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高中不等式教案

发表时间:2020-12-01

第3章不等式复习教案。

俗话说,居安思危,思则有备,有备无患。作为高中教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来,帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。你知道怎么写具体的高中教案内容吗?考虑到您的需要,小编特地编辑了“第3章不等式复习教案”,供您参考,希望能够帮助到大家。

教学设计
整体设计
教学分析
本章知识网络
本章复习建议
本章为高中5个必修中的最后一章,我们在这一章中重点探究了三种不等式模型,即一元二次不等式、二元一次不等式(组)及均值不等式,在了解了这三种不等式的实际背景的前提下,重点探究了不等式的应用,那么如何复习好不等式这一章的内容呢?总纲是复习不等式要结合函数思想,数形结合思想,等价变换思想,以及分类讨论思想,类比思想,换元思想等.
1.充分认识不等式的地位与作用.不等式是中学数学的重要内容,是求解数学问题的主要工具,它贯穿于整个高中数学的始终,诸如集合问题、方程(组)的解的讨论、函数性质的确定、三角、数列、立体几何中的最值问题等内容,无一不与不等式有着密切联系,它所涉及内容的深度与广度是其他章节无法相比的.因此,不等式是永不衰退的高考热点,必须加强对不等式的综合复习与所学全章知识的整合.
2.加深对不等式性质的理解.不等式的基本性质在证明不等式和解不等式中有着广泛的应用,它又是高等数学的基础知识之一,因此,它是高考试题的热点,有时通过客观题直接考查不等式的某个性质,有时在解答题中的证明不等式或解不等式中,间接地考查不等式的性质,高考试题也直接或间接考查均值不等式及其他重要不等式的应用,不等式的性质更是求函数定义域、值域、求参数的取值范围等内容的重要手段.在解不等式中往往与函数概念,特别是二次函数、指数函数、对数函数等密切联系,因此在复习中对不等式性质的条件与结论要彻底弄清.解题时由于忽略某些条件而造成的错误屡见不鲜,如a>b,c≠0?ac>bc(忘了c>0),abcd?ac>bd(忘了a、b、c、d∈R+)等等.
3.加强等价变换在解不等式中的运用.解不等式是通过等价变形转化为简单不等式,从而得到解集.一定要注意变形是同解变形,即每一步变换必须既充分又必要.含参数的不等式或超越不等式必须进行讨论.在讨论时常要用到逻辑划分的思想进行分类,然后对划分的每一类分别进行求解,再综合得出答案.在确定划分标准时应本着“互斥、无漏、最简”的原则,有的问题还可能进行二次分类.另外一定要区分是“分类问题”的解集还是“分段问题”的解集.
4.注重在证明不等式中推理论证能力的提高.不等式的证明非常活跃,它可以和很多内容结合,是高中数学的一个难点,又是历届高考中的热点问题.证明时不仅要用到不等式的性质,还要用到不等式证明的技能、技巧,其中,均值不等式是证明不等式的主要依据.证明不等式的方法有很多,比如常用的有比较法(归0、归1)、分析法、综合法等.
5.解不等式是高考中的常见题型,尤其是含参数的指、对数不等式解法及绝对值不等式.一是绝对值不等式因与数、式、方程、集合、函数、数列等发生联系,在高考中频繁出现.这类题目思考性强,灵活新颖,对分析能力要求较高,解题的基本思路是等价转换,基本方法是化归化简.二是加强“三个二次结合”的深刻理解.一元二次方程、一元二次不等式及二次函数简称“三个二次”,它们互相联系,互相渗透,使这个“知识块”的内容异常丰富,是历年高考命题的重点.求解时,常用到的基本知识有二次方程的实根分布、韦达定理、二次函数图象及函数性质等.很多学生往往因为这个知识块的薄弱而阻碍了数学能力的提高.
6.不等式的应用是本章的重点.不等式的应用主要表现在三个方面:一是研究函数的性质,如求函数定义域、值域、最大值、最小值、函数单调性等;二是方程与不等式解的讨论;三是用线性规划或均值不等式解决实际问题.对于第一个方面,要求学生运算准确.第二个方面,我们知道方程和不等式在一定条件下可以互相转化,函数与不等式在一定条件下也可以相互转化.这种对立统一的观点是我们进一步提高分析问题和解决问题的基础,使我们了解研究对象在运动过程中哪些是保持不变的规律和性质,哪些是变化的规律和性质.第三个方面,可以说在数学各章节中都存在着大量的数学模型,只要我们揭示这些模型的本质规律,就一定能培养出学生的创新能力,真正做到以不变应万变.
本章复习分为两课时完成,第一课时侧重三种不等式模型的复习,第二课时侧重线性规划的复习.
三维目标
1.通过本章的综合复习,理解并掌握不等式的性质,理解不等关系、感受在日常生活中存在着大量的不等关系、了解不等式(组)的实际背景,能用不等式的基本性质比较代数式的大小;掌握用二元一次不等式表示平面区域的方法,会用线性规划解决实际生活中的常见问题;理解并掌握均值不等式a+b2≥ab(a>0,b>0)的应用方法与技巧.
2.通过对一元二次不等式解法的复习,设计求解的程序框图,深刻理解三个二次之间的关系.以二次函数为中心,运用二次函数的图象、性质把其余两个联系起来,构成知识系统的网络结构;通过线性规划的最优解,培养学生的观察、联想、画图能力,渗透数形结合等多种数学思想,提高学生建模能力和分析问题、解决问题的能力.
3.通过对全章内容的复习,培养学生严谨的思维习惯,主动积极的学习品质,通过富有挑战性问题的解决,激发学生的探究精神和严肃认真的科学态度;同时感受数学的应用性,体会数学的奥妙,感受数学的美丽生动,从而激发学生的学习兴趣并树立辩证的科学世界观.
重点难点
教学重点:1.进一步掌握三种不等式模型〔一元二次不等式、二元一次不等式(组)、均值不等式〕的概念、方法及应用.
2.深化平面区域和线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行域、最优解等概念的理解,加深对线性规划解决实际问题的认识.
3.掌握构建均值不等式解决函数的最值问题,利用均值不等式解决实际问题.
教学难点:三个二次的灵活运用;用线性规划解决实际问题的建模问题;均值不等式解函数最值的正确运用.
课时安排
2课时

教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(直接导入)通过我们的共同努力,我们学到了有关不等式更多的知识与方法,提高了我们解决实际问题的能力,认识了数学的魅力;通过上节的课后作业——阅读本章小结,你是怎样对本章的知识方法进行整合的?由此展开新课.
思路2.(问题导入)先让学生结合本章小结,回忆我们是怎样探究本章知识的?经历了怎样的探究活动?你能尝试着自己画出本章的知识网络结构图吗?根据学生回答和所画的知识网络结构图,自然地引入新课.
推进新课
新知探究
提出问题
1本章共研究了几种不等式模型?不等式有哪些性质?2怎样求解一元二次不等式的解集?怎样画一元二次不等式的程序框图?3均值不等式a+b2≥ab的应用条件是什么?主要用它来解决哪些问题?4“三个二次”是指哪三个?它们之间具有怎样的关系?
活动:教师让学生充分回忆思考,并结合以上问题用多媒体课件与学生一起探究.本章共研究了三种不等式模型,它们分别是一元二次不等式、二元一次不等式(组)、均值不等式a+b2≥ab(a>0,b>0).
由实数的基本性质,我们推出了常用的不等式的4条性质5个推论,教师可结合多媒体课件给出这些性质.在这些基本性质的基础上,我们接着探究了均值不等式a+b2≥ab(a>0,b>0)的代数及几何意义,以及均值不等式在求最值、证明不等式方面的应用.在温故知新的基础上,我们又探究了一元二次不等式的解法和明确了“三个二次”之间的关系,并用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示了出来,为前面学过的算法找到了用武之地.对一元二次不等式的求解集问题,老师可借助多媒体给出以下表格让学生填写,加深对“三个二次”关系的理解.
Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象

ax2+bx+c=0的根x1,2=-b±Δ2a
x1=x2=-b2a
?
ax2+bx+c>0的解集
ax2+bx+c<0的解集
由于本章是高中必修内容的最后一章,通过对以上内容的归纳整合,我们对不等式有了全面系统的认识,也因此对高中必修内容有了整体的理解.

