2012届高三理科数学圆锥曲线与方程总复习。

俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助高中教师能够井然有序的进行教学。关于好的高中教案要怎么样去写呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“2012届高三理科数学圆锥曲线与方程总复习”，仅供参考，大家一起来看看吧。

第九章圆锥曲线与方程

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考试要求重难点击命题展望
1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；
3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；
4.了解圆锥曲线的简单应用；
5.理解数形结合的思想；
6.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.本章重点：1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系问题；3.求曲线的方程或曲线的轨迹；4.数形结合的思想，方程的思想，函数的思想，坐标法.
本章难点：1.对圆锥曲线的定义及性质的理解和应用；2.直线与圆锥曲线的位置关系问题；3.曲线与方程的对应关系.圆锥曲线与函数、方程、不等式、三角形、平面向量等知识结合是高考常考题型.极有可能以一小一大的形式出现，小题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法运用；解答题常作为数学高考的把关题或压轴题，综合考查学生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等方面的能力.

知识网络

9.1椭圆WWw.Jab88.cOm

典例精析
题型一求椭圆的标准方程
【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为453和
253，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.
【解析】由椭圆的定义知，2a＝453＋253＝25，故a＝5，
由勾股定理得，(453)2－(253)2＝4c2，所以c2＝53，b2＝a2－c2＝103，
故所求方程为x25＋3y210＝1或3x210＋y25＝1.
【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)；
(2)在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.
【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下：
据此，可推断椭圆C1的方程为.
【解析】方法一：先将题目中的点描出来，如图，A(－2,2)，B(－2，0)，C(0，6)，D(2，－22)，E(22，2)，F(3，－23).
通过观察可知道点F，O，D可能是抛物线上的点.而A，C，E是椭圆上的点，这时正好点B既不在椭圆上，也不在抛物线上.
显然半焦距b＝6，则不妨设椭圆的方程是x2m＋y26＝1，则将点
A(－2,2)代入可得m＝12，故该椭圆的方程是x212＋y26＝1.
方法二：欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些.
不妨设有两点y21＝2px1，①y22＝2px2，②y21y22＝x1x2，
则可知B(－2，0)，C(0，6)不是抛物线上的点.
而D(2，－22)，F(3，－23)正好符合.
又因为椭圆的交点在x轴上，故B(－2，0)，C(0，6)不可能同时出现.故选用A(－2,2)，E(22，2)这两个点代入，可得椭圆的方程是x212＋y26＝1.
题型二椭圆的几何性质的运用
【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
【解析】(1)设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，
由余弦定理可知4c2＝m2＋n2－2mncos60°，
因为m＋n＝2a，所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn，
所以4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.
又mn≤(m＋n2)2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，
所以4a2－4c2≤3a2，所以c2a2≥14，
即e≥12，所以e的取值范围是[12，1).
(2)由(1)知mn＝43b2，所以＝12mnsin60°＝33b2，
即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF1||PF2|≤(|PF1|＋|PF2|2)2，|PF1|≥a－c.
【变式训练2】已知P是椭圆x225＋y29＝1上的一点，Q，R分别是圆(x＋4)2＋y2＝14和圆
(x－4)2＋y2＝14上的点，则|PQ|＋|PR|的最小值是.
【解析】设F1，F2为椭圆左、右焦点，则F1，F2分别为两已知圆的圆心，
则|PQ|＋|PR|≥(|PF1|－12)＋(|PF2|－12)＝|PF1|＋|PF2|－1＝9.
所以|PQ|＋|PR|的最小值为9.
题型三有关椭圆的综合问题
【例3】(2010全国新课标)设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.
(1)求E的离心率；
(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程.
【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43a.
l的方程为y＝x＋c，其中c＝a2－b2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组
化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，
则x1＋x2＝－2a2ca2＋b2，x1x2＝a2(c2－b2)a2＋b2.
因为直线AB斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]，
即43a＝4ab2a2＋b2，故a2＝2b2，
所以E的离心率e＝ca＝a2－b2a＝22.
(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0＝x1＋x22＝－a2ca2＋b2＝－23c，y0＝x0＋c＝c3.
由|PA|＝|PB|kPN＝－1，即y0＋1x0＝－1c＝3.
从而a＝32，b＝3，故E的方程为x218＋y29＝1.
【变式训练3】已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若|PF1||PF2|＝e，则e的值是()
A.32B.33C.22D.63
【解析】设F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)，则椭圆左准线x＝－a2c，抛物线准线为x＝
－3c，x0－(－a2c)＝x0－(－3c)c2a2＝13e＝33.故选B.
总结提高
1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a、b的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)求解.
2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.
3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.
9.2双曲线

