球。
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人教版高中数学必修系列：9.10球(备课资料)●备课资料
一、进一步理解并应用球的性质
球的性质是圆的性质在空间中的延伸，教学中，应要求学生在熟练掌握圆的性质的基础上推导出球的性质，进而使学生在解决与球有关的问题中学会用“变未知为已知”的转化的数学思想，将空间的球变为平面的圆去解决.下面，试举两例，供读者体会.
［例1］已知球的两个平行截面分别为5π和8π,它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径.
分析：作出球的轴截面，实现空间图形平面化，进而利用圆的性质去解决问题.
解：如图所示，设这两个截面的半径分别为r1、r2,球心到截面距离分别为d1、d2,球半径为R，则πr12=5π,πr22=8π,∴r12=5,r22=8.
又∵R2=r12+d12=r22+d22,
∴d12-d22=8-5=3,
即（d1-d2)(d1+d2)=3.
又d1-d2=1,
∴解得
∴R===3.
评述：以上例题中体现了空间球的“与截面垂直的直径过截面圆的圆心”到平面圆的“与弦垂直的直径过弦的中点”及“球半径2=球心到截面圆的距离2+截面圆的半径2”到“圆半径2=圆心到弦的距离2+弦长的一半2”的等价转化思想.
［例2］球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这三个点的小圆的周长为4π,求这个球的半径.
分析：解决这个问题的关键是将已知条件中的“任意两点的球面距离等于大圆周长的”与“经过这三个点的小圆周长为4π”，转化成平面图形图中的问题去解决.
解：如图所示，设这三个点是A、B、C，球半径为R，A、B、C所在的小圆半径为r,则2πr=4π,∴r=2.
又∵A、B、C三点中任意两点的球面距离是大圆周长的，
∴球心角∠AOB=∠AOC=∠COA=.
又OA=OB=OC=R，∴AB=BC=CA=R.
∴△ABC是半径为2的圆O′的内接三角形.
∴△ABC的高为3.
∴AB=R=2.
评述：(1)本题通过将“两点的球面距离等于大圆周长的”转化成“两点间的线段长等于球的半径”，将“经过三个点的小圆周长为4π,求球的半径”转化成“求周长为4π的圆的内接正三角形的边长”，从而将球面上两点间的距离、弧长公式及圆内接正三角形三者作为整体，体现了等价化归的数学思想，实现了问题的解决.
(2)将旧知识灵活巧妙地应用到新问题中，需有牢固的基础和一定的变通能力，这是我们在教学中应引起重视的一个重要方面.
二、“两点间的球面距离”的学习
1.在“两点间的球面距离”的教学中，应注意些什么？
答：(1)球面上两点间的距离，必须是在球的过此两点的大圆中求此两点所对应的劣弧的长度，而不能在过此两点的球的小圆中求.
(2)球面上两点间的距离指的是球面上两点之间的最短距离.
2.球面上两点间的距离的求法.
设球面上两点间的球心角为α弧度，球半径为R，则球面上两点间距离为|α|R,所以求球面上两点间距离的关键是确定球心角.
(1)两点在同一经线圆上，可直接计算两点间的劣弧长度.
(2)两点在同一纬线圆上，先求弦长，由余弦定理求球心角，化为弧度，再用l=|α|r可求得.
(3)两点经纬度都不同时，用异面直线上两点间距离公式求弦长，再由余弦定理求球心角.对于这一种情况，高考不作要求.
［例3］设地球半径为R，城市A位于东经90°，北纬60°，城市B位于东经150°，北纬60°，求城市A与城市B之间的距离.
分析：因所求A、B两点在同一纬线圆上，故需先求出弦长，由余弦定理求球心角，再用l=|α|r求得A、B两点间的球面距离.
解：如图，设北纬60°纬度圆圆心为O′，则∠AO1B=60°,
∵r=Rcos60°=R,
∴AB=R.
在△AOB中，
cosAOB===,
∴∠AOB=arccos.
∴过A、B的大圆的劣弧长为Rarccos.
∴A、B的球面距离为Rarccos.
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一、球体积公式的学习
球体积公式叙述了球的体积与球半径之间的函数关系，即V（R）=πR3,教学中应要求学生熟练掌握在各种不同条件下求出球的半径，进而求出球的体积方法.下面，我们通过例题的分析,体会不同条件下对球半径R不同的求法.
［例1］一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，则此球的体积是
A.πB.4π
C.πD.4(+1)π
分析：正方体内接于球，则由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合，这样就找到了正方体的对角线与球直径相等这一重要关系.
解：∵正方体的体积是8,
∴正方体的棱长为2.
又∵球的半径与内接正方体棱长的关系为2r=a,
∴r=.
∴球的体积V=π()2=4π.
答案：B
评述：此题的关键是寻找球半径与其内接正方体棱长之间的关系.
［例2］正三棱锥P—ABC的侧棱长为l,两侧棱的夹角为2α，求它的外接球的体积.
分析：利用正三棱锥的性质及平面几何知识求出球的半径.
解：如图所示，作PD⊥底面ABC于D，则D为正△ABC的中心.
∵OD⊥底面ABC，
∴P、O、D三点共线.
∵PA=PB=PC=l,∠APB=2α,
∴AB==2lsinα.
∴AD=AB=lsinα.
再设∠APD=β，作OE⊥PA于E点，
在Rt△APD中，
∵sinβ==sinα,
又OP=OA=R，
∴PE=PA=l.
在Rt△POE中，
∵R=PO==,
∴V球=π［］3.
∴V球=.
评述：此题应准确把握图形的特点，找出几何体内各个元素之间的关系，进而求出球的半径.
［例3］一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球.
求：（１）圆锥的侧面积；
（２）圆锥内切球的体积.
分析：作出轴截面图，将问题转化为已知△ABC的外接圆半径和高，求它的边AB、BC的长和内切圆半径，可通过平面几何知识解决.
解：（1）如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于⊙O，而⊙O1内切于△SAB.
设⊙O的半径为R，则有
πR3=972π.
∴R3=729,R=9.
∴SE=18.
已知SD=16,
∴ED=2.连结AE，则由SE是直径，SA⊥AE，SA2=SDSE=1816=288，
∴SA=12.
∵AB⊥SD，
∴AD2=SDDE=16×2=32.
∴AD=4.
∴S圆锥侧=π412=96π.
(2)设内切球O1的半径为r,
∵△SAB的周长为2（12+4）=32,
∴r×32=×8×16.
∴r=4.
∴内切球O1的体积V球=πr3=π.
评述：(1)在处理与球有关的相接切问题时，一般要通过作一适当的截面，将问题由立体转化为平面问题解决，而这类截面常指的是圆锥的轴截面、球的大圆等.
(2)通过此例的分析，应使学生注意归纳、总结解决数学综合性较强的问题的规律和方法.
二、参考练习题
1.球与正四面体的6条棱都相切，则球与正四面体的体积比是多少？
解：如图所示，设正四面体棱长为a,球半径为R，取AB中点E，CD中点F，连结AF、CF，则AF=BF=,
∴EF⊥AB.同理可得EF⊥CD.
∴EF是AB、CD的公垂线.
∴EF是AB、CD的距离,
EF===a.
又∵球与正四面体的6条棱都相切,
∴EF是该球的直径，即2R=a.
∴R3=a3.
∴V球=πR3=πa3=πa3.
又V正四面体=a3,
∴V球∶V正四面体=π∶2.
2.棱长为a的正四棱锥的外接球的体积是多少？
解：如图所示，设正四棱锥P—ABCD，作PO⊥平面ABCD，则O为正方形ABCD的中心，
∴OA=OB=OC=OD=a.
又∵PA=PC=a,AC=a,
∴∠APC=90°.
∵O为AC的中点，
∴OP=a.
∵点O到A、B、C、D的距离相等,
∴球半径R=OA=a.
∴V球=π(a)3=πa3.
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一、球表面积公式的学习
球的表面积公式叙述了球的表面积与球半径之间的函数关系，即S（R）=4πR2,教学中应要求学生熟练掌握在各种不同条件下求出球的半径，进而求出球的表面积.下面，我们通过例题的分析体会不同条件下对球半径R的不同求法.
［例1］正方体的全面积是a2,它的顶点都在这个球面上，则这个球的表面积是
A.B.
C.2πa2D.3πa2
分析：正方体内接于球，则由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合，这样，就找到正方体的对角线与球直径相等这一结论了.
解：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R.
依题意，R2=a2,
即R2=a2.
∴S球=4πR2=4πa2=.
答案：B
［例2］长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是
A.20πB.25π
C.50πD.200π
分析：由长方体内接于球可以得到长方体的对角线长等于球的直径.
解：设球的半径为R，则（2R）2=32+42+52.
∴R2=.
∴S球表面积=4πR2=4π=50π.
答案：C
［例3］已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是
A.πB.π
C.4πD.π
分析：设球心是O，可借助三棱锥O—ABC进行分析解决，三棱锥O—ABC是正三棱锥，OD是高，OA等于球的半径R，AB=BC=CA=2，为求球面积S，只需求出R即可.
解：∵D是正△ABC的中心,
∴AD是△ABC的外接圆半径.
∵AD==,
又OD=R=OA，
OA2=OD2+AD2,
∴R2=R2+.
∴R2=.
∴球面积S=4πR2=π.
答案：D
［例4］长方体的共顶点的三个侧面面积分别为、、，则它的外接球的表面积为________.
分析：根据球内接长方体的体对角线与球直径相等及矩形面积公式求得球半径.
解：设长方体的有公共顶点的三条侧棱长分别为x、y、z,则由已知有
解得
∴球的半径R=AB==.
∴S球=4πR2=9π.
［例5］在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2,求球的表面积.
分析：画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径.
解：如图，圆O为球的轴截面，由球的截面性质知，
AO1∥BO2，且若O1、O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，设球半径为R.
∵πO2B2=49π,∴O2B=7cm.
同理πO1A2=400π.∴O1A=20cm.
设OO1=xcm,则OO2=（x+9)cm.
在Rt△OO1A中，R2=x2+202;
在Rt△OO2B中，R2=（x+9)2+72,
∴x2+20=72+(x+9)2,解得x=15.
∴R2=x2+202=252.∴R=25.
∴S球=4πR2=2500πcm2.
∴球的表面积为2500πcm2.
评述：(1)例1、例4解决的关键在于分析球半径与其内接长方体的对角线之间的关系，从而求出球半径.
(2)如果能注意到例3是一选择题，则除用以上方法计算求出答案外，还可以用估值方法作出判断：设球半径为R，球面积是S，根据棱锥和三角形的性质，有R=OAADAB=1,
∴S=4πR24π.∴可排除A、B、C.
显然，这种方法带给我们简洁、明快的感觉，同时也提高了做题的速度.
二、与圆锥的内切球有关的问题的处理方法
在遇到圆锥的内切球问题时，常常引进母线与底面所成的角为参数，使得圆锥的底面半径和高均可用这个参数表示出来，进而使问题获解.
［例6］如图所示，已知P是以AB为直径的半圆上的一点，过P作半圆的切线，分别交直径BA的延长线于S点，交过B的半圆的切线于C点，将图形绕SB旋转一周，得到一个圆锥和一个球，若球的表面积为4π,求当圆锥的体积最小时，该圆锥的表面积.
分析：求出圆锥体积最小时的圆锥形状是解决问题的关键，而圆锥的体积则与它的底面半径及高有关，因此需要由已知条件列出圆锥体积与其底面半径和高的函数关系，使问题得到解决.
解：图中SDC为圆锥的轴截面，设球半径为r,∵S球=4π,∴r=1.
连结OC，设∠SCB=2θ，则∠OCD=θ,
∴圆锥底面半径BC=cotθ,圆锥的高SB=cotθtan2θ,
圆锥的体积V=π(cotθ)2tan2θcotθ=.
由02θ,∴0θ.
∴tan2θ1,1-tan2θ0.
由0tan2θ(1-tan2θ)≤()2=,当且仅当1-tan2θ=tan2θ,即tanθ=时“=”成立.
当圆锥底面半径BC=cotθ=,高SD=cotθtan2θ=4时，圆锥体积取得最小值.
此时，圆锥表面积S=πBC2+πBCSC=π()2+π=8π.
评述：(1)以上例题中，通过设圆锥母线与底面所成角为２θ，使圆锥的底面半径与高均可用θ表示出来，将体积化为θ的函数，再运用平均不等式求最值.
(2)运用平均不等式求最值时，要注意其条件，特别是取等号的条件不可忽视.
