暂时不追究,待例2解完之后再一起讲评)

解:由得所求反函数为.(板书)

例2.求,的反函数.(板书)

解:由得,又得.(板书)

求完后教师请同学们作评价,学生之间可以讨论,充分暴露表述中得问题,让学生自行发现,自行解决.最后找代表发表意见,指出例2中问题,结果应为,,与,有什么不同?让学生明确指出两个函数定义域分别是和,所以它们是不同的函数.再追问从何而来呢?让学生能从三定和三反中找出理由,是从原来函数的值域而来.

在此基础上,教师最后明确要求,由于反函数的定义域必是原来函数的值域,而不是从自身解析式出发寻求满足的条件,所以求反函数,就必须先求出原来函数的值域.之后由学生调整刚才的求解过程.

解:由得,又得,

又的值域是,

故所求反函数为,.

(可能有的学生会提出例1中为什么不求原来函数的值域的问题,此时不妨让学生去具体算一算,会发现原来函数的值域域求出的函数解析式中所求定义域时一致的,所以使得最后结果没有出错.但教师必须指出结论得一致性只是偶然,而不是必然,因此为规范求解过程要求大家一定先求原来函数的值域,并且在最后所求结果上注明反函数的定义域,同时让学生调整例的表述,将过程补充完整)

最后让学生一起概括求反函数的步骤.

3.求反函数的步骤(板书)

反解:

互换

改写:

对以上环节教师可稍作解释,然后提出再通过下面的练习来检验是否真正理解了.

三.巩固练习

练习:求下列函数的反函数.

(1)(2).(由两名学生上黑板写)

解答过程略.

教师可针对学生解答中出现的问题,进行讲评.(如正负的选取,值域的计算,符号的使用)

四.小结

对反函数概念的认识:

求反函数的基本步骤:

五.作业

课本第68页习题2.4第1题中4,6,8,第2题.

六.板书设计

教案点评:

教学设计中,教师特别注重组织学生开展活动,让学生的兴趣在了解深究任务中产生,让学生的思考在分析真实数据中形成,让学生的理解在集体讨论中加深,让学生的学习在合作探究活动中进行.当然在活动过程前后的独立思考以及在此基础上的集体讨论也属于探索活动的有机组成部分,经过独立思考,多种多样的方案、不同的推测结论、各具特色的陈述理由才会形成集体讨论,才会热烈而富有启发性.而在实施时,教师考虑到学时的限制,把有些活动的思考与讨论作为作业预先或者事后布置给学生(如本节作业).让学生有充分思考、组织和表达的机会,其合作及交流的形式可以是多样的.

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高一数学《反函数、幂函数》知识点


俗话说,凡事预则立,不预则废。作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来,减轻教师们在教学时的教学压力。优秀有创意的教案要怎样写呢?急您所急,小编为朋友们了收集和编辑了“高一数学《反函数、幂函数》知识点”,相信您能找到对自己有用的内容。

高一数学《反函数、幂函数》知识点

1.反函数的定义
设函数y=f(x)的定义域是A,值域是C.我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y).如果对于y在C中的任何一个值,通过式子x=φ(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么式子x=φ(y)叫函数y=f(x)的反函数,记作x=f-1(y),习惯表示为y=f-1(x).注意:函数y=f(x)的定义域和值域,分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域,
例如:f(x)的定义域是[-1,+∞],值域是[0,+∞),它的反函数定义域为[0,+∞),值域是[-1,+∞)。
2.反函数存在的条件
按照函数定义,y=f(x)定义域中的每一个元素x,都唯一地对应着值域中的元素y,如果值域中的每一个元素y也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应,即定义域中的元素x和值域中的元素y,通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系,那么函数y=f(x)存在反函数,否则不存在反函数.例如:函数y=x2,x∈R,定义域中的元素±1,都对应着值域中的同一个元素1,所以,没有反函数.而y=x2,x≥1表示定义域到值域的一一对应,因而存在反函数.
3.函数与反函数图象间的关系
函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x对称.若点(a,b)在y=f(x)的图象上,那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上.
4.反函数的几个简单命题
(1)一个奇函数y=f(x)如果存在反函数,那么它的反函数y=f-1(x)一定是奇函数.
(2)一个函数在某一区间是(减)函数,并且存在反函数,那么它的反函数在相应区间也是增(减)函数.