典例精析
题型一双曲线的定义与标准方程
【例1】已知动圆E与圆A：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆B：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心E的轨迹方程.
【解析】设动圆E的半径为r，则由已知|AE|＝r＋2，|BE|＝r－2，
所以|AE|－|BE|＝22，又A(－4,0)，B(4,0)，所以|AB|＝8,22＜|AB|.
根据双曲线定义知，点E的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支.
因为a＝2，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14，
故点E的轨迹方程是x22－y214＝1(x≥2).
【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.
【变式训练1】P为双曲线x29－y216＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和
(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为()
A.6B.7C.8D.9
【解析】选D.
题型二双曲线几何性质的运用
【例2】双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，使＝0，求此双曲线离心率的取值范围.
【解析】设P(x，y)，则由＝0，得AP⊥PQ，则P在以AQ为直径的圆上，
即(x－3a2)2＋y2＝(a2)2，①
又P在双曲线上，得x2a2－y2b2＝1，②
由①②消去y，得(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0，
当x＝a时，P与A重合，不符合题意，舍去；
当x＝2a3－ab2a2＋b2时，满足题意的点P存在，需x＝2a3－ab2a2＋b2＞a，
化简得a2＞2b2，即3a2＞2c2，ca＜62，
所以离心率的取值范围是(1，62).
【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.
【变式训练2】设离心率为e的双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是()
A.k2－e2＞1B.k2－e2＜1
C.e2－k2＞1D.e2－k2＜1
【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k只需满足－ba＜k＜ba，即k2＜b2a2＝c2－a2a2＝e2－1，故选C.
题型三有关双曲线的综合问题
【例3】(2010广东)已知双曲线x22－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点.
(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；
(2)若过点H(0，h)(h＞1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值.
【解析】(1)由题意知|x1|＞2，A1(－2，0)，A2(2，0)，则有
直线A1P的方程为y＝y1x1＋2(x＋2)，①
直线A2Q的方程为y＝－y1x1－2(x－2).②
方法一：联立①②解得交点坐标为x＝2x1，y＝2y1x1，即x1＝2x，y1＝2yx，③
则x≠0，|x|＜2.
而点P(x1，y1)在双曲线x22－y2＝1上，所以x212－y21＝1.
将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为x22＋y2＝1，x≠0且x≠±2.
方法二：设点M(x，y)是A1P与A2Q的交点，①×②得y2＝－y21x21－2(x2－2).③
又点P(x1，y1)在双曲线上，因此x212－y21＝1，即y21＝x212－1.
代入③式整理得x22＋y2＝1.
因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点A1，A2均不重合.故点A1和A2均不在轨迹E上.过点(0,1)及A2(2，0)的直线l的方程为x＋2y－2＝0.
解方程组得x＝2，y＝0.所以直线l与双曲线只有唯一交点A2.
故轨迹E不过点(0,1).同理轨迹E也不过点(0，－1).
综上分析，轨迹E的方程为x22＋y2＝1，x≠0且x≠±2.
(2)设过点H(0，h)的直线为y＝kx＋h(h＞1)，
联立x22＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.
令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，得h2－1－2k2＝0，
解得k1＝h2－12，k2＝－h2－12.
由于l1⊥l2，则k1k2＝－h2－12＝－1，故h＝3.
过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，由h2×(－h2)＝－1，得h＝2.
此时，l1，l2的方程分别为y＝x＋2与y＝－x＋2，
它们与轨迹E分别仅有一个交点(－23，223)与(23，223).
所以，符合条件的h的值为3或2.
【变式训练3】双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于()
A.1＋22B.3＋22
C.4－22D.5－22
【解析】本题考查双曲线定义的应用及基本量的求解.
据题意设|AF1|＝x，则|AB|＝x，|BF1|＝2x.
由双曲线定义有|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a
(|AF1|＋|BF1|)－(|AF2|＋|BF2|)＝(2＋1)x－x＝4a，即x＝22a＝|AF1|.
故在Rt△AF1F2中可求得|AF2|＝|F1F2|2－|AF1|2＝4c2－8a2.
又由定义可得|AF2|＝|AF1|－2a＝22a－2a，即4c2－8a2＝22－2a，
两边平方整理得c2＝a2(5－22)c2a2＝e2＝5－22，故选D.
总结提高
1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特别注意不同点，如a，b，c的关系、渐近线等.
2.要深刻理解双曲线的定义，注意其中的隐含条件.当||PF1|－|PF2||＝2a＜|F1F2|时，P的轨迹是双曲线；当||PF1|－|PF2||＝2a＝|F1F2|时，P的轨迹是以F1或F2为端点的射线；当
||PF1|－|PF2||＝2a＞|F1F2|时，P无轨迹.
3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要掌握以下两个问题：
(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；
(2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线y＝±bax，可将双曲线方程设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法.

9.3抛物线

典例精析
题型一抛物线定义的运用
【例1】根据下列条件，求抛物线的标准方程.
(1)抛物线过点P(2，－4)；
(2)抛物线焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
【解析】(1)设方程为y2＝mx或x2＝ny.
将点P坐标代入得y2＝8x或x2＝－y.
(2)设A(m，－3)，所求焦点在x轴上的抛物线为y2＝2px(p≠0)，
由定义得5＝|AF|＝|m＋p2|，又(－3)2＝2pm，所以p＝±1或±9，
所求方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
【变式训练1】已知P是抛物线y2＝2x上的一点，另一点A(a,0)(a＞0)满足|PA|＝d，试求d的最小值.
【解析】设P(x0，y0)(x0≥0)，则y20＝2x0，
所以d＝|PA|＝(x0－a)2＋y20＝(x0－a)2＋2x0＝[x0＋(1－a)]2＋2a－1.
因为a＞0，x0≥0，
所以当0＜a＜1时，此时有x0＝0，dmin＝(1－a)2＋2a－1＝a；
当a≥1时，此时有x0＝a－1，dmin＝2a－1.
题型二直线与抛物线位置讨论
【例2】(2010湖北)已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：
(x－1)2＋y2－x＝1(x＞0).
化简得y2＝4x(x＞0).
(2)设过点M(m,0)(m＞0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).
设l的方程为x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，
Δ＝16(t2＋m)＞0，于是①
又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2).
＜0(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.②
又x＝y24，于是不等式②等价于y214y224＋y1y2－(y214＋y224)＋1＜0
(y1y2)216＋y1y2－14[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1＜0.③
由①式，不等式③等价于m2－6m＋1＜4t2.④
对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1＜0，即3－22＜m＜3＋22.
由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0，且m的取值范围是(3－22，3＋22).
【变式训练2】已知抛物线y2＝4x的一条弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直线与y轴的交点坐标为(0,2)，则1y1＋1y2＝.
【解析】y2－4my＋8m＝0，
所以1y1＋1y2＝y1＋y2y1y2＝12.
题型三有关抛物线的综合问题
【例3】已知抛物线C：y＝2x2，直线y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.
(1)求证：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
(2)是否存在实数k使＝0？若存在，求k的值；若不存在，说明理由.
【解析】(1)证明：如图，设A(x1,2x21)，B(x2,2x22)，
把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0，
由韦达定理得x1＋x2＝k2，x1x2＝－1，
所以xN＝xM＝x1＋x22＝k4，所以点N的坐标为(k4，k28).
设抛物线在点N处的切线l的方程为y－k28＝m(x－k4)，
将y＝2x2代入上式，得2x2－mx＋mk4－k28＝0，
因为直线l与抛物线C相切，
所以Δ＝m2－8(mk4－k28)＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，
所以m＝k，即l∥AB.
(2)假设存在实数k，使＝0，则NA⊥NB，
又因为M是AB的中点，所以|MN|＝|AB|.
由(1)知yM＝12(y1＋y2)＝12(kx1＋2＋kx2＋2)＝12[k(x1＋x2)＋4]＝12(k22＋4)＝k24＋2.
因为MN⊥x轴，所以|MN|＝|yM－yN|＝k24＋2－k28＝k2＋168.
又|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2
＝1＋k2(k2)2－4×(－1)＝12k2＋1k2＋16.
所以k2＋168＝14k2＋1k2＋16，解得k＝±2.
即存在k＝±2，使＝0.
【点拨】直线与抛物线的位置关系，一般要用到根与系数的关系；有关抛物线的弦长问题，要注意弦是否过焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须使用一般弦长公式.
【变式训练3】已知P是抛物线y2＝2x上的一个动点，过点P作圆(x－3)2＋y2＝1的切线，切点分别为M、N，则|MN|的最小值是.
【解析】455.
总结提高
1.在抛物线定义中，焦点F不在准线l上，这是一个重要的隐含条件，若F在l上，则抛物线退化为一条直线.
2.掌握抛物线本身固有的一些性质：(1)顶点、焦点在对称轴上；(2)准线垂直于对称轴；(3)焦点到准线的距离为p；(4)过焦点垂直于对称轴的弦(通径)长为2p.
3.抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线的类型，可采用待定系数法.
4.抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握.但由于抛物线的离心率为1，所以抛物线的焦点有很多重要性质，而且应用广泛，例如：已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝2psin2α(α为AB的倾斜角)，y1y2＝－p2，x1x2＝p24等.

9.4直线与圆锥曲线的位置关系

典例精析
题型一直线与圆锥曲线交点问题
【例1】若曲线y2＝ax与直线y＝(a＋1)x－1恰有一个公共点，求实数a的值.
【解析】联立方程组
(1)当a＝0时，方程组恰有一组解为
(2)当a≠0时，消去x得a＋1ay2－y－1＝0，
①若a＋1a＝0，即a＝－1，方程变为一元一次方程－y－1＝0，
方程组恰有一组解
②若a＋1a≠0，即a≠－1，令Δ＝0，即1＋4(a＋1)a＝0，解得a＝－45，这时直线与曲线相切，只有一个公共点.
综上所述，a＝0或a＝－1或a＝－45.
【点拨】本题设计了一个思维“陷阱”，即审题中误认为a≠0，解答过程中的失误就是不讨论二次项系数＝0，即a＝－1的可能性，从而漏掉两解.本题用代数方法解完后，应从几何上验证一下：①当a＝0时，曲线y2＝ax，即直线y＝0，此时与已知直线y＝x－1恰有交点(1,0)；②当a＝－1时，直线y＝－1与抛物线的对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零)；③当a＝－45时直线与抛物线相切.
【变式训练1】若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为()
A.{1，－1，52，－52}B.(－∞，－52]∪[52，＋∞)
C.(－∞，－1]∪[1，＋∞)D.(－∞，－1)∪[52，＋∞)
【解析】由(1－k2)x2－2kx－5＝0，
k＝±52，结合直线过定点(0，－1)，且渐近线斜率为±1，可知答案为A.
题型二直线与圆锥曲线的相交弦问题
【例2】(2010辽宁)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，＝2.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)如果|AB|＝154，求椭圆C的方程.
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1＜0，y2＞0.
(1)直线l的方程为y＝3(x－c)，其中c＝a2－b2.
联立
得(3a2＋b2)y2＋23b2cy－3b4＝0.
解得y1＝－3b2(c＋2a)3a2＋b2，y2＝－3b2(c－2a)3a2＋b2.
因为＝2，所以－y1＝2y2，即3b2(c＋2a)3a2＋b2＝2－3b2(c－2a)3a2＋b2.
解得离心率e＝ca＝23.
(2)因为|AB|＝1＋13|y2－y1|，所以2343ab23a2＋b2＝154.
由ca＝23得b＝53a，所以54a＝154，即a＝3，b＝5.
所以椭圆的方程为x29＋y25＝1.
【点拨】本题考查直线与圆锥曲线相交及相交弦的弦长问题，以及用待定系数法求椭圆方程.
【变式训练2】椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为32，则ab的值为.
【解析】设直线与椭圆交于A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，弦中点坐标为(x0，y0)，代入椭圆方程两式相减得a(x1－x2)(x1＋x2)＋b(y1－y2)(y1＋y2)＝0
2ax0＋2by0y1－y2x1－x2＝0ax0－by0＝0.
故ab＝y0x0＝32.
题型三对称问题
【例3】在抛物线y2＝4x上存在两个不同的点关于直线l：y＝kx＋3对称，求k的取值范围.
【解析】设A(x1，y1)、B(x2、y2)是抛物线上关于直线l对称的两点，由题意知k≠0.
设直线AB的方程为y＝－1kx＋b，
联立消去x，得14ky2＋y－b＝0，
由题意有Δ＝12＋414kb＞0，即bk＋1＞0.(*)
且y1＋y2＝－4k.又y1＋y22＝－1kx1＋x22＋b.所以x1＋x22＝k(2k＋b).
故AB的中点为E(k(2k＋b)，－2k).
因为l过E，所以－2k＝k2(2k＋b)＋3，即b＝－2k－3k2－2k.
代入(*)式，得－2k－3k3－2＋1＞0k3＋2k＋3k3＜0
k(k＋1)(k2－k＋3)＜0－1＜k＜0，故k的取值范围为(－1,0).
【点拨】(1)本题的关键是对称条件的转化.A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线l对称，则满足直线l与AB垂直，且线段AB的中点坐标满足l的方程；
(2)对于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称，求有关参数的范围问题，利用对称条件求出过这两点的直线方程，利用判别式大于零建立不等式求解；或者用参数表示弦中点的坐标，利用中点在曲线内部的条件建立不等式求参数的取值范围.
【变式训练3】已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于x＋y＝0对称的两点A，B，则|AB|等于()
A.3B.4C.32D.42
【解析】设AB方程：y＝x＋b，代入y＝－x2＋3，得x2＋x＋b－3＝0，
所以xA＋xB＝－1，故AB中点为(－12，－12＋b).
它又在x＋y＝0上，所以b＝1，所以|AB|＝32，故选C.
总结提高
1.本节内容的重点是研究直线与圆锥曲线位置关系的判别式方法及弦中点问题的处理方法.
2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论，即联立方程组
通过消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2＋bx＋c＝0进行讨论.这时要注意考虑a＝0和a≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除a≠0，Δ＝0外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).由此可见，直线与圆锥曲线只有一个公共点，并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件.
3.弦中点问题的处理既可以用判别式法，也可以用点差法；使用点差法时，要特别注意验证“相交”的情形.

9.5圆锥曲线综合问题

典例精析
题型一求轨迹方程
【例1】已知抛物线的方程为x2＝2y，F是抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l1和l2，记l1和l2交于点M.
(1)求证：l1⊥l2；
(2)求点M的轨迹方程.
【解析】(1)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋12.
联立消去y整理得x2－2kx－1＝0.设A的坐标为(x1，y1)，B的坐标为(x2，y2)，则有x1x2＝－1，将抛物线方程改写为y＝12x2，求导得y′＝x.
所以过点A的切线l1的斜率是k1＝x1，过点B的切线l2的斜率是k2＝x2.
因为k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2.
(2)直线l1的方程为y－y1＝k1(x－x1)，即y－x212＝x1(x－x1).
同理直线l2的方程为y－x222＝x2(x－x2).
联立这两个方程消去y得x212－x222＝x2(x－x2)－x1(x－x1)，
整理得(x1－x2)(x－x1＋x22)＝0，
注意到x1≠x2，所以x＝x1＋x22.
此时y＝x212＋x1(x－x1)＝x212＋x1(x1＋x22－x1)＝x1x22＝－12.
由(1)知x1＋x2＝2k，所以x＝x1＋x22＝k∈R.
所以点M的轨迹方程是y＝－12.
【点拨】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的就是直接法.要注意“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌.
【变式训练1】已知△ABC的顶点为A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是()
A.x29－y216＝1B.x216－y29＝1
C.x29－y216＝1(x＞3)D.x216－y29＝1(x＞4)
【解析】如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6，
根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29－y216＝1(x＞3)，故选C.
题型二圆锥曲线的有关最值
【例2】已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆x2＋3y2＝4上，对角线BD所在直线的斜率为1.当∠ABC＝60°时，求菱形ABCD面积的最大值.
【解析】因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
于是可设直线AC的方程为y＝－x＋n.
由得4x2－6nx＋3n2－4＝0.
因为A，C在椭圆上，所以Δ＝－12n2＋64＞0，解得－433＜n＜433.
设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝3n2，x1x2＝3n2－44，
y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n.所以y1＋y2＝n2.
因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以|AB|＝|BC|＝|CA|.
所以菱形ABCD的面积S＝32|AC|2.
又|AC|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝－3n2＋162，所以S＝34(－3n2＋16)(－433＜n＜433).
所以当n＝0时，菱形ABCD的面积取得最大值43.
【点拨】建立“目标函数”，借助代数方法求最值，要特别注意自变量的取值范围.在考试中很多考生没有利用判别式求出n的取值范围，虽然也能得出答案，但是得分损失不少.
【变式训练2】已知抛物线y＝x2－1上有一定点B(－1,0)和两个动点P、Q，若BP⊥PQ，则点Q横坐标的取值范围是.
【解析】如图，B(－1,0)，设P(xP，x2P－1)，Q(xQ，x2Q－1)，
由kBPkPQ＝－1，得x2P－1xP＋1x2Q－x2PxQ－xP＝－1.
所以xQ＝－xP－1xP－1＝－(xP－1)－1xP－1－1.
因为|xP－1＋1xP－1|≥2，所以xQ≥1或xQ≤－3.
题型三求参数的取值范围及最值的综合题
【例3】(2010浙江)已知m＞1，直线l：x－my－m22＝0，椭圆C：x2m2＋y2＝1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.
(1)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.
【解析】(1)因为直线l：x－my－m22＝0经过F2(m2－1，0)，
所以m2－1＝m22，解得m2＝2，
又因为m＞1，所以m＝2.
故直线l的方程为x－2y－1＝0.
(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x得2y2＋my＋m24－1＝0，
则由Δ＝m2－8(m24－1)＝－m2＋8＞0知m2＜8，
且有y1＋y2＝－m2，y1y2＝m28－12.
由于F1(－c,0)，F2(c,0)，故O为F1F2的中点，
由＝2，＝2，得G(x13，y13)，H(x23，y23)，
|GH|2＝(x1－x2)29＋(y1－y2)29.
设M是GH的中点，则M(x1＋x26，y1＋y26)，
由题意可知，2|MO|＜|GH|，即4[(x1＋x26)2＋(y1＋y26)2]＜(x1－x2)29＋(y1－y2)29，
即x1x2＋y1y2＜0.
而x1x2＋y1y2＝(my1＋m22)(my2＋m22)＋y1y2＝(m2＋1)(m28－12).
所以m28－12＜0，即m2＜4.
又因为m＞1且Δ＞0，所以1＜m＜2.
所以m的取值范围是(1,2).
【点拨】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.
【变式训练3】若双曲线x2－ay2＝1的右支上存在三点A、B、C使△ABC为正三角形，其中一个顶点A与双曲线右顶点重合，则a的取值范围为.
【解析】设B(m，m2－1a)，则C(m，－m2－1a)(m＞1)，
又A(1,0)，由AB＝BC得(m－1)2＋m2－1a＝(2m2－1a)2，
所以a＝3m＋1m－1＝3(1＋2m－1)＞3，即a的取值范围为(3，＋∞).
总结提高
1.求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标法”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、待定系数法.
2.最值问题的代数解法，是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容，其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.其中，自变量的取值范围由直线和圆锥曲线的位置关系(即判别式与0的关系)确定.
3.范围问题，主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围.其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围，运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识.

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圆锥曲线与方程导学案

§2.2.1椭圆及其标准方程(1)
学习目标
1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；
2．掌握椭圆的定义；
3．掌握椭圆的标准方程．

学习过程
一、课前准备
（预习教材理P61~P63，文P32~P34找出疑惑之处）
复习1：过两点,的直线方程．

复习2：方程表示以为圆心,为半径的．

二、新课导学
※学习探究
取一条定长的细绳，
把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个．
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的保持不变，即笔尖等于常数．

新知１：我们把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

反思：若将常数记为，为什么？
当时，其轨迹为；
当时，其轨迹为．

试试：
已知，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是．
小结：应用椭圆的定义注意两点：
①分清动点和定点；
②看是否满足常数．
新知２：焦点在轴上的椭圆的标准方程
其中

若焦点在轴上，两个焦点坐标，

则椭圆的标准方程是．
※典型例题
例1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴，焦点在轴上；
⑵，焦点在轴上；
⑶．
变式：方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的范围．
小结：椭圆标准方程中：；．

例2已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程．

变式：椭圆过点，，，求它的标准方程．

小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程．

※动手试试
练1.已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（）．
A．B．6C．D．12

练2．方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的范围．

三、总结提升
※学习小结
1.椭圆的定义：
2.椭圆的标准方程：

※知识拓展
1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长．
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）．
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．平面内一动点到两定点、距离之和为常数，则点的轨迹为（）．
A．椭圆B．圆
C．无轨迹D．椭圆或线段或无轨迹
2．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（）．
A．B．
C．D．
3．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一个焦点的距离是（）．
A．4B．14C．12D．8
4．椭圆两焦点间的距离为，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于和，则椭圆的标准方程
是．
5．如果点在运动过程中，总满足关系式，点的轨迹是，它的方程是．

课后作业
1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在轴上，焦距等于，并且经过点；
⑵焦点坐标分别为，；
⑶．

2.椭圆的焦距为，求的值．
§2.2.1椭圆及其标准方程(2)
学习目标
1．掌握点的轨迹的求法；
2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．

学习过程
一、课前准备
复习1：椭圆上一点到椭圆的左焦点的距离为，则到椭圆右焦点的距离
是．
复习2：在椭圆的标准方程中,,,则椭

圆的标准方程是

二、新课导学
※学习探究
问题：圆的圆心和半径分别是什么?
问题：圆上的所有点到(圆心)的距离都等于(半径)；

反之,到点的距离等于的所有点都在
圆上．

※典型例题
例1在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？

变式：若点在的延长线上，且，则点的轨迹又是什么？
小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．

例2设点的坐标分别为，.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程．

变式：点的坐标是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是，点的轨迹是什么？

※动手试试
练1．求到定点与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程．

练2．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．
三、总结提升
※学习小结
1.①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；

②相关点法：寻求点的坐标与中间的关系，然后消去，得到点的轨迹方程．

※知识拓展
椭圆的第二定义：
到定点与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹．
定点是椭圆的焦点；
定直线是椭圆的准线；
常数是椭圆的离心率．
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．若关于的方程所表示的曲线是椭圆，则在（）．
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2．若的个顶点坐标、，的周长为，则顶点C的轨迹方程为（）．
A．B．C．D．
3．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（）．
A．椭圆B．线段
C．不存在D．椭圆或线段
4．与轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是．
5.设为定点，||=，动点满足，则动点的轨迹是．

课后作业
1．已知三角形的一边长为，周长为，求顶点的轨迹方程．
2．点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．

§2.2.2椭圆及其简单几何性质（1）
学习目标
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；
2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．

学习过程
一、课前准备
（预习教材理P43~P46，文P37~P40找出疑惑之处）
复习1：椭圆上一点到左焦点的距离是，那么它到右焦点的距离是．

复习2：方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是．
※学习探究
问题1：椭圆的标准方程，它有哪些几何性质呢？
范围：：：

对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；

顶点：（），（），（），（）；

长轴，其长为；短轴，其长为；

离心率：刻画椭圆程度．
椭圆的焦距与长轴长的比称为离心率，
记，且．
试试：椭圆的几何性质呢？
图形：
范围：：：

对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；

顶点：（），（），（），（）；

长轴，其长为；短轴，其长为；

离心率：=．
反思：或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？

※典型例题
例1求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．

变式：若椭圆是呢？

小结：①先化为标准方程，找出，求出；
②注意焦点所在坐标轴．
例2点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹．

小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆．

※动手试试
练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在轴上，，；
⑵焦点在轴上，，；
⑶经过点，；
⑷长轴长等到于，离心率等于．

三、总结提升
※学习小结
1．椭圆的几何性质：
图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；

2．理解椭圆的离心率．

※知识拓展
（数学与生活）已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆，且篮球与地面的接触点是椭圆的焦点．
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．若椭圆的离心率，则的值是（）．
A．B．或C．D．或
2．若椭圆经过原点，且焦点分别为，，则其离心率为（）．
A．B．C．D．
3．短轴长为，离心率的椭圆两焦点为，过作直线交椭圆于两点，则的周长为（）．
A．B．C．D．
4．已知点是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于，则点的坐标是．
5．某椭圆中心在原点，焦点在轴上，若长轴长为，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是．

课后作业
1．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？
⑴与；
⑵与．

2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴经过点，；
⑵长轴长是短轴长的倍，且经过点；
⑶焦距是，离心率等于．

§2.2.2椭圆及其简单几何性质(2)
学习目标
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质；
2．椭圆与直线的关系．

学习过程
一、课前准备
（预习教材理P46~P48，文P40~P41找出疑惑之处）
复习1：椭圆的焦点坐标是（）（）；长轴长、短轴长；离心率．
复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？
二、新课导学
学习探究
问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？
问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？
反思：点与椭圆的位置如何判定？
典型例题
例1已知椭圆，直线：
。椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？

变式：最大距离是多少？

动手试试
练1已知地球运行的轨道是长半轴长
，离心率的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．

练2．经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求的长．
三、总结提升
学习小结
1．椭圆在生活中的运用；
2．椭圆与直线的位置关系：
相交、相切、相离（用判定）．
※知识拓展直线与椭圆相交，得到弦，
弦长
其中为直线的斜率，是两交点坐标．
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．设是椭圆，到两焦点的距离之差为，则是（）．
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
2．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）．
A.B.C.D.
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（）．
A.B.3C.D.
4．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列，则其离心率为．
5．椭圆的焦点分别是和，过原点作直线与椭圆相交于两点，若的面积是，则直线的方程式是．
课后作业
1．求下列直线与椭圆的交点坐标．2．若椭圆，一组平行直线的斜率是
⑴这组直线何时与椭圆相交？
⑵当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上？

§2.3.1双曲线及其标准方程
学习目标
1．掌握双曲线的定义；
2．掌握双曲线的标准方程．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P52~P55，文P45~P48找出疑惑之处）
复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？

复习2：在椭圆的标准方程中，有何关系？若，则写出符合条件的椭圆方程．

二、新课导学
※学习探究
问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？

如图2-23，定点是两个按钉，是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点移动时，
是常数，这样就画出一条曲线；
由是同一常数，可以画出另一支．

新知1：双曲线的定义：
平面内与两定点的距离的差的等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线。
两定点叫做双曲线的，
两焦点间的距离叫做双曲线的．

反思：设常数为，为什么？
时，轨迹是；
时，轨迹．
试试：点，，若，则点的轨迹是．

新知2：双曲线的标准方程：

（焦点在轴）
其焦点坐标为，．

思考：若焦点在轴，标准方程又如何？

※典型例题
例1已知双曲线的两焦点为，，双曲线上任意点到的距离的差的绝对值等于，求双曲线的标准方程．

变式：已知双曲线的左支上一点到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为．

例2已知两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程．

变式：如果两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？

小结：采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置．

动手试试
练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：
（1）焦点在轴上，，；
（2）焦点为，且经过点．

练2．点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们斜率之积是，试求点的轨迹方程式，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状．

三、总结提升
※学习小结
1．双曲线的定义；
2．双曲线的标准方程．
※知识拓展
GPS(全球定位系统)：双曲线的一个重要应用．
在例2中，再增设一个观察点，利用，两处测得的点发出的信号的时间差，就可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定点的准确位置．

学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（）．
A.双曲线B.双曲线的一支
C.两条射线D.一条射线
2．双曲线的一个焦点是，那么实数的值为（）．
A．B．C．D．
3．双曲线的两焦点分别为，若，则（）．
A.5B.13C.D.
4．已知点，动点满足条件.则动点的轨迹方程为．
5．已知方程表示双曲线，则的取值范围．

课后作业
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程式：
（1）焦点在轴上，，经过点；
（2）经过两点，．

2．相距两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差，已知声速是，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？

§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)
学习目标
1．理解并掌握双曲线的几何性质．
学习过程
一、课前准备：
（预习教材理P56~P58，文P49~P51找出疑惑之处）
复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程：
①，焦点在轴上；
②焦点在轴上，焦距为8，．
复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？

二、新课导学：
※学习探究
问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线的几何性质?

