函数的应用举例。
古人云，工欲善其事，必先利其器。作为高中教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？下面是小编帮大家编辑的《函数的应用举例》，相信能对大家有所帮助。
函数的应用举例教学目标
1.能够运用函数的性质，指数函数，对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
(1)能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中出现的量及其数学含义．
(2)能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题，并调动函数的相关性质解决问题．
(3)能处理有关几何问题，增长率的问题，和物理方面的实际问题．
2.通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了函数知识的应用价值，也渗透了训练的价值．
3.通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想．提高了学生学习数学的兴趣，使学生对函数思想等有了进一步的了解．
教学建议
教材分析
（1）本小节内容是全章知识的综合应用．这一节的出现体现了强化应用意识的要求，让学生能把数学知识应用到生产，生活的实际中去，形成应用数学的意识．所以培养学生分析解决问题的能力和运用数学的意识是本小节的重点，根据实际问题建立数学模型是本小节的难点．
（2）在解决实际问题过程中常用到函数的知识有：函数的概念，函数解析式的确定，指数函数的概念及其性质，对数概念及其性质，和二次函数的概念和性质．在方法上涉及到换元法，配方法，方程的思想，数形结合等重要的思方法．．事业本节的学习，既是对知识的复习，也是对方法和思想的再认识．
教法建议
（1）本节中处理的均为应用问题，在题目的叙述表达上均较长，其中要分析把握的信息量较多．事业处理这种大信息量的阅读题首先要在阅读上下功夫，找出关键语言，关键数据，特别是对实际问题中数学变量的隐含限制条件的提取尤为重要．
（2）对于应用问题的处理，第二步应根据各个量的关系，进行数学化设计建立目标函数，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题，最后是用数学方法将其化为常规的函数问题(或其它数学问题)解决．此类题目一般都是分为这样三步进行．
（3）在现阶段能处理的应用问题一般多为几何问题，利润最大，费用最省问题，增长率的问题及物理方面的问题．在选题时应以以上几方面问题为主．
教学设计示例
函数初步应用
教学目标
1.能够运用常见函数的性质及平面几何有关知识解决某些简单的实际问题．
2.通过对实际问题的研究，培养学生分析问题，解决问题的能力
3.通过把实际问题向数学问题的转化，渗透数学建模的思想，提高学生用数学的意识，及学习数学的兴趣．
教学重点，难点
重点是应用问题的阅读分析和解决．
难点是根据实际问题建立相应的数学模型
教学方法
师生互动式
教学用具
投影仪
教学过程
一.提出问题
数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．如刚刚学过的函数内容在实际生活中就有着广泛的应用．今天我们就一起来探讨几个应用问题．
问题一：如图，△是边长为2的正三角形，这个三角形在直线的左方被截得图形的面积为，求函数的解析式及定义域．(板书)
(作为应用问题由于学生是初次研究，所以可先选择以数学知识为背景的应用题，让学生研究)
首先由学生自己阅读题目，教师可利用计算机让直线运动起来，观察三角形的变化，由学生提出研究方法．由学生说出由于图形的不同计算方法也不同，应分类讨论．分界点应在，再由另一个学生说出面积的计算方法．
当时，，(采用直接计算的方法)
当时，
．(板书)
(计算第二段时，可以再画一个相应的图形，如图)
综上，有，
此时可以问学生这是什么函数?定义域应怎样计算?让学生明确是分段函数的前提条件下，求出定义域为．(板书)
问题解决后可由教师简单小结一下研究过程中的主要步骤(1)阅读理解；(2)建立目标函数；(3)按要求解决数学问题．
下面我们一起看第二个问题
问题二：某工厂制定了从1999年底开始到2005年底期间的生产总值持续增长的两个三年计划，预计生产总值年平均增长率为，则第二个三年计划生产总值与第一个三年计划生产总值相比，增长率为多少?(投影仪打出)
首先让学生搞清增长率的含义是两个三年总产值之间的关系问题，所以问题转化为已知年增长率为，分别求两个三年计划的总产值．
设1999年总产值为，第一步让学生依次说出2000年到2005年的年总产值，它们分别为：
2000年2003年
2001年2004年
2002年2005年(板书)
第二步再让学生分别算出第一个三年总产值和第二个三年总产值
=++
=．
=++
=．(板书)
第三步计算增长率．
．(板书)
计算后教师可以让学生总结一下关于增长率问题的研究应注意的问题．最后教师再指出关于增长率的问题经常构建的数学模型为，其中为基数，为增长率，为时间．所以经常会用到指数函数有关知识加以解决．
总结后再提出最后一个问题
问题三：一商场批发某种商品的进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促进销售，拟采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法，试验表明，礼品价格为1元时，销售量可增加10%，且在一定范围内礼品价格每增加1元销售量就可增加10%．设未赠送礼品时的销售量为件．
(1)写出礼品价值为元时，所获利润(元)关于的函数关系式;
(2)请你设计礼品价值，以使商场获得最大利润．(为节省时间，应用题都可以用投影仪打出)
题目出来后要求学生认真读题，找出关键量．再引导学生找出与利润相关的量．包括销售量，每件的利润及礼品价值等．让学生思考后，列出销售量的式子．再找学生说出每件商品的利润的表达式，完成第一问的列式计算．
解：．(板书)
完成第一问后让学生观察解析式的特点，提出如何求这个函数的最大值(此出最值问题是学生比较陌生的，方法也是学生不熟悉的)所以学生遇到思维障碍，教师可适当提示，如可以先具体计算几个值看一看能否发现规律，若看不出规律，能否把具体计算改进一下，再计算中能体现它是最大?也就是让学生意识到应用最大值的概念来解决问题．最终将问题概括为两个不等式的求解即
(2)若使利润最大应满足
同时成立即解得
当或时，有最大值．
由于这是实际应用问题，在答案的选择上应考虑价值为9元的礼品赠送，可获的最大利润．
三．小结
通过以上三个应用问题的研究，要学生了解解决应用问题的具体步骤及相应的注意事项．
四．作业略
五．板书设计
2．9函数初步应用
问题一：
解：
问题二
分析
问题三
分析
小结：
延伸阅读
应用举例教案
俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助高中教师缓解教学的压力，提高教学质量。你知道怎么写具体的高中教案内容吗？以下是小编为大家收集的“应用举例教案”欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！
教学设计
整体设计
教学分析
本章通过章头图中的古建筑和台风问题实例，引入要学习的数学知识，由此可见实际测量在本章的中心地位．实际上解斜三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识．对于解斜三角形的实际问题，我们要在理解一些术语(如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等)的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决．教学时要充分利用数形结合的方法，充分利用多媒体课件给学生以动态演示，加强直观感知．学习这部分知识有助于增强学生应用数学的意识和提高解决实际问题的能力．
本节教材提出了四个问题：问题1和问题2为测量题．这类问题在我们的日常生活中比比皆是，学生对实际背景非常熟悉，这给教学带来了极大的便利．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法来解决，但用正弦定理和余弦定理就可以计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．问题3是介绍解决平衡力系的数学方法．学习此题教师应先引导学生简要地复习一下向量求和的平行四边形法则和三角形法则．问题4是解三角形方法用于天气预报的一个典型例子，有很好的教育价值．
本节学习可增强学生的数学应用意识，激发学生学习数学的积极性．由于解决的是一些实际问题，在进行近似计算时，要求学生算法要简练、清楚，计算要准确．本节后的练习和习题都是解三角形应用的基本题，应要求学生全部掌握．
三维目标
1．通过巧妙的设疑，结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，使学生能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些有关测量距离的实际问题．同时通过多媒体课件直观演示，加强学生的动态感知，帮助学生掌握常规解法，能够通过类比解决实际问题．
2．通过对解斜三角形在实际中应用的讲解，让学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用，同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力．
3．通过本节的探究，引导学生经过自己的数学活动，从实际问题中提取数学模型，使学生经历发现和创造的过程，进一步拓展学生的数学活动空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识．
重点难点
教学重点：掌握应用正弦定理和余弦定理解决测量问题的一般方法，并能应用正弦定理、余弦定理列方程求解一些实际问题，进一步熟悉数学建模的方法步骤，提高解决实际问题的能力．
教学难点：将实际问题转化为数学问题，即根据实际问题建立数学模型．
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(问题导入)本章引言中就提出了经常萦绕着我们的这么一个问题：“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以借助解直角三角形等方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法不能实施．上面的问题用以前的方法是不能解决的．那么我们用刚刚学习的正弦定理、余弦定理就可以解决以前不能解决的问题，究竟如何测量呢？下面我们就来探究这个问题，由此展开新课．
思路2.(情境导入)你有坐汽车(或者火车)经过山前水平公路的经历吗？如果身边带着测角仪，那么根据路标(100米杆)就会立即测算出你所看到的山的高度．利用正弦定理、余弦定理你也会马上算出来，在学生急切想知道如何测算山高的期待中展开新课．
推进新课
新知探究
提出问题
1提示学生先回顾正弦定理、余弦定理，并提问：若已知三角形的两边及其中一边的对角用哪个定理解三角形？若已知三角形的两角及其夹边又可选用哪个定理解三角形呢？
2回忆过去的一些测量方法，如测量两点间的距离都有哪些测量方法？
3如果底部可到达，如电线杆的高度应怎样测量？如果底部不能到达，如工厂的烟囱的高度应怎样测量呢？
4对解题中的近似值要怎样处理才能减小误差呢？
5解决实际问题的一般程序是什么？
活动：教师先让学生回忆正弦定理、余弦定理的内容，学生很快回忆起来，若已知三角形的两边及其中一边的对角，则用正弦定理较好，鼓励学生多动手画图，特别是对想象能力较弱的学生，更应画出图形，在图形上标出已知的数据以加强直观感知．
对于底部可到达的物体的高度问题，如测量电线杆的高度，利用初中的知识即可解决．如图1，只要测出∠B及BC即可算出AC的高度．对于底部不能到达的物体的高度又该怎样测量呢？
图1
图2
教师引导学生分组讨论，充分发挥学生的想象力．学生会提出许多的方案．教师可一一指导，选出其中有代表性的方案作为本节教学的切入点，比如有的学生会提出：既然底部不可到达，则BC就不可测出，但解三角形至少需有一边，如此可否使原来的B点后退至B′点，测量BB′的距离．如图2，引导学生深入探究，效果将会更好．
在具体解题过程中，教师可针对解题中的近似值处理问题，适时地提醒学生注意：(1)应根据题中对精确度的要求，合理选择近似值；(2)为避免误差的积累，解题过程中应尽可能地使用原始(已知)数据，少用间接求出的量．
讨论结果：
(1)～(4)略．
(5)解决实际问题的一般程序是：(1)审题，逐字逐句地阅读题目，弄清题目的条件、要求，找出其中的数学关系；(2)建模，分析题目的变化趋势，选择适当的数学模型；(3)求解，也就是对所建立的数学模型进行数学解答得到数学结论；(4)还原，即把数学结论还原为实际问题的解答，包括检验是否符合实际意义等．本节所研究的问题都是把实际问题转化成解三角形的问题，然后利用正弦定理、余弦定理、三角函数等来解决．
应用示例
例1(教材问题1)
活动：教师借助多媒体，引导学生观看实物图片，让学生明确建筑物的底部不可到达，需在宫墙外护城河畔的马路边选择一个观测点，移动测量仪再选择一个观测点．在动态的演示中让学生充分理解我们为什么要这样做．然后教师指导学生画出平面示意图，并在图上标出相关的数据，让学生自己思考怎样根据正弦定理和余弦定理计算出建筑物的高度．
点评：解完本例后让学生总结测量的方法，本例的关键是选择观测点和测量的基线，与实物的实际高度仅有0.3m的误差，可让学生分析误差产生的原因．
变式训练
如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD.(精确到1m)
解：如下图，在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α.
根据正弦定理，BCsinα－β＝ABsin90°＋β，
所以AB＝BCsin90°＋βsinα－β＝BCcosβsinα－β.
解Rt△ABD，得BD＝ABsin∠BAD＝BCcosβsinαsinα－β.将测量数据代入上式，得
BD＝27.3cos50°1′sin54°40′sin54°40′－50°1′＝27.3cos50°1′sin54°40′sin4°39′≈177(m)，
CD＝BD－BC≈177－27.3≈150(m)．
答：山的高度约为150m.
例2(教材问题2)
活动：教师借助多媒体，引导学生观看实物图片，明确要解决的问题．在实际生活中，这样的问题随处可见，如学生熟悉的河两岸的某两点之间的距离．在例1的类比下，学生很容易想到选择一个观测点，移动测量仪再选择一个观测点．本例可让学生画图探究．教师给予适时点拨．
点评：结合例1可对这类测量问题进行小结，解决这类测量问题的关键是选择观测点和测量的基线．可让学生进一步探究，除了教材中的测量方法和计算，还有其他的方法吗？
变式训练
如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据()
A．α，a，bB．α，β，a
C．a，b，γD．α，β，b
答案：C
解析：由a，b，γ利用余弦定理可求出AB.
例3如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD.
活动：教师引导学生充分理解题目背景，引导学生画出图形．首先理解什么是仰角，西偏北25°是什么意思．本题的图形是一个立体几何图形，让学生充分理解图形中的各个已知量和要求的量．
解：在△ABC中，∠A＝15°，∠C＝25°－15°＝10°，
根据正弦定理，BCsinA＝ABsinC，BC＝ABsinAsinC＝5sin15°sin10°≈7.4524(km)，
CD＝BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)．
答：山的高度约为1047m.
点评：此例即为本课导入时思路2提出的问题，切入生活实际．教师可提醒学生总结，我们是如何根据已知条件及所求的边长，恰当地选取我们需要的三角形的．
知能训练
1．为了测量河的宽，在河岸的一边选取两点A和B，观测对岸标记C点，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河宽为__________m.
答案：20(3＋3)
解析：由题意画出示意图，如下图，则∠ACB＝180°－45°－75°＝60°，
由正弦定理，知
ABsin∠ACB＝ACsin75°，
∴AC＝sin75°sin60°120＝20(32＋6)．
在Rt△ACD中，CD＝ACsin45°＝20(3＋3)，
即河的宽为20(3＋3)m.
2．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝__________.
答案：156米
解析：在△DBC中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得CDsin∠CBD＝BCsin∠BDC，
∴BC＝30sin30°sin135°＝152.
在Rt△ABC中，AB＝BCtan60°＝152×3＝156(米)，
即塔高为156米．
课堂小结
先由学生自己回顾本节所学的测量底部不可到达的建筑物高度和测量地面上两个不能到达的地方之间的距离的方法，是如何从实际问题情境中寻求到解决问题的方案的，你是否能根据题意准确地画出示意图？你没有画出的原因是什么呢？
在学生自己总结归纳而对本节有了一个整体认识的时候，教师可作进一步的归纳．解决实际问题的关键是建立数学模型，特别是画出示意图是准确迅速解这类数学问题的关键，也是本节要体现的技能，这在高考中体现得很突出，需要在反复的练习和动手操作中提高这方面的能力．
作业
课本本节习题1—2A组1、2、3.
设计感想
本教案设计以情境教学、问题教学为主，教师引导和学生积极参与探究相结合，充分体现以学为主、逐步领悟的原则．日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用．通过合作学习和相互提问补充的方法让学生多感受问题的演变过程，通过多媒体课件的演示让学生切身感受实际问题所反映的数学本质，让学生在轻松愉快的互动气氛中学到知识，提高能力．
本教案设计的中心主线是在学生探究活动中提炼数学建模，不要求学生死记硬背解决实际问题的方法步骤．本教案的设计始终抓住本节乃至本章的这一重点，不在一些细枝末节上浪费时间．
通过本节探究，学生基本上熟悉了解决实际问题的思想方法，下一步教师要在规范步骤等方面加以关注．
备课资料
一、拓展资源
1．利用余弦定理证明正弦定理
在△ABC中，已知a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC，求证：asinA＝bsinB＝csinC.
证明：由a2＝b2＋c2－2bccosA，得cosA＝b2＋c2－a22bc，
∴sin2A＝1－cos2A＝1－b2＋c2－a222bc2＝2bc2－b2＋c2－a222bc2
＝2bc＋b2＋c2－a22bc－b2－c2＋a24b2c2＝b＋c＋ab＋c－aa＋b－ca－b＋c4b2c2.
∴a2sin2A＝4a2b2c2a＋b＋c－a＋b＋ca＋b－ca－b＋c.
记该式右端为M，同理可得b2sin2B＝M，c2sin2C＝M，
∴a2sin2A＝b2sin2B＝c2sin2C.
∴asinA＝bsinB＝csinC.
2．如图，P为△ABC内的一点，且∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ，记BC＝a，CA＝b，AB＝c，求证：1sin2θ＝1sin2A＋1sin2B＋1sin2C.
证明：在△PAC中，由正弦定理，得APsinθ＝bsin∠APC.
∴∠APC＝180°－θ－(A－θ)＝180°－A.
∴APsinθ＝bsinA.
从而S△PAB＝12cAPsinθ＝12cbsinθsinAsinθ＝12bcsinAsin2θsin2A＝S△ABCsin2θsin2A.
同理可得S△PBC＝S△ABCsin2θsin2B，S△PCA＝S△ABCsin2θsin2C.