定义:
形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域:
当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。而只有a为正数,0才进入函数的值域
性质:
对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性:
首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:
排除了为0与负数两种可能,即对于x0,则a可以是任意实数;
排除了为0这种可能,即对于x0和x0的所有实数,q不能是偶数;
排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。
总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:
如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;
如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。
在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数,0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
可以看到:
(1)所有的图形都通过(1,1)这点。
(2)当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数。
(3)当a大于1时,幂函数图形下凹;当a小于1大于0时,幂函数图形上凸。
(4)当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大。
(5)a大于0,函数过(0,0);a小于0,函数不过(0,0)点。
(6)显然幂函数无界。

1幂函数解析式的右端是个幂的形式。幂的底数是自变量,指数是常数,可以为任何实数;与指数函数的形式正好相反。
2幂函数的图像和性质比较复杂,高考只要求掌握指数为1、2、3、-1、时幂函数的图像和性质。
3了解其它幂函数的图像和性质,主要有:
①当自变量为正数时,幂函数的图像都在第一象限。指数为负数的幂函数都是过点(1,1)的减函数,以坐标轴为渐近线,指数越小越靠近
x轴。指数为正数的幂函数都是过原点和(1,1)的增函数;在x=1的右侧指数越大越远离x轴。
②幂函数的定义域可以根据幂的意义去求出:要么是x≥0,要么是关于原点对称。前者只在第一象限有图像;后者一定具有奇偶性,利用对称性可以画出二或三象限的图像。注意第四象限绝对不会有图像。
③定义域关于原点对称的幂函数一定具有奇偶性。当指数是偶数或分子是偶数的分数时是偶函数;否则是奇函数。
4幂函数奇偶性的一般规律:
⑴指数是偶数的幂函数是偶函数。
⑵指数是奇数的幂函数是奇函数。
⑶指数是分母为偶数的分数时,定义域x0或x≥0,没有奇偶性。
⑷指数是分子为偶数的分数时,幂函数是偶函数。
⑸指数是分子分母为奇数的分数时,幂函数是奇数函数。

互为反函数的函数图象间的关系


老师工作中的一部分是写教案课件,大家在着手准备教案课件了。是时候对自己教案课件工作做个新的规划了,才能使接下来的工作更加有序!你们到底知道多少优秀的教案课件呢?下面是小编为大家整理的“互为反函数的函数图象间的关系”,供您参考,希望能够帮助到大家。

互为反函数的函数图象间的关系

一、教学目标

1.理解并掌握互为反函数的函数图像间的关系定理,运用定理解决有关反函数的问题,深化对互为反函数本质的认识.

2.运用定理画互为反函数的图像,研究互为反函数的有关性质,提高解函数综合问题的能力.

3.提高学生的形象思维与抽象思维相结合的逻辑思维能力,培养学生数形结合的数学思想和转化的数学思想.

二、教学重点

互为反函数的函数图象间的关系和数形结合的数学思想

三、教学难点

互为反函数的函数图象间的关系

四、教学方法

启发式教学方法

五、教学手段

多媒体课件

六、教学过程

(一)复习:

1.求反函数的步骤(1解2换3注明)

2.求出下列函数的反函数

①y=2x+4(x∈R)(y=x/2-2x∈R)

②y=6-2x(x∈R)(y=3-x/2x∈R)

③y=x2(x≥0)(y=x1/2x≥0)

(二)新课导入

1.分别将上述三个函数与其反函数的图象做在同一个直角坐标系中

2.分析各图中互为反函数的函数图象间的关系

3.给出定理:函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f–1(x)图象关于直线

y=x对称

4.讲解例一:

例1求函数y=x3(x∈R)反函数,并画出原来的函数和它的反函数

的图象。

解:由y=x3,得x=y1/3。因此,函数y=x3反函数是y=x1/3(x∈R)。函数y=x3(x∈R)和它的反函数y=x1/3(x∈R)的图象略。

5.讲解例二:

例2在直角坐标内,画出直线y=x,然后找出下面这些点关于直线y=x的对称点,并写出它们的坐标:

A(2,3)B(1,0)C(-2,-1)D(0,-1)

解:图略

点A的对称点为A’(3,2),点B的对称点为B’(0,1),

点C的对称点为C’(-1,-2),点D的对称点为D’(-1,0)。

6.给出推论:点(a,b)关于直线y=x的对称点为(b,a)

7.练习:函数f(x)=ax+b的图象经过(1,3),其反函数的图象经过(2,0),

求f(x)的解析式。

解:因为函数f(x)的反函数图象经过点(2,0),根据定理和推论,

函数f(x)的图象经过点(0,2)。

将点(0,2)(1,3)的横、纵坐标分别代入f(x)的解析式得:

0×a+b=2

解得:a=1b=2

a×1+b=3

所以,f(x)=x+2

七、教学小结

对这节课所学知识进行小结,互为反函数的函数图象是关于直线y=x对称的。

八、教学作业

思考题及教材64页2、3、5题

九、板书设计

互为反函数的函数图象间的关系

定理:函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f–1(x)图象关于直线y=x对称。

推论:点(a,b)关于直线y=x的对称点为(b,a)


十、教学反思

2.4反函数(三课时)


一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划,作为高中教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境,帮助高中教师在教学期间更好的掌握节奏。你知道怎么写具体的高中教案内容吗?下面是小编为大家整理的“2.4反函数(三课时)”,欢迎大家与身边的朋友分享吧!

2.4反函数(三课时)

教学目的:1.掌握反函数的概念和表示法,会求一个函数的反函数

2.互为反函数的图象间的关系.

3.反函数性质的应用.

教学重点:反函数的定义和求法,互为反函数的图象间的关系.

教学难点:反函数的定义,反函数性质的应用.

教学过程:

第一课时

教学目的:1.掌握反函数的概念和表示法,会求一个函数的反函数

2.互为反函数的图象间的关系.

教学重点:反函数的定义和求法,互为反函数的图象间的关系.

教学难点:反函数的定义和求法。

教学过程:

一、复习引入:

由物体作匀速直线运动的位移公式s=vt,(其中速度v是常量)s是时间t的函数;可以变形为:,这时,位移s是自变量,时间t是位移s的函数.

又如,在函数中,x是自变量,y是x的函数.由中解出x,得到式子.这样,对于y在R中任何一个值,通过式子,x在R中都有唯一的值和它对应.因此,它也确定了一个函数:y为自变量,x为y的函数,定义域是yR,值域是xR.

上述两例中,由函数s=vt得出了函数;由函数得出了函数,不难看出,这两对函数中,每一对中两函数之间都存在着必然的联系:①它们的对应法则是互逆的;②它们的定义域和值域相反:即前者的值域是后者的定义域,而前者的定义域是后者的值域.我们称这样的每一对函数是互为反函数.

二、讲解新课:

反函数的定义

设函数的值域是C,根据这个函数中x,y的关系,用y把x表示出,得到x=(y).若对于y在C中的任何一个值,通过x=(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数x=(y)(yC)叫做函数的反函数,记作,习惯上改写成

开始的两个例子:s=vt记为,则它的反函数就可以写为,同样记为,则它的反函数为:.

从映射的角度看,若确定函数y=f(x)的映射是定义域A到值域C的一一映射,则它的逆映射f-1:(x=f-1(y))C→A确定的函数x=f-1(y)(习惯上记为y=f-1(x))叫做函数y=f(x)的的反函数.

即,函数是定义域A到值域C的映射,而它的反函数是集合C到集合A的映射,由此可知:

1.只有“一一映射”确定的函数才有反函数.如(xR)没有反函数,

而,有反函数是

2.互为反函数的定义域和值域互换.即函数的定义域正好是它的反函数的值域;函数的值域正好是它的反函数的定义域.且(如下表):

函数

反函数

定义域

A

C

值域

C

A3.函数与互为反函数。即

若函数有反函数,那么函数的反函数就是.

三、例题:

例1.求下列函数的反函数:

①;②;

③;④.