(3)对于以上tan2θ(1-tan2θ),也可用二次函数求它的最大值，从而得到体积的最小值.而圆锥的形状也可由SA的大小决定，设为x，则圆锥的高为x+2,底面半径也用x表示.
∵BC=PC，SP2=SASB,
∴BC=.
∴V=π()2(x+2).
当V取最小值时，x=2.
(4)对本课时教案例2的处理也可用以下方法得到处理：
设圆锥底面半径为r,母线长为l,内切球半径为R，设∠OAO1=θ，则由切线的性质可得∠SAO=∠OAO1=θ,∠SAO1=2θ,
∴r=Rcotθ,l==.
∴πR2cot2θ+πRcotπ=24πR2.
∴cot2θ+=8.∴1+=8tan2θ,
即=8.
∴9cos22θ-6cos2θ+1=0.
∴cos2θ=.
∴===3.
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与球有关的综合问题的解决方法
与球有关的综合问题，常常体现在球与
其他几何体相接切问题中，它是知识与能力的结合，要求我们对球的定义及其性质熟练掌握,并要注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，达到巩固知识、提升能力的目的.下面通过对例题的分析，体会其中的数学思想与方法.
［例题］圆锥的内切球半径为r,求圆锥体积的最小值.
分析：通过作圆锥的轴截面及它截内切球所得的截面圆，寻找圆锥与球之间的主要元素关系，使问题获解.
解：如图，设圆锥母线与底面所成的角为2α，则圆锥的底面半径R=,
高h=Rtan2α==.
圆锥的体积V=πR2h=π
=πr3≥πr3=πr3.
当且仅当tan2α=1-tan2α,
即tanα=,α=arctan时，取等号.
又∵0α,∴arctan∈(0,).
∴V的最小值为r3.
评述：解决这个问题的关键是通过作一个合适的截面，使空间问题转化为平面问题.
相关知识
圆柱、圆锥、圆台和球
总课题
空间几何体
总课时
第2课时
分课题
圆柱、圆锥、圆台和球
分课时
第2课时
教学目标
了解圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念．认识圆柱、圆锥、圆台和球及其简单组合体的机构特征．
重点难点
圆柱、圆锥、圆台和球的概念的理解．1引入新课
1．下面几何体有什么共同特点或生成规律？
2．图中的几何体可由一平面图形绕轴旋转形成，该平面图形是（）
A
B
C
D
3．用平行与圆柱底面的平面截圆柱，截面是_____________________________________．
4．_____________________可以看作圆柱的一个底面收缩为圆心时，形成的空间几何体．
5．用平行于圆锥底面的一平面去截此圆锥，则底面和截面间的部分的名称是_________．
6．如图是一个圆台，请标出它的底面、轴、母线，并指出它是怎样生成的．
二提高题
7．请指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．三能力题
8．如图，将直角梯形绕、边所在直线旋转一周，由此形成的几何体分别是由哪些简单几何体构成的？
A
D
C
B
图1
A
图2
D
B
C
球的表面积与体积
第三课时球的表面积与体积
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解球的表面积与体积公式（不要求记忆公式）.
（2）培养学生空间想象能力和思维能力.
2．过程与方法
通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系.
3．情感、态度与价值
让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣.
（二）教学重点、难点
重点：球的表面积与体积的计算
难点：简单组合体的体积计算
（三）教学方法
讲练结合
教学过程教学内容师生互动设计意图
新课引入复习柱体、锥体、台体的表面积和体积，点出主题.师生共同复习，教师点出点题（板书）复习巩固
探索新知1．球的体积：
2．球的表面积：
师：设球的半径为R，那么它的体积：，它的面积现在请大家观察这两个公式，思考它们都有什么特点？
生：这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R惟一确定.其中球的体积是半径R的三次函数，球的表面积是半径R的二次函数.
师(肯定)：球的体积公式和球的表面积公式以后可以证明.这节课主要学习它们的应用.加强对公式的认识培养学生理解能力
典例分析例1如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的；
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
证明：（1）设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R，高为2R.
因为，
，
所以，.
（2）因为，
，
所以，S球=S圆柱侧.
例2球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台的体积之比为（）
A．6:13B．5:14
C．3:4D．7:15
【解析】如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆O内切于梯形ABCD.
设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1、r2，由平面几何知识知，圆台的高为2R，母线长为r1+r2.
∵∠AOB=90°，OE⊥AB(E为切点)，
∴R2=OE2=AEBE=r1r2.
由已知S球∶S圆台侧=4R2∶(r1+r2)2=3∶4
(r1+r2)2=
V球∶V圆台=
=故选A.
例3在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA=PB=PC=a，求这个球的体积.
解：∵PA、PB、PC两两垂直，
PA=PB=PC=a.
∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体.
又∵P、A、B、C四点是球面上四点，
∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径.
∴.
∴
教师投影例1并读题，学生先独立完成.教师投影答案并点评（本题联系各有关量的关键性要素是球的半径）
教师投影例2并读题，
师：请大家思考一下这道题中组合体的结构特征.
生：球内切于圆台.
师：你准备怎样研究这个组合体？
生：画出球和圆台的轴截面.
师：圆台的高与球的哪一个量相等？
生：球的直径.
师：根据球和圆台的体积公式，你认为本题解题关键是什么？
生：求出球的半径与圆台的上、下底面半径间的关系.
师投影轴截面图，边分析边板书有关过程.
师：简单几何体的切接问题，包括简单几何体的内外切和内外接，在解决这类问题时要准确地画出它们的图形，一般要通过一些特殊点，如切点，某些顶点，或一些特殊的线，如轴线或高线等，作几何体的截面，在截面上运用平面几何的知识，研究有关元素的位置关系和数量关系，进而把问题解决.
教师投影例3并读题，学生先思考、讨论，教师视情况控制时间，给予引导，最后由学生分析，教师板书有关过程.
师：计算球的体积，首先必须先求出球的半径.由于PA、PB、PC是两两垂直的而且相等的三条棱，所以P–ABC可以看成一个正方体的一角，四点P、A、B、C在球上，所以此球可视为PA、PB、PC为相邻三条棱的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线.本题较易，学生独立完成，有利于培养学生问题解决的能力.
通过师生讨论，突破问题解决的关键，培养学生空间想象能力和问题解决的能力.
本题有两种解题方法，此处采用构造法解题，目标培养学生联想，转化化归的能力.另一种方法，因要应用球的性质，可在以后讨论.
随堂练习1．（1）将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的几倍？
（2）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是acm，求球的体积.
（3）一个球的体积是100cm2，试计算它的表面积(取3.14，结果精确到1cm2，可用计算器).
参考答案：
1．（1）8倍；（2）（3）104.学生独立完成巩固所学知识
归纳总结1．球的体积和表面积
2．等积变换
3．轴截面的应用学生独立思考、归纳，然后师生共同交流、完善归纳知识，提高学生自我整合知识的能力.
课后作业1.3第三课时习案学生独立完成固化练习
提升能力
备用例题
例1．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，求球面面积与球的体积．
【分析】可以用球的截面性质。即截面小圆的圆心到球心的线段垂直于截面小圆平面．
【解析】如图，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于O1，由于OA=OB=OC=R，则O1是△ABC的外心．
设M是AB的中点，由于AC=BC，则O1∈CM．
设O1M=x，易知O1M⊥AB，则O1A=，O1C=CM–O1M=–x
又O1A=O1C
∴．解得
则O1A=O1B=O1C=．
在Rt△OO1A中，O1O=，∠OO1A=90°，OA=R，
由勾股定理得．解得．
故．
例2．如图所示棱锥P–ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=，且PD是四棱锥的高．
（1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；
（2）求四棱锥外接球的半径．
【分析】（1）当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积分割法求解．（2）四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五点的距离均为半径，只要找出球心的位置即可．球心O在过底面中心E且垂直于底面的垂线上．
【解析】（1）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R．
，
，
，
S□ABCD=a2．
VP–ABCD=VS–PDA+VS–PDC+VS–ABCD+VS–PAB+Vs–PBC，
，
，
所以，，
即球的最大半径为．
（2）法一：设PB的中点为F．
因为在Rt△PDB中，FP=FB=FD，
在Rt△PAB中，FA=FP=FB，
在Rt△PBC中，FP=FB=FC，
所以FP=FB=FA=FC=FD．
所以F为四棱锥外接球的球心，则FP为外接球的半径．
法二：球心O在如图EF上，设OE=x，EA=，
又
即球心O在PB中点F上．
【评析】方法二为求多面体（底面正多面边形）外接球半径的通法；求多面体内切球半径经常采用体积分割求和方法．
柱、锥、台、球的结构特征教案
作为老师的任务写教案课件是少不了的，大家正在计划自己的教案课件了。各行各业都在开始准备新的教案课件工作计划了，才能更好的在接下来的工作轻装上阵！你们清楚教案课件的范文有哪些呢？以下是小编为大家收集的“柱、锥、台、球的结构特征教案”仅供参考，希望能为您提供参考！
第一课时柱、锥、台、球的结构特征
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）通过实物操作，增强学生的直观感知.
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类.
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征.
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类.
2．过程与方法
（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征.
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识.
3．情感、态度与价值观
（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力.
（2）培养学生的空间想象能力和抽象概括能力.
（二）教学重点、难点
重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征.
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括.
（三）教学方法
通过提出问题，学生观察空间实物及模型，先独立思考空间几何体的结构特征，然后相互讨论、交流，最后得出完整结论.
教学环节教学内容师生互动设计意图
复习引入1．小学与初中在平面上研究过哪些几何图形？在空间范围上研究过那些？
2．你能根据某种标准对下列几何体进行分类吗？（展示具有柱、锥、台、球结构的空间物体）1．学生回忆，相互交流教师对学生给予及时评价.
2．教师对学生分类进行整理。分类多面体和旋转体分类，分类二按柱、锥、台、球分类以旧导新
棱柱的结构特征1．观察教科书第2页中和图（2）、（5）、（7）、（9），它们各自的特点是什么？在归纳的过程中，可引导学生从围成几何体的面的特征去观察，从而得出棱柱的主要结构特征.
1．有两个面互相平行；
2．其余各面都是平行四边形；
3．每相邻两个四边形的公共边互相平行.
引出棱柱概念之前，应注意对具体的棱柱的特点进行充分分析，让学生能够经历共同特点的概括过程.
在得到棱柱的结构特征后教师归结棱柱定义，并结合图形认识棱柱有关概念.从分析具体棱柱的特点出发，通过概括共同特点得出棱柱的结构特征.
例1如图，过BC的截面截去长方形的一角，所得的几何体是不是棱柱？
解析：以A′ABB′和D′DCC′为底即知所得几何体是棱柱.
例2观察螺杆头部模型，有多少对平行的平面？能作为棱柱底面的有几对？
解析：略
教师投影例一并读题.
有的学生可能会认为不是棱柱，因为如果选择上下两平面为底，则不符合棱柱结构特征的第二条.
引导学生讨论：如何判定一个几何体是不是棱柱？
教学时应当把学生的注意力引导到用概念进行判断上来，即看所给的几何体是否符合棱柱定义的三个条件.
教师投影例2并读题.
教师引导学生分析得出，平行平面共有四对，但能作为棱柱底面的只有一对，即上下两个平行平面.
引导学生探究：棱柱的哪些平行的面能作为底面，此时侧面是什么？哪些平行的平面不能作为底面？通过改变棱柱放置的位置（变式），引导学生应用概念判别几何体.加深对棱柱结构特征的认识.
棱锥的结构特征1．观察教材节2页的图（14）（15）它们有什么共同特征？
2．请类比棱柱、得出相关概念，分类及表示.学生进行观察、讨论、然后归纳，教师注意引导，整理.得出棱锥的结构特征，有关概念分类及表示方法.
棱锥的结构特征：
1．有一个面是多边形.
2．其余各面都是有一个公共点的三分形.从分析具体棱锥出发，通过概括棱锥的共同特点，得出棱锥的结构特征.
棱台的结构特征1．观察教材第2页中图（13）、（16），思考它们可以怎样得到？有什么共同特征？
2．请仿照棱锥中关于侧面、侧棱、顶点的定义，给棱台相关概念下定义.教师在学生讨论中可引导学生思考棱台可以怎样得到，从而迅速得出棱台的结构特征.
由一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分.突出棱台的形成过程，把握棱台的结构特征.
圆柱的结构特征观察下面这个几何体（圆柱）及得到这种几何体的方法，思考它与棱柱的共同特点，给它定个名称并下定义.
教师演示，学生观察，然后学生给出圆柱的名称及定义，教师给出侧面、底面、轴的定义.
以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转而成的面所围成的旋转体叫做圆柱.
圆柱和棱锥统称为柱体.
突出圆柱的形成过程，把握圆柱的结构特征.
圆锥的结构特征1．观察下面这个几何体（圆锥）及得到这种几何体的方法，思考它与棱锥的共同特点，给它定个名称并下定义.
2．能否将轴改为斜边？以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体.
圆锥与棱锥统称为锥体.突出圆锥的形成过程，把握圆锥的结构特征.
圆台的结构特征下面这种几何体称为圆台，请思考圆台可以用什么办法得到？请在教材图11-9上标上圆台的轴、底面、侧面、母线.
学生1：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分.
学生2：以直角梯形，垂直于底面的腰为旋转轴，其余各边旋转形成的面所围成的旋转体（教师演示）
师：棱台与圆台统称为台体.开放性设计，学生推理与教师演示结合，培养学生思维发散性与灵活性，加深学生对概念理解.
球的结构特征观察球的模型，思考球可以用什么办法得到？球上的点有什么共同特点.
学生1：以半圆的直径所在直线为旋转思，半圆面旋转一圆形的旋转体叫做球体，简称球.（教师演示）
学生2：球上的点到求心的距离等于定长.
教师讲解球的球心、半径、直径、表示方法.开放性设计，学生推理与教师演示结合，培养学生思维发散性与灵活性，加深学生对概念理解.
归纳总结简单几何体的结构特征及有关概念.学生总结，然后老师补充.回顾反思、归纳知识、提升学生知识、整合能力.
课后作业1.1第一课时习案学生独立完成巩固知识
提升能力
备用例题
例1下列命题中错误的是（）
A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆
D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形
【解析】圆锥的母线长相长，设为l，若圆锥截面三角形顶角为，圆锥轴截面三角形顶角为，则0＜≤.当≤90°时，截面面积S=≤.当90°＜＜180°时.截面面积S≤，故选B.
例2根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.
（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；
（2）一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形.
【分析】要判断几何体的类型，首先应熟练掌握各类几何体的结构特征.
【解析】（1）如图1，该几何体满足有两个面平行，其余六个面都是矩形，可使每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱.
（2）如图2，等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形，每个直角梯形旋转180°形成半个圆台，故该几何体为圆台.
点评：对于不规则的平面图形绕轴旋转问题，要对原平面图形作适当的分割，再根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征进行判断.
例3把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1:4，母线长是10cm，求圆锥的母线长.
【分析】画出圆锥的轴截面，转化为平面问题求解.
【解析】设圆锥的母线长为ycm，圆台上、下底面半径分别是xcm、4xcm.作圆锥的轴截面如图.在Rt△SOA中，O′A′∥OA，∴SA′∶SA=O′A′∶OA，即（y-10）∶y=x∶4x.∴y=13.
∴圆锥的母线长为13cm
【点评】圆柱、圆锥、圆台可以看做是分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体，其轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素，处理旋转体的有关问题一般要作出轴截面.
球的体积和表面积
球的体积和表面积
课型：新授课
一.教学目标
1.知识与技能
⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
2.过程与方法
通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝πR3和面积公式Ｓ＝４πR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。
3.情感与价值观
通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。
二.教学重点、难点
重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
三.学法和教学用具
１．学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。
２．教学用具：多媒体课件
四.教学设计
（一）创设情景
⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。
⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。
（二）探究新知
1．球的体积：
如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。
步骤：
第一步：分割
如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为，底面是“小圆片”的底面。
如图：
得
第二步：求和
第三步：化为准确的和
当n→∞时，→0（同学们讨论得出）
所以
得到定理：半径是Ｒ的球的体积
练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3)
2．球的表面积：
球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。
思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？
半径为R的球的表面积为Ｓ＝４πR2
练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是。（答案50元）
（三）体积公式的实际应用：
例①：一种空心钢球的质量是142g，外径是5.0cm，求它的内径.（钢密度7.9g/cm3）
讨论：如何求空心钢球的体积？
→列式计算→小结：体积应用问题.
②有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度.
③探究阿基米德的科学发现：图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的，球的表面积也是圆柱全面积的.
五、课堂小结：
本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。
六、作业：1、P28练习1、2、3
2、⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为，表面积比为。
（答案：；3：1）
⑵在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积。（答案：2500πcm2）
七、课后记：
