两平面垂直。
古人云,工欲善其事,必先利其器。作为高中教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生更好的消化课堂内容,帮助授课经验少的高中教师教学。优秀有创意的高中教案要怎样写呢?经过搜索和整理,小编为大家呈现“两平面垂直”,仅供参考,欢迎大家阅读。
总课题平面与平面的位置关系总课时第13课时
分课题两平面垂直分课时第2课时
教学目标理解二面角及其平面角的概念;掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理及简单应用.
重点难点二面角的平面角;两个平面垂直的判定定理和性质定理的应用.
引入新课
1.早读课时,需要将书本打开一定的角度.如何刻画两个平面所形成的这种“角”呢?
二面角的概念:
2.一般地,____________________________________,那么就说这两个平面互相垂直.
(1)两个平面垂直的判定定理:
语言表示:
符号表示:
(2)两个平面垂直的性质定理:
语言表示:
符号表示:
例题剖析
例1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)求二面角D1-AB-D的大小;
(2)求二面角A1-AB-D的大小.
例2如图,正方体ABCD-A1B1C1D1,求证:平面B1AC⊥平面B1BDD1.
巩固练习
.1.如图正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角C1-BD-C的值_____________.
2.如图,已知AB是平面α的垂线,AC是平面α的斜线,CDα,CD⊥AC,则面面垂直的有___________________________________________________________________.
3.如图,∠AOB是二面角α-CD-β的平面角,AE是△AOB的OB边上的高,回答下列问题,并说明理由.
(1)CD与平面AOB垂直吗?
(2)平面AOB与α、β垂直吗?
(3)AE与平面β垂直吗?
课堂小结
二面角的平面角;两个平面垂直的判定定理和性质定理的应用.
课后训练
班级:高一()班姓名:____________
一基础题
1.设m、n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,给出下列四个命题中正确命题的序号是______________________.
①若m⊥α,n//α,则m⊥n;②若α//β,β//γ,m⊥α,则m⊥γ;
③若m//α,α⊥β,则m//α;④若α⊥γ,β⊥γ,则α//β.
2.已知平面α⊥β,α∩β=l,P是空间一点,且P到α、β的距离分别是1、2,则点P到l的距离为_____________.
二提高题
3.如图,已知PA⊥平面ABC,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的任一点.
求证:平面PAC⊥平面PBC.
4.如图,α⊥β,α∩β=l,ABα,AB⊥l,BCβ,DEβ,BC⊥DE,
求证:AC⊥DE.
三能力题
5.在四棱锥P-ABCD中,若PA⊥平面ABCD,且ABCD是菱形,求证:平面PAC⊥平面PBD.
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平面与平面垂直关系的判定
一、学习目标:
1.掌握直线与平面垂直的判定定理,并会应用。
2.通过定理的学习,培养和发展学生的空间想象能力,推理论证能力,运用图形语言进行交流的能力,几何直观感知能力
二.重点知识(课前自学完成)
1.何谓直线与平面垂直(定义):
在如图所示的长方体中,有哪些棱所在的直线与面ADD1A1垂直:
2.直线与平面垂直的判定定理:
文字描述:
图形呈现:
符号表示:
三、知识应用
1.判断下列命题的真假:(A级)
(1)如果直线和一个平面内的无数条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直;()
(2)如果一条直线和一个平面内的任何直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直;()
(3)在空间中,有三个角为直角的四边形一定是矩形;()
2.已知:如图P为ABC所在平面外一点,AP=AC,BP=BC,D为PC的中点,
求证:PC平面ABD(B级)
3.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,判断直线B1C与平面ABC1D1的位置关系,并说明理由。(B级)
4如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体中,
求证:(1)AC平面B1D1DB;
(2)BD平面ACB1;(B级)
《两个平面垂直的判定定理》教学设计
《两个平面垂直的判定定理》教学设计
1教材结构与内容简析:
1.1本节内容在全书及章节的地位;
