八年级数学上册13.3.1等腰三角形1等腰三角形的性质学案新版新人教版。
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课题：13.3.1（1）等腰三角形的性质
【学习目标】
1、经历剪纸、折纸等活动，进一步认识等腰三角形；了解等腰三角形是轴对称图形；
能够探索、归纳、验证等腰三角形的性质，并学会应用等腰三角形的性质。
2、培养分类讨论、方程的思想和添加辅助线解决问题的能力。
【学习重难点】
重点：等腰三角形性质的探索和应用。
难点：等腰三角形的性质的验证。
一、知识链接
复习旧知：
1、等腰三角形的周长是35cm，腰长是底边的2倍，则该三角形的底边长是________cm，腰长是__________cm。
2、等腰三角形的两边长分别为8cm和6cm，那么它的周长为（）
A、20cmB、22cmC、20cm或22cmD、都不对
3、已知等腰三角形的一个外角等于70°，那么底角的度数是（）
A、110°B、55°C、35°D、以上都不对
4、已知等腰三角形的一个外角等于130°，那么底角的度数是（）
A、50°B、65°C、50°或65°D、以上都不对
自主学习（新知）：精读课本第75-76页，用红色的笔对有关概念进行勾画并找出自己的疑惑和要讨论的问题，准备在课堂上讨论质疑。
如下图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的三角形有什么特点？
操作结论：剪刀剪过的两条边_______，即△ABC中的边____=_____，所以得到的三角形是_______三角形。
等腰三角形的定义：有_________相等的三角形是等腰三角形
等腰三角形中相等的两边叫做________，另一边叫做_________，两腰所夹的角叫做_________，底边与腰的夹角叫__________。
一、合作与探究
（一）如上图，把剪出的三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段与角，由这些重合的线段与角，你能发现等腰三角形的性质吗？
重合的角重合的线段
1、通过操作可以得到等腰三角形的以下性质：
性质1等腰三角形的两个_______相等（简写“等边对等_____”）
性质2等腰三角形的顶角_______线、底边上的_____线、底边上的_____相互重合（简写成“三线合一”）
2、如图，等腰三角形性质1用数学符号表示：
∵AB=AC
∴∠_____=∠_____
3.等腰三角形性质2你理解了吗？
思考：如图，在△ABC中，AB=AC，如何用数学符号表示性质2?
（1）等腰三角形底边上的高AD，既是底边上的，又是顶角；
即在等腰△ABC中，AB=AC，
∵AD⊥BC，∴____=____，∠_____=∠_____；
（2）等腰三角形的底边上中线AD，既是底边上的，又是顶角
即在等腰△ABC中，AB=AC，
∵AD是中线，∴____⊥____，∠_____=∠_____；
（3）等腰三角形的顶角的平分线AD，既是底边上的，又是底边上的，
即在等腰△ABC中，AB=AC，
∵AD是角平分线，∴_____=_____，____⊥____。
（二）你能利用三角形全等来证明性质1（等边对等角）吗？（你有几种方法？）
如右图△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C
4、受性质1证明的启发，你能证明性质2（等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合）吗?请证之。
（三）等腰三角形性质的应用
例1如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。求△ABC各角的度数。
三、巩固练习
基础练习：
1、等腰三角形一个底角为72°,它的顶角为______。
2、等腰三角形一个角为70°，它的另外两个角为分别为________________。
3、等腰三角形一个角为110°，它的另外两个角为___________。
4、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A＝30，DE垂直平分AC，
则∠BCD的度数为（）
A、80°B、75°C、65°D、45°
拓展提升：
1、已知一个等腰三角形两个内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为_______________。
2、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且AD=AE。求证：BD=CE
3、已知在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE。求：∠EDC的度数。
四、要点归纳
1.等腰三角形的定义
2.等腰三角形的性质：
性质1：等腰三角形的两个_______相等（简写“等边对等_____”）
性质2：等腰三角形的顶角_______线、底边上的_____线、底边上的_____相互重合（简写成“三线合一”）
课后反思：.
