椭圆的标准方程。

一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责，教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助教师提高自己的教学质量。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢？下面是小编为大家整理的“椭圆的标准方程”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

椭圆的标准方程（—）

教学目标：
1、通过本节课课前及课堂上的探索研究过程，使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程；
2、复习和巩固求轨迹方程的基本方法.
3、能够理解椭圆轨迹和方程之间的关系，进一步提高学生解析能力；
教学重点：
1、椭圆的定义和椭圆的标准方程及其求法，
2、椭圆曲线和方程之间的相互关系．
教学难点：
1、建立适当的坐标系，求椭圆标准方程．
2、利用椭圆的定义和标准方程研究曲线．
教学方式：体验式
教学手段：多媒体演示．
学生特点：本节课的教学对象为高中实验班学生，数学基础较好．
教学过程：
1、给出椭圆定义
由学生根据课前的预习叙述椭圆的定义：
1）椭圆的定义：
平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．F1，F2叫做椭圆的焦点；叫做椭圆的焦距．
2）展示学生通过预习椭圆知识，结合椭圆的知识所作的“图形”，并介绍椭圆的做法，帮助同学了解椭圆的定义，同时引出椭圆标准方程
2、推导椭圆标准方程
推导方程：（以下方程推导过程由学生完成）
①建系：以和所在直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系；
②设点：设是椭圆上任意一点，设，则，；
③列式：由得；
④化简：移项平方后得，
整理得，，
两边平方后整理得，
由椭圆的定义知，，即，∴，令，其中，代入上式，得，两边除以，得：（））
3．进一步认识椭圆标准方程
（掌握椭圆的标准方程，以及两种标准方程的区分）
（1）方程（）叫做椭圆的标准方程．它表示焦点在轴上，焦点坐标为，，其中．
（2）方程方程（）也是椭圆的标准方程．它表示焦点在轴上，焦点坐标为，，其中．
4．通过例题巩固椭圆的标准方程.
例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆上任意一点与两焦点的距离的和等于8；
(2)两个焦点的坐标分别是(0,－4)，(0，4)，并且椭圆经过点.
5．再次展示学生所作椭圆，让学生利用椭圆方程和椭圆定义来判断所作的“椭圆”，并说明判断的依据，进一步椭圆定义和椭圆的标准方程.
6．小结：
这节课我们围绕椭圆及其标准方程研究了椭圆这几个方面的问题：
（1）椭圆的定义；
（2）椭圆的标准方程推导；
（3）利用椭圆的定义和标准方程研究曲线；
7．作业：
（1）P42，练习A第1，2，3，4题；（2）求演示图形5中椭圆的方程.

相关知识

椭圆及其标准方程

俗话说，磨刀不误砍柴工。教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助教师能够更轻松的上课教学。写好一份优质的教案要怎么做呢？下面的内容是小编为大家整理的椭圆及其标准方程，仅供参考，欢迎大家阅读。

椭圆及其标准方程教学目标
1.把握椭圆的定义,把握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程;
2.能根据条件确定椭圆的标准方程,把握运用待定系数法求椭圆的标准方程;
3.通过对椭圆概念的引入教学,培养学生的观察能力和探索能力;
4.通过椭圆的标准方程的推导,使学生进一步把握求曲线方程的一般方法,并渗透数形结合和等价转化的思想方法,提高运用坐标法解决几何问题的能力;
5.通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程,激发学生学习数学的积极性,培养学生的学习爱好和创新意识.
教学建议
教材分析
1.知识结构
2.重点难点分析
重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式.难点是椭圆标准方程的建立和推导.关键是把握建立坐标系与根式化简的方法.
椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容:一是椭圆的定义;二是椭圆的标准方程.椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先碰到的,所以教材把对椭圆的研究放在了重点,在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用.先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然.学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的.
(1)对于椭圆的定义的理解,要抓住椭圆上的点所要满足的条件,即椭圆上点的几何性质,可以对比圆的定义来理解.
另外要注重到定义中对“常数”的限定即常数要大于.这样规定是为了避免出现两种非凡情况,即:“当常数等于时轨迹是一条线段;当常数小于时无轨迹”.这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质.但讲解椭圆的定义时注重不要忽略这两种非凡情况,以保证对椭圆定义的准确性.
(2)根据椭圆的定义求标准方程,应注重下面几点:
①曲线的方程依靠于坐标系,建立适当的坐标系,是求曲线方程首先应该注重的地方.应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义进行推理,发现椭圆有两条互相垂直的对称轴,以这两条对称轴作为坐标系的两轴,不但可以使方程的推导过程变得简单,而且也可以使最终得出的方程形式整洁和简洁.
②设椭圆的焦距为,椭圆上任一点到两个焦点的距离为,令,这些措施,都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整洁、简洁,要让学生认真领会.
③在方程的推导过程中碰到了无理方程的化简,这既是我们今后在求轨迹方程时经常碰到的问题,又是学生的难点.要注重说明这类方程的化简方法:①方程中只有一个根式时,需将它单独留在方程的一侧,把其他项移至另一侧;②方程中有两个根式时,需将它们分别放在方程的两侧,并使其中一侧只有一项.
④教科书上对椭圆标准方程的推导,实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程“而没有证实,”方程的解为坐标的点都在椭圆上”.这实际上是方程的同解变形问题,难度较大,对同学们不作要求.
(3)两种标准方程的椭圆异同点
中心在原点、焦点分别在轴上,轴上的椭圆标准方程分别为:,.它们的相同点是:外形相同、大小相同,都有,.不同点是:两种椭圆相对于坐标系的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大;
椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大.
另外,形如中,只要,,同号,就是椭圆方程,它可以化为.
(4)教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法——中间变量法.例3有三个作用:第一是教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法;第二是向学生说明,假如求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同,那么这个轨迹是椭圆;第三是使学生知道,一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆.
教法建议
(1)使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用,激发学生的学习爱好.
为激发学生学习圆锥曲线的爱好,体会圆锥曲线知识在实际生活中的作用,可由实际问题引入,从中提出圆锥曲线要研究的问题,使学生对所要研究的内容心中有数,如书中所给的例子,还可以启发学生寻找身边与圆锥曲线有关的例子。
例如,我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的轨道——椭圆上运行,太阳系的其他行星也如此,太阳则位于椭圆的一个焦点上.假如这些行星运动的速度增大到某种程度,它们就会沿抛物线或双曲线运行.人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵循这个原理.相对于一个物体,按万有引力定律受它吸引的另一个物体的运动,不可能有任何其他的轨道.因而,圆锥曲线在这种意义上讲,它构成了我们宇宙的基本形式,另外,工厂通气塔的外形线、探照灯反光镜的轴截面曲线,都和圆锥曲线有关,圆锥曲线在实际生活中的价值是很高的.
(2)安排学生课下切割圆锥形的事物,使学生了解圆锥曲线名称的来历
为了让学生了解圆锥曲线名称的来历,但为了节约课堂时间,教学时应安排让学生课后亲自动手切割圆锥形的萝卜、胶泥等,以加深对圆锥曲线的熟悉.
(3)对椭圆的定义的引入,要注重借助于直观、形象的模型或教具,让学生从感性熟悉入手,逐步上升到理性熟悉,形成正确的概念。
教师可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道,谈到圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面上的影子等等,让学生先对椭圆有一个直观的了解。
教师可事先预备好一根细线及两根钉子,在给出椭圆在数学上的严格定义之前,教师先在黑板上取两个定点(两定点之间的距离小于细线的长度),再让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆。画好后,教师再在黑板上取两个定点(两定点之间的距离大于细线的长度),然后再请刚才两名学生按同样的要求作图。学生通过观察两次作图的过程,总结出经验和教训,教师因势利导,让学生自己得出椭圆的严格的定义。这样,学生对这一定义就会有深刻的了解。

椭圆及其标准方程教案

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生更好的消化课堂内容，帮助高中教师提高自己的教学质量。那么，你知道高中教案要怎么写呢？下面是小编为大家整理的“椭圆及其标准方程教案”，希望能对您有所帮助，请收藏。

椭圆是圆锥曲线中重要的一种,本节内容的学习是后继学习其它圆锥曲线的基础,坐标法是解析几何中的重要数学方法,椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例。本节课内容的学习能很好地在课堂教学中展现新课程的理念,主要采用学生自主探究学习的方式,使培养学生的探索精神和创新能力的教学思想贯穿于本节课教学设计的始终。
椭圆是生活中常见的图形,通过实验演示,创设生动而直观的情境,使学生亲身体会椭圆与生活联系,有助于激发学生对椭圆知识的学习兴趣;在椭圆概念引入的过程中,改变了直接给出椭圆概念和动画画出椭圆的方式,而采用学生动手画椭圆并合作探究的学习方式,让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程,有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。
椭圆方程的化简是学生从未经历的问题,方程的推导过程采用学生分组探究,师生共同研讨方程的化简和方程的特征,可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程,使学生真正了解椭圆标准方程的来源,并在这种师生尝试探究、合作讨论的活动中,使学生体会成功的快乐,提高学生的数学探究能力,培养学生独立主动获取知识的能力。
设计例题、习题的研讨探究变式训练,是为了让学生能灵活地运用椭圆的知识解决问题,同时也是为了更好地调动、活跃学生的思维,发展学生数学思维能力,让学生在解决问题中发展学生的数学应用意识和创新能力,同时培养学生大胆实践、勇于探索的精神,开阔学生知识应用视野。

椭圆的定义和标准方程

椭圆的定义和标准方程（一）
知识点整理
1.掌握椭圆的定义，会用定义解题；
2.掌握椭圆的标准方程及其简单的几何性质，熟练地进行基本量间的互求，会根据所给的方程画出图形；
3.掌握求椭圆的标准方程的基本步骤——①定型（确定它是椭圆）；②定位（判断它的中心在原点、焦点在哪条坐标轴上）；③定量（建立关于基本量的方程或方程组，解基本量）。
双基练习
1.椭圆的长轴位于轴，长轴长等于；短轴位于轴，短轴长等于；焦点在轴上，焦点坐标分别为，离心率=，准线方程是，焦点到相应准线的距离（焦准距）等于；左顶点坐标是；下顶点坐标是，椭圆上的点P的横坐标的范围是，纵坐标的范围是，的取值范围是。
2.椭圆上的点P到左准线的距离是10，那么P到其右焦点的距离是（）
A.15B.12C.10D.8
3.⊿ABC中，已知B、C的坐标分别是（－3，0）、（3，0），且⊿ABC的周长等于16，则顶点A的轨迹方程是。
4.若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该焦点到同侧长轴一端点距离的3倍，则椭圆的离心率是；若椭圆两准线之间的距离不大于长轴长的3倍，则它的离心率的取值范围是。
典型例题
例1已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点P（3，2），求椭圆的方程。

例2从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点F1，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，且。（1）求该椭圆的离心率；（2）若该椭圆的准线方程是，求椭圆的方程。

课后作业
1.椭圆上一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为坐标原点，则|ON|=.。
2.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则此椭圆长轴的长的最小值是.
3.设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点的距离为，求此椭圆的方程。

4.已知椭圆的中心在原点，焦点F1（0，－1）、F2（0，1），直线y=4是椭圆的一条准线，（1）求椭圆的方程；（2）设P点在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|=1，求tan∠F1PF2.

5.椭圆的焦点分别为F1和F2，过中心O作直线与椭圆交于A、B，若⊿ABF2的面积是20，求直线的方程。

6.求经过点（2，0）与圆(x+2)2+y2=36内切的圆的圆心M的轨迹方程。

椭圆及其标准方程1

作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容，让教师能够快速的解决各种教学问题。怎么才能让教案写的更加全面呢？考虑到您的需要，小编特地编辑了“椭圆及其标准方程1”，仅供参考，欢迎大家阅读。

椭圆及其标准方程1

教学目标

1．掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；
2．能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；
3．通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；
4．通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力；
5．通过让中国学习联盟胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识．

教学建议

教材分析

1．知识结构

2．重点难点分析

重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式．难点是椭圆标准方程的建立和推导．关键是掌握建立坐标系与根式化简的方法．

椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程．椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用．先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然．学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的．

（1）对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解．

另外要注意到定义中对“常数”的限定即常数要大于．这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即：“当常数等于时轨迹是一条线段；当常数小于时无轨迹”．这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质．但讲解椭圆的定义时注意不要忽略这两种特殊情况，以保证对椭圆定义的准确性．

（2）根据椭圆的定义求标准方程，应注意下面几点：

①曲线的方程依赖于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应该注意的地方．应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义进行推理，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简单，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁．

②设椭圆的焦距为，椭圆上任一点到两个焦点的距离为，令，这些措施，都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整齐、简洁，要让学生认真领会．

③在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是学生的难点．要注意说明这类方程的化简方法：①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项．

④教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程“而没有证明，”方程的解为坐标的点都在椭圆上”．这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求．

（3）两种标准方程的椭圆异同点

中心在原点、焦点分别在轴上，轴上的椭圆标准方程分别为：，．它们的相同点是：形状相同、大小相同，都有，．不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同．

椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大；

椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大．

另外，形如中，只要，，同号，就是椭圆方程，它可以化为．

（4）教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法——中间变量法．例3有三个作用：第一是教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法；第二是向学生说明，如果求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三是使学生知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆．

教法建议

（1）使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发学生的学习兴趣．

为激发学生学习圆锥曲线的兴趣，体会圆锥曲线知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中提出圆锥曲线要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还可以启发学生寻找身边与圆锥曲线有关的例子。

例如，我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的轨道——椭圆上运行，太阳系的其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上．如果这些行星运动的速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行．人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵循这个原理．相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一个物体的运动，不可能有任何其他的轨道．因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式，另外，工厂通气塔的外形线、探照灯反光镜的轴截面曲线，都和圆锥曲线有关，圆锥曲线在实际生活中的价值是很高的．

（2）安排学生课下切割圆锥形的事物，使学生了解圆锥曲线名称的来历

为了让学生了解圆锥曲线名称的来历，但为了节约课堂时间，教学时应安排让学生课后亲自动手切割圆锥形的萝卜、胶泥等，以加深对圆锥曲线的认识．

（3）对椭圆的定义的引入，要注意借助于直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形成正确的概念。

教师可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道，谈到圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面上的影子等等，让学生先对椭圆有一个直观的了解。

教师可事先准备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆。画好后，教师再在黑板上取两个定点（两定点之间的距离大于细线的长度），然后再请刚才两名学生按同样的要求作图。学生通过观察两次作图的过程，总结出经验和教训，教师因势利导，让学生自己得出椭圆的严格的定义。这样，学生对这一定义就会有深刻的了解。

（4）将提出的问题分解为若干个子问题，借助多媒体课件来体现椭圆的定义的实质

在教学时，可以设置几个问题，让学生动手动脑，独立思考，自主探索，使学生根据提出的问题，利用多媒体，通过观察、实验、分析去寻找解决问题的途径。在椭圆的定义的教学过程（3edu.net）中，可以提出“到两定点的距离的和为定值的点的轨迹一定是椭圆吗”，让学生通过课件演示“改变焦距或定值”，观察轨迹的形状，从而挖掘出定义的内涵，这样就使得学生对椭圆的定义留下了深刻的印象。

（5）注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系

在讲解椭圆的定义时，就要启发学生注意椭圆的图形特征，一般学生比较容易发现椭圆的对称性，这样在建立坐标系时，学生就比较容易选择适当的坐标系了，即使焦点在坐标轴上，对称中心是原点（此时不要过多的研究几何性质）．虽然这时学生并不一定能说明白为什么这样选择坐标系，但在有了一定感性认识的基础上再讲解选择适当坐标系的一般原则，学生就较为容易接受，也向学生逐步渗透了坐标法．

（6）推导椭圆的标准方程时教师要注意化解难点，适时地补充根式化简的方法．

推导椭圆的标准方程时，由于列出的方程为两个跟式的和等于一个非零常数，化简时要进行两次平方，方程中字母超过三个，且次数高、项数多，教学时要注意化解难点，尽量不要把跟式化简的困难影响学生对椭圆的标准方程的推导过程的整体认识．通过具体的例子使学生循序渐进的解决带跟式的方程的化简，即：（1）方程中只有一个跟式时，需将它单独留在方程的一边，把其他各项移至另一边；（2）方程中有两个跟式时，需将它们放在方程的两边，并使其中一边只有一项．（为了避免二次平方运算）

（7）讲解了焦点在x轴上的椭圆的标准方程后，教师要启发学生自己研究焦点在y轴上的标准方程，然后鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，加深对椭圆的认识．

（8）在学习新知识的基础上要巩固旧知识

椭圆也是一种曲线，所以第七章所讲的曲线和方程的知识仍然使用，在推导椭圆的标准方程中要注意进一步巩固曲线和方程的概念．对于教材上在推出椭圆的标准方程后，并没有证明所求得的方程确是椭圆的方程，要注意向学生说明并不与前面所讲的曲线和方程的概念矛盾，而是由于椭圆方程的化简过程是等价变形，而证明过程较繁，所以教材没有要求也没有给出证明过程，但学生要注意并不是以后都不需要证明，注意只有方程的化简是等价变形的才可以不用证明，而实际上学生在遇到一些具体的题目时，还需要具体问题具体分析．

（9）要突出教师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生的团结协作的团队精神。