范围：：：

对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．

顶点：（），（）．
实轴，其长为；虚轴，其长为．
离心率：．
渐近线：
双曲线的渐近线方程为：．

问题2：双曲线的几何性质?
图形：

范围：：：

对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．

顶点：（），（）
实轴，其长为；虚轴，其长为．

离心率：．
渐近线：
双曲线的渐近线方程为：．
新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫双曲线．
典型例题
例1求双曲线的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．

变式：求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

例2求双曲线的标准方程：
⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；
⑵离心率，经过点；
⑶渐近线方程为，经过点．
※动手试试
练1．求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．

练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是，求它的标准方程和渐近线方程．

三、总结提升：
※学习小结
双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线．
※知识拓展
与双曲线有相同的渐近线的双曲线系方程式为
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．双曲线实轴和虚轴长分别是（）．
A．、B．、
C．4、D．4、
2．双曲线的顶点坐标是（）．
A．B．C．D．（）
3．双曲线的离心率为（）．
A．1B．C．D．2
4．双曲线的渐近线方程是．
5．经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是．

课后作业
1．求焦点在轴上，焦距是16，的双曲线的标准方程．

2．求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程．

§2.3.2双曲线的简单几何性质(2)
学习目标
1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；
2．掌握椭圆的定义；
3．掌握椭圆的标准方程．

学习过程
一、课前准备
（预习教材理P58~P60，文P51~P53找出疑惑之处）
复习1：说出双曲线的几何性质?

复习2：双曲线的方程为，
其顶点坐标是()，()；

渐近线方程．

二、新课导学
※学习探究
探究1：椭圆的焦点是？

探究2：双曲线的一条渐近线方程是，则可设双曲线方程为？

问题：若双曲线与有相同的焦点，它的一条渐近线方程是，则双曲线的方程是？

※典型例题
例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．
例2点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点的轨迹．

（理）例3过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求两点的坐标．
变式：求？
思考：的周长？
※动手试试
练1．若椭圆与双曲线的焦点相同，则=____.
练2．若双曲线的渐近线方程为，求双曲线的焦点坐标．
三、总结提升
※学习小结
1．双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合；

2．双曲线的另一定义；

3．（理）直线与双曲线的位置关系．

※知识拓展

双曲线的第二定义：

到定点的距离与到定直线的距离之比大于1的点的轨迹是双曲线．

学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则的值为（）．
A．B．C．D．
2．以椭圆的焦点为顶点，离心率为的双曲线的方程（）．
A.B.
C.或D.以上都不对
3．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线于、，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（）．
A.B.C.D.
4．双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_______________.
5．方程表示焦点在x轴上的双曲线，则的取值范围．

课后作业
1．已知双曲线的焦点在轴上，方程为，两顶点的距离为，一渐近线上有点，试求此双曲线的方程．

§2.4.1抛物线及其标准方程
学习目标
掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形．

学习过程
一、课前准备
（预习教材理P64~P67，文P56~P59找出疑惑之处）
复习1：函数的图象是，它的顶点坐标是（），对称轴是．

复习2：点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则点的轨迹是什么图形？

二、新课导学
※学习探究
探究1：若一个动点到一个定点和一条定直线的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？

新知1：抛物线
平面内与一个定点和一条定直线的
距离的点的轨迹叫做抛物线．

点叫做抛物线的；
直线叫做抛物线的．

新知2：抛物线的标准方程
定点到定直线的距离为（）．

建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式：

图形标准方程焦点坐标准线方程
试试：
抛物线的焦点坐标是（），
准线方程是；
抛物线的焦点坐标是（），
准线方程是．

※典型例题
例1（1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程．
变式：根据下列条件写出抛物线的标准方程：
⑴焦点坐标是(0,4)；
⑵准线方程是；
⑶焦点到准线的距离是．
例2一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径为，深度为，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
※动手试试
练1．求满足下列条件的抛物线的标准方程:
(1)焦点坐标是；
(2)焦点在直线上．
练2．抛物线上一点到焦点距离是，则点到准线的距离是，点的横坐标是．
三、总结提升
※学习小结
1．抛物线的定义；
2．抛物线的标准方程、几何图形．
※知识拓展
焦半径公式：
设是抛物线上一点，焦点为，则线段叫做抛物线的焦半径．
若在抛物线上，则
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．对抛物线，下列描述正确的是（）．
A．开口向上，焦点为
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为
D．开口向右，焦点为
2．抛物线的准线方程式是（）．
A．B．
C．D．
3．抛物线的焦点到准线的距离是（）．
A.B.C.D.
4．抛物线上与焦点的距离等于的点的坐标是．
5．抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为．
课后作业
1．点到的距离比它到直线的距离大1，求点的轨迹方程．

2．抛物线上一点到焦点的距离，求点的坐标．

§2.4.2抛物线的简单几何性质（1）
学习目标
1．掌握抛物线的几何性质；
2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．
学习过程
一、课前准备
复习1：准线方程为x=2的抛物线的标准方程是．

复习2：双曲线有哪些几何性质？

二、新课导学
※学习探究
探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？

新知：抛物线的几何性质

图形

试试：画出抛物线的图形，
顶点坐标（）、焦点坐标（）、
准线方程、对称轴、
离心率．
※典型例题
例1已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程．

变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？求出它们的标准方程．

小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解．
例2斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长．

变式：过点作斜率为的直线，交抛物线于，两点，求．

小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解．
※动手试试
练1.求适合下列条件的抛物线的标准方程：
⑴顶点在原点，关于轴对称，并且经过点
，；
⑵顶点在原点，焦点是；
⑶焦点是，准线是．

三、总结提升
※学习小结
1．抛物线的几何性质；
2．求过一点的抛物线方程；
3．求抛物线的弦长．

※知识拓展
抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径．
其长为．

学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．下列抛物线中，开口最大的是（）．
A．B．
C．D．
2．顶点在原点，焦点是的抛物线方程（）．
A．B．
C．D．
3．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为，则等于（）．
A．B．C．D．
4．抛物线的准线方程是．
5．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，则=．

课后作业
1．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出
图形：
⑴顶点在原点，对称轴是轴，并且顶点与焦点的距离等到于；
⑵顶点在原点，对称轴是轴，并且经过点．