精选阅读
八年级数学上册13.3.1等腰三角形2等腰三角形的判定学案无答案新版新人教版
课题：13.3.1（2）等腰三角形的判定
【学习目标】
1、通过探索、归纳、验证等腰三角形的判定定理，学会应用等腰三角形的判定定理。
2、学会利用已有知识解决实际问题的能力
【学习重难点】
重点：等腰三角形的判定定理及其应用。
难点：探索等腰三角形的判定定理。
一、知识链接
复习旧知：1等腰三角形的性质：
性质1等腰三角形的两个_______相等（简写“等边对等_____”）
性质2等腰三角形的顶角_______线、底边上的_____线、底边上的_____相互重合（简写成“三线合一”）
2、平行线的性质：
两直线平行，则__________相等
两直线平行，则____________相等
两直线平行，则_____________互补
自主学习（新知）：精读课本第77-79页，用红色的笔对有关概念进行勾画并找出自己的疑惑和要讨论的问题，准备在课堂上讨论质疑。
思考1：如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等。反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系呢？
如图，在△ABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC（提示：添加辅助线，利用三角形全等的方法来证明）
证明：
结论:
等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的______也相等（简写成：“等角对等边”）
思考2：等腰三角形的性质与判定有区别吗?
二、合作与探究
（一）求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
已知：如图∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD//BC。
求证：AB=AC
（二）作等腰三角形
已知等腰三角形底边长为，底边上的高长为h，求作这个等腰三角形。
作法：
1、作线段AB=____.
2、作线段AB的垂直平分线____，与AB相交于点.
3、在MN上取一点C，使DC=.
4、连接，，则△ABC即为所求作的等腰三角形.
三、巩固练习
基础练习：
1、如图，∠A=36，∠DBC=36，∠C=72。则∠1=_________，∠2=_________。图中的等腰三角形有____________________________。
2、如上图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
3、如图，AC和BD相交于点O，且AB//DC，OA=OB.求证OC=OD
拓展提升：
1、等腰三角形两底角的平分线相等吗？两腰上的中线呢？两腰上的高呢？证明其中的一个结论。
四、要点归纳
1.等腰三角形的判定:_____________________________________________________
____________________________________________________________________
2.等腰三角形性质与判定的区别
3.等腰三角形的作法（尺规作图）
课后反思：.
14.3等腰三角形
14.3等腰三角形
教学目标：
知识技能
了解等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质定理及推论，会用定理及推论解决简单问题．
数学思考
培养学生探究思维、逻辑思维能力，探索引辅助线的规律．
情感态度与价值观：
渗透实践--理论--实践的辩证唯物主义思想，培养探究分析数学知识方法的兴趣，养成踏实细致、严谨科学的学习习惯．
教学重点与难点
重点：理解等腰三角形的性质定理、推论，并能用它们解决简单的问题．
难点：引辅助线证明定理和推论1的应用．
教学过程与流程设计
引导性材料：
1．学生把等腰三角形的两腰叠在一起，发现它的两个底角重合，这说明等腰三角形具有什么性质？（等腰三角形的两个底角相等）（演示叠合过程）
2．教师用等腰三角形纸片演示两腰叠合，再把纸片展开．
提问：你能发现等腰三角形还有什么特性吗?
（引入课题，明确目标）（显示教学目标）
教学设计：
问题1：怎样来证明“等腰三角形的两个底角相等”呢？
已知：如图，△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
（方法1）证明：作顶角的平分线AD.
在△BAD和△CAD中.
AB=AC（已知）
∠1=∠2（辅助线作法）
AD=AD（公共边）
∴△BAD≌△CAD（SAS）
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
问题2：上述命题还有哪些证法？
方法2：作底边BC上的高AD.（证明过程由学生口述）
方法3：作底边BC上的中线AD.（证明过程由学生口述）
（演示）：等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”）
观察上述三种方法，思考如下问题：
（1）在等腰△ABC中，如果AD是顶角的平分线，那么AD是否平分底边？是否垂直于底边？
（2）在等腰△ABC中，如果AD是底边上的高，那么AD是否平分顶角？是否平分底边？
（3）在等腰△ABC中，如果AD是底边上的中线，那么AD是否平分顶角？是否垂直于底边？
推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边．
（等腰三角形的顶角平分线、底边上中线、底边上的高互相重合．）
练习：填空，在△ABC中，
（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠＝∠，=．
（2）∵AB=AC，AD是中线，
∴⊥，∠＝∠．
（3）∵AB=AC，AD是角平分线，
∴⊥，=．
问题2：等边三角形是特殊的等腰三角形，除具有等腰三角形的性质外，还有特殊的性质吗？
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°.（学生完成证明）
已知：如图，△ABC中，AB=AC=BC.
求证：∠A=∠B=∠C=60°
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角），
∵AC=BC，
∴∠A=∠B（等边对等角），
∴∠A=∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），
∴∠A=∠B=∠C=60°
例题解析：
例1：填空，1.在△ABC中，AB=AC．
（1）若∠A=50°，则∠B=°，∠C=°；
（2）若∠B=45°，则∠A=°，∠C=°；
（3）若∠B=∠A，则∠A=°，∠C=°；
（4）若∠B=2∠A，则∠A=°，∠C=°．
2．等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是．
3．等腰三角形的一个角是120°，则它的底角是．
例2：已知，如图(6)，房顶的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．
解：在△ABC中，
∵AB=AC（已知），
∴∠B=∠C（等底对等角），
∴∠B=∠C=（180°－∠BAC）=40°,
（三角形内角和定理），
又∵AD⊥BC（已知），
∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合），
∵∠BAC=100°，
(7)∴
课堂练习：
已知：如图(7)中的三角形测平架中，AB=AC，在BC的中点挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点恰好在重锤线上．
求证：（1）AD⊥BC；
（2）这时BC处于水平位置，为什么？
课堂小结：
1．等腰三角形的性质定理：“等边对等角”，揭示了同一个三角形中边与角之间的关系；
2．等腰三角形性质定理的推论1、推论2；
3．由推论1知，等腰三角形“底边上的三条主要线段互相重合”，这条线段具有三种不同的“身份”，因此，它是推证两条线段相等、角相等以及两条直线互相垂直必须关注的“热线”．
4．掌握证明几何命题的完整过程，以及不同辅助线的添法，从中体验数学知识的美妙．
作业：习题14.3第6、7题（作业本），其他课本
八年级数学上13.3.1等腰三角形(人教版)
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13.3.1等腰三角形
第1课时等腰三角形（1）
【教学目标】
1.理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题.
2.在探索等腰三角形的性质和判定的过程中体会知识间的关系，感受数学与生活的联系.培养学生添加辅助线解决问题的能力.
3.培养学生分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯.
【重点难点】
重点：理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题.
难点：等腰三角形性质和判定的探索和应用.
┃教学过程设计┃
教学过程设计意图
一、创设情境，导入新课
学生观察含有等腰三角形的图片，并回顾小学所学过的等腰三角形的有关概念.从实际生活中抽象出等腰三角形，让学生在感性上认识等腰三角形，激发学生学习的兴趣，以此引出课题.
二、师生互动，探究新知
活动1：实践观察认识等腰三角形
(1)把一张长方形的纸片按图中虚线对折，并按教材要求剪去阴影部分，再把它展开，观察AC和AB有什么关系？
(2)上述过程得到的△ABC有什么特点？
(3)回顾：什么是等腰三角形，等腰三角形中学过哪些重要线段？
活动2：把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段，填入下表：
重合的线段重合的角
观察上表，等腰三角形除了两腰相等以外，你还能发现它的其他性质吗？
学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论交流，猜想论证：等腰三角形的两个底角相等.
教师引导学生多角度、多方法解决问题.(学生主要从作底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线思考)
师生行为：先让学生观察，思考如何证两个角相等，通常用全等三角形的方法，让学生通过折纸过程，思考如何添加辅助线构造两个三角形全等，接着分小组讨论，然后请学生展示性质1的各种证明方法，师生归纳三种辅助线的作法.
为了调动学生的主观能动性，充分激发学生的好奇心和求知欲.
通过学生动手实践、观察、思考、猜想等腰三角形的性质，培养学生自主探究学习的能力.
从理性上认识等腰三角形性质的正确性，培养学生语言的转换能力和推理能力，体验辅助线在论证中的作用.
三、运用新知，解决问题
填空
(1)等腰三角形一个底角为75°，它的另外两个角为________.
(2)等腰三角形一个角为70°，它的另外两个角为________.
(3)等腰三角形一个角为110°，它的另外两个角为________.通过一组基础练习，进一步巩固等腰三角形的性质，体会两解的问题.
四、课堂小结，提炼观点
通过本节课的学习，谈谈你的收获.对于课堂教学既要注重教学过程，重视方法，也要注重概括总结.教师与学生共同回顾学习内容，理顺知识点，归纳数学思想方法.
五、布置作业、巩固提升
教材第77页第1、2、3题设计了作业题让不同的学生在数学上有不同的发展.
【板书设计】
等腰三角形(1)
一、定义二、等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)例题
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一)变式
【教学反思】
本节课通过学生动手实践，观察分析，猜想证明，完成了从感性认识到理性认识的知识发生、发展的认知过程.使学生的思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，最后，学生动手运用所学知识解决问题，真正实现学生为主体的教学理念.
第2课时等腰三角形（2）
【教学目标】
1.理解掌握等腰三角形的判定定理；区别等腰三角形的性质和判定定理.
2.运用等腰三角形的性质和判定定理证明线段或角的关系.
3.探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念.
【重点难点】
重点：等腰三角形判定定理及其应用.
难点：1.等腰三角形判定定理的探索和应用；
2.等腰三角形判定与性质的区别.
┃教学过程设计┃
教学过程设计意图
一、创设情境，导入新课
问题：上节课我们学习了等腰三角形的性质，现在大家来回忆一下，等腰三角形有哪些性质？
老师指定学生回答.
师：如图，已知AC＝BD，是否能根据等边对等角得到这两条边所对的角∠ABC＝∠DAB呢？如果不可以，那是为什么呢？
教师根据这个问题提醒学生注意在等腰三角形的性质1——等边对等角中，要求是两条相等的边在同一个三角形中才存在以上的性质，本题中的两条边虽然相等，但是却不构成一个三角形，故这两条边所对的角也就不一定是相等的.
师：我们已经知道了等腰三角形的性质，那么满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢？这就是我们今天这节课要研究的问题.
学生举手回答，教师对学生的表述进行指导.该问题是对等腰三角形的性质进行复习，从而了解学生对等腰三角形性质的掌握情况，同时也可以加深学生对性质的记忆，继而能很自然地通过问题引入新课的学习，也为学生探究等腰三角形的判定做了铺垫，学生能根据等腰三角形的性质猜测出等腰三角形的判定.
二、师生互动，探究新知
在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
已知一个锐角AOB和一条线段CD，请作一个三角形CDE，使得∠C＝∠D＝∠AOB.(教师板书题目)
教师将题目和图形画在黑板上，学生在作业纸上进行作图，最后教师一边作图一边讲解.
师：请同学们用直尺测量出你所画出的三角形CDE中CE和DE的长度，你能发现什么？
生：动手测量这两条线段的长度后，发现CE＝DE.
师：那么大家的这个结论是否成立呢？通过师生共同动手作图，学生根据自己作出的图形进行猜测的方法引入本课，可以让学生对等腰三角形的判定定理有初步的感知，从而为学生更自然地接受等腰三角形的判定定理做铺垫.
三、运用新知，解决问题
问题1：现在我们把这个问题一般化，那就可以变成：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也会相等吗？(板书在黑板上)
生：会相等.
师：请你们证明这个猜想.
教师引导学生将这个文字命题证明出来，要画出图形，写出已知、求证，而已知、求证的书写可以模仿等腰三角形性质1.之后教师再引导学生类比等腰三角形的性质证明进行添加辅助线，构造出AB，AC为边的两个三角形，并证明它们是全等的.
学生寻求证明途径的过程中，教师要提醒学生不能运用作BC边上的中线AD的方法来证明，这种证明方法无法找到两个三角形全等所需的条件，同时除了以上的证明方法外，还可以通过作BC边上的高AD来证明，这种方法学生可以课后自己试着去证明.
教师在此过程中要重点引导学生正确地分析题目，并能熟练地将文字命题转化为数学符号，正确地写出已知、求证，引导学生分析并证明.
师：现在已经将大家的结论证明出来了，说明大家的猜测是正确的.而这个猜测也就是等腰三角形的判定定理.
教师整理出等腰三角形的判定定理，并板书出来：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(等角对等边)
问题2：如图，位于海上A，B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A＝∠B，如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)?
生：能同时到达.
师：为什么能同时到达呢？说说你的依据是什么？
学生给出回答.
从本题中写出判定定理的符号表示：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC(等角对等边).∴△ABC是等腰三角形.以上几个问题环环相扣，主要是让学生能够充分理解，并加强类比思想的渗透，分析思路的引导，以让学生体验分析的重要性.
问题1以实际问题展开数学思考，突出数学与实际的联系，类比等腰三角形性质进行猜测、叙述，让学生体验分析的重要性，逐步培养学生在几何证明中的分析能力.
问题2中这道题目是简单的应用等腰三角形的判定进行解答，学生可以通过题目的练习，初步地学会运用等腰三角形的判定定理来解决简单的问题.
四、课堂小结，提炼观点
通过本节课的学习，谈谈你的收获？
1.等腰三角形的判定方法有下列几种：__________.
2.等腰三角形的判定定理与性质定理的区别是__________.
3.运用等腰三角形的判定定理时，应注意__________.对于课堂教学既要注重教学过程，重视方法，也要注重概括总结.教师与学生共同回顾学习内容，理顺知识点，归纳数学思想方法.
五、布置作业，巩固提升
教材第79页第1、2、3、4题.
【板书设计】
等腰三角形(2)
1.复习：等腰三角形的性质.
2.等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).
【教学反思】
在教学过程中，采取分小组合作探究学习的方式，强调学生形成积极主动的学习态度，关注学生的学习兴趣和体验，充分体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教学思想.注意引导学生对解题思路和方法进行总结，切实提高学生分析问题、解决问题的能力.