两平面垂直的判定定理出现在高中立几第一章最后一节,这之前学生已学习了空间两直线位置关系,空间直线和平面位置关系,特别是已学习了直线和平面垂直判定定理,二面角的平面角,这是学习本节内容的基础,而本节内容是第二章多面体、旋转体的学习基础,因此,本节的学习有着极其重要的地位。
1.2数学思想方法分析:
1.2.1从定理的证明过程,面面垂直可转化为线面垂直,就可以看到数学的化归,降维思想。
1.2.2在教材所提供的材料中,从建构手段角度分析,可以看到归纳思想,而这一思想中包含着重组的意识和能力。
2教学目标:
根据上述教材结构与内容分析,考虑到学生已有的认知结构及心理特征,制定如下教学目标:
2.1基础知识目标:掌握平面与平面垂直的判定定理及其变
式,能利用它们解决相关的问题。
2.2能力训练目标:逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力,会准确地阐述自己的思路和观点,着重培养学生的认知和元认知能力。
2.3创新素质目标:引导学生从日常生活中发现判定定理,培养学生的发现意识和能力;判定定理及变式的教学培养学生的重组意识和能力;判定定理在现实生活中的应用培养学生的应用的意识和能力。
2.4个性品质目标:培养学生勇于探索,善于发现,独立的意识,不断超越自我的创新品质。
3教学重点、难点、关键:
重点:判定定理的证明及变式探索
难点:判定定理的变式。
关键:本节课通过判定定理的证明及变式探索,着重培养和发展学生的认知和元认知能力。
4教材处理
建构主义学习理论认为,建构即认知结构的组建,其过程一般是先把知识点按照逻辑线索和内在联系,串成知识线,再由若干条知识线联构成知识面,最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。本课时为何提出变式呢,应该说,这一处理方法正是基于此理论的体现。其次,本节课处理过程力求达到解决如下问题:知识是如何产生的?如何发展?又如何从实际问题抽象成数学问题,并赋予抽象的数学符号和表达式,如何反映生活中客观事物之间简单的和谐关系。
5教学模式
遵循教学过程是教师活动和学生活动的十分复杂的动态性总体,是教师和每一个学生积极参与下进行集体认识的过程,教为主导,学为主体,又互为客体,启动学生主动学习,启发引导学生实践思维过程,自得知识,自觅规律,自悟原理,主动发展思维和能力。
6学法
6.1让学生在认知过程中,着重掌握元认知过程:
6.2使学生把独立思考与多向交流相结合。
7教学程序及设想
直线与平面垂直
经验告诉我们,成功是留给有准备的人。作为高中教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容,帮助高中教师掌握上课时的教学节奏。你知道怎么写具体的高中教案内容吗?为满足您的需求,小编特地编辑了“直线与平面垂直”,供您参考,希望能够帮助到大家。
第三课时直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
(一)教学目标
1.知识与技能
(1)使学生掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理;
(2)能运用性质定理解决一些简单问题;
(3)了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.
2.过程与方法
(1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认识;
3.情感、态度与价值观
通过“直观感知、操作确认、推理证明”,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.
(二)教学重点、难点
两个性质定理的证明.
(三)教学方法
学生依据已有知识和方法,在教师指导下,自主地完成定理的证明、问题的转化.
教学过程教学内容师生互动设计意图
新课导入问题1:判定直线和平面垂直的方法有几种?
问题2:若一条直线和一个平面垂直,可得到什么结论?若两条直线与同一个平面垂直呢?师投影问题.学生思考、讨论问题,教师点出主题复习巩固以旧带新
探索新知一、直线与平面垂直的性质定理
1.问题:已知直线a、b和平面,如果,那么直线a、b一定平行吗?
已知
求证:b∥a.
证明:假定b不平行于a,设=0
b′是经过O与直线a平行的直线
∵a∥b′,
∴b′⊥a
即经过同一点O的两线b、b′都与垂直这是不可能的,
因此b∥a.
2.直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
简化为:线面垂直线线平行生:借助长方体模型AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于平面ABCD,它们之间相互平行,所以结论成立.
师:怎么证明呢?由于无法把两条直线a、b归入到一个平面内,故无法应用平行直线的判定知识,也无法应用公理4,有这种情况下,我们采用“反证法”
师生边分析边板书.
借助模型教学,培养几何直观能力.,反证法证题是一个难点,采用以教师为主,能起到一个示范作用,并提高上课效率.
探索新知二、平面与平面平行的性质定理
1.问题
黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?
2.例1设,=CD,,AB⊥CD,AB⊥CD=B求证AB
证明:在内引直线BE⊥CD,垂足为B,则∠ABE是二面角的平面角.由知,AB⊥BE,又AB⊥CD,BE与CD是内的两条相交直线,所以AB⊥
3.平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
简记为:面面垂直线面垂直.教师投影问题,学生思考、观察、讨论,然后回答问题
生:借助长方体模型,在长方体ABCD–A′B′C′D′中,面A′ADD′⊥面ABCD,A′A⊥AD,AB⊥A′A
∵
∴A′A⊥面ABCD
故只需在黑板上作一直线与两个平面的交线垂直即可.
师:证明直线和平面垂直一般都转化为证直线和平面内两条交线垂直,现AB⊥CD,需找一条直线与AB垂直,有条件还没有用,能否利用构造一条直线与AB垂直呢?
生:在面内过B作BE⊥CD即可.
师:为什么呢?
学生分析,教师板书
本例题的难点是构造辅助线,采用分析综合法能较好地解决这个问题.
典例分析例2如图,已知平面,,直线a满足,,试判断直线a与平面的位置关系.
解:在内作垂直于与交线的直线b,
因为,所以
因为,所以a∥b.
又因为,所以a∥.
即直线a与平面平行.
例3设平面⊥平面,点P作平面的垂线a,试判断直线a与平面的位置关系?
证明:如图,设=c,过点P在平面内作直线b⊥c,根据平面与平面垂直的性质定理有.
因为过一点有且只有一条直线与平面垂直,所以直线a与直线b垂合,因此.师投影例2并读题
生:平行
师:证明线面平行一般策略是什么?
生:转证线线平行
师:假设内一条直线b∥a则b与的位置关系如何?
生:垂直
师:已知,怎样作直线b?
生:在内作b垂直于、的交线即可.
学生写出证明过程,教师投影.
师投影例3并读题,师生共同分析思路,完成证题过程,然后教师给予评注.
师:利用“同一法”证明问题主要是在按一般途径不易完成问题的情形下,所采用的一种数学方法,这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线不易想到,二是证直线b与直线a重合,相对容易一些,本题注意要分类讨论,其结论也可作性质用.巩固所学知识,训练化归能力.
巩固所学知识,训练分类思想化归能力及思维的灵活性.
随堂练习1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”错误的画“×”.
(1)a.垂直于同一条直线的两个平面互相平行.(√)
b.垂直于同一个平面的两条直线互相平行.(√)
c.一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线互相垂直.(√)
(2)已知直线a,b和平面,且a⊥b,a⊥,则b与的位置关系是.
答案:b∥或b.
2.(1)下列命题中错误的是(A)
A.如果平面⊥平面,那么平面内所有直线垂直于平面.
B.如果平面⊥平面,那么平面内一定存在直线平行于平面.
C.如果平面不垂直平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面.
D.如果平面⊥平面,平面⊥平面,,那么.
(2)已知两个平面垂直,下列命题(B)
①一个平面内已积压直线必垂直于另一平面内的任意一条直线.
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.
④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确命题的个数是()
A.3B.2C.1D.0
3.设直线a,b分别在正方体ABCD–A′B′C′D′中两个不同的面所在平面内,欲使a∥b,a,b应满足什么条件?
答案:不相交,不异面
4.已知平面,,直线a,且,,a∥,a⊥AB,试判断直线a与直线的位置关系.
答案:平行、相交或在平面内学生独立完成
巩固、所学知识
归纳总结1.直线和平面垂直的性质
2.平面和平面垂直的性质
3.面面垂直线面垂直线线垂直学生归纳总结,教材再补充完善.回顾、反思、归纳知识提高自我整合知识的能力.
课后作业2.3第三课时习案学生独立完成固化知识
提升能力
备选例题
例1把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面,另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直,a是内一条直线,若斜边AB与a垂直,则BC是否与a垂直?
【解析】
【评析】若BC与垂直,同理可得AB与也垂直,其实质是三垂线定理及逆定理,证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法:“线线垂直→线面垂直→线线垂直”.
例2求证:如果两个平面都垂直于第三个平面,则它们的交线垂直于第三个平面.已知⊥r,⊥r,∩=l,求证:l⊥r.