相加后即得S△ABC＝S△ABC(sin2θsin2A＋sin2θsin2B＋sin2θsin2C)．
∴1sin2θ＝1sin2A＋1sin2B＋1sin2C.
二、备用习题
1．在一幢20m高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，则塔高为()
A．20(1＋33)mB．20(1＋3)m
C．10(6＋2)mD．20(6＋2)m
2．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是()
A．a，c，αB．b，c，α
C．c，α，βD．b，α，β
3．如图，B、C、D三点在地面同一直线上，DC＝a，从C、D两点测得A点的仰角分别是β、α(α＜β)，则A点离地面的高AB等于()
A.asinαsinβcosβ－αB.asinαsinβsinβ－α
C.asinαcosβsinβ－αD.acosαcosβcosβ－α
4．如图，有一长为10m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸()
A．5mB．10mC．102mD．103m
5．如下图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6000m，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)
6．如下图，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得A点的仰角分别是∠AMB＝30°，∠ANB＝45°，∠APB＝60°，且MN＝PN＝500m，求塔高AB.
参考答案：
1．B解析：如图，AB为楼，CD为塔，AM为水平线，则有AB＝20.
∠DAM＝45°，∠CAM＝60°，
∴MD＝20，AM＝20，CM＝203.
∴CD＝20(1＋3)(m)．
2．D解析：由α，β，b可利用正弦定理求出BC.
3．B解析：在△ABC中，CD＝a，∠DAC＝β－α，
由正弦定理，得asinβ－α＝ACsinα，
∴AC＝asinαsinβ－α.
在Rt△ABC中，AB＝ACsinβ＝asinαsinβsinβ－α.
4．C解析：在△ABC中，由正弦定理，可知xsin45°＝10sin30°，∴x＝102m.
5．解：在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，CD＝6000m，∠ACD＝45°，
由正弦定理，有AD＝CDsin45°sin60°＝63CD.
同理，在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，CD＝6000，∠BCD＝30°.
由正弦定理，有BD＝CDsin30°sin135°＝22CD.
又在△ABD中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°，
根据勾股定理，得
AB＝AD2＋BD2＝632＋222CD＝426CD＝100042m.
答：炮兵阵地到目标的距离为100042m.
6．解：设AB的高为x.∵AB与地面垂直，
∴△ABM，△ABN，△ABP均为直角三角形．
∴BM＝xcot30°＝3x，BN＝xcot45°＝x，BP＝xcot60°＝33x.
在△MNB中，BM2＝MN2＋BN2－2MNBNcos∠MNB，
在△PNB中，BP2＝NP2＋BN2－2NPBNcos∠PNB，
又∵∠BNM与∠PNB互补，MN＝NP＝500，
∴3x2＝250000＋x2－2×500xcos∠MNB，①
13x2＝250000＋x2－2×500xcos∠PNB.②
①＋②，得103x2＝500000＋2x2，∴x＝2506(m)．
答：塔高AB为2506m.
第2课时
导入新课
思路1.(本章章头图导入)有的学生可能要问：正弦定理探究完了，余弦定理也探究完了，那么本章开始引言中提出的问题究竟怎样解决呢？也就是怎样算出几小时后某城市开始受到台风的侵袭和怎样测出海上航行的轮船的航速和航向呢？学过本节后就简单清晰了，由此展开新课．
思路2.(猜想导入)上节课我们探究了怎样测量不可到达的点的距离，又解决了怎样测量底部不可到达的建筑物高度的问题，这些都是距离问题，那么能否借助正弦定理、余弦定理测量一些角度的问题呢？回答是肯定的，由此展开新课．
推进新课
新知探究
提出问题
1回忆前面是如何测量距离和高度的？
2在测量距离和高度时，是怎样由三角形的一些已知边和角来求其他边的？
3回忆上册中向量求和的平行四边形法则和三角形法则.
4日常生活中还有一个例子，如航海，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，同时保持一定的航速和航向前进，还有如何预防台风的侵袭等，这些可否像前面探究的距离和高度那样，转化为解三角形模型来解决呢？
活动：教师引导学生再次回忆正弦定理、余弦定理．为了提高学生兴趣，可换个提法，前面解决实际问题的顺序是“实际问题→数学建模→数学模型的解→实际问题的解”，我们如果不按这个步骤进行结果会怎样？通过这样反复强化，使学生的“数学建模”意识得以巩固，这里关键是找出已知量和未知量，画好平面示意图，确定需要解决的三角形．
三角形模型应用很广泛，像航海确定方向等都离不开角，当然也就离不开解三角形，也就需要用正弦定理、余弦定理等有关的三角形知识来解决它．
讨论结果：
(1)～(4)略．
应用示例
例1(教材问题3)
活动：本例题是解三角形与向量结合的典例，教师可引导学生复习向量的相关知识．利用多媒体课件明确所要探究问题的已知量和未知量，指导学生画出平面示意图，这是解好本问题的关键．
点评：本例背景是我们人人都熟悉的三角形灯架，目的是让学生熟悉解决平衡力系的数学方法，解决问题的关键是把受力情况和角度都放在三角形中，然后用正弦定理解决．
变式训练
有两根柱子相距20m，分别位于电车的两侧，在两柱之间连接一条水平的绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的中点，如果送电线在这点垂直向下的作用力是17.8N，则这条成水平的绳子的中点下降0.2m，求此时绳子所受的张力．
解：如图所示，设重力作用点为C，绳子AC、BC所承受的力分别记为CE→、CF→，重力记为CG→.
由C为绳子的中点，知|CE→|＝|CF→|.
由CE→＋CF→＝CG→，知四边形CFGE为菱形．
又∵cos∠FCG＝cos∠DCB＝0.2102＋0.22≈0.02，
∴|CE→|＝|CF→|＝12|CG→|cos∠FCG＝8.90.02＝445，
即绳子所受的张力为445N.
例2如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5nmile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01nmile)
活动：教师引导学生根据题意画出平面示意图，这是解决本类题目很重要的一方面．教师可就此点拨学生注意：画图、用图、识图是学好数学的一项基本功，能否准确画出示意图直接决定着解题的成败，这项基本功较弱的同学可就此加强自己的补弱训练．我们前面学习时有过这样的经历：有些选择题，甚至解答题，只要画出示意图，解答结果很快就出来了，这就是数形结合的强大威力之所在，提醒学生关注这一点．
解：在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，
AC＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC
＝67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos137°
≈113.15.
根据正弦定理，BCsin∠CAB＝ACsin∠ABC，
sin∠CAB＝BCsin∠ABCAC＝54.0sin137°113.15≈0.3255，
所以∠CAB≈19.0°，75°－∠CAB＝56.0°.
答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15nmile.
点评：本例综合运用了正、余弦定理，体现了正弦定理、余弦定理在解斜三角形中的重要作用．解完本例后教师引导学生进行反思领悟，让学生把重点放在数学建模这一共性上和对一般方法的掌握上．
变式训练
如图，港口A北偏东30°方向的C处有一观测站，港口正东方向的B处有一轮船，测得BC为31nmile，该轮船从B处沿正西方向航行20nmile后到D处，测得CD为21nmile，问此时轮船离港口A还有多远？
解：由条件知∠CAD＝60°，设∠ACD＝α，∠CDB＝β，
在△BCD中，由余弦定理，得
cosβ＝CD2＋BD2－BC22CDBD＝－17.
∴sinβ＝1－cos2β＝437.
∴sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－cosβsin60°＝5314.
在△ABC中，由正弦定理，得CDsin∠CAD＝ADsinα，
∴AD＝CDsinαsin∠CAD＝15nmile.
答：此时轮船离港口还有15nmile.
例3(教材问题4)
活动：为降低难度，本题已经给出了平面示意图，教学时，可先不让学生看这个图形，让学生通过阅读题意自己画出图形，然后对照题目给出的图形，以便找出偏差．或者教师以幻灯片的形式打出题意，稍后再出示示意图，留给学生足够的思考空间．
点评：(1)本例右边的边注可作为本例的变式训练．在教材图116中，延长PQ到Q′，使∠AQQ′＝40.3°，台风沿PQ方向过点Q′时，则台风终止侵袭A城．侵袭A城的时间为台风经过Q到Q′所用的时间．解△AQQ′，求出Q与Q′的距离，然后除以台风移动的速度就可得到侵袭A城的时间．
(2)解完此题后教师引导学生总结应用正、余弦定理解斜三角形的解题方法．在解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．
知能训练
1．已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则∠B＝__________.
2．如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？
答案：
1.π6解析：由题意，得3cosA－sinA＝0，即tanA＝3.
又∵0＜A＜π，∴A＝π3.
由正弦定理，得sinAcosB＋sinBcosA＝sin2C，即sinC＝sin2C.
∵sinC≠0，∴sinC＝1.
又∵0＜C＜π，∴C＝π2.
∴B＝π－(π2＋π3)＝π6.
2．解：在△ABC中，BC＝30，∠B＝30°，∠ACB＝135°，
∴∠A＝15°.
由正弦定理，知AC＝30sin30°sin15°＝60cos15°＝15(6＋2)，
∴A到BC所在直线的距离为AC×sin45°＝15(3＋1)≈40.98(海里)．
∵40.98海里＞38海里，
∴船继续向南航行，没有触礁的危险．
课堂小结
先让学生回顾本节所探究的有关角度的知识过程，熟悉有关角的概念；回顾在本节实际问题的探究中，是怎样画出方位角的，是如何将实际问题转化为数学问题的，又是怎样灵活地选用正弦定理、余弦定理的．
通过本节利用物体受力情况和航海、台风侵袭等实际问题，我们感受到数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分．
作业
课本本节习题1—2A组4；习题1—2B组3.
设计感想
本教案是根据课程标准，学生的认知特点，内容的安排而设计的，由于本节课的前面已经有了举例探究经验，因此设计的活动主要都是通过学生自己完成；只是教材一开始就呈现出台风侵袭城市的背景图，涉及到方位角，学生对图形难以把握，特别从空间的视角去审视的时候有些困难．因此教师应充分利用多媒体课件演示，让学生从动态中发现实物背景下的数学图形及有关的角度问题，引导学生自己画出平面示意图——这是解决本例的关键所在，教师不要怕在此浪费时间．
本教案的设计意图还在于，通过本节课的展示，让学生体会到数学离不开生活，生活离不开数学，数学知识来源于生活而最终服务于生活；数学课堂的最后呈现标准不是学生成为解题能手，而是让学生体会到数学的实用价值．
备课资料
一、备用习题
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系是()
A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°
2．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()
A．北偏东10°B．北偏西10°
C．南偏东10°D．南偏西10°
3．如图，有两条相交成60°角的直线XX′、YY′，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初甲在离O点3千米的A点，乙在离O点1千米的B点，后来两人同时以每小时4千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y方向步行．
(1)起初，两人的距离是多少？
(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离；
(3)什么时候两人的距离最短？
4．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援．(角度精确到1°)
5．如图，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最近？
6．在某时刻，A点西400千米的B处是台风中心，台风以每小时40千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心、300千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间A进入台风圈？A处在台风圈中的时间有多长？
7．在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一般匀速直线行驶的船位于点A北偏东45°，且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ(其中sinθ＝2626，0°＜θ＜90°)且与点A相距1013海里的位置C.
(1)求该船的行驶速度；(单位：海里/时)
(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．
参考答案：
1．B
2．B解析：由题意可画出平面示意图，如图，
则∠ACB＝80°，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝50°.
因此灯塔A在灯塔B的北偏西10°.
3．解：(1)∵甲、乙两人起初的位置是A、B，则AB2＝OA2＋OB2－2OAOBcos60°＝32＋12－2×3×1×12＝7，
∴起初两人的距离是7千米．
(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，则AP＝4t，BQ＝4t，
当0≤t≤34时，PQ2＝(3－4t)2＋(1＋4t)2－2(3－4t)(1＋4t)cos60°＝48t2－24t＋7；
当t＞34时，PQ2＝(4t－3)2＋(1＋4t)2－2(4t－3)(1＋4t)cos120°＝48t2－24t＋7，
∴PQ＝48t2－24t＋7.
(3)PQ2＝48t2－24t＋7＝48(t－14)2＋4，
∴当t＝14时，即在第15分钟末，PQ最短．
答：在第15分钟末，两人的距离最短．
4．解：连结BC，由余弦定理，得
BC2＝202＋102－2×20×10×cos120°＝700，
于是BC＝107.
由sin∠ACB20＝sin120°107，
∴sin∠ACB＝37.
∵∠ACB＜90°，∴∠ACB≈41°.
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援．
5．解：设航行x小时后甲船到达C点，乙船到达D点，在△BCD中，BC＝(100－50x)海里，BD＝30x海里(0≤x≤2)，∠CBD＝60°，由余弦定理，得
CD2＝(100－50x)2＋(30x)2－2(100－50x)30xcos60°
＝4900x2－13000x＋10000.
∴当x＝130002×4900＝6549＝11649(小时)时，CD2最小，从而得CD最小．
∴航行11649小时，两船之间距离最近．
6．解：如图，以AB为边，B为顶点作∠ABP＝45°(点P在B点的东北方向上)，射线BP即台风中心B的移动方向，以A点为圆心，300千米为半径画弧交射线BP于C、D两点，显然当台风中心从B点到达C点时，A点开始进入台风圈，台风中心在CD上移动的时间即为A处在台风圈中的时间．
设台风中心由B到C要t小时，在△ABC中，AB＝400(千米)，AC＝300(千米)，BC＝40t(千米),∠ABC＝45°，
由余弦定理，得
AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos∠ABC，
即3002＝4002＋(40t)2－2×400×40tcos45°.
∴4t2－402t＋175＝0.∴t＝402±208＝102±52.
∴t1＝102－52＝5(2－12)＝4.6(小时)，t2－t1＝102＋52－102－52＝5(小时)．
答：经过4.6小时A进入台风圈，A处在台风圈中的时间为5小时．
7．解：(1)∵AB＝402，AC＝1013，∠BAC＝θ，sinθ＝2626.
由于0°＜θ＜90°，所以cosθ＝1－26262＝52626.
由余弦定理，得BC＝AB2＋AC2－2ABACcosθ＝105.
所以船的行驶速度为10523＝155(海里/时)．
(2)解法一：如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B(x1，y1)、C(x2，y2)，BC与x轴的交点为D.
由题设有x1＝y1＝22AB＝40，
x2＝ACcos∠CAD＝1013cos(45°－θ)＝30，
y2＝ACsin∠CAD＝1013sin(45°－θ)＝20.
所以过点B、C的直线l的斜率k＝2010＝2，直线l的方程为y＝2x－40.
又点E(0，－55)到直线l的距离d＝|0＋55－40|1＋4＝35＜7，
所以船会进入警戒水域．
解法二：如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中，
由余弦定理，得cos∠ABC＝AB2＋BC2－AC22ABBC
＝402×2＋102×5－102×132×402×105
＝31010.
从而sin∠ABC＝1－cos2∠ABC＝1－910＝1010.
在△ABQ中，由正弦定理，得AQ＝ABsin∠ABCsin45°－∠ABC＝402×101022×1010＝40.
由于AE＝55＞40＝AQ，
所以点Q位于点A和点E之间，且QE＝AE－AQ＝15.
过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离．
在Rt△QPE中，PE＝QEsin∠PQE＝QEsin∠AQC＝QEsin(45°－∠ABC)＝15×55＝35＜7.
所以船会进入警戒水域．
二、测量问题中的有关名词和术语
(1)坡度(坡比)与坡角：
如下图，把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比)，用字母i表示，即i＝hl.坡度一般写成h∶l的形式．坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡角与坡度之间有如下关系：i＝hl＝tanα.
(2)仰角与俯角：
如下图，以水平线为基准，视线在水平线上方所成的角叫做仰角；视线在水平线下方所成的角叫做俯角．
(3)方向角与方位角：
方向角：如下图，把指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．目标方向线方向一般可用“×偏×多少度”来表示，这里第一个“×”号是“北”或“南”字，第二个“×”是“东”或“西”字．如图中OA，OB，OC，OD的方向角分别为北偏东60°，北偏西45°(或西北方向)，南偏西30°，南偏东40°.
方位角：某点开始的指北方向线按顺时针转到目标方向线为止的水平角，叫做方位角．
(4)水平距离、垂直距离、坡面距离：
如下图，BC代表水平距离，AC代表垂直距离，AB代表坡面距离．
2.9函数应用举例(第四课时)
2.9函数应用举例(第四课时)
教学目的：根据实际问题，提出不同方案，建立数学模型，选定最佳方案，解决简单的市场经济问题。
一、例题
例1某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
，其中x是仪器月产量.
（1）将月利润表示为月产量的函数f(x);
（2）当月产量为何值时，公司获利最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）
分析：由总收益=总成本+利润，知利润=总收益-总成本.由于R(x)是分段函数，所以f(x)也是分段函数，要分别求出f(x)在各段的最大值，通过比较，确定f(x)的最大值.
解：（1）设月产量为x台，则总成本为20000+100x,从而
(2)当0≤x≤400时，
∴当x=300时，有最大值25000；
当x400时，f(x)=60000-100x是减函数，
f(x)60000-100×40025000.
∴当x=300时，f(x)取得最大值25000.
答：每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元.
例2根据市场调查，某商品在最近的40天内的价格与时间满足关系销售量与时间满足关系。求这种商品的日销售额（销售量与价格之积）的最大值。
解：据题意，商品的价格随时间变化，且在不同的区间与上，价格随时间的变化的关系式也不同，故应分类讨论。
设日销售额为。
⑴当时
。
当或11时，
⑵当时，。
当时，。
综合（1）、（2）知当或11时，日销售额最大，最大值为176。
例3有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P和Q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系，有经验公式：.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得最大利润是多少？
分析：首先应根据题意建立利润与投入资金之间的函数关系，求得函数解析式，然后再化为求函数最大值的问题.
解：设对甲种产品投资x万元，则乙种商品投资（3-x）万元，总利润y万元，依题意有：.
令则
所以
当时ymax=1.05,此时x=0.75,3-x=2.25.
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得总利润为1.05万元.
二、课后作业：《精析精练》P103智能达标训练
高一数学教案：《函数模型的应用举例》教学设计
高一数学教案：《函数模型的应用举例》教学设计
项目
内容
课题
函数模型的应用举例
（共2课时）
修改与创新
教学
目标
1.培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力，即根据实际问题进行信息综合列出函数解析式.
2.会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题.
3.通过学习函数基本模型的应用，体会实践与理论的关系，初步向学生渗透理论与实践的辩证关系.
教学重、
难点
根据实际问题分析建立数学模型和根据实际问题拟合判断数学模型，并根据数学模型解决实际问题.
教学
准备
教学过程
第1课时
函数模型的应用实例
导入新课
上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们进一步讨论不同函数模型的应用.
提出问题
①我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.
设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x).
②A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全.核电站距城市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月.
把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域.
③分析以上实例属于那种函数模型.
讨论结果：①f(x)=5x(15≤x≤40).
g(x)=
②y=5x2+(100—x)2(10≤x≤90)；
③分别属于一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型.
例1一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.
(1)求图3-2-2-1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象.
图3-2-2-1
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：
图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不断变化，汽车里程表读数skm与时间th的函数为分段函数.
解：(1)阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.
(2)根据图，有
这个函数的图象如图3-2-2-2所示.
图3-2-2-2
变式训练
2007深圳高三模拟，理19电信局为了满足客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如下图(图3-2-2-3)所示(其中MN∥CD).
(1)分别求出方案A、B应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)；
(2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A、B两种优惠方案？并说明理由.
图3-2-2-3
解：(1)先列出两种优惠方案所对应的函数解析式：
(2)当f(x)=g(x)时,x-10=50,
∴x=200.∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可;
当客户通话时间为0≤x＜200分钟，g(x)>f(x),故选择方案A；
当客户通话时间为x>200分钟时，g(x)点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.
例2人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766~1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：
y=y0ert,
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.
下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
人数／万人
55196
56300
57482
58796
60266
61456
62828
64563
65994
67207
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
(2)如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
解：(1)设1951～1959年的人口增长率分别为r1,r2,r3,…,r9.
由55196(1+r1)=56300，
可得1951年的人口增长率为r1≈0.0200.
同理,可得r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，
r8≈0.0222，r9≈0.0184.
于是，1950～1959年期间，我国人口的年平均增长率为
r=(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.
令y0=55196，则我国在1951～1959年期间的人口增长模型为
y=55196e0.0221t,t∈N.
根据表中的数据作出散点图，并作出函数y=55196e0.0221t(t∈N)的图象(图3-2-2-4).
图3-2-2-4
由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.
(2)将y=130000代入y=55196e0.0221t,
由计算器可得t≈38.76.
所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.
变式训练
一种放射性元素,最初的质量为500g,按每年10%衰减.
(1)求t年后,这种放射性元素质量ω的表达式;
(2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期).(精确到0.1.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)
解：(1)最初的质量为500g.
经过1年后,ω=500(1－10%)=500×0.91;
经过2年后,ω=500×0.9(1－10%)=500×0.92;
由此推知,t年后,ω=500×0.9t.
(2)解方程500×0.9t=250,则0.9t=0.5,
所以
即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.
知能训练
某电器公司生产A型电脑.1993年这种电脑每台平均生产成本为5000元,并以纯利润20%确定出厂价.从1994年开始,公司通过更新设备和加强管理,使生产成本逐年降低.到1997年,尽管A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%,但却实现了50%纯利润的高效益.
(1)求1997年每台A型电脑的生产成本;
(2)以1993年的生产成本为基数,求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数.(精确到0.01,以下数据可供参考:=2.236,=2.449)
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导.
出厂价=单位商品的成本+单位商品的利润.
解：(1)设1997年每台电脑的生产成本为x元,依题意,得
x(1+50%)=5000×(1+20%)×80%,解得x=3200(元).
(2)设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y,则依题意,得5000(1－y)4=3200,
即1997年每台电脑的生产成本为3200元,1993年至1997年生产成本平均每年降低11%.
课堂小结
本节重点学习了函数模型的实例应用，包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等；另外还应关注函数方程不等式之间的相互关系.
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.
引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.
作业
课本P107习题3.2A组5、6.
板书设计
教学反思
正、余弦定理的应用举例
作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，高中教师要准备好教案，这是每个高中教师都不可缺少的。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助授课经验少的高中教师教学。你知道如何去写好一份优秀的高中教案呢？以下是小编为大家收集的“正、余弦定理的应用举例”欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！
2.2.2正、余弦定理的应用举例（2）
知识梳理
2.解斜三角形的应用问题，通常需根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解，其中建立数学模型的方法是我们的归宿，用数学手段来解决实际问题，是学习数学的根本目的。
3.解题应根据已知合理选择正余弦定理，要求算法简洁、算式工整、计算准确。
典例剖析
题型一正、余弦定理在几何中的应用
例1如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值
解：设∠POB＝θ，四边形面积为ｙ，则在△POC中，由余弦定理得：?
PC2＝OP2＋OC2－2OPOCcosθ＝5－4cosθ?
∴ｙ＝Ｓ△OPC＋Ｓ△PCD＝＋(5－4cosθ)
＝2sin(θ－)＋
∴当θ－＝即θ＝时，ｙmax＝2＋
评述：本题中余弦定理为表示△PCD的面积，从而为表示四边形OPDC面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ的构造及逆用，应予以重视?
题型二正、余弦定理在函数中的应用
例2如图，有两条相交成角的直线、，交点是，甲、乙分别在、上，
起初甲离点千米，乙离点千米，后来两人同时用每小时千米的速度，甲沿方向，乙沿方向步行，
（1）起初，两人的距离是多少？
（2）用包含的式子表示小时后两人的距离；
（3）什么时候两人的距离最短？
解：（1）设甲、乙两人起初的位置是、，
则
，
∴起初，两人的距离是．
（2）设甲、乙两人小时后的位置分别是，
则，，
当时，；
当时，，
所以，．
（3），
∴当时，即在第分钟末，最短。
答：在第分钟末，两人的距离最短。
评析：（2）中，分0t和t两种情况进行讨论，但对两种情形的结果进行比较后发现，目标函数有统一的表达式，从而（3）中求最值是对这个统一的表达式进行运算的。
备选题正、余弦定理的综合应用
例3如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设MGA＝（）
（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）；表示为的函数，
（2）求y＝的最大值与最小值。
解析：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，
所以AG＝，MAG＝，由正弦定理
得，
则S1＝GMGAsin＝。同理可求得S2＝。
（2）y＝＝＝72（3＋cot2）
因为，
所以当＝或＝时，y取得最大值ymax＝240，当＝时，y取得最小值ymin＝216。
点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数，这些解题思维的拐点。
点击双基
1．在△ABC中，，则△ABC的面积为（）
A.B.C.D.1
解：S==4sin10sin50sin70=4cos20cos40cos80
====
答案：C
2.如图所示:在一幢20m高的楼顶A测得对面一塔顶C的仰角为60,塔基D的俯角为45,则这座塔的高是()
A.20mB.10mC.(10+10)mD.(20+20)m
解：可知BAD=45,AE=20,AB=20,BAC=60,
CB=ABtan60=20所以这座塔的高CD=(20+20)m
答案：D
3．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）
A．b=10，A=45°，B=70°B．a=60，c=48，B=100°
C．a=7，b=5，A=80°D．a=14，b=16，A=45°
解：A,B可根据余弦定理求解，只有一解，选项C中，A为锐角，且ab,只有一解.
选项D中所以有两个解。
答案：D
4.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西600，另一灯塔在船的南偏西750，则这艘船是每小时航行____。
解：10海里
5．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车与第三辆车的距离之间的关系为（）
A.B.
C.D.不能确定大小
解：依题意知BC=,CD=,BAC=CAD.
△ABC中,
△ACD中,
BCCD,即
答案：C
课后作业
1.有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（）
A.1公里B.sin10°公里C.cos10°公里D.cos20°公里
答案：A
2.边长分别为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）
A.90B.120C.135D.150
解：用余弦定理算出中间的角为60.
答案：B
3.下列条件中，△ABC是锐角三角形的是（）
A.sinA+cosA=B.＞0C.tanA+tanB+tanC＞0D.b=3，c=3，B=30°
解：由sinA+cosA=得2sinAcosA=－＜0，∴A为钝角.
由＞0，得＜0，∴cos〈，〉＜0.∴B为钝角.
由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）（1－tanAtanB）+tanC＞0.
∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都为锐角.
由=，得sinC=，∴C=或.
答案：C
4、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（）
A．B．C．D．
解：a
答案：B
5.某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）
A．450a元B．225a元C．150a元D.300a元
解：S==150购买这种草皮至少要150a元
答案：C
6.甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）
A．分钟B．分钟C．21.5分钟D．2.15分钟
解：设航行时间为t小时，则两船相距
=
t=-小时=分钟
答案：A
7.飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30°，向前飞行10000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为60°，这时飞机与地面目标的水平距离为（）
A．5000米B．5000米C．4000米D．米
解：=30°,DBC=60°,AB=1000.CB=10000.BD=5000
答案：A
8如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为
A75°B60°C50°D45°
解：作CE⊥平面ABD于E，则∠CDE是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE=40°，延长DE交直线AB于F，连结CF，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为α要使S△ABD最大，只需DF最大
在△CFD中，=
∴DF=
∵CF为定值，∴当α=50°时，DF最大
答案：C
二．填空题
9.某船在海面A处测得灯塔C与A相距海里，且在北偏东方向；测得灯塔B与A相距海里，且在北偏西方向。船由向正北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西方向。这时灯塔C与D相距海里
答案：
10.在△ABC中，已知60°，如果△ABC两组解，则x的取值范围是
解：asinBba,即xsin602x
答案：
11．一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为
km
答案：
三．解答题
12.某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？
解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得
cosC==,
则sinC=1-cosC=,
sinC=,
所以sinMAC=sin（120-C）=sin120cosC-cos120sinC=
在MAC中，由正弦定理得MC===35
从而有MB=MC-BC=15
答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。
13．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知，，于A处测得水深，于B处测得水深，于C处测得水深，求∠DEF的余弦值。
解：作交BE于N，交CF于M．
，
，
．
在中，由余弦定理，
14.在中，角A、B、C的对边分别为、、，
，又的面积为.（1）求角C的大小；（2）求的值.
解：（1）由已知得，所以，；
（2）因为，所以，
又因为，所以
所以，===5
●思悟小结
1.三角形中的边角问题的求解，或三角形的形状的判定，及其与三角形有关的问题的求解，通常是利用正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角恒等变形去解决。
2.判断三角形的形状，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理及三角变换将已知的边角关系全转化为边的关系或全转化为角的关系，导出边或角的某种特殊关系，然后判定三角形的形状。注意变换过程中等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能。
3.正确理解实际问题中的仰角、俯角、方位角、坡脚、坡比等名词术语。
