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高中向量的教案

发表时间:2020-11-12

高二数学平面向量数量积的物理背景及含义。

一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备,作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容,让教师能够快速的解决各种教学问题。那么如何写好我们的教案呢?以下是小编为大家收集的“高二数学平面向量数量积的物理背景及含义”欢迎大家阅读,希望对大家有所帮助。

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的:
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;
3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题;
4.掌握向量垂直的条件.
教学重点:平面向量的数量积定义
教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
教学过程:
一、复习引入:
(1)两个非零向量夹角的概念:
已知非零向量a与b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.
说明:(1)当θ=0时,a与b同向;
(2)当θ=π时,a与b反向;
(3)当θ=时,a与b垂直,记a⊥b;
(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围0≤≤180
(2)两向量共线的判定
(3)练习
1.若a=(2,3),b=(4,-1+y),且a∥b,则y=(C)
A.6B.5C.7D.8
2.若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则x的值为(B)?
A.-3B.-1C.1D.3
(4)力做的功:W=|F||s|cos,是F与s的夹角.
二、讲解新课:
1.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,
则数量|a||b|cos叫a与b的数量积,记作ab,即有ab=|a||b|cos,(0≤θ≤π).
并规定0向量与任何向量的数量积为0.
探究:1、向量数量积是一个向量还是一个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负?
2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别?
(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos的符号所决定.
(2)两个向量的数量积称为内积,写成ab;今后要学到两个向量的外积a×b,而ab是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.
(3)在实数中,若a0,且ab=0,则b=0;但是在数量积中,若a0,且ab=0,不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.
(4)已知实数a、b、c(b0),则ab=bca=c.但是ab=bca=c
如右图:ab=|a||b|cos=|b||OA|,bc=|b||c|cos=|b||OA|
ab=bc但ac
(5)在实数中,有(ab)c=a(bc),但是(ab)ca(bc)
显然,这是因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的向量,而一般a与c不共线.
2.“投影”的概念:作图
定义:|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量,不是向量;
当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;
当=0时投影为|b|;当=180时投影为|b|.
3.向量的数量积的几何意义:
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
探究:两个向量的数量积的性质:设a、b为两个非零向量,
1、abab=0
2、当a与b同向时,ab=|a||b|;当a与b反向时,ab=|a||b|.
特别的aa=|a|2或|ab|≤|a||b|cos=
探究:平面向量数量积的运算律
1.交换律:ab=ba
证:设a,b夹角为,则ab=|a||b|cos,ba=|b||a|cos∴ab=ba
2.数乘结合律:(a)b=(ab)=a(b)
证:若0,(a)b=|a||b|cos,(ab)=|a||b|cos,a(b)=|a||b|cos,
若0,(a)b=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos,(ab)=|a||b|cos,
a(b)=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos.
3.分配律:(a+b)c=ac+bc
在平面内取一点O,作=a,=b,=c,∵a+b(即)在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和,即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2
∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2,∴c(a+b)=ca+cb即:(a+b)c=ac+bc
说明:(1)一般地,(ab)с≠a(bс)
(2)aс=bс,с≠0a=b
(3)有如下常用性质:a2=|a|2,
(a+b)(с+d)=aс+ad+bс+bd
三、讲解范例:
例1.证明:(a+b)2=a2+2ab+b2
例2.已知|a|=12,|b|=9,,求与的夹角。
例3.已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60o求:(1)(a+2b)(a-3b).(2)|a+b|与|a-b|.
(利用)
例4.已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线,k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直.
四、课堂练习:
1.P106面1、2、3题。
2.下列叙述不正确的是()
A.向量的数量积满足交换律B.向量的数量积满足分配律
C.向量的数量积满足结合律D.ab是一个实数
3.|a|=3,|b|=4,向量a+b与a-b的位置关系为()
A.平行B.垂直C.夹角为D.不平行也不垂直
4.已知|a|=8,|b|=10,|a+b|=16,求a与b的夹角.
五、小结:
1.平面向量的数量积及其几何意义;
2.平面向量数量积的重要性质及运算律;
3.向量垂直的条件.
六、作业:《习案》作业二十三。

相关知识

高中数学必修四2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案


2.4平面向量的数量积
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
编审:周彦魏国庆
【学习目标】
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;
3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题;
【自学新知】
知识回顾:(1)两个非零向量夹角的概念:已知非零向量与,作=,=,则
∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫与的夹角.
说明:(1)当θ=0时,与同向;
(2)当θ=π时,与反向;
(3)当θ=时,与垂直,记⊥;
新知梳理:
1.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量与,它们的夹角是θ,则叫与的数量积,记作,即有=,(0≤θ≤π).并规定向量与任何向量的数量积为.