2是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，求．

§2.4.2抛物线的简单几何性质（2）
学习目标
1．掌握抛物线的几何性质；
2．抛物线与直线的关系．
学习过程
一、课前准备
复习1：以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点的抛物线的方程为（）．
A．B.或
C.D.或
复习2：已知抛物线的焦点恰好是椭圆的左焦点，则=．
二、新课导学
※学习探究
探究1：抛物线上一点的横坐标为6，这点到焦点距离为10，则：
①这点到准线的距离为；
②焦点到准线的距离为；
③抛物线方程；
④这点的坐标是；
⑤此抛物线过焦点的最短的弦长为．
※典型例题
例1过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，通过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴．

（理）例2已知抛物线的方程，直线过定点，斜率为为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
小结：
①直线与抛物线的位置关系：相离、相交、相切；
②直线与抛物线只有一个公共点时，
它们可能相切，也可能相交．
※动手试试
练1.直线与抛物线相交于，两点，求证：．

2．垂直于轴的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程．
三、总结提升
※学习小结
1．抛物线的几何性质；
2．抛物线与直线的关系．
※知识拓展
过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，则为定值，其值为．
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（）．
A.B.C.D.无法确定
2．抛物线的焦点到准线的距离是（）．
A.B.C.D.
3．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）．
A．条B．条C．条D．条
4．若直线与抛物线交于、两点，则线段的中点坐标是______．
5．抛物线上一点到焦点的距离是，则抛物线的标准方程是．
课后作业
1．已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线与直线交于，两点，=，求抛物线的方程．

2．从抛物线上各点向轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线．

第二章圆锥曲线与方程（复习）
学习目标
1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程；
2．掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质；
3．能解决直线与圆锥曲线的一些问题．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P78~P81，文P66~P69找出疑惑之处）
复习1：完成下列表格：
椭圆双曲线抛物线
定义

图形

标准方程
顶点坐标
对称轴
焦点坐标
离心率
（以上每类选取一种情形填写）
复习2：
①若椭圆的离心率为，则它的长半轴长为__________；
②双曲线的渐近线方程为，焦距为，则双曲线的方程为；
③以椭圆的右焦点为焦点的抛物线方程为．
二、新课导学
※典型例题
例1当从到变化时，方程
表示的曲线的形状怎样变化？
变式：若曲线表示椭圆，则的取值范围是．

小结：掌握好每类标准方程的形式．
例2设，分别为椭圆C：=1
的左、右两个焦点．
⑴若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
⑵设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．

变式：双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求双曲线的方程．

※动手试试
练1．已知的两个顶点，坐标分别是，，且，所在直线的斜率之积等于，试探求顶点的轨迹．

练2．斜率为的直线与双曲线交于，两点，且，求直线的方程．
三、总结提升
※学习小结
1．椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程；
2．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质；
3．直线与圆锥曲线．

※知识拓展
圆锥曲线具有统一性：
⑴它们都是平面截圆锥得到的截口曲线；
⑵它们都是平面内到一个定点的距离和到一条定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，比值的取值范围不同形成了不同的曲线；
⑶它们的方程都是关于，的二次方程．
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．曲线与曲线
的（）．
A．长轴长相等B．短轴长相等
C．离心率相等D．焦距相等
2．与圆及圆都外切的圆的圆心在（）．
A．一个椭圆上B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上D．一个圆上
3．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为，则等于（）．
A．B．C．D．
4．直线与双曲线没有公共点，则的取值范围．
5．到直线的距离最短的抛物线上的点的坐标是．

课后作业
1．就的不同取值，指出方程所表示的曲线的形状．

2．抛物线与过点的直线相交于，两点，为原点，若和的斜率之和为，求直线的方程．

高三数学教案：《圆锥曲线的方程》教学设计

高考要求

求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法

重难点归纳

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤

定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置

定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)

定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小

典型题例示范讲解

例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m 建立坐标系并写出该双曲线方程

命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力

知识依托 待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积

同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程

命题意图 本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强

知识依托 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题

错解分析 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键

技巧与方法 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式 解法二，用韦达定理

高考数学圆锥曲线复习教案

一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责，作为高中教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生更好的消化课堂内容，使高中教师有一个简单易懂的教学思路。你知道如何去写好一份优秀的高中教案呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“高考数学圆锥曲线复习教案”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

90题突破高中数学圆锥曲线
1.如图，已知直线L：的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线上的射影依次为点D、E。
（1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；
（2）（理）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。
（文）若为x轴上一点,求证:

2.如图所示，已知圆定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E。
（1）求曲线E的方程；
（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足的取值范围。
3.设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q，且
⑴求椭圆C的离心率；
⑵若过A、Q、F三点的圆恰好与直线
l：相切，求椭圆C的方程.
4.设椭圆的离心率为e=
（1）椭圆的左、右焦点分别为F1、F2、A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程.
（2）求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，而且OQ1⊥OQ2．
5.已知曲线上任意一点P到两个定点F1(-，0)和F2(，0)的距离之和为4．
（1）求曲线的方程；
（2）设过(0，-2)的直线与曲线交于C、D两点，且为坐标原点），求直线的方程．
6.已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
（Ⅰ）当m＋n0时，求椭圆离心率的范围；
（Ⅱ）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．
7.有如下结论：“圆上一点处的切线方程为”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B.
（1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积
8.已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．
（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；
（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．
9.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为，右焦点与点的距离为。
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率的直线：，使直线与椭圆相交于不同的两点满足，若存在，求直线的倾斜角；若不存在，说明理由。
10.椭圆方程为的一个顶点为，离心率。
（1）求椭圆的方程；
（2）直线：与椭圆相交于不同的两点满足，求。
11.已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为．
(1)若椭圆的离心率，求的方程；
（2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程．
12.已知直线与曲线交于不同的两点，为坐标原点．
（Ⅰ）若，求证：曲线是一个圆；
（Ⅱ）若，当且时，求曲线的离心率的取值范围．
13.设椭圆的左、右焦点分别为、，A是椭圆C上的一点，且，坐标原点O到直线的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点，较y轴于点M，若，求直线l的方程．
14.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点的切线方程为为常数）.
（I）求抛物线方程；
（II）斜率为的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为的直线PB与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足，求证线段PM的中点在y轴上；
（III）在（II）的条件下，当时，若P的坐标为（1，－1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.
15.已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足|AB|=2，点P在线段AB上，且
设点P的轨迹方程为c。
（1）求点P的轨迹方程C；
（2）若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点（M、N不在坐标轴上），点Q
坐标为求△QMN的面积S的最大值。
16.设上的两点，
已知，，若且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由
17.如图，F是椭圆(ab0)的一个焦点，A,B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线l1：相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程：
（Ⅱ）过点A的直线l2与圆M交于PQ两点，且，求直线l2的方程．
18.如图，椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.
19.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点.直线交椭圆于两不同的点.
20.设，点在轴上，点在轴上，且
（1）当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）设是曲线上的点，且成等差数列，当的垂直平分线与轴交于点时，求点坐标.
21.已知点是平面上一动点，且满足
（1）求点的轨迹对应的方程；
（2）已知点在曲线上，过点作曲线的两条弦和，且，判断：直线是否过定点？试证明你的结论.
22.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．
（1）求椭圆的方程：
（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上．
23.过直角坐标平面中的抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点。
（1）用表示A，B之间的距离；
（2）证明：的大小是与无关的定值，
并求出这个值。
24.设分别是椭圆C：的左右焦点
(1)设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标
(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程
(3)设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。
25.已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
（I）求椭圆的方程；
（II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
（III）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足求的取值范围.
26.如图所示，已知椭圆：，、为
其左、右焦点，为右顶点，为左准线，过的直线：与椭圆相交于、
两点，且有：（为椭圆的半焦距）
（1）求椭圆的离心率的最小值；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若,，
求证：、两点的纵坐标之积为定值；
27.已知椭圆的左焦点为，左右顶点分别为，上顶点为，过三点作圆，其中圆心的坐标为
（1）当＞时，椭圆的离心率的取值范围
（2）直线能否和圆相切？证明你的结论
28.已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.
（I）证明:为定值;
（II）若△POM的面积为，求向量与的夹角；
(Ⅲ)证明直线PQ恒过一个定点.
29.已知椭圆C：上动点到定点,其中的距离的最小值为1.
（1）请确定M点的坐标
（2）试问是否存在经过M点的直线,使与椭圆C的两个交点A、B满足条件（O为原点）,若存在,求出的方程,若不存在请说是理由。
30.已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.
（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；
（Ⅱ）在轴上是否存在点，使的值与无关？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
31.直线AB过抛物线的焦点F，并与其相交于A、B两点。Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点．O是坐标原点．
(I)求的取值范围；
(Ⅱ)过A、B两点分剐作此撒物线的切线，两切线相交于N点．求证：∥;
(Ⅲ)若P是不为1的正整数，当，△ABN的面积的取值范围为时，求该抛物线的方程．
32.如图，设抛物线（）的准线与轴交于，焦点为；以、为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为.
（Ⅰ）当时，求椭圆的方程及其右准线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线经过椭圆的右焦点，与抛物线交于、，如果以线段为直径作圆，试判断点与圆的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）是否存在实数，使得的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由．
33.已知点和动点满足：,且存在正常数，使得。
（1）求动点P的轨迹C的方程。
（2）设直线与曲线C相交于两点E，F，且与y轴的交点为D。若求的值。
34.已知椭圆的右准线与轴相交于点，右焦点到上顶点的距离为，点是线段上的一个动点.
（I）求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于、两点,使得,并说明理由.
35.已知椭圆C：(.
（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，设过定点的直线与椭圆C交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率k的取值范围;
（3）如图，过原点任意作两条互相垂直的直线与椭圆()相交于四点，设原点到四边形一边的距离为，试求时满足的条件.
36.已知若过定点、以()为法向量的直线与过点以为法向量的直线相交于动点．
(1)求直线和的方程;
(2)求直线和的斜率之积的值，并证明必存在两个定点使得恒为定值；
(3)在（2）的条件下，若是上的两个动点，且，试问当取最小值时，向量与是否平行，并说明理由。
37.已知点,点(其中)，直线、都是圆的切线．
（Ⅰ）若面积等于6，求过点的抛物线的方程；
（Ⅱ）若点在轴右边，求面积的最小值．
38.我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题。
（1）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，试求d1d2的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系。
（2）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线
（m、n不同时为0）的距离分别为d1、d2，且直线L与椭圆M相切，试求d1d2的值。
（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。
（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）。
39.已知点为抛物线的焦点，点是准线上的动点，直线交抛物线于两点，若点的纵坐标为，点为准线与轴的交点．
（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求的面积范围；
（Ⅲ）设，，求证为定值．
40.已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
（I）求椭圆的方程；
（II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
（III）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足求的取值范围.
41.已知以向量为方向向量的直线过点，抛物线：的顶点关于直线的对称点在该抛物线的准线上．
（1）求抛物线的方程；
（2）设、是抛物线上的两个动点，过作平行于轴的直线，直线与直线交于点，若（为坐标原点，、异于点），试求点的轨迹方程。
42.如图，设抛物线（）的准线与轴交于，焦点为；以、为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为.
（Ⅰ）当时，求椭圆的方程及其右准线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线经过椭圆的右焦点，
与抛物线交于、，如果以线段为直径作圆，
试判断点与圆的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）是否存在实数，使得的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由．
43.设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率且过椭圆右焦点的直线与椭圆C交于两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)是否存在直线，使得.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
(Ⅲ)若AB是椭圆C经过原点O的弦，MNAB，求证：为定值．
44.设是抛物线的焦点，过点M(－1，0)且以为方向向量的直线顺次交抛物线于两点。
（Ⅰ）当时，若与的夹角为，求抛物线的方程；
（Ⅱ）若点满足，证明为定值，并求此时△的面积
45.已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足.
（Ⅰ）当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设、为轨迹上两点，且1,0,，求实数，
使，且.
46.已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，P为C上任一点，MN是圆的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为的直线恰好与圆相切。
（1）已知椭圆的离心率；
（2）若的最大值为49，求椭圆C的方程.

圆锥曲线

古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教师要准备好教案，这是高中教师的任务之一。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，让高中教师能够快速的解决各种教学问题。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？下面是小编为大家整理的“圆锥曲线”，希望能对您有所帮助，请收藏。

一、的最值
若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离心率，求的最小值。
例1.已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。
分析：注意到式中的数值“”恰为，则可由椭圆的第二定义知等于椭圆上的点P到左准线的距离。这种方法在本期《椭圆中减少运算量的主要方法》一文中已经介绍过，这里不再重复，答案为。
二、的最值
若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。
例2.已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。
解：如图1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0）
图1
由椭圆的第一定义得：
可知，当P为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，当P为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为。
故的最大值为，最小值为。
三、的最值
若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。
例3.已知椭圆外一点A（5，6），为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。
解：如图2，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为
图2
根据椭圆的第二定义有：，即
可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，最小，最小值。
故的最小值为10。
四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值
例4.定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。
解：设F为椭圆的右焦点，如图3，作于A”，BB”⊥于B”，MM”⊥于M”
图3
则
当且仅当AB过焦点F时等号成立。
故M到椭圆右准线的最短距离为。
评注：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是AB能过焦点的充要条件。