应用示例
例1已知集合A={x|x2+2x-8<0},B={x||x+2|>3},C={x|x2-2mx+m2-1<0,m∈R}.若(1)A∩C=,(2)A∩BC,分别求出m的取值范围.
活动:本例可让学生自己探究解决,或可让两名学生到黑板板演,教师针对出现的问题作点评.
解:(1)∵A={x|-4<x<2},B={x|x>1或x<-5},C={x|m-1<x<m+1},
欲使A∩C=,只需m-1≥2或m+1≤-4.∴m≥3或m≤-5.
(2)欲使A∩BC,∵A∩B={x|1<x<2},只需m-1≤1,m+1≥2,即m≤2,m≥1,即1≤m≤2.
点评:本例体现了一元二次不等式与集合的交汇.
变式训练
设集合A={x|(x-1)2<3x+7,x∈R},则集合A∩Z中有__________个元素.
答案:6
解析:由(x-1)2<3x+7可得-1<x<6,结合题意可得A=(-1,6).wWW.JAB88.cOm

例2若正数x、y满足6x+5y=36,求xy的最大值.
活动:均值不等式的功能就是“和积互化”.通过此例,教师引导学生回忆如何用均值不等式求最值.本例中把积化为和而和恰好为定值,应联想均值不等式.
解:∵x、y为正数,则6x、5y也是正数,∴6x+5y2≥6x5y=30xy,
当且仅当6x=5y时,取“=”.∵6x+5y=36,则30xy≤362,即xy≤545.∴xy的最大值为545.
点评:本例旨在说明均值不等式的应用.事实上,∵6x+5y=36,∴y=36-6x5.代入xy,得xy=x15(36-6x)=-65x2+365x(x>0),利用二次函数的图象和性质也很容易解出来,教师可在活动前向学生说明.学生用均值不等式解完此题后,结合学生的板书,对出现的漏洞或错误进行一一点拨.
变式训练
已知2x+3y=2(x>0,y>0),则xy的最小值是__________.
解法一:由x>0,y>0,得2=2x+3y≥22x3y.
∴xy≥6,当且仅当2x=3y=1,即x=2,y=3时,xy取得最小值为6.
解法二:令2x=2cos2θ,3y=2sin2θ,θ∈(0,π2),∴x=22cos2θ,y=32sin2θ.
∴xy=64sin2θcos2θ=6sin22θ.
∵sin22θ≤1,当且仅当θ=π4时等号成立,这时x=2,y=3.∴xy的最小值是6.
解法三:由2x+3y=2,得y=3x2x-2.∴xy=3x22x-1(x>1).
令x-1=t,t>0,x=t+1.∴3x22x-1=3t+122t=32(t+1t+2)≥32(2t1t+2)=6.
当且仅当t=1时等号成立,即x-1=1,x=2.∴xy有最小值6.
答案:6

例3不等式axx-1<1的解集为{x|x<1或x>2},求a.
活动:本例不是一元二次不等式,但可转化为一元二次不等式的形式来思考.训练学生的等价转化能力.
解法一:将axx-1<1化为a-1x+1x-1<0,即[(a-1)x+1](x-1)<0.
由已知,解集为{x|x<1或x>2}可知a-1<0,∴[(1-a)x-1](x-1)>0.
∴(1-a)x-1<0,x>11-a.于是有11-a=2.解得a=12.
解法二:原不等式转化为[(a-1)x+1](x-1)<0,即(a-1)x2+(2-a)x-1<0.
依题意,方程(1-a)x2+(a-2)x+1=0的两根为1和2,
∴11-a=2,a-2a-1=3,解得a=12.
点评:本例是一道经典题目,学生完成后,可让他们互相交流一下解法,体会等价转化的意义.
变式训练
若关于x的不等式x-ax+1>0的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则实数a=__________.
答案:4

