小学三角形教案

与三角形有关的线段。

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7.1与三角形有关的线段
第一课时7.1-1三角形的边
重点：三角形的三边关系
难点：三角形的三边关系

一、阅读教材P63－P65的内容
二、独立思考：
1、_________________________________________叫三角形.
2、如图的三角形记作___________，它的三条边是_____________________，三个顶点分别是_______________，三个内角是______________________。
3、如图，共有_________个三角形，其中以AC为边的三角形是____________________；以∠B为其中一个内角的三角形有_____________________________________________。
4、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）
A、2，2，4B、3，4，1
C、5，6，12D、5，5，8
5、已知一个三角形的两边的边长分别是6和4，第三边的长可能是（）
A、2B、1
C、4或2D、4或6
6、三角形按边分为三类：____________,______________,________________;按角分成三类：________________,__________________,_________________。
7、一位同学用三根木棒拼成下图中的图形，其中符合三角形概念的是（）

:找出图中所有的三角形，并把它们表示出来。

已知一个等腰三角形的两边长分别为8厘米和4厘米，求这个等腰三角形的周长。

ABC的三边长分别为a,b,c，试化简：
（1）｜c－a－b｜－｜b－a－c｜（2）｜a+b－c｜－｜b－a－c｜
一、课堂练习：
1、教材P65练习第1、2题
2、一个三角形的两边长分别是3厘米，、4厘米，则第三边a的取值范围是____________。
3、已知三角形的两边长分别是6厘米和7厘米，第三边长是偶数，则第三边长可能是___________________。
4、如图，找出图中所有的三角形。
二、作业布置
教材P69第1、2、6题；
教材P70第7题，
三、自我检测
（一）选择题
1、ABC的三边长为a，b，c，且abc，若b＝6，c＝2，则a的取值范围是（）
A、4a8B、2a8C、6a8D、7a8
2、如图，为估计池塘岸边A，B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15米，OB＝10米，A，B间的距离不可能是（）
A、20米B、15米C、10米D、5米
3、已知三角形的两边长分别为3厘米和8厘米，则此三角形的第三边的长可能是（）
A、4厘米B、5厘米C、6厘米D、13厘米
4、已知一个等腰三角形的底边长为5，这个等腰三角形的腰长为x，则x的取值范围是（）
A、0xB、xC、xD、0x10
5、如果线段a、b、c能组成三角形，那么它们的长度比可能是（）
A、1：2：4B、1：3：4C、3：4：7D、2：3：4
（二）填空题
6、一个木工师傅现有两根木条，它们的长分别为50厘米和70厘米，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架，设第三根木条的长为x厘米，则x的取值范围是________
7、如图，在ABC中，AB的＝所对的角是__________，∠BAC所对的边是_______，AC在ABC中是_________的对边。
8、两边长分别为3和10与另一边组成的边长都是整数的三角形共有__________个。
（三）解答题
9、如果一个三角形的三边长度之比为2：3：4，周长为36厘米，求三边的长。

10、等腰三角形的周长为20厘米。
（1）若已知腰长是底长的2倍，求各边的长；
（2）若已知一边长为6厘米，求其它两边的长。
11、已知一个等腰三角形的三边长分别是a，3a－1，4a－2，试求其周长。（提示：要分三种情况讨论）
12、如图，P为ABC内任意一点，试说明PA+PB+PC（AB+AC+BC）

13、某木材市场上木棒规格和价格如下表：

规格1米2米3米4米5米6米
价格（元/根）101520253035

小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度为3米和5米的木棒，还需要到该木材市场上购买一根。
（1）有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？
（2）选择哪一种规格的木棒最省钱？

第二、三课时7.1-2三角形高、中线和角平分线
7.1-3三角形的稳定性

1、掌握三角形的三条重要线段（角平分线、中线、高）的有关概念、表示、画法及应用。
2、了解三角形的稳定性

重点：三角形的高、中线、角平分线
难点：三角形的高、中线、角平分线

一、阅读教材P65－P68的内容
二、独立思考：
1、如图，AD是ABC的中线，AE是∠BAC的平分线，则BD＝_________＝______,∠BAE＝________＝__________。
2、三角形具有___________性，而四边形没有_________性，要使一个六边形木架（如图）不变形，至少要钉上__________根木条。

3、关于三角形的高线、中线、角平分线，下列说法中正确的是（）
A、都是射线B、都是直线C、都是线段D、只有高线是射线
4、如图，BD是ABC的角平分线，DE//BC，∠DBC＝20°，则∠AED＝__________。
5、如图所示，AM是ABC的中线，若ABM的面积是20平方厘米，求ACM的面积。
画出下列三角形中每个内角的角平分线，与同学讨论一下，你发现了什么规律？
规律：____________________________________________________________________。

画出下列三角形中每条边上的中线，看看你发现什么规律？
规律：_____________________________________________________________________。

画出下列三角形中每条边上的高，与同学们讨论一下，发现了什么规律？
规律：____________________________________________________________________.

一、课堂练习：
1、教材P66练习第1、2题。
2、教材P68练习题
3、在RtABC中，CD⊥AB于D，若AD＝4，CD＝6，BD＝9，求：
（1）ABC的面积。
（2）SADC：SBDC以及AD：BD，你发现了什么？
二、作业布置
教材P69第3、4、5题
教材P70第8题
三、自我检测
（一）选择题
1、下列图形中，具有稳定性的是（）

2、如果三角形本条高的交点是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）
A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、以上都不正确
3、如图，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论错误的是（）
A、AD是ABC的角平分线B、CE是AC的角平分线
C、∠3＝∠ACBD、CE是ABC的角平分线
4、如图，AD⊥BC，垂足为D，则图中以A灰高的三角形共有（）
A、4个B、5个C、3个D、10个
5、如图，在ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，SABC＝4平方厘米，则SABE等于（）平方厘米
A、2B、1C、0.5D、0.25

（二）解答题
6、如图，写出以AE为高的三角形。

7、ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分成24cm和30cm的两部分，求三角形三边之长。

8、农户张大爷家要把一块三角形的土地平均分成4份，种植不同的蔬菜，并比较他们的产量，应如何分？试画出三种不同的分法。
9、在ABC中，AD是∠A的平分线，DE//AC交AB于E，EF//AD交BC于F，试问，EF是BDE的角平分线吗？说说你的理由。

10、如图，在ABC中有一点P，当P、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，在三角形内可构成三个不重叠的三角形；当ABC内的点的个数增加为2个时，在三角形内可构成五个不重叠的三角形；当ABC内的点的个数增加为3个时，在三角形内可构成七个不重叠的三角形。
（1）若其它条件不变，当ABC内的点的个数增加为88个时，在三角形内可构成多少个不重叠的小三角形？
（2）若其它条件不变，当ABC内的点的个数增加为n个时，在三角形内可构成301个不重叠的三角形，试求n的值。

相关知识

11.2与三角形有关的角11.2.2三角形的外角学案新版新人教版

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11．2.2三角形的外角
1．探索并了解三角形的外角的两条性质．
2．利用学过的定理论证这些性质．
3．利用三角形的外角性质解决与其有关的实际问题．
阅读教材P14～15，完成预习内容．
1．如图1，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做____________．
图1
如图2，一个三角形有________个外角．每个顶点处有________个外角．
图2

2．如图1，△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD＝________.试猜想∠ACD与∠A，∠B的关系是____________．
3．试结合图形写出证明过程：
证明：过点C作CM∥AB，延长BC到D.
则∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)，
∠2＝∠B(两直线平行，同位角相等)，
所以∠1＋∠2＝∠A＋∠B，
即________＝∠A＋∠B.
知识探究
一般地，由三角形内角和定理可以推出：
三角形的外角等于与它不相邻的________________．
自学反馈
1．判断下列∠1是哪个三角形的外角：
2．求下列各图中∠1的度数．
活动1小组讨论
1．如图∠1＋∠2＋∠3＝？
解：∠1＋∠BAC＝180°，
∠2＋∠ABC＝180°，
∠3＋∠ACB＝180°，
三个式子相加得到：
∠1＋∠2＋∠3＋∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝540°.
而∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
所以∠1＋∠2＋∠3＝360°.
2．结论：三角形的外角和是360°．
活动2跟踪训练
1．求下列各图中∠1的度数．

2．求下列各图中∠1和∠2的度数．
3．已知三角形各外角的比为2∶3∶4，求它的每个外角的度数？
4．如图，AB∥CD，∠A＝40°，∠D＝45°，求∠1和∠2.
活动3课堂小结
三角形外角的性质：
1．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
2．三角形的外角和是360°.
【预习导学】
1．三角形的外角622.120°∠A＋∠B＝∠ACD
3．∠ACD
知识探究
两个内角的和
自学反馈
1．略．2.略．
【合作探究】
活动2跟踪训练
1．∠1＝90°∠1＝80°∠1＝95°.2.略．3.设三个外角度数分别为2x、3x、4x，由三角形外角和为360°，得2x＋3x＋4x＝360°.解得x＝40°.所以三个外角度数分别为80°，120°，160°.4.∠1＝40°，∠2＝85°.

三角形的边与角

第九讲三角形的边与角
三角形是最基本的图形之一，是研究其他复杂图形的基础，三角形的三边相互制约，三个内角之和为定值，边与角之间有密切的联系(如大角对大边、大边对大角等)，反映三角形的边与角关联的基本知识有：三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段。角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用．
解与三角形的边与角有关的问题时，往往要用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法(方程、不等式)解几何计算题及简单的证明题，按边或角对三角形进行分类．
熟悉以下基本图形、并证明基本结论：
(1)∠l＋∠2=∠3+∠4；
(2)若BD、CO分别为∠ABC、∠ACB的平分线，则∠BOC=90°+∠A；
(3)若BO、CO分别为∠DBC、∠ECB的平分线，则∠BOC=90°－∠A；
(4)若BE、CE分别为∠ABC、∠ACD的平分线，则∠E=∠A．

注：中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，它们的差别在于高随着三角形形状的不同，可能在三角内部、边上或外部．
代数法解几何计算问题的基本思路是通过设元，运用几何知识建立方程(组)、不等式(组)，将问题转化为解方程(组)或解不等式(组)．
例题求解
【例1】在△ABC中，三个内角的度数均为整数，且∠A∠B∠C，4∠C＝7∠A，则∠B的度数为．(北京市竞赛题)
思路点拨设∠C＝x°，根据题设条件及三角形内角和定理把∠A、∠B用x的代数式表示，建立关于x的不等式组．
【例2】以1995的质因数为边长的三角形共有()
A．4个B．7个C．13个D．60个
(河南省竞赛题)
思路点拨1995=3×5×7×19，为做到计数的准确，可将三角形按边分类，注意三角形三边应满足的关系制约．
【例3】(1)如图，BE是∠ABD的平分线．CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小．
(“希望杯”邀请赛试题)
(2)在△ABC中，∠A=50°，高BE、CF交于O，且O不与B、C重合，求∠BOC的度数．(“东方航空杯”——上海市竞赛题)
思路点拨(1)运用凹边形的性质计算．(2)由O不与B、C重合知，∠B、∠C均非直角，这样，△ABC既可能是锐角三角形又可能是钝角三角形，故应分两种情况讨论．
【例4】周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个?
(2003年河南省竞赛题)
思路点拨不妨设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c，由三角形三边关系定理及题设条件可确定c的取值范围，以此作为解题的突破口．
注如图，在凹四边ABCD中，∠BDC=∠A＋∠B＋∠C．请读者证明．
解所研究的问题的图形形状不惟一或几何固形位置关系不确定或与分类概念相关的命题时．往往用到分类讨论法．

【例5】(1)用长度相等的100根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数．
(大原市竞赛题)
(2)现有长为150cm的铁丝，要截成n(n2)小段，每段的长为不小于l㎝的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段．
(第17届江苏省竞赛题)
思路点拨(1)设三角形各边需用火柴杆数目分别为x、y、3x，综合运用题设条件及三角形边的关系等知识，建立含等式、不等式的混合组，这是解本例的突破口．
(2)因n段之和为定值150㎝，故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能小，这样依题意可构造一个数列．
学力训练
1．若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是．
(2003年河南省竞赛题)
2．一条线段的长为a，若要使3a—l，4a+1，12－a这三条线段组成一个三角形，则a的取值范围是．
3．如图，在△ABC中，两条角平分线CD、BE相交于点F，∠A＝60°，则∠DFE＝度．

4．如图，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，则∠DCE＝．
(用α、β表示)．(山东省竞赛题)
5．若a、b、c为三角形的三边，则下列关系式中正确的是()
A．B．
C．D．
(江苏省竞赛题)
6．△ABC的内角A、B、C满足3A5B，3C≤2B，则这个三角形是()
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
7．如图，△ABC内有三个点D、E、F，分别以A、B、C、D、E、F这六个点为顶点画三角形，如果每个三角形的顶点都不在另一个三角形的内部，那么，这些三角形的所有内角之和为()
A．360°B．900°C．1260°D．1440°(重庆市竞赛题)

8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠C的平分线与∠B的外角平分线交于E点，连结AE，则∠AEB是()
A．50°B．45°C．40°D．35°(山东省竞赛题)
9．如图，已知∠3＝∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D＝180°．
10．如图，已知射线ox与射线oy互相垂直，B，A分别为ox、oy上一动点，∠ABx、∠BAy的平分线交于C．
问：B、A在ox、oy上运动过程中，∠C的度数是否改变?若不改变，求出其值；若改变，说明理由．

11．已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但它不是最短边，这样的三角形共有个．
12．三角形的三个内角分别为α、β、γ，且α≥β≥γ，α=2γ，则β的取值范围．
13．已知△ABC的周长是12，三边为a、b、c，若b是最大边，则b的取值范围是．
14．如图，E和D分别在△ABC的边BA和CA的延长线上，CF、EF分别平分∠ACB和∠AED，若∠B＝70°，∠D=40°，则∠F的大小是．
15．已知△ABC中，∠B=60°，∠C∠A，且(∠C)2＝(∠A)2+(∠B)2，则△ABC的形状是()
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
(“希望杯”邀请赛试题)
16．不等边三角形中，如果有一条边长等于另外两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是()
A．B．C．1k2D．
17．已知三角形的三边的长a、b、c都是整数，且a≤bc，若b=7，则这样的三角形有()
A．14个B．28个C．21个D．49个
18．如果三角形的一个外角大于这个三角形的某两个内角的2倍，那么这个三角形一定是()
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．直角或钝角三角形
19．如图，已知DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，求∠C的度数．

20．不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．
(美国数学邀请赛试题)
21．将长度为2n(n为自然数，且n≥4)的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记(a，b，c)为三边的长，且满足a≤b≤c的一个三角形．
(1)就n＝4，5，6的情况，分别写出所有满足题意的(a，b，c)；
(2)有人根据(1)中的结论，便猜想：当铅丝的长度为2n(n为自然数且n≥4)时，对应(a，b，c)的个数一定是n－3，事实上，这是一个不正确的猜想，请写出n＝12时的所有(a，b，c)，并回答(a，b，c)的个数；
(3)试将n=12时所有满足题意的(a，b，c)，按照至少两种不同的标准进行分类．
(河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)
22．阅读以下材料并填空．
平面上有n个点(n≥2)，且任意三个点不在同一条直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线?
(1)分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；有5个点时，可连成l0条直线……
(2)归纳：考察点的个数n和可连成直线的条数S发现：
(1)分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3．条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成1O条直线；
(2)归纳：考察点的个数n和可连成直线的条数Sn，发现：
点的个数可连成直线条数
21=S2=
33=S3=
46=S4=
510=S5=
…………
n
(3)推理：平面上有n个点，两点确定一条直线．取第一个点以有n种取法，取第二个点B有(n－1)种取法，所以一共可连成n(n－1)条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2，即Sn=．
(4)结论：Sn=．
试探究以下问题：平面上有n(n≥3)个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少不同的三角形?
(1)分析：当仅有3个点时，可作个三角形；当有4个点时，可作个三角形；当有5个点时，可作个三角形．
(2)归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数Sn,发现：(填下表)
点的个数可连成三角形个数
3
4
5
…
n

(3)推理：
(4)结论：
(甘肃省中考题)

八年级数学上册第11章三角形11.1与三角形有关的线段11.1.3三角形的稳定性学案新版新人教版

11.1.3三角形的稳定性
【学习目标】
1、通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性；
2、体会稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用。
【学习重点】
了解三角形的稳定性及其在生产、生活中的广泛应用。
【学习难点】
1、三角形稳定性的得出；
2、体会三角形稳定性在生产和生活中的应用。
【学习过程】
※知识链接
1、如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE=CE，AF是三角形的角平分线，那么三角形的三边有什么关系？根据上述条件，你还能得到什么结论？

2、在我们生活和生产中哪里用到了三角形？

※合作与探究
1、通过实际操作探究三角形的稳定性
（1）如图，在盖房子时，在窗框未安装好之间，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做？

（2）用三根木条钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会变吗？

（3）用四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会变吗？

（4）在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对对点连接起来，然后扭动它，它的形状会变吗？

通过上述实验操作，可以得到结论：三角形_____变形，即三角形_____稳定性，四边形____变形，即四边形_________稳定性。
2、通过生活中的实例感受数学知识在生产和生活中的实际应用
（1）三角形的稳定性在我们生活中有哪些应用？

（2）三角形的稳定性在我们生产中有哪些应用？

※随堂检测
1、如图，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了
__________________________________。

2、下列图形中哪些具有稳定性？

3、要使四边形木架不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？

教（学）后反思：_________________________________________________________________
_____________________________________________________________________（实际使用课时______节）