小学一年级数学的教案

九年级数学知识点归纳：勾股定理的逆定理。

九年级数学知识点归纳：勾股定理的逆定理

知识点总结
一、勾股定理：
1.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
２.勾股定理的证明：
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
（1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；
（2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。JAb88.COM

4.勾股定理的适用范围：
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
二、勾股定理的逆定理
1.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
说明：（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；
（2）定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.
2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：
（1）确定最大边；
（2）算出最大边的平方与另两边的平方和；
（3）比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。
三、勾股数
能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数.
四、一个重要结论：
由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较小面积和等于较大面积”。
五、勾股定理及其逆定理的应用
解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问题、梯子下滑问题等，常直接间接运用勾股定理及其逆定理的应用。
常见考法
（1）直接考查勾股定理及其逆定理；（2）应用勾股定理建立方程；（3）实际问题中应用勾股定理及其逆定理。
误区提醒
（1）忽略勾股定理的适用范围；（2）误以为直角三角形中的一定是斜边。
【典型例题】（2010湖北孝感）
[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。
[定理表述]
请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；
[尝试证明]
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；
[知识拓展]

勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理;
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
规律方法指导
1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法.
5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解.

精选阅读

18．2勾股定理的逆定理（三）

18．2勾股定理的逆定理（三）
一、教学目标
1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。
2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。
3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
二、重点、难点
1．重点：利用勾股定理及逆定理解综合题。
2．难点：利用勾股定理及逆定理解综合题。
三、例题的意图分析
例1（补充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。
例2（补充）使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。本题辅助线作平行线间距离无法求解。创造3、4、5勾股数，利用勾股定理的逆定理证明DE就是平行线间距离。
例3（补充）勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。
四、课堂引入
勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。
五、例习题分析
例1（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。
试判断△ABC的形状。
分析：⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0，则都为0；⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。
例2（补充）已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。
求：四边形ABCD的面积。
分析：⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；
⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。
例3（补充）已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=ADBD。
求证：△ABC是直角三角形。
分析：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2
∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2
=AD2+2ADBD+BD2
=（AD+BD）2=AB2
六、课堂练习
1．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（）
A．等腰三角形；
B．直角三角形；
C．等腰三角形或直角三角形；
D．等腰直角三角形。
2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：，试判断△ABC的形状。
3．已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且AB⊥BC。
求：四边形ABCD的面积。
4．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且CD2=ADBD。
求证：△ABC中是直角三角形。

七、课后练习，
1．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积。
2．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm。
求证：△ABC是等腰三角形。
3．已知：如图，∠1=∠2，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2。
求证：AB2=AE2+CE2。4．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，试判定△ABC的形状。

课后反思：

八、参考答案：
课堂练习：
1．C；
2．△ABC是等腰直角三角形；
3．
4．提示：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=
AD2+2ADBD+BD2=（AD+BD）2=AB2，∴∠ACB=90°。
课后练习：
1．6；
2．提示：因为AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD，根据线段垂直平分线的判定可知AB=BC。
3．提示：有AC2=AE2+CE2得∠E=90°；由△ADC≌△AEC，得AD=AE，CD=CE，∠ADC=∠BE=90°，根据线段垂直平分线的判定可知AB=AC，则AB2=AE2+CE2。
4．提示：直角三角形，用代数方法证明，因为（a+b）2=16，a2+2ab+b2=16，ab=1，所以a2+b2=14。又因为c2=14，所以a2+b2=c2。

《勾股定理的逆定理》教学反思

《勾股定理的逆定理》教学反思

一、本节课的成功之处:

1、本节课以学生活动为主线,通过学生回顾旧知识（勾股定理），然后设计练习题从估算到实验活动结果的产生让学生总结规律,最后回到解决生活中实际问题,思路清晰,脉络明了。例如:活动2问题:让学生画出以所给条件为边的三角形,再用量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数，再根据上述每个三角形所给的各组边长请你找出最长边的平方与其他两边的平方和之间的关系。猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系时，这个三角形才可能是直角三角形呢？

2、体现了对“数学抽象”的核心素养的认识，突出了“特征上让学生观察,思路上让学生探索,方法上让学生思考，让学生概括,结论让学生验证,难点让学生突破,以学生为主体”的教学思路。例如:活动四例1.在很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，这个三角形便是直角三角形。为什么？先让学生自主完成，再集体纠正，调动了学生学习的积极性。

3、在本节教学活动过程中,我经常走下讲台,到学生中去,以学生身份和学生一起探讨问题。用一切可能的方式,激励回答问题的学生,激发学生的求知欲,使师生在和谐的教学环境中零距离的接触。课堂上学生们的思维空前活跃,发言的人数不断增多,学生能从多角度认识问题,争先恐后地交流不同的意见和方法,收到比较好的效果。这是本节课的特色。

二、本节课的不足之处及改进方法:

1、本节课我利用多媒体辅助教学,如学习目标的发展、习题训练内容的展示、学生活动的要求、作业布置等,都用多媒体进行了展示，但由于计算机知识有限，设计的课件没有动图，学生的兴趣不是很高，在以后的教学中我应加强计算机的应用知识，使自己设计的多媒体课件更生动，更具有吸引力。

2、在重难点的突破上还应加一些递进的习题,降低题的难度,使优等生感兴趣,中等生也能跟上，学困生也有兴趣去学。在以后教学中，我会不断地更新教育理念,结合学生的认知规律、生活经验对数教材进行再创造,选取密切联系学生现实生活和生动有趣的数学素材,为学生提供充分的数学活动和交流的空间,真正把创造还给学生,让学生动起来,让课堂焕发新的活力。

初二数学知识点梳理：勾股定理

初二数学知识点梳理：勾股定理

知识点总结
一、勾股定理：
1.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
２.勾股定理的证明：
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
（1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；
（2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

4.勾股定理的适用范围：
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
二、勾股定理的逆定理
1.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
说明：（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；
（2）定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.
2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：
（1）确定最大边；
（2）算出最大边的平方与另两边的平方和；
（3）比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。
三、勾股数
能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数.
四、一个重要结论：
由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较小面积和等于较大面积”。
五、勾股定理及其逆定理的应用
解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问题、梯子下滑问题等，常直接间接运用勾股定理及其逆定理的应用。
常见考法
（1）直接考查勾股定理及其逆定理；（2）应用勾股定理建立方程；（3）实际问题中应用勾股定理及其逆定理。
误区提醒
（1）忽略勾股定理的适用范围；（2）误以为直角三角形中的一定是斜边。
【典型例题】（2010湖北孝感）
[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。
[定理表述]
请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；
[尝试证明]
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；
[知识拓展]

勾股定理
一、勾股定理概述
直角三角形中，两直边的平方和等于斜边的平方。
即令直角三角形ABC中，其中角C=90°，直边BC的长度为a，AC的长度为b，斜边AB的长度为c,则有a+b=c
①勾股定理应用的前提是这个三角函数必须是直角三角形，解题时，只能是同一直角三角形中时，才能利用它求第三边边长
②在式子a+b=c中，a、b代表直角三角形的两条直角边，c代表斜边，它们之间的关系不能弄错
③遇到直角三角形中线段求值问题（知识点详解见解直角三角形），要首先向到勾股定理，勾股定理把“数”与“形”有机结合起来，把直角三角形这一“形”与三边关系这一“数”结合起来，是属性结合思想方法的典型。
④勾股定理的变式
在Rt△ABC中，其中角C=90°，直边BC的长度为a，AC的长度为b，斜边AB的长度为c，则
c=a+b
a=c-b=（c-b）(c+b)
b=c-a=(c-a)(c=a)
c=根号下（a+b）
a=根号下（c-b）
b=根号下（c-a）
二、勾股定理证明方法
1.面积法
一个直角梯形由2个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形和1个直角边为c的等腰直角三角形拼成。因为三个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式
1/2c2+2*1/2ab=(a+b)(b+a)/2，化简c2=a2+b2
2.赵爽证明法
以a、b为直角边（ba），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于1/2ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.
∵RtΔDAH≌RtΔABE,
∴∠HDA=∠EAB.
∵∠HAD+∠HAD=90，
∴∠EAB+∠HAD=90，
∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.
∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90.
∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于(b-a)2.
∴4*1/2ab+(b-a)2=c2
∴a2+b2=c2
三、勾股定理的逆定理
如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角。
勾股定理的逆定理是识别一个三角形是直角三角形的一种理论依据，它通过数形结合来确定三角形的形状，在运用这一定理时，可以用两短边的平方和a+b与较长边的平方c做比较，如果a+b=c，则此三角形为直角三角形，若a+b＞c，此三角形为锐角三角形，若a+b＜c，则此三角形为钝角三角形