思考感悟:
1、向量数量积是一个向量还是一个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负?

2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别?
(1)两个向量的数量积是一个,不是向量,符号由的符号所决定.
(2)向量的数量积写成;符号“”既不能省略,也不能用“×”代替.
(3)在实数中,若,且,则b=0;但是在数量积中,若,且=0,不能推出=.因cos有可能为0.

2.“投影”的概念:
作图:
定义:||cos叫做向量在方向上的投影.

思考感悟:
投影不是向量,是一个数量。当为锐角时投影为值;当为钝角时投影为值,当为直角时投影为;当=0时投影为||;当=180时投影为||

3.向量的数量积的几何意义:
数量积等于与||cos的乘积.

4.两个向量的数量积的性质:设,为两个非零向量,
(1)=
(2)当与同向时,=,
当与反向时,=
特别的:=||2或;
||≤||||;
cos=
5.平面向量数量积的运算律
①交换律:=
②数乘结合律:()=()=()③分配律:(+)=+
说明:
(1)一般地,()≠()
(2)==
对点练习
1.下列叙述不正确的是()
A.向量的数量积满足交换律
B.向量的数量积满足分配律
C.向量的数量积满足结合律
D.是一个实数
2.||=3,||=4,向量+与-的位置关系为()
A.平行B.垂直
C.夹角为D.不平行也不垂直
3.已知|m→|=,n→=(cosθ,sinθ),m→n→=9,则m→,n→的夹角为()
A.150B.120
C.60D.30

4.已知,,,则向量在向量方向上的投影是___________,向量在向量方向上的投影是___________。

【合作探究】
典例精析:
例1.证明:

变式1.已知||=6,||=4,与的夹角为60o,求:
(1)(+2)(-3).
(2)|+|与|-|.

例2.已知||=12,||=9,,求与的夹角。

变式2.已知||=3,||=4,且与不共线,k为何值时,向量+k与-k互相垂直.

【课堂小结】

【当堂达标】
1.下列命题中:①若≠,且=,则=;②若=,则3<4;
③()=(),对任意向量,,都成立;④22=()2;正确命题的个数为____

2.若||=2sin15°,||=4cos375°、,夹角为30°,则为()
A.B.
C.D.

3.若||=||=|-|,则与+的夹角为()
A.30°B.60°
C.150°D.120°

4..已知、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|+3|=()
A.B.
C.D.4

【课时作业】
1.已知||=1,||=,且(-)与垂直,则与的夹角是()
A.60°B.30°
C.135°D.45°2.若向量的夹角为,,则向量的模

3.向量、满足(-)(2+)=-4,且||=2,||=4,则与夹角的余弦值等于
4、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,求AB→BC→.

5.已知||=8,||=10,|+|=16,求与的夹角.

6*.向量互相垂直,向量互相垂直,求与夹角。

7*.已知||=3,||=3,与夹角为,求使向量的夹角为锐角时,的取值范围。

8.(2012全国卷)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=10,则|b|=________.

【延伸探究】
已知平面上三个向量的模都是1,他们互相之间的夹角均是,
(1)求证:
()若,求得取值范围。

平面向量的数量积


俗话说,凡事预则立,不预则废。高中教师要准备好教案,这是教师工作中的一部分。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐,减轻高中教师们在教学时的教学压力。您知道高中教案应该要怎么下笔吗?下面是小编精心为您整理的“平面向量的数量积”,仅供您在工作和学习中参考。

课题:2.4平面向量的数量积(2)
班级:姓名:学号:第学习小组
【学习目标】
1、掌握平面向量数量积的坐标表示;
2、掌握向量垂直的坐标表示的等价条件。
【课前预习】
1、(1)已知向量和的夹角是,||=2,||=1,则(+)2=,|+|=。
(2)已知:||=2,||=5,=-3,则|+|=,|-|=。
(3)已知||=1,||=2,且(-)与垂直,则与的夹角为
2、设轴上的单位向量,轴上的单位向量,则=,=,=,=,若=,=,则=+.=+。
3、推导坐标公式:=。
4、(1)=,则||=___________;,则||=。
(2)=;(3)⊥;(4)//。
5、已知=,=,则||=,||=,=,
=;=。