【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在r内构造两相交直线分别与平面、垂直.或由面面垂直的性质易在、内作出平面r的垂线,再设法证明l与其平行即可.
【证明】法一:如图,设∩r=a,∩r=b,在r内任取一点P.过点P在r内作直线m⊥a,n⊥b.
∵⊥r,⊥r,
∴m⊥a,n⊥(面面垂直的性质).
又∩=l,
∴l⊥m,l⊥n.又m∩n=P,m,nr
∴l⊥r.
法二:如图,设∩r=a,∩r=b,在内作m⊥a,在内作n⊥b.
∵⊥r,⊥r,
∴m⊥r,n⊥r.
∴m∥n,又n,m,
∴m∥,又∩=l,m,
∴m∥l,
又m⊥r,∴l⊥r.
【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键.证法一充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化;证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化.此题是线线、面面垂直转化的典型题,通过一题多解,对沟通知识和方法,开拓解题思路是有益的.
1.6.2平面与平面垂直的判定
一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责,高中教师要准备好教案,这是每个高中教师都不可缺少的。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容,帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。那么一篇好的高中教案要怎么才能写好呢?为了让您在使用时更加简单方便,下面是小编整理的“1.6.2平面与平面垂直的判定”,供您参考,希望能够帮助到大家。
1.6.2平面与平面垂直的判定一、教学目标
1、知识与技能:(1)使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念;(2)使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用;(3)使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法:(1)通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程;(2)类比已学知识,归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情态与价值:通过揭示概念的形成、发展和应用过程,使学生理会教学存在于观实生活周围,从中激发学生积极思维,培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点、难点
重点:平面与平面垂直的判定。难点:如何度量二面角的大小。
三、学法与教法
1、学法:实物观察,类比归纳,语言表达。2、教法:探究讨论法。
四、教学设计
(一)创设情景,揭示课题:问题1:平面几何中“角”是怎样定义的?问题2:在立体几何中,“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的?它们有什么共同的特征?以上问题让学生自由发言,教师再作小结,并顺势抛出问题:在生产实践中,有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形,你能举出这个问题的一些例子吗?如修水坝、发射人造卫星等,而这样的角有何特点,该如何表示呢?下面我们共同来观察,研探。
(二)研探新知
1、二面角的有关概念
老师展示一张纸面,并对折让学生观察其状,然后引导学生用数学思维思考,并对以上问题类比,归纳出二面角的概念及记法表示(如下表所示)
角二面角
图形A
边
顶点O边B
A
梭lβ
B
α
定义从平面内一点出发的两条射线(半直线)所组成的图形从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
构成射线—点(顶点)一射线半平面一线(棱)一半平面
表示∠AOB二面角α-l-β或α-AB-β
2、二面角的度量
二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系,如我们常说“把门开大一些”,是指二面角大一些,那我们应如何度量二两角的大小呢?师生活动:师生共同做一个小实验(预先准备好的二面角的模型)在其棱上位取一点为顶点,在两个半平面内各作一射线(如图2.3-3),通过实验操作,研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出:(1)在表示二面角的平面角时,要求“OA⊥L”,OB⊥L;(2)∠AOB的大小与点O在L上位置无关;(3)当二面角的平面角是直角时,这两个平面的位置关系怎样?
承上启下,引导学生观察,类比、自主探究,βB
获得两个平面互相垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。COA
(三)应用举例,强化所学α
例题:课本P.72例3图2.3-3
做法:教师引导学生分析题意,先让学生自己动手推理证明,然后抽检学生掌握情况,教师最后讲评并板书证明过程。
(四)运用反馈,深化巩固:问题:课本P.73的探究问题。做法:学生思考(或分组讨论),老师与学生对话完成。
(五)小结归纳,整体认识
(1)二面角以及平面角的有关概念;(2)两个平面垂直的判定定理的内容,它与直线与平面垂直的判定定理有何关系?
(六)课后巩固,拓展思维
1、课后作业:自二面角内一点分别向两个面引垂线,求证:它们所成的角与二两角的平面角互补。2、课后思考问题:在表示二面角的平面角时,为何要求“OA⊥L、OB⊥L”?为什么∠AOB的大小与点O在L上的位置无关?
五、教后反思: