直线的截距问题探讨。
一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，作为高中教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，减轻高中教师们在教学时的教学压力。高中教案的内容要写些什么更好呢？下面是小编帮大家编辑的《直线的截距问题探讨》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。
[内容摘要]每年全国各地高考试卷中,都有不少习题与直线的截距有关，学生在解决这些问题时错误率较高，失误多.笔者就高中新教材必修2——平面解析几何知识中的相关知识进行阐述，对有关直线截距的相关知识复习,仅以一个课时(45分钟)为实例进行研究、探讨.
直线的截距问题探讨
一、基础知识复习
1.定义：我们将直线在y轴上的交点的纵坐标称为直线在y轴上的截距.特别地,若直线经过坐标原点,则该直线在x、y轴上的截距均为零.
2.应用:运用直线的截距求直线方程时,会简化运算;可以解决直线与圆的位置关系等问题.
3.注意点:截距并不表示距离,它可以为正,可以为零,也可以为负.
二、典型例题分析
[例1]求经过点A（3，2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
[学生练习]
学生甲：设直线方程为
因此，所求直线方程为
学生乙：设直线方程为将点A（3，2）代入，得a=5,即所求直线方程为x+y-5=0.
学生丙：若截距均为0，则设直线方程为y=kx,将点A（3，2）代入，得直线方程为2x-3y=0;
若截距不为0，则可设直线方程为将点A（3，2）代入，得直线方程为x+y-5=0.
[教师点评]
对于学生甲，应对直线的斜率k进行讨论，解题不严密。学生乙出现了漏解，原因在于：直线的截距并不表示距离，截距可以为零，也可以为负值，应对截距的不同情形进行讨论，因此学生丙的解法是正确的。
[变型题1]求过点A（2，-3），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程。
仿上解法可求得直线方程为x-y-5=0,或3x+2y=0.
[变型题2]求过点A（3，2），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程。
仿上解法可求得直线方程为x+y-5=0,或x-y-1=0.或2x-3y=0.
[例2]求与圆相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
[分析]这个问题不能直接设截距式方程求解,也要对截距为零的情形加以讨论.
[解]若截距为0,直线通过原点,此时直线与圆相交,故截距不为0.设直线方程为由圆心到直线的距离公式,得.故所求直线方程为
.
[变型题1]求与圆相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
[分析]由于坐标原点在圆上,所以当直线的截距为零时,满足题意的直线有一条.另一方面,当直线的截距不为零时,应有两条.故此问题的解答估计有三条直线符合题意.
[略解]若截距为0,利用圆心到直线的距离等于半径可以求出直线方程为
若截距不为0.设直线方程为由圆心到直线的距离公式,得
.故所求直线方程为
[答]所求直线方程为.
[说明]此道题很特别，截距不为零时，刚好有一解为零.所以此道题最后仅有两解.
[变型题2]求与圆相切,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
[分析]由于坐标原点在圆外,所以当直线的截距为零时,满足题意的直线有两条.另一方面,当直线的截距不为零时,有两条.故此问题的解答有四条直线符合题意.
[答]所求直线方程为
.
[变型题3]求与圆相切,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
[分析]由于坐标原点在圆上,所以当直线的截距为零时,满足题意的直线有一条.另一方面,当直线的截距不为零时,应有两条.故此问题的解答估计有三条直线符合题意.
[答]所求直线方程为
[说明]注意此题与[变型题1]的比较.
[变型题4]求与圆相切,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
[分析]由于坐标原点在圆外,所以当直线的截距为零时,满足题意的直线有两条.另一方面,当直线的截距不为零时,有两条.故此问题的解答有四条直线符合题意.
[答]所求直线方程为
三、课堂小结
本节课我们主要对直线的截距问题作了简要的介绍,请注意它们的用法,解题时特别注意截距为零或负值的情形.这里要挖掘的东西还很多,由于时间关系,我们将在今后的复习过程中一一叙述.
扩展阅读
高二数学直线与椭圆的有关综合问题教案19
俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。教师要准备好教案，这是教师的任务之一。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助教师更好的完成实现教学目标。所以你在写教案时要注意些什么呢？小编特地为大家精心收集和整理了“高二数学直线与椭圆的有关综合问题教案19”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！
直线与椭圆、双曲线的有关综合问题
教学要求：熟练解答关于直线与椭圆、双曲线的相交弦问题，能运用方程的思想，以及关于直线的有关知识。
教学重点：熟练分析思路。
教学过程：
一、复习准备：
1.提问：直线上两点间的距离公式？点线距离公式？
2.知识回顾：直线与二次曲线的相交问题解法（联立方程组）
二、讲授新课：
1.教学典型例题：
①出示例：设AB是过椭圆＋＝1的一个焦点F的弦，若AB的倾斜角为，求弦AB的长。
②先由学生分析解答思路，教师适当引导。
③学生试练→订正→小结：相交问题解答为联立方程组，并用直线上两点距离公式及韦达定理解决。
④出示例：过点P(2,-2)的直线被双曲线－＝1截得的弦MN的中点恰好为点P，求：直线MN的方程；弦MN的长。
⑤先由学生分析解答思路，教师适当引导。
⑥师生共同解答，主要步骤提问学生。
解法：设直线的点斜式→联立方程组→消y得到x的一元二次方程→利用中点坐标公式求k→再用直线上两点间的距离公式求MN长。
2.练习：
①已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，截直线y＝x所得的弦长为，求此双曲线的标准方程。
②AB是椭圆＋＝1(ab0)中不平行于对称轴且不过原点O的一条弦，M是AB的中点，求证：kk是定值。
三、巩固练习：
1.设直线y＝kx＋m与双曲线－＝1的两支分别交于点P和点Q，同时与它的两条渐近线分别交于点R和点S，求证：|PR|＝|SQ|。
解法：分别联立方程组，证明两组交点的中点坐标相同。
2.课堂作业：书P13211、12、14题。
直线与直线之间的位置关系
2.1.7直线与直线之间的位置关系-两点间距离
一、三维目标
1、知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。
2、过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。
3、情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题
二、教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。难点，应用两点间距离公式证明几何问题。
三、教学方式：启发引导式。
教学用具：用多媒体辅助教学。
四、教学过程
（一）、情境设置，导入新课
课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题
平面直角坐标系中两点，分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为，直线相交于点Q。
在直角中，，为了计算其长度，过点向x轴作垂线，垂足为过点向y轴作垂线，垂足为，于是有
所以，=。
由此得到两点间的距离公式，
在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。
（二）、例题解答，细心演算，规范表达。
例1：以知点A（-1，2），B（2，），在x轴上求一点，使,并求的值。
解：设所求点P（x，0），于是有
由得解得x=1。
所以，所求点P（1，0）且通过例题，使学生对两点间距离公式理解。应用。
解法二：由已知得，线段AB的中点为，直线AB的斜率为k=
线段AB的垂直平分线的方程是y-
在上述式子中，令y=0，解得x=1。所以所求点P的坐标为（1，0）。因此
同步练习：书本112页第1，2题
（三）、巩固反思，灵活应用。（用两点间距离公式来证明几何问题。）
例2证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。
这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。
设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为
所以，
所以，
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。
第二步：进行有关代数运算。第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。
思考：同学们是否还有其它的解决办法？
还可用综合几何的方法证明这道题。
（四）、课堂小结：主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。
（五）、课后练习1.：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等。
2.在直线x-3y-2=0上求两点，使它与（-2，2）构成一个等边三角形。
3．（1994全国高考）点（0，5）到直线y=2x的距离是。
五、教后反思：
直线的斜率
经验告诉我们，成功是留给有准备的人。高中教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，帮助高中教师在教学期间更好的掌握节奏。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？下面是小编帮大家编辑的《直线的斜率》，相信能对大家有所帮助。
总课题直线与方程总课时第20课时
分课题直线的斜率（二）分课时第2课时
教学目标理解直线的倾斜角的定义，知道直线的倾斜角的范围；掌握直线的
斜率与倾斜角之间的关系.
重点难点理解直线的倾斜角的范围；掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系.
引入新课
1．练习：已知，求．
2．倾斜角的定义：
在平面直角坐标系中，
便是直线的倾斜角．
直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为．
因此该定义也可看作是一个分类定义．
3．倾斜角的范围是．
4．直线的斜率与倾斜角的关系：
当直线与轴不垂直时，直线的斜率与倾斜角之间满足；
当直线与轴垂直时，直线的斜率，但此时倾斜角为．
5．斜率与倾斜角之间的变化规律：
当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率；且均为正；
当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率；且均为负；
并规定；但我们不能错误的认为倾斜角越大，斜率越大．
注意：任何直线都有倾斜角且是唯一的，但不是任何直线都有斜率．
例题剖析
例1已知过点、的直线的倾斜角为，求实数的值．
一变：若过点、的直线的倾斜角为，求实数的值．
二变：若过点、的直线的倾斜角为，求实数的值．
三变：实数为何值时，经过两点、的直线的倾斜角为钝角？
过两点（－，1），（0，b）的直线l的倾斜角介于30°与60°之间，
求实数b的取值范围．
已知两点A（m，3），B（2，3+2），直线l的斜率是，且l的倾斜角是
直线AB倾斜角的，求m的值．
例4设点，直线过点，且与线段相交，
求直线的斜率的取值范围．
巩固练习
1．判断正误：
（1）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率．（）
（2）若一直线的倾斜角为，则此直线的斜率为．（）
（3）倾斜角越大，斜率越大．（）
（4）直线斜率可取到任意实数．（）
2．光线射到轴上并反射，已知入射光线的倾斜角，则斜率________，
反射光线的倾斜角_____________，斜率____________．
3．已知直线l1的倾斜角为，则l1关于轴对称的直线l2的倾斜角为_____．
4．已知直线l过点P（1，2）且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的斜率．
课堂小结
理解直线的倾斜角的范围；掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系.
课后训练
一基础题
1．设直线的倾斜角为，则它关于轴对称的直线的倾斜角是（）
．．180°-．90°-．90°+
2．如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）
A．k1k2k3B．k3k1k2
C．k3k2k1D．k1k3k2
3．过点、的直线的倾斜角为（）
．135°．45°．60°．120°
4．已知过点、的直线的倾斜角
为60°，则实数的值为．
5．在下列叙述中：
①、一条直线倾斜角为，则它的斜率为；
②、若直线斜率，则它的倾斜角为135°；
③、若，则直线的倾斜角为90°；
④、若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点；
⑤、若直线斜率为，则这条直线必过点与两点．
请选择所有正确命题的序号．
二提高题
6．设直线的斜率为，直线的倾斜角是倾斜角的二倍，则的斜率为．
7．已知，，
（1）若直线的倾斜角为直角，求的取值；
（2）若直线的倾斜角为锐角，求的取值．
8．过两点的直线的倾斜角为45°，求的值．
三能力题
9．光线从点射到轴上的点，经轴反射后过点，
求点的坐标及入射光线的斜率．
10．已知点、、，直线过点且与线段有公共点，
求直线的斜率的变化范围．
空间直线与直线之间的位置关系
第二课时空间中直线与直线之间的位置关系
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角公理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法
让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.
3．情感、态度与价值
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.
（二）教学重点、难点
重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理.
难点：异面直线所成角的计算.
（三）教学方法
师生的共同讨论与讲授法相结合；
教学过程教学内容师生互动设计意图
新课导入问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？师投影问题，学生讨论回答
生1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.
生2：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线……
师（肯定）：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.