【课堂研讨】
例1、已知=,=,求(3-)(-2),与的夹角。

例2、已知||=1,||=,+=,试求:
(1)|-|(2)+与-的夹角

例3、在中,设=,=,且是直角三角形,求的值。

【学后反思】
1、平面向量数量积的概念及其几何意义;2、数量积的性质及其性质的简单应用。

课题:2.4平面向量的数量积检测案(2)
班级:姓名:学号:第学习小组
【课堂检测】
1、求下列各组中两个向量与的夹角:
(1)=,=(2)=,=
2、设,,,求证:是直角三角形。
3、若=,=,当为何值时:
(1)(2)(3)与的夹角为锐角

【课后巩固】
1、设,,是任意的非零向量,且相互不共线,则下列命题正确的有:
①()-()=②||-|||-
|③()-()不与垂直④(3+4)(3-4)=9||2-16||2
⑤若为非零向量,=,且≠,则⊥(-)
2、若=,=且与的夹角为钝角,则的取值范围是。
3、已知=,则与垂直的单位向量的坐标为。
4、已知若=,=,则+与-垂直的条件是
5、的三个顶点的坐标分别为,,,判断三角形的形状。

6、已知向量=,||=2,求满足下列条件的的坐标。
(1)⊥(2)

7、已知向量=,=。
(1)求|+|和|-|;(2)为何值时,向量+与-3垂直?
(3)为何值时,向量+与-3平行?

8、已知向量,,,其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。
(1)若能构成三角形,求实数应满足的条件;
(2)是直角三角形,求实数的值。

课题:2.4平面向量的数量积(2)
班级:姓名:学号:第学习小组
【学习目标】
3、掌握平面向量数量积的坐标表示;
4、掌握向量垂直的坐标表示的等价条件。
【课前预习】
1、(1)已知向量和的夹角是,||=2,||=1,则(+)2=,|+|=。
(2)已知:||=2,||=5,=-3,则|+|=,|-|=。
(3)已知||=1,||=2,且(-)与垂直,则与的夹角为
2、设轴上的单位向量,轴上的单位向量,则=,=,=,=,若=,=,则=+.=+。
3、推导坐标公式:=。
4、(1)=,则||=___________;,则||=。
(2)=;(3)⊥;(4)//。
5、已知=,=,则||=,||=,=,
=;=。

【课堂研讨】
例1、已知=,=,求(3-)(-2),与的夹角。

例2、已知||=1,||=,+=,试求:
(1)|-|(2)+与-的夹角

例3、在中,设=,=,且是直角三角形,求的值。

【学后反思】
1、平面向量数量积的概念及其几何意义;2、数量积的性质及其性质的简单应用。

课题:2.4平面向量的数量积检测案(2)
班级:姓名:学号:第学习小组
【课堂检测】
1、求下列各组中两个向量与的夹角:
(1)=,=(2)=,=

2、设,,,求证:是直角三角形。
3、若=,=,当为何值时:
(1)(2)(3)与的夹角为锐角

【课后巩固】
1、设,,是任意的非零向量,且相互不共线,则下列命题正确的有:
①()-()=②||-|||-
|③()-()不与垂直④(3+4)(3-4)=9||2-16||2
⑤若为非零向量,=,且≠,则⊥(-)
2、若=,=且与的夹角为钝角,则的取值范围是。
3、已知=,则与垂直的单位向量的坐标为。
4、已知若=,=,则+与-垂直的条件是
5、的三个顶点的坐标分别为,,,判断三角形的形状。

6、已知向量=,||=2,求满足下列条件的的坐标。
(1)⊥(2)

7、已知向量=,=。
(1)求|+|和|-|;(2)为何值时,向量+与-3垂直?
(3)为何值时,向量+与-3平行?

