§7.2解二元一次方程组。

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§7.2解二元一次方程组

一．教学目标

(一)教学知识点

1.代入消元法解二元一次方程组.

2.解二元一次方程组时的“消元”思想，“化未知为已知”的化归思想.

(二)能力训练要求

1.会用代入消元法解二元一次方程组.

2.了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.

(三)情感与价值观要求

1.在学生了解二元一次方程组的“消元”思想，从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中，享受学习数学的乐趣，提高学习数学的信心.

2.培养学生合作交流，自主探索的良好习惯.

二．教学重点

1.会用代入消元法解二元一次方程组.

2.了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归思想.

三．教学难点

1.“消元”的思想.

2.“化未知为已知”的化归思想.

四．教学方法

启发——自主探索相结合.

教师引导学生回忆一元一次方程解决实际问题的方法并从中启发学生如果能将二元一次方程组转化为一元一次方程.二元一次方程便可获解，从而通过学生自主探索总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.

五．教具准备

投影片两张：

第一张：例题(记作§7.2A)；

第二张：问题串(记作§7.2B).

六．教学过程

Ⅰ.提出疑问，引入新课

［师生共忆］上节课我们讨论过一个“希望工程”义演的问题；没去观看义演的成人有x个，儿童有y个，我们得到了方程组成人和儿童到底去了多少人呢？

［生］在上一节课的“做一做”中，我们通过检验是不是方程x+y=8和方程5x+3y=34，得知这个解既是x+y=8的解，也是5x+3y=34的解，根据二元一次方程组解的定义得出是方程组的解.所以成人和儿童分别去了5个人和3个人.

［师］但是，这个解是试出来的.我们知道二元一次方程的解有无数个.难道我们每个方程组的解都去这样试？

［生］太麻烦啦.

［生］不可能.

［师］这就需要我们学习二元一次方程组的解法.

Ⅱ.讲授新课

［师］在七年级第一学期我们学过一元一次方程，也曾碰到过“希望工程”义演问题，当时是如何解的呢？

［生］解：设成人去了x个，儿童去了(8－x)个，根据题意，得：

5x+3(8－x)=34

解得x=5

将x=5代入8－x=8－5=3

答：成人去了5个，儿童去了3个.

［师］同学们可以比较一下：列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？列出的方程和方程组又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？

［生］列二元一次方程组设出有两个未知数成人去了x个，儿童去了y个.列一元一次方程设成人去了x个，儿童去了(8－x)个.y应该等于(8－x).而由二元一次方程组的一个方程x+y=8根据等式的性质可以推出y=8－x.

［生］我还发现一元一次方程中5x+3(8－x)=34与方程组中的第二个方程5x+3y=34相比较，把5x+3y=34中的“y”用“8－x”代替就转化成了一元一次方程.

［师］太好了.我们发现了新旧知识之间的联系，便可寻求到解决新问题的方法——即将新知识转化为旧知识便可.如何转化呢？

［生］上一节课我们就已知道方程组的两个未知数所包含的意义是相同的.所以将中的①变形，得y=8－x③我们把y=8－x代入方程②，即将②中的y用8－x代替，这样就有5x+3(8－x)=34.“二元”化成“一元”.

［师］这位同学很善于思考.他用了我们在数学研究中“化未知为已知”的化归思想，从而使问题得到解决.下面我们完整地解一下这个二元一次方程组.

解：

由①得y=8－x③

将③代入②得

5x+3(8－x)=34

解得x=5

把x=5代入③得y=3.

所以原方程组的解为

下面我们试着用这种方法来解答上一节的“谁的包裹多”的问题.

［师生共析］解二元一次方程组：

分析：我们解二元一次方程组的第一步需将其中的一个方程变形用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，把表示了的未知数代入未变形的方程中，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程.

解：由①得x=2+y③

将③代入②得(2+y)+1=2(y－1)

解得y=5

把y=5代入③，得

x=7.