小结:⑴求反函数的一般步骤分三步,一解、二换、三注明

⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到,而不能由反函数的解析式得到。

⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数,即判断映射是否是一一映射。

例2.求函数()的反函数,并画出原来的函数和它的反函数的图像。

解:(略)

它们的图像为:

由图象看出,函数

()和它的反函数的图象关于直线y=x对称.

一般地,函数的图象和它的反函数的图象关于直线y=x对称..

例3求函数(-1x0)的反函数。

例4已知=-2x(x≥2),求.

解法1:⑴令y=-2x,解此关于x的方程得,

∵x≥2,∴,即x=1+--①,

⑵∵x≥2,由①式知≥1,∴y≥0--②,

⑶由①②得=1+(x≥0,x∈R);

解法2:⑴令y=-2x=-1,∴=1+y,

∵x≥2,∴x-1≥1,∴x-1=--①,即x=1+,

⑵∵x≥2,由①式知≥1,∴y≥0,

⑶∴函数=-2x(x≥2)的反函数是=1+(x≥0);

说明:二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求x,也可以用配方法求x,但开方时必须注意原来函数的定义域.

四、课堂练习:课本P63练习:1—4

五、课后作业:课本第64习题2.4:1(2)(3)(4)(6)(7)(8);2.

函数


经验告诉我们,成功是留给有准备的人。作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点,帮助教师营造一个良好的教学氛围。优秀有创意的教案要怎样写呢?经过搜索和整理,小编为大家呈现“函数”,仅供参考,欢迎大家阅读。

【必修1】第二章函数
小结与复习
学时:1学时
【学习引导】
一、自主学习
1.阅读课本P53---P54
2.回答问题
(!)按照学习要求中的两个部分,做出本章知识框图
(2)总结本章知识中蕴涵的方法和规律.
二、方法指导
本节课是一堂复习课,.同学们要认真复习并运用函数的性质(单调性)求一些简单函数的最值和值域,要掌握二次函数的图像,性质,最值,并总结数学活动中获取的数学经验,领悟类比、从特殊到一般的数学方法,体会数形结合等思想方法.感受数学与生活的相互关系.
【思考引导】
一、提问题
1.你能用集合的语言表述函数吗?
2.你能根据具体的情境,用图像法、列表法、解析法表示函数吗?
3.如何判断和证明函数的单调性?
4.你会对二次函数配方,并讨论其图像的开口方向、大小,顶点,对称轴等性质吗?
5.函数与映射的联系差异是什么?
二、变题目
1.下列各对函数中,相同的是()
A、
B、
C、
D、f(x)=x,
2.给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()
A、0个B、1个C、2个D、3个
3.已知函数在区间上是增函数,则的范围是()
(A)(B)(C)(D)
4.函数对一切实数恒成立,的取值范围()
A.B.C.D.
5.求证:在区间上是单调减函数,在区间上单调增函数.

【总结引导】
1.本章知识结构图:

2.映射
(1)映射:设A、B是两个集合,如果按照某种映射法则f,对于集合A中的任一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:A→B。
注意点:(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射,多对一是映射

3.函数
构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域
两个函数是同一个函数的条件:三要素有两个相同
4.在函数的定义域内的一个区间A上,如果对于两个数A.
(1)当时,称函数在区间A上是递增的,此时区间A称为函数的;
(2)当时,称函数在区间A上是递减的,此时区间A称为函数的.
5.定义法证明函数单调性的步骤:(1)(2)(3)(4)(5).
6.二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)
(1).二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴,
顶点坐标
(2).二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的的取值。
一元二次不等式的解集(a0)
二次函数△情况一元二次不等式解集
Y=ax2+bx+c(a0)△=b2-4acax2+bx+c0
(a0)ax2+bx+c0
(a0)
图象与解
△0

△=0

△0R

7.函数的图象变换
平移变换:(左+右-,上+下-)即
【拓展引导】
一、课外作业:P32B组2
二、课外思考:
判断函数的单调性。

参考答案
【思考引导】
二,变题目
1.C
2.B
3.A
4.C
5.略

【拓展引导】
单调减函数