探索新知1．空间的两条直线位置关系：
共面直线
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：①相交直线—有且仅有一个公共点
②平行直线—在同一平面内，没有公共点.
③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.
随堂练习：
如图所示P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.
答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG.现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类
生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线.一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.
师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”
学生讨论发现不能去掉“任何”
师：“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内”培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解
（1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行
（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
例2如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：连接BD，
因为EH是△ABD的中位线，
所以EH∥BD，且.
同理FG∥BD，且.
因为EH∥FG，且EH=FG，
所以四边形EFGH为平行四边形.师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.
师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.
生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.
师（肯定）下面我们来看一个例子
观察图，在长方体ABCD–A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
生：从图中可以看出，
∠ADC=∠A′D′C′，
∠ADC+∠A′B′C′=180°
师：一般地，有以下定理：……这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.
师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.
师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.
培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.
通过分析和引导，培养学生解题能力.
探索新知3．异面直线所成的角
（1）异面直线所成角的概念.
已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
（2）异面直线互相垂直
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b，记作a⊥b.
例3如图，已知正方体ABCD–A′B′C′D′.
（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？
（3）哪此棱所在的直线与直线AA′垂直？
解：（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.
（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的夹角，∠B′BA′=45°.
（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.
①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；
②两条异面直线所成的角
；
③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；
④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；
⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b互相垂直，也记作a⊥b；
⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.
然后师生共同分析例题加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.
随堂练习1．填空题：
（1）如图，AA′是长方体的一条棱，长方体中与AA′平行的棱共有条.
（2）如果OA∥O′A′，OB∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′.
答案：（1）3条.分别是BB′，CC′，DD′；（2）相等或互补.
2．如图，已知长方体ABCD–A′B′C′D′中，AB=，AD=，AA′=2.
（1）BC和A′C′所成的角是多少度？
（2）AA′和BC′所成的角是多少度？学生独立完成
答案：.
2．（1）因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角.在Rt△A′B′C′中，A′B′=，B′C′=，所以∠B′C′A′=45°.
（2）因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BB′所成的角.
在Rt△BB′C′中，B′C′=AD=，BB′=AA′=2，
所以BC′=4，∠B′BC′=60°.
因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.
归纳总结1．空间中两条直线的位置关系.
2．平行公理及等角定理.
3．异面直线所成的角.学生归纳，教师点评并完善培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构.
作业2.1第二课时习案学生独立完成固化知识
提升能力
附加例题
例1“a、b为异面直线”是指：
①a∩b=，且a∥b；
②a面，b面，且a∩b=；
③a面，b面，且∩=；
④a面，b面；
⑤不存在面，使a面，b面成立.
上述结论中，正确的是（）
A．①④⑤正确B．①③④正确
C．仅②④正确D．仅①⑤正确
【解析】①等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线；②等价于a、b不同在同一平面内，故a、b是异面直线.故选D
例2如果异面直线a与b所成角为50°，P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有条.
【解析】如图所示，过定点P作a、b的平行线
a′、b′，因a、b成50°角，∴a′与b′也成50°角.过P作∠A′PB′的平分线，取较小的角有
∠A′PO=∠B′PO=25°.
∵∠APA′＞A′PO，
∴过P作直线l与a′、b′成30°角的直线有2条.
例3空间四边形ABCD，已知AD=1，BD=，且AD⊥BC，对角线BD=，AC=，求AC和BD所成的角。
【解析】取AB、AD、DC、BD中点为E、F、G、M，连EF、FG、GM、ME、EG.
则MG
EM
∵AD⊥BC∴EM⊥MG
在Rt△EMG中，有
在RFG中，∵EF=
∴EF2+FG2=EG2
∴EF⊥FG，即AC⊥BD
∴AC和BD所成角为90°.
【点评】根据异面直线成角的定义，异面直线所成角的求法通常采用平移直线，转化为相交直线所成角，注意角的范围是.