所以原方程组的解为即老牛驮了7个包裹，小马驮了5个包裹.

［师］在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入第二个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”而得到消元的目的.我们将这种方法叫代入消元法.这种解二元一次方程组的思想为消元思想.我们再来看两个例子.

出示投影片(§7.2A)

［例题］解方程组

(1)

(2)

(由学生自己完成，两个同学板演).

解：(1)将②代入①，得

3×+2y=8

3y+9+4y=16

7y=7

y=1

将y=1代入②，得

x=2

所以原方程组的解是

(2)由②，得x=13－4y③

将③代入①，得

2(13－4y)+3y=16

－5y=－10

y=2

将y=2代入③，得

x=5

所以原方程组的解是

［师］下面我们来讨论几个问题：

出示投影片(§7.2B)

(1)上面解方程组的基本思路是什么？

(2)主要步骤有哪些？

(3)我们观察例1和例2的解法会发现，我们在解方程组之前，首先要观察方程组中未知数的特点，尽可能地选择变形后的方程较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是关键的一步.你认为选择未知数有何特点的方程变形好呢？

(由学生分组讨论，教师深入参与到学生讨论中，发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法)

［生］我来回答第一问：解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.

［生］我们组总结了一下解上述方程组的步骤：第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，把它变形为用一个未知数的代数式表示另一个未知数.

第二步：把表示另一个未知数的代数式代入没有变形的另一个方程，可得一个一元一次方程.

第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.

第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值.

第五步：用“{”把原方程组的解表示出来.

第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)把求得的解代入每一个方程看是否成立.

［师］这个组的同学总结的步骤真棒，甚至连我们平时容易忽略的检验问题也提了出来，很值得提倡.在我们数学学习的过程中，应该养成反思自己解答过程，检验自己答案正确与否的习惯.

［生］老师，我代表我们组来回答第三个问题.我们认为用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的分数是1的方程进行变形；若未知数的系数都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.但我们也有一个问题要问：在例2中，我们选择②变形这是无可厚非的，把②变形后代入①中消元得到的是一元一次方程系数都为整数也较简便.可例1中，虽然可直接把②代入①中消去x，可得到的是含有分母的一元一次方程，并不简便，有没有更简捷的方法呢？

［师］这个问题提的太好了.下面同学们分组讨论一下.如果你发现了更好的解法，请把你的解答过程写到黑板上来.

［生］解：由②得2x=y+3③

③两边同时乘以2，得

4x=2y+6④

由④得2y=4x－6

把⑤代入①得

3x+(4x－6)=8

解得7x=14,x=2

把x=2代入③得y=1.

所以原方程组的解为

［师］真了不起，能把我们所学的知识灵活应用，而且不拘一格，将“2y”整体上看作一个未知数代入方程①，这是一个“科学的发明”.

Ⅲ.随堂练习

课本P192

1.用代入消元法解下列方程组

解：(1)

将①代入②，得

x+2x=12

x=4.

把x=4代入①，得

y=8

所以原方程组的解为

(2)

将①代入②，得

4x+3(2x+5)=65

解得x=5

把x=5代入①得

y=15

所以原方程组的解为

(3)

由①，得x=11－y③

把③代入②，得

11－y－y=7

y=2

把y=2代入③，得

x=9

所以原方程组的解为

(4)

由②，得x=3－2y③

把③代入①，得

3(3－2y)－2y=9

得y=0

把y=0代入③，得x=3

所以原方程组的解为

注：在随堂练习中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，各个学生消元的具体方法可能不同，不必强调解答过程统一.

Ⅳ.课时小结

这节课我们介绍了二元一次方程组的第一种解法——代入消元法.了解到了解二元一次方程组的基本思路是“消元”即把“二元”变为“一元”.主要步骤是：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.解这个一元一次方程，便可得到一个未知数的值，再将所求未知数的值代入变形后的方程，便求出了一对未知数的值.即求得了方程的解.

Ⅴ.课后作业

1.课本习题7.2

2.解答习题7.2第3题

Ⅵ.活动与探究

已知代数式x2+px+q,当x=－1时，它的值是－5；当x=－2时，它的值是4,求p、q的值.

过程：根据代数式值的意义，可得两个未知数都是p、q的方程，即

当x=－1时，代数式的值是－5，得

(－1)2+(－1)p+q=－5①

当x=－2时，代数式的值是4，得

(－2)2+(－2)p+q=4②

将①、②两个方程整理，并组成方程组

解方程组，便可解决.

结果：由④得q=2p

把q=2p代入③，得

－p+2p=－6

解得p=－6

把p=－6代入q=2p=－12

所以p、q的值分别为－6、－12.

七．板书设计

§7.2解二元一次方程组(一)

一、“希望工程”义演

二、“谁的包裹多”问题

三、例题

四、解方程组的基本思路：消元即二元—→一元

五、解二元一次方程组的基本步骤

精选阅读

10.3解二元一次方程组（二）

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10.3解二元一次方程组（二）

教学目标：

1.会用加减消元法解二元一次方程组.

2.能根据方程组的特点，适当选用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组.

3.了解解二元一次方程组的消元方法，经历从“二元”到“一元”的转化过程，体会解二元一次方程组中化“未知”为“已知”的“转化”的思想方法.

教学重点：

加减消元法的理解与掌握

教学难点：

加减消元法的灵活运用

教学方法：

引导探索法，学生讨论交流

教学过程：

一、情境创设

买3瓶苹果汁和2瓶橙汁共需要23元，买5瓶苹果汁和2瓶橙汁共需33元，每瓶苹果汁和每瓶橙汁售价各是多少？

设苹果汁、橙汁单价为x元，y元.

我们可以列出方程3x+2y=23

5x+2y=33

问：如何解这个方程组？

二、探索活动

活动一：1、上面“情境创设”中的方程，除了用代入消元法解以外，还有其他方法求解吗？

2、这些方法与代入消元法有何异同？

3、这个方程组有何特点？

解法一：3x+2y=23①

5x+2y=33②

由①式得③

把③式代入②式

33

解这个方程得：y=4

把y=4代入③式

则

所以原方程组的解是x=5

y=4

解法二：3x+2y=23①

5x+2y=33②

由①—②式：

3x+2y-(5x+2y)=23-33

3x-5x=-10

解这个方程得：x=5

把x=5代入①式，

3×5+2y=23

解这个方程得y=4

所以原方程组的解是x=5

y=4

把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法叫做加减消元法(eliminationbyadditionorsubtraction)，简称加减法.

三、例题教学：

例1．解方程组x+2y=1①

3x-2y=5②

解：①+②得，4x=6

将代入①，得

解这个方程得：

所以原方程组的解是

巩固练习(一)：练一练1.(1)

例2．解方程组5x-2y=4①

2x-3y=-5②

解：①×3，得

15x-6y=12③

②×3，得

4x-6y=-10④

③—④，得：

11x=22

解这个方程得x=2

将x=2代入①，得

5×2-2y=4

解这个方程得：y=3

所以原方程组的解是x=2

y=3

巩固练习(二)：练一练1.(2)(3)(4)2.

四、思维拓展：

解方程组：

五、小结：

1、掌握加减消元法解二元一次方程组

2、灵活选用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组

六、作业

习题10.31.(3)(4)2.

10.3解二元一次方程组（一）

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10.3解二元一次方程组（一）

教学目标：1.能熟练地用代入消元法解简单的二元一次方程组

2.从解方程的过程中体会转化的思想方法

教学重点：用代入消元法解二元一次方程组

教学难点：用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数

教学过程：

一、情境创设

根据篮球比赛规则；赢一场得2分，平一场得1分，在某次中学篮球联赛中，某球队赛了12场，赢了x场，输了y场，共各20分.

可以得出方程组：x+y=12

2x+y=20

（学生思考，列出方程）

二、新课讲授

如何解上面的二元一次方程组呢？x+y=12①

2x+y=20②

(学生主动探索，尝试，体会消元的方法)

解：由①得：y=12-x③

将③代入②得：2x+12x-x=20

解这个二元一次方程，得

x=8

将x=8代入③，得y=4

所以原方程组的解是x=8

y=4

注：①二元一次方程组的解是一对数值，而不是一个单纯的x值或y值.

②算出结果后要做心算检验，以养成习惯

问题：（引导思维拓展）

①你是如何解方程组的？

②每一步的依据是什么？

③还有其它的方法吗？（能否通过消去x解方程？）

代入消元法：将方程组的一个方程中的某个未知数据用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，从而消去一个未知数，把解二元一次方程转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法，称为代入消元法，简称代入法.

（学生归纳、总结、并理解）

点评：用代入消元法解二元一次方程组方法不唯一，比如：上题中也可以用y来表示x，通过消去x来解方程.

即：由①得：x=12-y……③，将③代入②得……

即使用x来表示y，方法也不是唯一的，可以由①得y=12-x，也可以由②得y=20-2x……

三、例题教学：

解方程组x+3y=0

3x+2y=92

(板书示范，学生思考回答)

步骤

1．用一个未知数表示另一个未知数；

2．将表示后的未知数代入方程；

3．解此方程

4．求方程组的一对解.

四、学生练习

P1101、2、3（学生板演）

五、拓展延伸

1．解方程组3x=1-2y

3x+4y=-7（整体代入法）

2．已知x+y=k

2x+3y=k

六、课时小结：

1.用代入法解二元一次方程组的步骤？

2.任意一个二元一次方程都能用代入消元法解吗？举例说明.

七、作业

P1121、（1）（4）2、3、

解二元一次方程组学案

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10.3解二元一次方程组（1）
主备：审核：初一数学备课组
班级姓名。
学习目标：
1会用代入消元法解二元一次方程组。
2通过解决问题，了解解二元一次方程组的必要性。
3体会转化的思想。
一.课前准备
1把方程写成用x表示y的形式，结果是y=。
2把代入方程，消去y，得关于x的方程。（不必化简）。
3用代入法解方程组：
二.探索新知
问题探索：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队赛了12场赢了x场，输了y场，得到20分，我们可以列出方程组：
，如何解这个二元一次方程组？

三.知识应用
例1解方程组。你还有不同解法过程吗？写写看。

试一试：解方程组
代入消元法：
。
代入法的基本思想是。
代入消元法的步骤是：

例2把下列各方程变形为用一个未和数的代数式表示另一个未知数的形式.
（1）4x－y＝－1；（2）5x－10y＋15＝0.

四.当堂反馈
1用代入法解下列方程组：

2长方形的长是宽的3倍，如果长减少3cm，宽增加4cm，这个长方形就变成了一个正方形.求这个长方形的长和宽.

3一个两位数加上45恰好等于把这个两位数的个位数字与十位数字对调后组成的新两位数，这个两位数的十位数字和个位数字的和是7，你能知道这个两位数吗？

五.课后巩固
（一）填空题
1.已知：=0是二元一次方程，则的值为
2.解方程组：由①用表示，得=③，将③代入②，得，解得=，方程组的解为。
3.若，则
4.若和是同类项，则，。
（二）解下列方程组：

注意：对于一般形式的二元一次方程用代入法求解，关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取的恰当往往会使计算简单且不易出错，选取的原则是：
1．选择未知数的系数是1或－l的方程；
2．若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程，将要消的元用含另一个未知数的代数式表示，再把它代入没有变形的方程中去。这样就把二元一次方程组转化为一元一次方程了。
3.对运算的结果养成检验的习惯。

六、拓展提升
1.已知方程组的解互为相反数，求的值。

2已知方程组与有相同的解，求的值。

3.若方程组的解也是方程的解，求的值。

4.已知方程组的解的和是－12，求的值。