8、已知向量,,,其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。
(1)若能构成三角形,求实数应满足的条件;
(2)是直角三角形,求实数的值。

高二数学平面向量数量积的运算律25


作为杰出的教学工作者,能够保证教课的顺利开展,作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来,帮助高中教师提高自己的教学质量。关于好的高中教案要怎么样去写呢?以下是小编为大家收集的“高二数学平面向量数量积的运算律25”供大家参考,希望能帮助到有需要的朋友。

第8课时
二、平面向量数量积的运算律
教学目的:
1.掌握平面向量数量积运算规律;
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题;
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题.
教学重点:平面向量数量积及运算规律.
教学难点:平面向量数量积的应用
授课类型:新授课
教具:多媒体、实物投影仪
内容分析:
启发学生在理解数量积的运算特点的基础上,逐步把握数量积的运算律,引导学生注意数量积性质的相关问题的特点,以熟练地应用数量积的性质.?
教学过程:
一、复习引入:
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量a与b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.
2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a||b|cos叫a与b的数量积,记作ab,即有ab=|a||b|cos,
(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0.
3.“投影”的概念:作图
定义:|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量,不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当=0时投影为|b|;当=180时投影为|b|.
4.向量的数量积的几何意义:
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
5.两个向量的数量积的性质:
设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.
1ea=ae=|a|cos;2abab=0
3当a与b同向时,ab=|a||b|;当a与b反向时,ab=|a||b|.特别的aa=|a|2或
4cos=;5|ab|≤|a||b|
二、讲解新课:
平面向量数量积的运算律
1.交换律:ab=ba
证:设a,b夹角为,则ab=|a||b|cos,ba=|b||a|cos
∴ab=ba
2.数乘结合律:(a)b=(ab)=a(b)
证:若0,(a)b=|a||b|cos,(ab)=|a||b|cos,a(b)=|a||b|cos,
若0,(a)b=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos,(ab)=|a||b|cos,
a(b)=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos.
3.分配律:(a+b)c=ac+bc
在平面内取一点O,作=a,=b,=c,∵a+b(即)在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和,即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2
∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2,∴c(a+b)=ca+cb即:(a+b)c=ac+bc
说明:(1)一般地,(ab)с≠a(bс)
(2)aс=bс,с≠0a=b
(3)有如下常用性质:a2=|a|2,
(a+b)(с+d)=aс+ad+bс+bd
(a+b)2=a2+2ab+b2
三、讲解范例:
例1已知a、b都是非零向量,且a+3b与7a5b垂直,a4b与7a2b垂直,求a与b的夹角.
解:由(a+3b)(7a5b)=07a2+16ab15b2=0①
(a4b)(7a2b)=07a230ab+8b2=0②
两式相减:2ab=b2
代入①或②得:a2=b2
设a、b的夹角为,则cos=∴=60
例2求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.
解:如图:平行四边形ABCD中,,,=
∴||2=
而=,
∴||2=
∴||2+||2=2=
例3四边形ABCD中,=a,=b,=с,=d,且ab=bс=сd=da,试问四边形ABCD是什么图形?
分析:四边形的形状由边角关系确定,关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.
解:四边形ABCD是矩形,这是因为:
一方面:∵a+b+с+d=0,∴a+b=-(с+d),∴(a+b)2=(с+d)2
即|a|2+2ab+|b|2=|с|2+2сd+|d|2
由于ab=сd,∴|a|2+|b|2=|с|2+|d|2①
同理有|a|2+|d|2=|с|2+|b|2②
由①②可得|a|=|с|,且|b|=|d|即四边形ABCD两组对边分别相等.
∴四边形ABCD是平行四边形
另一方面,由ab=bс,有b(a-с)=0,而由平行四边形ABCD可得a=-с,代入上式得b(2a)=0,即ab=0,∴a⊥b也即AB⊥BC.
综上所述,四边形ABCD是矩形.
评述:(1)在四边形中,,,,是顺次首尾相接向量,则其和向量是零向量,即a+b+с+d=0,应注意这一隐含条件应用;
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积,因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.
四、课堂练习:
1.下列叙述不正确的是()
A.向量的数量积满足交换律B.向量的数量积满足分配律
C.向量的数量积满足结合律D.ab是一个实数
2.已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,则(a+2b)(a-3b)等于()
A.72B.-72C.36D.-36
3.|a|=3,|b|=4,向量a+b与a-b的位置关系为()
A.平行B.垂直C.夹角为D.不平行也不垂直
4.已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为150°,则(a+b)2=.
5.已知|a|=2,|b|=5,ab=-3,则|a+b|=______,|a-b|=.
6.设|a|=3,|b|=5,且a+λb与a-λb垂直,则λ=.
五、小结(略)
六、课后作业(略)
七、板书设计(略)
八、课后记:

2018人教A版高中数学必修4.1平面向量数量积的物理背景及其含义讲义


2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
预习课本P103~105,思考并完成以下问题
(1)怎样定义向量的数量积?向量的数量积与向量数乘相同吗?
(2)向量b在a方向上的投影怎么计算?数量积的几何意义是什么?
(3)向量数量积的性质有哪些?
(4)向量数量积的运算律有哪些?
[新知初探]
1.向量的数量积的定义
(1)两个非零向量的数量积:
已知条件向量a,b是非零向量,它们的夹角为θ
定义a与b的数量积(或内积)是数量|a||b|cosθ
记法a·b=|a||b|cosθ
(2)零向量与任一向量的数量积:
规定:零向量与任一向量的数量积均为0.
[点睛](1)两向量的数量积,其结果是数量,而不是向量,它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积,其符号由夹角的余弦值来决定.
(2)两个向量的数量积记作a·b,千万不能写成a×b的形式.
2.向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念:
①向量b在a的方向上的投影为|b|cosθ.
②向量a在b的方向上的投影为|a|cosθ.
(2)数量积的几何意义:
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
[点睛](1)b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ是a与b的夹角),也可以写成a·b|a|.
(2)投影是一个数量,不是向量,其值可为正,可为负,也可为零.
3.向量数量积的性质
设a与b都是非零向量,θ为a与b的夹角.
(1)a⊥ba·b=0.
(2)当a与b同向时,a·b=|a||b|,
当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
(3)a·a=|a|2或|a|=a·a=a2.
(4)cosθ=a·b|a||b|.
(5)|a·b|≤|a||b|.
[点睛]对于性质(1),可以用来解决有关垂直的问题,即若要证明某两个向量垂直,只需判定它们的数量积为0;若两个非零向量的数量积为0,则它们互相垂直.
4.向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a(交换律).
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
[点睛](1)向量的数量积不满足消去律:若a,b,c均为非零向量,且a·c=b·c,但得不到a=b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c),因为a·b,b·c是数量积,是实数,不是向量,所以(a·b)·c与向量c共线,a·(b·c)与向量a共线,因此,(a·b)·c=a·(b·c)在一般情况下不成立.
[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积仍然是向量.()
(2)若a·b=b·c,则一定有a=c.()
(3)若a,b反向,则a·b=-|a||b|.()
(4)若a·b=0,则a⊥b.()
答案:(1)×(2)×(3)√(4)×
2.若|a|=2,|b|=12,a与b的夹角为60°,则a·b=()
A.2B.12
C.1D.14
答案:B
3.已知|a|=10,|b|=12,且(3a)·15b=-36,则a与b的夹角为()
A.60°B.120°
C.135°D.150°
答案:B
4.已知a,b的夹角为θ,|a|=2,|b|=3.
(1)若θ=135°,则a·b=________;
(2)若a∥b,则a·b=________;
(3)若a⊥b,则a·b=________.
答案:(1)-32(2)6或-6(3)0
向量数量积的运算

[典例](1)已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2,求:①a·b;②(a+b)·
(a-2b).

(2)如图,正三角形ABC的边长为2,=c,=a,=b,求a·b+b·c+c·a.
[解](1)①由已知得a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-4.
②(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=16-(-4)-2×4=12.
(2)∵|a|=|b|=|c|=2,且a与b,b与c,c与a的夹角均为120°,
∴a·b+b·c+c·a=2×2×cos120°×3=-3.
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键.
(2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法
运算.

[活学活用]
已知|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为120°,求:
(1)a·b;(2)a2-b2;
(3)(2a-b)·(a+3b).

解:(1)a·b=|a||b|cos120°=3×4×-12=-6.
(2)a2-b2=|a|2-|b|2=32-42=-7.
(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2
=2|a|2+5|a||b|·cos120°-3|b|2
=2×32+5×3×4×-12-3×42=-60.
与向量的模有关的问题

[典例](1)(浙江高考)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=12.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|=________.
(2)已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=10,则|b|=________.
[解析](1)令e1与e2的夹角为θ,
∴e1·e2=|e1|·|e2|cosθ=cosθ=12.
又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.
∵b·(e1-e2)=0,
∴b与e1,e2的夹角均为30°,
∴b·e1=|b||e1|cos30°=1,
从而|b|=1cos30°=233.
(2)∵a,b的夹角为45°,|a|=1,
∴a·b=|a||b|cos45°=22|b|,
|2a-b|2=4-4×22|b|+|b|2=10,∴|b|=32.
[答案](1)233(2)32
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方.
(2)a·a=a2=|a|2或|a|=a2,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.

[活学活用]
已知向量a,b满足|a|=|b|=5,且a与b的夹角为60°,求|a+b|,|a-b|,|2a+b|.
解:∵|a+b|2=(a+b)2=(a+b)(a+b)
=|a|2+|b|2+2a·b=25+25+2|a||b|cos60°
=50+2×5×5×12=75,
∴|a+b|=53.
∵|a-b|2=(a-b)2=(a-b)(a-b)
=|a|2+|b|2-2a·b
=|a|2+|b|2-2|a||b|cos60°=25,
∴|a-b|=5.
∵|2a+b|2=(2a+b)(2a+b)
=4|a|2+|b|2+4a·b
=4|a|2+|b|2+4|a||b|cos60°=175,
∴|2a+b|=57.

两个向量的夹角和垂直
题点一:求两向量的夹角
1.(重庆高考)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为()
A.π3B.π2
C.2π3D.5π6
解析:选C∵a⊥(2a+b),∴a·(2a+b)=0,
∴2|a|2+a·b=0,
即2|a|2+|a||b|cos〈a,b〉=0.
∵|b|=4|a|,∴2|a|2+4|a|2cos〈a,b〉=0,
∴cos〈a,b〉=-12,∴〈a,b〉=2π3.
题点二:证明两向量垂直
2.已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)⊥(a-b).
证明:∵|2a+b|=|a+2b|,
∴(2a+b)2=(a+2b)2.
即4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2,
∴a2=b2.
∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.
又a与b不共线,a+b≠0,a-b≠0,
∴(a+b)⊥(a-b).
题点三:利用夹角和垂直求参数
3.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3且向量3a+2b与ka-b互相垂直,则k的值为()
A.-32B.32
C.±32D.1
解析:选B∵3a+2b与ka-b互相垂直,
∴(3a+2b)·(ka-b)=0,
∴3ka2+(2k-3)a·b-2b2=0.
∵a⊥b,∴a·b=0,
又|a|=2,|b|=3,
∴12k-18=0,k=32.

求向量a与b夹角的思路
(1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|,在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ=a·b|a||b|,最后借助θ∈[0,π],求出θ的值.
(2)在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元思想计算cosθ的值.

层级一学业水平达标
1.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角θ为()
A.π6B.π4
C.π3D.π2
解析:选C由题意,知a·b=|a||b|cosθ=4cosθ=2,又0≤θ≤π,所以θ=π3.
2.已知|b|=3,a在b方向上的投影为32,则a·b等于()
A.3B.92
C.2D.12
解析:选B设a与b的夹角为θ.∵|a|cosθ=32,
∴a·b=|a||b|cosθ=3×32=92.
3.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c与d垂直,则k的值为()
A.-6B.6
C.3D.-3
解析:选B∵c·d=0,
∴(2a+3b)·(ka-4b)=0,
∴2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0,
∴2k=12,∴k=6.
4.已知a,b满足|a|=4,|b|=3,夹角为60°,则|a+b|=()
A.37B.13
C.37D.13
解析:选C|a+b|=a+b2=a2+2a·b+b2
=42+2×4×3cos60°+32=37.
5.在四边形ABCD中,=,且·=0,则四边形ABCD是()
A.矩形B.菱形
C.直角梯形D.等腰梯形
解析:选B∵=,即一组对边平行且相等,·=0,即对角线互相垂直,∴四边形ABCD为菱形.
6.给出以下命题:
①若a≠0,则对任一非零向量b都有a·b≠0;
②若a·b=0,则a与b中至少有一个为0;
③a与b是两个单位向量,则a2=b2.
其中,正确命题的序号是________.
解析:上述三个命题中只有③正确,因为|a|=|b|=1,所以a2=|a|2=1,b2=|b|2=1,故a2=b2.当非零向量a,b垂直时,有a·b=0,显然①②错误.
答案:③
7.设e1,e2是两个单位向量,它们的夹角为60°,则(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=________.
解析:(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=-6e21+7e1·e2-2e22=-6+7×cos60°-2=-92.
答案:-92
8.若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为________.
解析:∵c⊥a,∴c·a=0,
∴(a+b)·a=0,即a2+a·b=0.
∵|a|=1,|b|=2,∴1+2cos〈a,b〉=0,
∴cos〈a,b〉=-12.
又∵0°≤〈a,b〉≤180°,∴〈a,b〉=120°.
答案:120°
9.已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量,a=2e1+e2,b=2e2-3e1,求a与b的
夹角.
解:因为|e1|=|e2|=1,
所以e1·e2=1×1×cos60°=12,
|a|2=(2e1+e2)2=4+1+4e1·e2=7,故|a|=7,
|b|2=(2e2-3e1)2=4+9-12e1·e2=7,故|b|=7,
且a·b=-6e21+2e22+e1·e2=-6+2+12=-72,
所以cos〈a,b〉=a·b|a|·|b|=-727×7=-12,
所以a与b的夹角为120°.
10.已知|a|=2|b|=2,且向量a在向量b方向上的投影为-1.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求(a-2b)·b;
(3)当λ为何值时,向量λa+b与向量a-3b互相垂直?
解:(1)∵|a|=2|b|=2,
∴|a|=2,|b|=1.
又a在b方向上的投影为|a|cosθ=-1,
∴a·b=|a||b|cosθ=-1.
∴cosθ=-12,∴θ=2π3.
(2)(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.
(3)∵λa+b与a-3b互相垂直,
∴(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2
=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,∴λ=47.
层级二应试能力达标
1.已知|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为π3,则向量m=a-4b的模为()
A.2B.23
C.6D.12
解析:选B|m|2=|a-4b|2=a2-8a·b+16b2=4-8×2×1×12+16=12,所以|m|=23.
2.在Rt△ABC中,C=90°,AC=4,则·等于()
A.-16B.-8
C.8D.16
解析:选D法一:因为cosA=ACAB,故·=||·||cosA=||2=16,故选D.
法二:在上的投影为||cosA=||,故·=||||cosA=||2=16,故选D.

3.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等,则|a-b|=()
A.1B.3
C.5D.3
解析:选C由于投影相等,故有|a|cos〈a,b〉=|b|cos〈a,b〉,因为|a|=1,|b|
=2,所以cos〈a,b〉=0,即a⊥b,则|a-b|=|a|2+|b|2-2a·b=5.
4.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E为BC的中点,则·=()
A.-3B.0
C.-1D.1
解析:选C·=AB―→+12AD―→·(-)
=12·-||2+12||2
=12×2×2×cos60°-22+12×22=-1.
5.设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是________.
解析:法一:由a+b+c=0得c=-a-b.
又(a-b)·c=0,∴(a-b)·(-a-b)=0,即a2=b2.
则c2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=a2+b2=2,
∴|a|2+|b|2+|c|2=4.
法二:如图,作==a,
=b,则=c.
∵a⊥b,∴AB⊥BC,
又∵a-b=-=,
(a-b)⊥c,∴CD⊥CA,
所以△ABC是等腰直角三角形,
∵|a|=1,∴|b|=1,|c|=2,∴|a|2+|b|2+|c|2=4.
答案:4
6.已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=4,12a+b·(2a-3b)=12,则|b|=________;b在a方向上的投影等于________.
解析:12a+b·(2a-3b)=a2+12a·b-3b2=12,即3|b|2-2|b|-4=0,解得|b|=2(舍负),b在a方向上的投影是|b|cos45°=2×22=1.
答案:21
7.已知非零向量a,b,满足|a|=1,(a-b)·(a+b)=12,且a·b=12.
(1)求向量a,b的夹角;(2)求|a-b|.
解:(1)∵(a-b)·(a+b)=12,
∴a2-b2=12,
即|a|2-|b|2=12.
又|a|=1,
∴|b|=22.
∵a·b=12,
∴|a|·|b|cosθ=12,
∴cosθ=22,
∴向量a,b的夹角为45°.
(2)∵|a-b|2=(a-b)2
=|a|2-2|a||b|cosθ+|b|2=12,
∴|a-b|=22.
8.设两个向量e1,e2,满足|e1|=2,|e2|=1,e1与e2的夹角为π3,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
解:由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,
得2te1+7e2·e1+te2|2te1+7e2|·|e1+te2|0.即
(2te1+7e2)·(e1+te2)0,化简即得
2t2+15t+70,解得-7t-12.
当夹角为π时,也有(2te1+7e2)·(e1+te2)0,
但此时夹角不是钝角,
设2te1+7e2=λ(e1+te2),λ0,可得
2t=λ,7=λt,λ0,λ=-14,t=-142.
∴所求实数t的取值范围是
-7,-142∪-142,-12.