例4为了保护环境,造福人类,某县环保部门拟建一座底面积为200m2的长方体二级净水处理池(如图),池深度一定,池的外壁建造单价为每平方米400元,中间一条隔墙建造单价为每平方米100元,池底建造单价为每平方米60元.一般情形下,净水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低?
活动:教师引导学生观察题目的条件,可以先建立目标函数,再求解.可让学生独立探究,必要时教师给予适当的点拨.
解:设净水池长为xm,则宽为200xm,高为hm,则总造价
f(x)=400(2x+2200x)h+100200xh+60×200=800h(x+225x)+12000(x>0),
当且仅当x=225x(x>0),即x=15时上述不等式取到等号.故当净水池的长设计为15m时总造价最低.
点评:对应用问题的处理,关键是把实际问题转化成数学问题,列好函数关系式是求最值的基本保证.用均值不等式创设不等量关系,也是经常采用的方式方法,让学生以后在解决有关最值问题时注意这条解题思路的灵活应用.
知能训练
1.已知集合A={x||2x+1|>3},B={x|x2+x-6≤0},则A∩B等于()
A.[-3,-2)∪(1,2]B.(-3,-2]∪(1,+∞)
C.(-3,-2]∪[1,2)D.(-∞,-3)∪(1,2]
2.已知a∈R,二次函数f(x)=ax2-2x-2a,设不等式f(x)>0的解集为A,又知集合B={x|1<x<3},若A∩B≠?,求a的取值范围.
3.已知关于x的不等式x>ax2+32的解集是{x|2<x<m},求不等式ax2-(5a+1)x+ma>0的解集.
4.解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>0.
5.已知a、b、c、d∈R,求证:ac+bd≤a2+b2c2+d2.
答案:
1.A解析:易得A={x|x>1或x<-2},B={x|-3≤x≤2}.则A∩B={x|1<x≤2或-3≤x<-2}.
2.解:由f(x)为二次函数,知a≠0.令f(x)=0,
解得其两根为x1=1a-2+1a2,x2=1a+2+1a2.由此可知x1<0,x2>0.
(1)当a>0时,A={x|x<x1}∪{x|x>x2}.
A∩B≠?的充要条件是x2<3,即1a+2+1a2<3,解得a>67.
(2)当a<0时,A={x|x1<x<x2}.
A∩B≠?的充要条件是x2>1,即1a+2+1a2>1,解得a<-2.
综上,使A∩B≠?成立的a的取值范围为(-∞,-2)∪(67,+∞).
3.解:x>ax2+32?ax2-x+32<0,2<x<m?(x-2)(x-m)<0?x2-(2+m)x+2m<0.对照不等号方向及x2的系数可知a>0且a1=12+m=322m,解得a=18,m=36.
∴ax2-(5a+1)x+ma>0?18x2-(5×18+1)x+36×18>0?x2-13x+36>0?(x-4)(x-9)>0?x<4或x>9.
点评:条件中的不等式含参数a,而其解集中又含有参数m,似乎有较大难度.策略之一,求出原不等式的解集,与{x|2<x<m}比较;策略之二,抓住解集,即写出解集为{x|2<x<m}的一元二次不等式,再与原不等式比较,若只求原不等式的解集,需讨论.
4.解:(1)当a=0时,原不等式化为x-2<0,解集为{x|x<2}.
(2)当a<0时,原不等式化为(x-2)(x-2a)<0,这时两根的大小顺序为2>2a,所以解集为{x|2a<x<2}.
(3)当a>0时,原不等式化为(x-2)(x-2a)>0,①当0<a<1时,两根的大小顺序为2<2a,所以原不等式的解集为{x|x>2a或x<2};
②当a=1时,2=2a,所以原不等式的解集为{x|x≠2且x∈R};
③当a>1时,两根的大小顺序为2>2a,解集为{x|x>2或x<2a}.
综上所述,不等式的解集为a=0时,{x|x<2},a=1时,{x|x≠2},a<0时,{x|2a<x<2},
0<a<1时,{x|x>2a或x<2},a>1时,{x|x>2或x<2a}.
点评:本例应对字母a分类讨论,分类的原则是不重、不漏.解完后教师引导学生思考本例的解法并注意书写的规范性.
5.证明:∵(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2c2+a2d2+b2d2
=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2,
∴a2+b2c2+d2≥|ac+bd|≥ac+bd.
点评:能否联想到均值不等式ab≤a+b2或其变形形式上来?关键是探究根号里面的(a2+b2)(c2+d2)的变形问题.
课堂小节
1.由学生回顾本节课我们复习了哪些知识、方法?解决了哪些问题?通过本节复习,你有哪些收获?
2.通过本节复习,深化了“三个二次”之间的关系,加深了不等式基本性质的理解,进一步熟悉了数形结合、方程等数学思想方法;熟悉了简单不等式的证明思路,沟通了各知识点之间的关系.从更高的角度理解了相等和不等的关系,体会了数学来源于生活的道理,也认识到了数学的系统美、严谨美与简洁美.
作业
本章巩固与提高A组3、4、7、8、9;B组6、7、8、9.
设计感想
1.本课时设计体现了复习课的特点,从更高的角度对本章知识方法进行整合.复习不是简单的重复或阅读课本,把“发展为本”作为教学设计的中心,使各层次的学生在各个方面都有所提高,达到“温故而知新”的目的.
2.本课时设计重视了学生的探究活动,让学生在教师的引导下自主探究,避免了学生只当观众、听众.设计中体现把复习的机会还给学生,充分让学生在知识整合的基础上,再发展、再创造.
3.本课时设计体现了复习中前后知识的联系.注重了复习应涉及哪些内容?重难点是什么?与其前沿知识和后继知识有哪些联系?在复习过程中应该注意什么等.针对这些情况,教师应该做到心中有数,这样,在复习过程中,才能够做到步步到位,使学生在复习中不至于盲目无从.
(设计者:郑吉星)
第2课时
导入新课
思路1.(复习导入)上节课我们重点复习了不等式的基本性质,一元二次不等式的解法及均值不等式的应用.本节将重点对平面区域和线性规划问题做一归纳整合,由此展开复习.
思路2.(直接引入)我们曾对平面区域,线性规划问题进行了探究,解决了我们日常生活中有关资源的分配,人力、物力的合理利用等最优问题.本节课我们将对这些内容做进一步的回顾与提高,进一步提高线性规划这一数学工具的应用.
推进新课
新知探究
提出问题
1在直角坐标系中,怎样用二元一次不等式组的解集表示平面上的区域?2确定二元一次不等式表示的区域的方法是什么?3利用线性规划可解决哪些实际问题?渗透了哪些数学思想方法?4解线性规划实际问题的方法步骤是什么?
活动:教师引导学生回忆并思考以上问题.我们知道二元一次方程ax+by+c=0表示平面坐标系中的一条直线.这条直线把直角坐标系内的点分成了三部分:在直线ax+by+c=0上或两侧.在直线上的点的坐标满足ax+by+c=0,两侧点的坐标则满足ax+by+c>0或ax+by+c<0.这样,二元一次不等式ax+by+c>0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域,把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线;若画不等式ax+by+c≥0表示的平面区域时,此区域包括边界直线,则把边界直线画成实线.
由于对在直线ax+by+c=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入ax+by+c,所得的实数的符号都相同,故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),以a0x+b0y+c的正负情况便可判断ax+by+c>0表示这一直线哪一侧的平面区域,特殊地,当c≠0时,常把原点作为此特殊点.
(此时,教师用投影仪给出下面的图形归纳)
用二元一次不等式表示平面区域可分为如下四种情形:
平面区域

二元一次
不等式Ax+By+C≥0
(A>0,B>0,
C<0)Ax+By+C≤0
(A>0,B>0,
C<0)Ax+By+C≥0
(A>0,B<0,
C<0)Ax+By+C≤0
(A>0,B<0,
C<0)
说明对于二元一次不等式不带等号时,其表示的平面区域,应把边界直线画成虚线

本节课内容渗透了多种数学思想,是向学生进行数学思想方法教学的好教材,也是培养学生观察、作图等能力的好教材.通过本节课的复习,让学生进一步了解到线性规划是利用数学为工具,来研究一定的人、财、物等资源在一定条件下,如何精打细算巧安排,用最少的资源,取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,并能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题.这部分内容体现了数学的工具性、应用性,同时也渗透了化归、数形结合的数学思想,为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.
简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类题目是以什么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的:
(1)阅读题意,寻找线性约束条件,线性目标函数;
(2)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域);
(3)在可行域内求目标函数的最优解(设t=0,画出直线l0,观察、分析,平移直线l0,从而找到最优解);
(4)由实际问题的实际意义作答.
讨论结果:(1)~(4)略.
应用示例
例1画出不等式组x+y-6≥0,x-y≥0,y≤3,x<5表示的平面区域.
活动:为了让全体学生都能准确地画出平面区域,教师可请两名学生上黑板板演,然后对出现的问题作点评.
解:不等式x+y-6≥0表示在直线x+y-6=0上及右上方的点的集合,x-y≥0表示在直线x-y=0上及右下方的点的集合,y≤3表示在直线y=3上及其下方的点的集合,x<5表示直线x=5左方的点的集合,所以不等式组x+y-6≥0,x-y≥0,y≤3,x<5表示的平面区域如图所示.
点评:画平面区域是学生易错的地方,也是用线性规划解决实际问题的关键步骤,一定让学生准确掌握.
变式训练
已知实数x,y满足x≥1,y≤2x-1,x+y≤m,如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m等于()
A.7B.5C.4D.3
答案:B
解析:画出x,y满足的可行域,可得直线y=2x-1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x-y取得最小值.故由y=2x-1,x+y=m,解得x=m+13,y=2m-13.代入x-y=-1,得m+13-2m-13=-1,解得m=5.

例2某机械厂的车工分Ⅰ、Ⅱ两个等级,各级车工每人每天加工能力、成品合格率及日工资数如下表所示:

级别加工能力(个/人天)成品合格率(%)工资(元/天)
Ⅰ240975.6
Ⅱ16095.53.6

工厂要求每天至少加工配件2400个,车工每出一个废品,工厂要损失2元,现有Ⅰ级车工8人,Ⅱ级车工12人,且工厂要求至少安排6名Ⅱ级车工,试问如何安排工作,使工厂每天支出的费用最少.
活动:学生对求解简单线性规划实际应用问题的步骤已经是很熟悉,让学生独立解决问题,有助于学生解题能力的锻炼与培养.本例的关键是列出约束条件和目标函数,再就是画平面区域.
解:根据题意列出线性约束条件和目标函数.设需Ⅰ、Ⅱ级车工分别为x、y人.
线性约束条件:
97%240x+95.5%160y≥2400,0≤x≤8,6≤y≤12,化简即为29.1x+19.1y≥300,0≤x≤8,6≤y≤12.
目标函数为z=[(1-97%)240x+(1-95.5%)160y]×2+5.6x+3.6y,
化简即为z=20x+18y.根据题意知即求目标函数z的最小值.
画出约束条件的可行域,如图,根据图知,点A(6,6.3)应为既满足题意,又使目标函数最小.然而A点非整数点.故在点A上侧作平行直线经过可行域内的整点,且与原点距离最近,可知(6,7)为满足题意的整数解.
此时zmin=20×6+18×7=246(元),即每天安排Ⅰ级车工6人,Ⅱ级车工7人时,工厂每天支出费用最少.
答:每天安排Ⅰ级车工6人,Ⅱ级车工7人,工厂每天支出费用最少.
点评:通过本例的求解我们可以看出,处理简单的线性规划的实际问题,关键之处在于从题意中建立目标函数和相应的约束条件,实际上就是建立数学模型.这样解题时,将所有的约束条件罗列出来,弄清目标函数与约束条件的区别,得到目标函数的最优解.
例3A、B两个产地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨,而D、E、F三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨,每千吨的运费如下表所示:

(万元)到D到E到F
从A456
从B524

怎样确定调运方案,使总的运费最少?
点评:本例表中的数据较多.可设从A运到D为x,从A运到E为y,则从A运到F就可用x、y表示,即12-x-y,则B运到D、E、F分别为8-x,6-y,x+y-6.目标函数为f=-3x+y+100.
解:设从A运到D为x,从A运到E为y,则从A运到F为12-x-y,B运到D、E、F分别为8-x,6-y,x+y-6.
约束条件为x≥0,y≥0,12-x-y≥0,8-x≥0,6-y≥0,x+y-6≥0.目标函数为f=-3x+y+100.
可行域为如图所示的阴影部分(包括边界).易知,当x=8,y=0时,f最小,即运费最省.
故当从A运到D8千吨、从A运到F4千吨、从B运到E6千吨、从B运到F2千吨时,总的运费最少.
点评:通过本例的训练,让学生学会对多个数据的处理,进一步明确线性规划的应用性.
变式训练
行驶中的汽车在刹车时,由于惯性作用,要继续向前滑行一段距离才能停下来,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系:y=nx100+x2400(n为常数,n∈N).做两次刹车试验,有数据如图,其中5<y1<7,13<y2<15.
(1)求出n的值;
(2)要求刹车距离不超过18.4m,则行驶的最大速度应为多少?
解:(1)将x1=40,x2=70分别代入y=nx100+x2400,有y1=25n+4,y2=710n+494.
依题意,有525n+47,13710n+49415(n∈N).解得n=3.
(2)y=3x100+x2400≤18.4,解得x≤80,即最大行驶速度为80km/h.
知能训练
1.实数x,y满足不等式组y≥0,x-y≥0,2x-y-2≥0,则ω=y-1x+1的取值范围是()
A.[-1,13]B.[-12,13]
C.[-12,+∞)D.[-12,1)
2.如图所示,在约束条件x≥0,y≥0,y+x≤s,y+2x≤4下,当3≤s≤5时,目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是()
A.[7,8]B.[7,15]C.[6,8]D.[6,15]
3.购买8角和2元的邮票若干张,并要求每种邮票至少要两张,如果小明带有10元钱,问有多少种买法?
答案:
1.
D解析:设点D(x,y)在图中阴影部分内,如图.ω=y-1x+1,即动点(x,y)与定点A(-1,1)连线的斜率.当动点为B点时,ω取得最小值,由y=0,2x-y-2=0,得B点坐标为(1,0).∴ω=-12.当动点在x-y=0上,且x→+∞时,ω趋向于最大值,即经过A点,斜率为ω的直线与x-y=0平行.∴ω∈[-12,1).
2.A解析:由题意知要求在约束条件x≥0,y≥0,y+x≤s,y+2x≤4下,目标函数z=3x+2y的取值范围,作出如图所示目标函数取最大值时的可行域.
由z=3x+2y得y=-32x+z2,
∴当x+y=3时,在B点处z取最大值;随着x+y=3的上移,z的最大值也随着增大.当平移经过C点时,z的最大值达到最大,且B(1,2),C(0,4).
∴当3≤s≤5时,目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是[7,8].
3.解:设8角邮票可买x张,2元邮票可买y张,根据题意有8x+20y≤100,x≥2,y≥2,x、y∈N.
不等式表示的平面区域如图所示,而在该区域内,x、y都是不小于2的整数,这样的点的个数为11,所以小明有11种购买方法,分别是(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(4,2),(4,3),(5,2),(5,3),(6,2),(7,2).
课堂小节
1.由学生回顾本节课复习了哪些内容?通过对这些内容的复习,你有什么新的发现?
2.本节课重点复习了平面区域和线性规划问题,明确了用线性规划的方法解决的两种重要问题.线性规划实质上是数形结合的一种体现,即将最值问题直观、简便地寻找出来,是一种较为简捷地求最值的方法.进一步熟悉了利用线性规划解决问题的步骤.还结合一道线性规划题目,探究了利用新视角解决问题的方法,打破了思维定式,今后要注意这方面的思维训练,以培养学生思维的灵活性.
作业
1.本章巩固与提高A组14、15;B组14、15.
2.本章自测与评估.
设计感想
1.本课时设计注重了教师的灵活操作.在复习时,采取提问、讨论、练习等方式,引导学生再现知识点、知识的形成过程及内在联系.用表格、图示、文字的方法串成线、连成片,建立起合理的认知结构,便于学生记忆,而不是简单的重复.
2.本课时设计关注了学生的层次,关注了学习要求上的分层.让学习较差层次的学生多回答一些概念识记性提问,要求学会做一些基础题目.让学习中等层次的学生,多回答一些需认真思索的提问,会做一些难度适中的综合练习.让学习较好层次的学生,多回答一些智力运用性的提问,会运用知识解决一些难度较大的综合性题目.
3.本课时设计注意了数学思想方法的教学.学生的能力最终体现在数学思想方法的应用上.在讲授数学知识的同时,更加注重数学思想方法的渗透和培养,把数学思维方法和数学知识、技能融为一体,不断提高学生的思维能力、解题能力及联系实际的能力.

(设计者:郑吉星)

备课资料
一、备用例题
【例1】已知0<x<13,求函数y=x(1-3x)的最大值.
活动一:原函数式可化为y=-3x2+x,利用二次函数求某一区间的最值.
解法一:(利用二次函数法可获得求解)(解略)
活动二:挖掘隐含条件,∵3x+1-3x=1为定值,且0<x<13,则1-3x>0;可用均值不等式.
解法二:∵0<x<13,∴1-3x>0.∴y=x(1-3x)=133x(1-3x)≤13(3x+1-3x2)2=112,当且仅当3x=1-3x,即x=16时,ymax=112.
【例2】求y=sinx+5sinx的最小值,x∈(0,π).
错解:∵x∈(0,π),∴sinx>0.∴y=sinx+5sinx≥25.∴ymin=25.
错因:y=25的充要条件是sinx=5sinx,即sin2x=5,这是不存在的.
正解:∵x∈(0,π),∴sinx>0.又y=sinx+5sinx=sinx+1sinx+4sinx≥2+4sinx,当且仅当sinx=1sinx,即sinx=1时,取“=”.而此时4sinx也有最小值4,
∴当sinx=1时,ymin=6.
【例3】已知正数x、y满足2x+y=1,求1x+1y的最小值.
错解:∵1=2x+y≥22xy,∴xy≤122,即1xy≥22.
∴1x+1y≥21xy≥222=42,即1x+1y的最小值为42.
错因:过程中两次运用了均值不等式中取“=”过渡,而这两次取“=”的条件是不同的,故结果错.
正解一:∵2x+y=1,∴1x+1y=(2x+y)(1x+1y)=2+2xy+yx+1≥3+22,当且仅当yx=2xy,即y=2x时,取“=”.
而y=2x2x+y=1?x=12+2,y=22+2,即此时ymin=3+22.
正解二:∵1x+1y=2x+yx+2x+yy=3+yx+2xy(以下同解一).
小结:用均值不等式求最值时,要注意检验最值存在的充要条件,特别地,如果多次运用均值不等式求最值,则要考虑多次“≥”(或者“≤”)中取“=”成立的诸条件是否相容.
【例4】已知正数x、y满足xy=x+y+3,试求xy、x+y的范围.
解法一:由x>0,y>0,则xy=x+y+3xy-3=x+y≥2xy,即(xy)2-2xy+3≥0.
解得xy≤-1(舍去)或xy≥3,当且仅当x=y且xy=x+y+3,即x=y=3时取“=”,故xy的取值范围是[9,+∞).
又x+y+3=xy≤(x+y2)2(x+y)2-4(x+y)-12≥0x+y≤-2(舍去)或x+y≥6,当且仅当x=y且xy=x+y+3,即x=y=3时取“=”,故x+y的取值范围是[6,+∞).
解法二:由x>0,y>0,xy=x+y+3?(x-1)y=x+3,知x≠1,则y=x+3x-1.
由y>0?x+3x-1>0?x>1,则
xy=xx+3x-1=x2+3xx-1=x-12+5x-1+4x-1=(x-1)+4x-1+5≥2x-14x-1+5=9,当且仅当x-1=4x-1(x>0),即x=3,并求得y=3时取“=”,故xy的取值范围是[9,+∞).
x+y=x+x+3x-1=x+x-1+4x-1=x+4x-1+1=(x-1)+4x-1+2
≥2x-14x-1+2=6.
当且仅当x-1=4x-1(x>0),即x=3,并求得y=3时取“=”,故x+y的取值范围是[6,+∞).
点评:解法一具有普遍性,而且简洁实用,易于掌握,解法二要求掌握构造的技巧.
总之,利用均值不等式求最值的方法多样,而且变化多端,要掌握常见的变形技巧,掌握常见题型的求解方法,加强训练、多多体会,才能达到举一反三的目的.
【例5】用一块钢锭浇铸一个厚度均匀,且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图),设容器高为h米,盖子边长为a米,
(1)求a关于h的解析式;
(2)设容器的容积为V立方米,则当h为何值时,V最大?求出V的最大值(求解本题时,不计容器厚度).
解:(1)设h′是正四棱锥的斜高,由题设可得
a2+412h′a=2,h2+14a2=h′2,消去h′,解得a=1h2+1(a>0).
(2)由V=13a2h=h3h2+1(h>0),
得V=13h+1h,而h+1h≥2h1h=2.
所以V≤16,当且仅当h=1h,即h=1时取等号;
故当h=1米时,V有最大值,V的最大值为16立方米.
二、不等式的证明方法探究
1.配方法
把一个不是完全平方形式的多项式中的某些项配成完全平方,然后利用一个实数的平方是非负的这个特殊的性质来证明某些式子是大于或等于零的.
2.判别式法
通过对所证不等式的观察、分析,构造出二次方程,然后利用二次方程的判别式,从而使不等式得证.
3.比较法
为了证明A>B,可转化为证明A-B>0,或者当B>0时转化为证明AB>1.
4.放缩法
为了证明A<B,可设法证明A<C,且C<B.有时也可考虑证明加强命题.
5.数学归纳法
常用来证明与正整数有关的命题.
6.构造法
构造适当的图形,使要证的命题比较直观地反映出来.
7.辅助函数法
函数是数学中的一个重要内容,它与不等式有密切的联系.
通过构造辅助函数,然后利用函数的有关性质去证明该不等式.通常我们可以利用以下一些函数的性质:
(1)函数y=ax2+bx+c,若a>0,则y≥0?Δ≤0;(2)三角函数的有界性;(3)函数的单调性;(4)函数的凸性;(5)函数的导数.
8.换元法
通过添设辅助元素,使原来不等式变成与新的变量有关的不等式.
应用换元法,可把字母多化成字母少,可把紊乱的不等式化成简单的、条理清晰的不等式.
常用的换元方法有三角换元和均值换元.
(1)三角换元
x2+y2=r2(r>0)x=rcosα,y=rsinα(0≤α<2π);x2+y2≤a2x=rcosα,y=rsinα(0≤α<2π,r≤|a|);x2-y2=r2(r>0)x=rsecα,y=rtanα(0≤α<2π).
(2)均值换元
x+y=ax=a2-ε,y=a2+ε;x+y+z=ax=a3+α,y=a3+β,α+β+γ=0.z=a3+γ
另外,在证明的过程中还经常使用整体换元,即用一个变量代替一个整式.
9.逐步调整法
在证明不等式的过程中,对某一个函数式的某些变元进行调整(变大或变小),观察其值的变化,从中发现函数式的最值.

扩展阅读

不等式教案


1、(、)。
2、(、,)(当且仅当时取等号)。
3、若、、且,则(真分数的分子分母加上同一个正数,值变大)。
4、若、、且,则。
5、。
6、一个重要的均值不等式链:设,则有(当且仅当时取等号)。
7、若已知条件中含有或隐含着或这一信息,常常可以设用这种和式增量法来证明不等式、求值、或比较大小。
8、不等式证明常用的放缩方法:
(1);
(2)。
七、解析几何:
1、两条平行直线和之间的距离为。
2、直线过定点,且点在圆内,则与圆必相交。
过圆内一点的弦长,以直径为最大,垂直于(为圆心)的弦为最小。
3、直线在轴、轴上的截距相等包含有直线过原点这一特殊情况。
4、直线过定点时,根据情况有时可设其方程为(时直线)应用点斜式解题,应检验直线斜率不存在的情况。
5、已知圆的方程是和点,若点是圆上的点,则方程表示过点的圆的切线方程;若点在圆外,则方程表示过点向圆所作的两条切线的切点所在的直线方程(又称切点弦方程)。
6、过圆上一点的圆的切线方程是:

7、圆和相交于、两点,则直线为这两圆的根轴,其方程为(即为公共弦所在的直线方程。利用此法,可以推导圆的切点弦方程)。
8、已知一个圆的直径端点是、,则圆的方程是:

9、给一定点和椭圆:,、分别为左右焦点,有如下性质:
(1)若点在椭圆上,则,(由椭圆第二定义推出);
(2)若点在椭圆上,过这一点的椭圆的切线方程则可表示为:;
(3)若点在椭圆外,则这一点对应的椭圆的切点弦可表示为:;
(4)若点在椭圆内,则这一点对应的椭圆的极线可表示为:;
补充:直线与椭圆相切的充要条件是:

10、三种圆锥曲线的通径(通径是最短的焦点弦):
(1)椭圆的通径长为;
(2)双曲线的通径长为;
(3)抛物线的通径长为。
11、双曲线的焦半径公式:点为双曲线上任意一点,、分别为左右焦点
(1)若在右支上,则,;
(2)若在左支上,则,。
12、双曲线标准方程(焦点在轴或轴上)的统一形式为(),双曲线的渐近线方程为,也可记作。
13、过抛物线的焦点且倾斜角为的弦,时,最短弦长为,即为抛物线的通径。
14、圆锥曲线中几条特殊的垂直弦和定点弦:
(1)过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦,则弦过定点;
(2)过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦,点分别为的中点,则直线过定点;
(3)过抛物线上一点作两条互相垂直的弦,则弦过定点;
(4)过椭圆的中心作两条相互垂直的弦,则原点到弦AB的距离为定值:,且(此时弦AB最短),(此时弦AB最长);
(5)过椭圆的右顶点作两条相互垂直的弦,则弦MN过定点:;
(6)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的弦,点分别为的中点,则直线MN过定点:;
(7)过双曲线的中心作两条相互垂直的弦,则原点到弦AB的距离为定值:;
15、过抛物线上一点的焦半径;若、是过焦点弦的端点,,则:
(1),;
(2);
(3)(为直线与轴的夹角);
(4)若、在准线上的射影分别为、,则;
(5)以焦点弦为直径的圆与准线相切,切点为的中点;
(6)以焦半径为直径的圆与轴相切;
(7)以为直径的圆与焦点弦相切,切点为焦点F;
16、过抛物线的准线与对称轴的交点作抛物线的两条切线,则切点弦长等于该抛物线的通径。过抛物线的对称轴上任意一点作抛物线的切线,切点分别为、,则直线过定点。
17、由抛物线焦点发出的光线,经过抛物线上一点反射后,反射光线平行抛物线的轴。
18、若双曲线的两条渐近线方程分别为,则对应双曲线方程可设为为为参数)。
19、等轴双曲线的离心率;双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长。
20、若一直线被双曲线及两条渐近线所截,则夹在双曲线与渐近线间的线段长相等。
21、点与圆锥曲线的位置关系:
(1)若点在抛物线内部,则。
若点在抛物线外部,则;
(2)若点在内部,则。
若点在外部,则;
(3)双曲线内的点(指点在双曲线弧内),满足;
双曲线外的点(指点在双曲线弧外),满足。
22、若直线与二次曲线交于、两点,则由:
,知直线与二次曲线相交所截得的弦长:
其中(涉及直线与二次曲线相交的位置关系应注意,还需要注意圆锥曲线本身的范围。若求弦所在直线的斜率常用点差法)。
23、中心在原点的椭圆、双曲线方程(焦点位置不定)可设为(其中且时为椭圆,时为双曲线)。
24、圆锥曲线的参数方程:
(1)椭圆的参数方程为(为参数);
(2)双曲线的参数方程为(为参数);
(3)抛物线的参数方程为(为参数)。
25、若为椭圆上任一点,、为焦点,为短轴的一个端点,则(证明用到椭圆定义、余弦定理)。
26、与直线平行的直线系方程为(参数);
与直线垂直的直线系方程为(为参数)。
27、共离心率的椭圆系方程为(为参数)。椭圆的离心率越接近1,椭圆越扁;椭圆的离心率越接近于0,椭圆就接近于圆。可以概括为:椭圆的离心率越大,椭圆越扁。
28、共渐近线的双曲线系方程为(为参数)。
29、设是椭圆上的任意一点(不在长轴上),、为左右焦点,则称为焦点三角形,,,,该三角形有如下性质:
(1)离心率:;
(2)面积:;
(3)旁切球:左右两个旁切球的球心都在直线上;
(4)设其内心为,连接PI并延长交长轴于点M,则有:;
(5)当且仅当点P在短轴端点时,最大,也最大。
30、设是双曲线上的任意一点(不在实轴上),、为左右焦点,,则的面积为。
31、椭圆内接三角形,四边形的面积最大问题
(1)椭圆内接三角形面积的最大值为:(当且仅当三角形的重心为椭圆的中心);
(2)椭圆内接四边形面积的最大值为:(当且仅当四边形的对角线为椭圆的一对共轭直径)
32、设M,N为椭圆上关于原点中心对称的两点,P为椭圆上异于M,N的任意一点,则。(双曲线中为:)
33、已知两点、及直线
(1)若点、在直线的同侧,则。
(2)若点、在直线的异侧,则。
34、已知点、及直线,点关于直线的对称点为,则有其中
35、在线性规划中,
(1)对形如型的目标函数,可变形为,看做直线在轴上的截距,问题转化为求纵截距范围或

(2)对形如型的目标函数,变形为的形式,将问题转化为求可行域内的点与点连线斜率的倍的范围;
(3)对形如型的目标函数,可化为的形式,将问题化归为求可行域内的点到直线距离的倍的最值。
36、在圆锥曲线中,求形如(是圆锥曲线内的一点,是圆锥曲线的一个焦点)的最值问题时,可利用圆锥曲线的第二定义将转化为圆锥曲线上的点到准线的距离。
有关线段和差关系的计算,可优先考虑圆锥曲线的第一定义。
37、凡是动点到圆上动点之间距离的最值,必过圆心时才能取得,应先求动点到圆心的最值,再加上或减去半径

不等式的证实3


一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备,作为教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收,帮助教师能够井然有序的进行教学。所以你在写教案时要注意些什么呢?下面是由小编为大家整理的“不等式的证实3”,仅供参考,希望能为您提供参考!

不等式的证实3第四课时
教学目标
1.把握分析法证实不等式;
2.理解分析法实质——执果索因;
3.提高证实不等式证法灵活性.
教学重点分析法
教学难点分析法实质的理解
教学方法启发引导式
教学活动
(一)导入新课
(教师活动)教师提出问题,待学生回答和思考后点评.
(学生活动)回答和思考教师提出的问题.
[问题1]我们已经学习了哪几种不等式的证实方法?什么是比较法?什么是综合法?
[问题2]能否用比较法或综合法证实不等式:
[点评]在证实不等式时,若用比较法或综合法难以下手时,可采用另一种证实方法:分析法.(板书课题)
设计意图:复习已学证实不等式的方法.指出用比较法和综合法证实不等式的不足之处,
激发学生学习新的证实不等式知识的积极性,导入本节课学习内容:用分析法证实不等式.
(二)新课讲授
尝试探索、建立新知
(教师活动)教师讲解综合法证实不等式的逻辑关系,然后提出问题供学生研究,并点评.帮助学生建立分析法证实不等式的知识体系.投影分析法证实不等式的概念.
(学生活动)与教师一道分析综合法的逻辑关系,在教师启发、引导下尝试探索,构建新知.
[讲解]综合法证实不等式的逻辑关系:以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论,逐步寻找它成立的必要条件,直到必要条件就是要证实的不等式.
[问题1]我们能不能用同样的思考问题的方式,把要证实的不等式作为结论,逐步去寻找它成立的充分条件呢?
[问题2]当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时,说明了什么呢?
[问题3]说明要证实的不等式成立的理由是什么呢?
[点评]从要证实的结论入手,逆求使它成立的充分条件,直到充分条件显然成立为止,从而得出要证实的结论成立.就是分析法的逻辑关系.
[投影]分析法证实不等式的概念.(见课本)
设计意图:对比综合法的逻辑关系,教师层层设置问题,激发学生积极思考、研究.建立新的知识;分析法证实不等式.培养学习创新意识.
例题示范、学会应用
(教师活动)教师板书或投影例题,引导学生研究问题,构思证题方法,学会用分析法证实不等式,并点评用分析法证实不等式必须注重的问题.
(学生活动)学生在教师引导下,研究问题,与教师一道完成问题的论证.
例1求证
[分析]此题用比较法和综合法都很难入手,应考虑用分析法.
证实:(见课本)
[点评]证实某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难.此例中,我们很难想到从“”入手,因此,在不等式的证实中,分析法占有重要的位置,我们常用分析法探索证实途径,然后用综合法的形式写出证实过程,这是解决数学问题的一种重要思维方法,事实上,有些综合法的表述正是建立在分析法思考的基础上,分析法的优越性正体现在此.
例2已知:,求证:(用分析法)请思考下列证法有没有错误?若有错误,错在何处?
[投影]证法一:因为,所以、去分母,化为,就是.由已知成立,所以求证的不等式成立.
证法二:欲证,因为
只需证,
即证,
即证
因为成立,所以成立.
(证法二正确,证法一错误.错误的原因是:虽然是从结论出发,但不是逐步逆战结论成立的充分条件,事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件,所以不符合分析法的逻辑原理,犯了逻辑上的错误.)
[点评]①用分析法证实不等式的逻辑关系是:
(结论)(步步寻找不等式成立的充分条件)(结论)
分析法是“执果索因”,它与综合法的证实过程(由因导果)恰恰相反.②用分析法证实时要注重书写格式.分析法论证“若A则B”这个命题的书写格式是:
要证命题B为真,
只需证实为真,从而有……
这只需证实为真,从而又有……
……
这只需证实A为真.
而已知A为真,故命题B必为真.
要理解上述格式中蕴含的逻辑关系.
[投影]例3证实:通过水管放水,当流速相同时,假如水管截面(指横截面,下同)的周长相等,那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
[分析]设未知数,列方程,因为当水的流速相同时,水管的流量取决于水管截面面积的大小,设截面的周长为,则周长为的圆的半径为,截面积为;周长为的正方形边长为,截面积为,所以本题只需证实:
证实:(见课本)
设计意图:理解分析法与综合法的内在联系,说明分析法在证实不等式中的重要地位.掌
握分析法证实不等式,非凡重视分析法证题格式及格式中蕴含的逻辑关系.灵活把握分析法的应用,培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.
课堂练习
(教师活动)打出字幕(练习),请甲、乙两位同学板演,巡视学生的解题情况,对正确的证法给予肯定,对偏差及时纠正.点评练习中存在的问题.
(学生活动)在笔记本上完成练习,甲、乙两位同学板演.
字幕练习1.求证
2.求证:
设计意图:把握用分析法证实不等式,反馈课堂效果,调节课堂教学.
分析归纳、小结解法
(教师活动)分析归纳例题和练习的解题过程,小给用分析法证实不等式的解题方法.
(学生活动)与教师一道分析归纳,小结解题方法,并记录笔记.
1.分析法是证实不等式的一种常用基本方法.当证题不知从何入手时,有时可以运用分析法而获得解决,非凡是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的.
2.用分析法证实不等式时,要正确运用不等式的性质逆找充分条件,注重分析法的证题格式.
设计意图:培养学生分析归纳问题的能力,把握分析法证实不等式的方法.
(三)小结
(教师活动)教师小结本节课所学的知识.
(学生活动)与教师一道小结,并记录笔记.
本节课主要学习了用分析法证实不等式.应用分析法证实不等式时,把握一些常用技巧:
通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母,两边乘方、开方等.在使用这些技巧变形时,要注重遵循不等式的性质.另外还要适当把握指数、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用.理解分析法和综合法是对立统一的两个方面.有时可以用分析法思考,而用综合法书写证实,或者分析法、综合法相结合,共同完成证实过程.
设计意图:培养学生对所学知识进行概括归纳的能力,巩固所学知识.
(四)布置作业
1.课本作业:P174、5.
2.思考题:若,求证
3.研究性题:已知函数,,若、,且证实
设计意图:思考题供学有余力同学练习,研究性题供学生研究分析法证实有关问题.
(五)课后点评
教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程.本节课在形成分析法证实不等式认知结构中,教师提出问题或引导学生发现问题,然后开拓学生思路,启迪学生聪明,求得问题解决.一个问题解决后,及时地提出新问题,提高学生的思维层次,逐步由非凡到一般,由具体到抽象,由表面到本质,把学生的思维步步引向深入,直到完成本节课的教学任务.总之,本节课的教学安排是让学生的思维由问题开始,到问题深化,始终处于积极主动状态.
本节课练中有讲,讲中有练,讲练结合.在讲与练的互相作用下,使学生的思维逐步深化.教师提出的问题和例题,先由学生自己研究,然后教师分析与概括.在教师讲解中,又不断让学生练习,力求在练习中加深理解,尽量改变课堂上教师包括办代替的做法.
在安排本节课教学内容时,按熟悉规律,由浅入深,由易及难,逐渐展开教学内容,让学生形成有序的知识结构.
作业答案:
思考题:
.因为,故,所以成立.
研究性题:令,,则:
,,
故原不等式等价于
由已知有.。所以上式等价于,即。所以又等价于.因为,上式成立,所以原不等式成立。
不等式的实际解释
题目:不等式:是正数,且,则。可以给出一个具有实际背景的解释:在溶液里加溶质则浓度增加,即个单位溶液中含有个单位的溶质,其浓度小于加入个单位溶质后的溶液浓度,请你仿照此例,给出两个不等式的解释。
分析与解
1.先看问题中的不等式,建筑学规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,并且这个比值越大,住宅的采光条件越好。我们知道假如同时增加相等的窗户面积和地板面积,那么住宅的条件变好。
设地板面积为平方米,窗户面积为平方米,若窗户面积和地板面积同时增加相等的平方米,住宅的采光条件变好了,即有
2.是正数,不等式可以推出,我们可以用混合溶液来解释:两个不同浓度的溶液混合后,其浓度介于混合前两溶液浓度之间。
3.电阻串并联。电阻值为、的电阻,串联电阻为,并联电阻为,串联电阻变大,并联电阻变小,因此有不等式,即
说明许多数学结论是由实际问题抽象为数学问题后,通过数学的运算演变得到的。反过来,把抽象的数学结论还原为实际解释也是一种数学运用,值得大家关注。

不等式证明


题目第六章不等式不等式的证明
高考要求
1.通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等),使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题;
2.掌握用“分析法”证明不等式;理解反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围
3.搞清分析法证题的理论依据,掌握分析法的证题格式和要求搞清各种证明方法的理论依据和具体证明方法和步骤
4通过证明不等式的过程,培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力;能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法,解决有关不等式的问题
知识点归纳
不等式的证明方法
(1)比较法:作差比较:
作差比较的步骤:
①作差:对要比较大小的两个数(或式)作差
②变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和
③判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号
注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小
(2)综合法:由因导果
(3)分析法:执果索因基本步骤:要证……只需证……,只需证……
①“分析法”证题的理论依据:寻找结论成立的充分条件或者是充要条件
②“分析法”证题是一个非常好的方法,但是书写不是太方便,所以我们可以利用分析法寻找证题的途径,然后用“综合法”进行表达
(4)反证法:正难则反
(5)放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的
放缩法的方法有:
①添加或舍去一些项,如:;;
②将分子或分母放大(或缩小)
③利用基本不等式,
如:;
④利用常用结论:
Ⅰ、;
Ⅱ、;(程度大)
Ⅲ、;(程度小)
(6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元如:
已知,可设;
已知,可设();
已知,可设;
已知,可设;
(7)构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式;
证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.
数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究
题型讲解
例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖,假如再添上m克糖,糖水会变得更甜,试将这一事实用数学关系式反映出来,并证明之
分析:本例反映的事实质上是化学问题,由浓度概念(糖水加糖甜更甜)可知
解:由题意得
证法一:(比较法)
,,
证法二:(放缩法)

证法三:(数形结合法)如图,在RtABC及RtADF中,
AB=a,AC=b,BD=m,作CE∥BD

例2已知a,b∈R,且a+b=1
求证:
证法一:(比较法)
即(当且仅当时,取等号)
证法二:(分析法)
因为显然成立,所以原不等式成立
点评:分析法是基本的数学方法,使用时,要保证“后一步”是“前一步”的充分条件
证法三:(综合法)由上分析法逆推获证(略)
证法四:(反证法)假设,

由a+b=1,得,于是有
所以,
这与矛盾
所以
证法五:(放缩法)∵
∴左边=
=右边
点评:根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点,选用基本不等式
证法六:(均值换元法)∵,
所以可设,,
∴左边=
=右边
当且仅当t=0时,等号成立
点评:形如a+b=1结构式的条件,一般可以采用均值换元
证法七:(利用一元二次方程根的判别式法)
设y=(a+2)2+(b+2)2,
由a+b=1,有,
所以,
因为,所以,即

例3设实数x,y满足y+x2=0,0a1求证:
证明:(分析法)要证,
,只要证:,
又,
只需证:
∴只需证,
即证,此式显然成立
∴原不等式成立
例4设m等于,和1中最大的一个,当时,求证:
分析:本题的关键是将题设条件中的文字语言“m等于,和1中最大的一个”翻译为符号语言“,,”,从而知
证明:(综合法),
例5已知
的单调区间;
(2)求证:
(3)若求证:
解:(1)对已知函数进行降次分项变形,得,
(2)∵




点评:函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考知识又考能力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值
小结:
1.掌握好不等式的证明,不等式的证明内容甚广,证明不但用到不等式的性质,不等式证明的技能、技巧,还要注意到横向结合内容的方方面面如与数列的结合,与“二次曲线”的结合,与“三角函数”的结合,与“一元二次方程,一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约,这些也是近年命题的重点
2在不等式证明中还要注意数学方法,如比较法(包括比差和比商)、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等,还要注意一些数学技巧,如数形结合、放缩、分类讨论等
3比较法是证明不等式最常用最基本的方法当欲证的不等式两端是多项式或分式时,常用差值比较法当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式时常用商值比较法,即欲证
4基本思想、基本方法:
⑴用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法
⑵用分析法探索证明的途径,然后用综合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法
⑶“分析法”证明不等式就是“执果索因”,从所证的不等式出发,不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式,直至找到显然成立的不等式,书写方法习惯上用“”来表达分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用,两个重要策略原则是:
正难则反原则:若从正面考虑问题比较难入手时,则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法,即我们常说的逆向思维,由结论向条件追溯
简单化原则:寻求解题思路与途径,常把较复杂的问题转化为较简单的问题,在证明较复杂的不等式时,可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化,得到一个较易证明的不等式
⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法
⑸换元法(主要指三角代换法)多用于条件不等式的证明,此法若运用恰当,可沟通三角与代数的联系,将复杂的代数问题转化成简单的三角问题
⑹含有两上字母的不等式,若可化成一边为零,而另一边是关于某字母的二次式时,这时可考虑判别式法,并注意根的取值范围和题目的限制条件
⑺有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证,放缩时要看准目标,做到有的放矢,注意放缩适度
学生练习
1设,求证:
证明:
=
=
=
,则
故原不等式成立
点评:(1)三元因式分解因式,可以排列成一个元的降幂形式:
(2)用比较法证不等式,关键在于作差(或商)后结式了进行变形,常见的变形是通分、因式分解或配方
2己知都是正数,且成等比数列,
求证:
证明:
成等比数列,
都是正数,
点评:两边相减能消去一部分、两边相除能约去一部分是运用比较法的外部特征,除了通分、因式分解或配方法,局部运用基本不等式,也是用比较法证不等式时的一种常用手段
3己知函数,当满足时,证明:对于任意实数都成立的充要条件是
证明:
(1)若,则
(2)当时,
故原命题成立
4.比较的大小(其中0x1)
解:-=0(比差)
5
6
证明:
7.若,求证ab与不能都大于
证明:假设ab,(1-a)(1-b)都大于
8.已知:a3+b3=2,求证:a+b
证明:假设a+b2则b2-a
a3+b3a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2
与已知相矛盾,所以,a+b
9
10
11
13设都正数,求证:
证明:

14设且,求证:
证法1若,,
这与矛盾,
同理可证
证法2由知
15有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产基地以相同价格购进粮食,他们共购粮三次,各次的粮食价格不同,甲每次购粮10000千克,乙每次购粮10000元三次后统计,谁购的粮食平均价低?为什么?
解:设第一、二、三次的粮食价格分别为元/千克、元/千克、元/千克,,则甲三次购粮的平均价格为,乙三次购粮的平均价格为,因为
所以乙购的粮食价格低
说明“各次的粮食价格不同”,必须用字母表示,这样就能把粮食平均价格用式子表示出来我们应该从式的特征联想到用基本不等式进行变换

课前后备注

超越不等式


一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性,教师要准备好教案,这是教师需要精心准备的。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动,帮助教师能够更轻松的上课教学。怎么才能让教案写的更加全面呢?下面是小编精心为您整理的“超越不等式”,欢迎大家阅读,希望对大家有所帮助。

超越不等式
一,理论知识汇总
(一),分式不等式
1,注意通分合并
2,注意等价转化
f(x)g(x)0f(x)g(x)0

f(x)g(x)0f(x)g(x)0

f(x)g(x)≥0f(x)g(x)≥0且g(x)≠0

f(x)g(x)≤0f(x)g(x)≤0且g(x)≠0

例:解关于x的不等式ax-1x+10.
解原不等式等价于(ax-1)(x+1)0
(1)当a=0时,原不等式为-(x+1)0解得x-1;
(2)当a0时,得1a0解得x-1或x1a
(3)当a0时,原不等式可化为(x-1a)(x+1)0
①若a=-1时,不等式无解;②若a-1时,1a-1,解得-1x1a;
③若-1a0时,1a-1解得1ax-1
综上所述:当a=0时,解集为(-∞,-1);当a0时,解集为(-∞,-1)∪(1a,+∞);
当a=-1时,解集为;当a-1时,解集为(-1,1a);当-1a0时,解集为(1a,-1).
(二),高次不等式
方法:先因式分解,再使用穿线法.
注意:(1)因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.
(2)恒正因式,可直接去掉.
(3)穿线法的使用对象及使用方法
使用对象:二次不等式、分式不等式及高次不等式.
使用方法:
①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.
②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇透偶不透).
③数轴上方曲线对应区域使“”成立,下方曲线对应区域使“”成立.
例:解不等式x2-4x+13x2-7x+2≤1
解:变形为(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0
根据穿线法如图

不等式解集为:{xx13或12≤x≤1或x2}.
(三)指数不等式?
通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.?
a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x);
0a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x).
(四)对数不等式?
通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.
a1时,logaf(x)logag(xf(x)g(x)0;
0a1时,logaf(x)logag(x)0f(x)g(x).
(五)三角不等式?
①形如:sinx≥a,sinx≤b及a≤sinx≤b的不等式,除了使用单位圆求解之外,还可以用“图像法”求解,两者比较,“图像法”易于操作,操作程序如下:?
在同一坐标系中同时作出两个函数y1=sinx(0≤x≤2π)及y2=a(或b)(0≤x≤2π)图,得出满足x∈[0,2π]的不等式的解,然后利用函数的周期性,得出原不等式的解.?
②形如:cosx≥a,cosx≤b及a≤cosx≤b的不等式,除了使用单位圆求解之外,
还可以用“图像法”求解,两者比较,“图像法”易于掌握,求解程序如下:?
在同一坐标系中同时作出两个函y1=cosx及y2=a(或y3=b),的图像,先得出满足条件x∈的不等式的解,然后利用函数的周期性得出原不等式的解.?
③形如:tanx≥a,tanx≤b及a≤tanx≤b的不等式,有直接的结论可用:?
tanx≥a的解集是:.
tanx≤b的解集是:.
a≤tanx≤b的解集是:[kπ+arctana,kπ+arctanb],k∈Z.
练习:
1.不等式的解集是()?
?A.(,1)∪(1,10)B.(,1)∪(2,10)C.(,10)D.(1,+∞)
2.已知不等式对一切实数x都成立,则实数a的取值范围是?A.aB.a?C.0aD.a1?
3.不等式解集是()?
?A.(2,4)B.(-2,4)C.(-4,2)D.(-4,-2)?
4.不等式lg(x2+2x+2)1的解集是()?
?A.(2,4)B.(-2,4)?C.(-4,2)?D.(-4,-2)?
5.若α∈(0,),则不等式的解集是()?
?A.(-1,)B.(,)?C.(-1,)D.(,1)
6.设A={x|lg(x-1)},B={x|≤lg(x-1)},则A∪B等于()?
?A.R?B.(1,+∞)?C.(1,)?D.(1,)
7.不等式1的解集为()?
?A.(0,)B.(,+∞)?C.(,1)?D.(0,)∪(1,+∞)
8.不等式的解集为()?
?A.(3,+∞)?B.(1,5)?C.(1,4)∪(4,5)?D.(3,4)∪(4,5)
9.若不等式x2-logmx0在(0,)范围内恒成立,则实数m的取值范围是()
A.?B.?C.?D.
10.不等式5x-3的解集是.
11.当0a1时,不等式:的解集为.
12.不等式sinx≤-的解集为.
13.不等式tan(x-)≥的解集为.
14,解不等式(1)(x+4)(x+5)2(2-x)30(2)x2-4x+13x2-7x+2≤1
15.解下列指数不等式:?
(1);(2)|2x-3|+4x-30.

16.解对数不等式:logx5-2logx3.?

17.解关于x的不等式:

18.解不等式: