椭圆的参数方程学案。

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助高中教师更好的完成实现教学目标。你知道怎么写具体的高中教案内容吗？下面是小编为大家整理的“椭圆的参数方程学案”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

第04课时
2.2.1椭圆的参数方程
学习目标
1.通过学习椭圆的参数方程的建立，进一步熟悉建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解。
学习过程
一、学前准备
复习：1.直角坐标系下的椭圆的标准方程是什么？

2.点到直线的距离公式是怎样的？Www.JaB88.COm

3.你还记得下面一些三角公式的运算吗？试试看。
（1）
（2）=
（3）
（4）。

二、新课导学
◆探究新知（预习教材P27～P29，找出疑惑之处）
以原点O为圆心，，为半径分别作两个同心圆，设A为大圆上任一点，连接OA，与小圆交于B，过点A、B分别作轴，轴的垂线，两垂线交于点M，那么M点的轨迹是什么？（用几何画板考察）
设以为始边，为终边的角为，点的坐标是。那么点的横坐标为，点的纵坐标为，由于点均在角的终边上，由三角函数的定义有
，
当半径绕点旋转一周时，就得到了点的轨迹，它的参数方程是
这是中心在原点，焦点在轴上的椭圆.，通常规定参数的范围是，可以看出参数是点所对应的圆的半径（或）的旋转角（称为点的离心角）
◆应用示例
例1．在椭圆上求一点M，使点M到直线的距离最小，并求出最小距离。
（教材P28例1）
解：
◆反馈练习
1.椭圆的焦距等于（）
A、B、
C、D、

2.已知椭圆(为参数)
求（1）时对应的点P的坐标
（2）直线OP的倾斜角

三、总结提升
◆本节小结
1．本节学习了哪些内容？
答：学习椭圆的参数方程的建立，进一步熟悉建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解。
学习评价
一、自我评价
你完成本节导学案的情况为（）
A．很好B．较好C．一般D．较差

课后作业
1.一颗人造地球卫星的运行轨道是一个椭圆，长轴长为15565km，短轴长为15443km，取椭圆中心为坐标原点，求卫星轨道的参数方程。

2.已知椭圆上任一点M（除短轴端点外）与短轴两端点的连线分别与轴交于P,Q两点，O为椭圆的中心。求证：为定值。

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圆的参数方程学案

第02课时
2.1.2圆的参数方程
学习目标
1．通过求做匀速圆周运动的质点的参数方程，掌握求一般曲线的参数方程的基本步骤.
2.熟悉圆的参数方程，进一步体会参数的意义。
学习过程
一、学前准备
1.在直角坐标系中圆的标准方程和一般方程是什么？
二、新课导学
◆探究新知（预习教材P12～P16，找出疑惑之处）
如图：设圆的半径是，
点从初始位置（时的位置）出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，点绕点转动的角速度为，以圆心为原点，所在的直线为轴，建立直角坐标系。显然，点的位置由时刻惟一确定，因此可以取为参数。如果在时刻，点转过的角度是，坐标是，那么。设，那么由三角函数定义，有
即
这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中参数有明确的物理意义（质点作匀速圆周运动的时刻）。考虑到，也可以取为参数，于是有

◆应用示例
例1．圆的半径为2，是圆上的动点，是轴上的定点，是的中点，当点绕作匀速圆周运动时，求点的轨迹的参数方程.
（教材P24例2）
解：

◆反馈练习
1．下列参数方程中，表示圆心在，半径为1的圆的参数方程为（）
A、B、
C、D、
2、如图，设ABM为一钢体直杆，，A点沿轴滑动，B点沿轴滑动，则端点M的运动轨迹的参数方程为（）（提示：取为参数）
A、B、
C、D、

三、总结提升
◆本节小结
1．本节学习了哪些内容？
答：熟悉圆的参数方程，进一步体会参数的意义
学习评价
一、自我评价
你完成本节导学案的情况为（）
A．很好B．较好C．一般D．较差

课后作业
1．曲线上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（D）
A．B．C．1D．

2、动点M作匀速直线运动，它在轴和轴方向的分速度分别为和，直角坐标系的单位长度是，点M的起始位置在点处，求点M的轨迹的参数方程。

3、已知M是正三角形ABC的外接圆上的任意一点，求证为定值。

4.（选做题）已知是圆心在，半径为2的圆上任意一点，求的最大值和最小值。

直线的参数方程学案

第06课时
2、2、3直线的参数方程
学习目标
1．了解直线参数方程的条件及参数的意义；
2.初步掌握运用参数方程解决问题，体会用参数方程解题的简便性。
学习过程
一、学前准备
复习：
1、若由共线，则存在实数，使得，
2、设为方向上的，则=︱︱；
3、经过点，倾斜角为的直线的普通方程为。
二、新课导学
◆探究新知（预习教材P35～P39，找出疑惑之处）
1、选择怎样的参数，才能使直线上任一点M的坐标与点的坐标和倾斜角联系起来呢？由于倾斜角可以与方向联系，与可以用距离或线段数量的大小联系，这种“方向”“有向线段数量大小”启发我们想到利用向量工具建立直线的参数方程。
如图，在直线上任取一点，则=，
而直线
的单位方向
向量
=（，）
因为，所以存在实数，使得=，即有，因此，经过点
，倾斜角为的直线的参数方程为：

2.方程中参数的几何意义是什么？

◆应用示例
例1．已知直线与抛物线交于A、B两点，求线段AB的长和点到A，B两点的距离之积。（教材P36例1）
解：
例2．经过点作直线，交椭圆于两点，如果点恰好为线段的中点，求直线的方程.（教材P37例2）
解：

◆反馈练习
1.直线上两点A，B对应的参数值为，则=()
A、0B、
C、4D、2

2.设直线经过点，倾斜角为，
（1）求直线的参数方程；

（2）求直线和直线的交点到点的距离；

（3）求直线和圆的两个交点到点的距离的和与积。

三、总结提升
◆本节小结
1．本节学习了哪些内容？
答：1.了解直线参数方程的条件及参数的意义；
2.初步掌握运用参数方程解决问题，体会用参数方程解题的简便性。
学习评价
一、自我评价
你完成本节导学案的情况为（）
A．很好B．较好C．一般D．较差
课后作业
1．已知过点，斜率为的直线和抛物线相交于两点，设线段的中点为，求点的坐标。

2.经过点作直线交双曲线于两点，如果点为线段的中点，求直线的方程

3.过抛物线的焦点作倾斜角为的弦AB，求弦AB的长及弦的中点M到焦点F的距离。

曲线的参数方程

作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，高中教师要准备好教案，这是每个高中教师都不可缺少的。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃，帮助高中教师能够更轻松的上课教学。关于好的高中教案要怎么样去写呢？小编收集并整理了“曲线的参数方程”，相信能对大家有所帮助。

曲线的参数方程
教学目标
1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程；
2、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义；
3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中，形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。
教学重点
曲线参数方程的概念。
教学难点
曲线参数方程的探求。
教学过程
（一）曲线的参数方程概念的引入
引例：
2002年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。
已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，某游客现在点（其中点和转轴的连线与水平面平行）。问：经过秒，该游客的位置在何处?

引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决
（1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。）
（二）曲线的参数方程
1、圆的参数方程的推导
（1）一般的，设⊙的圆心为原点，半径为，所在直线为轴，如图，以为始边绕着点按逆时针方向绕原点以匀角速度作圆周运动，则质点的坐标与时刻的关系该如何建立呢？（其中与为常数，为变数）
结合图形，由任意角三角函数的定义可知：
为参数①
（2）点的角速度为，运动所用的时间为，则角位移，那么方程组①可以改写为何种形式？
结合匀速圆周运动的物理意义可得：为参数②
（在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力）
（3）方程①、②是否是圆心在原点，半径为的圆方程？为什么？
由上述推导过程可知：对于⊙上的每一个点都存在变数（或）的值，使，（或，）都成立。
对于变数（或）的每一个允许值，由方程组所确定的点都在圆上；
（1、对曲线的方程以及方程的曲线的定义进行必要的复习；2、学生从曲线的方程以及方程的曲线的定义出发，可以说明以上由变数（或）建立起来的方程是圆的方程；）
（4）若要表示一个完整的圆，则与的最小的取值范围是什么呢？
，
（5）圆的参数方程及参数的定义
我们把方程①（或②）叫做⊙的参数方程，变数（或）叫做参数。
（6）圆的参数方程的理解与认识
（ⅰ）参数方程与是否表示同一曲线？为什么？
（ⅱ）根据下列要求，分别写出圆心在原点、半径为的圆的部分圆弧的参数方程：
①在轴左侧的半圆（不包括轴上的点）；
②在第四象限的圆弧。
（通过具体问题的解决，加深对圆的参数方程的理解与认识，体会到参数的取值范围也是圆的参数方程的重要组成部分；并为曲线的参数方程的定义及其理解与认识作铺垫。）
（7）曲线的参数方程的定义
（ⅰ）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标、都是某个变数的函数③，并且对于的每一个允许值，由方程组③所确定的点都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程。变数叫做参变量或参变数，简称参数。
（ⅱ）相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标、间关系的方程叫做曲线的普通方程。
（8）曲线的参数方程的理解与认识
（ⅰ）参数方程的形式；
（横、纵坐标、都是变量的函数，给出一个能唯一的求出对应的、的值，因而得出唯一的对应点；但横、纵坐标、之间的关系并不一定是函数关系。）
（ⅱ）参数的取值范围；
（在表述曲线的参数方程时，必须指明参数的取值范围；取值范围的不同，所表示的曲线也可能会有所不同。）
（ⅲ）参数方程与普通方程的统一性；
（普通方程是相对参数方程而言的，普通方程反映了坐标变量与之间的直接联系，而参数方程是通过变数反映坐标变量与之间的间接联系；普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式；参数方程可以与普通方程进行互化。）
（ⅳ）参数的作用；
（参数作为间接地建立横、纵坐标、之间的关系的中间变量，起到了桥梁的作用。）
（ⅴ）参数的意义。
（如果参数选择适当，参数在参数方程中可以有明确的几何意义，也可以有明确的物理意义，可以给问题的解决带来方便。即使是同一条曲线，也可以用不同的变数作为参数。）
（三）巩固曲线的参数方程的概念
例题1：
（1）质点开始位于坐标平面内的点处，沿某一方向作匀速直线运
动。水平分速度厘米/秒，铅锤分速度厘米/秒，
（ⅰ）求此质点的坐标与时刻（秒）的关系；
（ⅱ）问5秒时质点所处的位置。
（2）写出经过定点，且倾斜角为的直线的参数方程。
问题：作出例题1中两小题的直线图像，判断它们的位置关系；从中你能得到什么启示呢？
（第一小题通过运动质点的位置与时间有关建立表现质点位置的参数方程；第二小题通过选取适当的参数建立直线的参数方程；从而使学生了解参数的选取有多种方法，同一曲线可以由不同的参数方程来表示。）
例题2：已知点在圆：上运动，求的最大值。
（通过普通方程化为参数方程求得函数的最值，使学生初步体验参数方程的作用与意义。）
（四）课堂小结
1、知识内容：知道圆的参数方程以及曲线参数方程的概念；能选取适当的参数建立参数方程；通过对圆和直线的参数方程的研究，理解其中参数的意义。
2、思想与方法：参数思想。
（引导学生回顾本节课的学习过程，小结与交流学习体会，包括数学知识的获得，数学思想方法的领悟。）
（五）作业
课本，练习17.1（1），第2、3题。
（六）思考
（1）若圆的一般方程为，你能写出它的一个参数方程吗？
（2）针对引例中的实际情况，游客总是从摩天轮的最低点登上转盘。若某游客登上转盘的时刻记为，则经过时间该游客的位置在何处？在引例所建立的坐标系下，你能否通过建立相对应的参数方程，并得到游客的具体位置呢？
教学设计说明
一、教材分析
本节课所用的教材是由上海教育出版社出版的上海市高中三年级（理科）数学课本，内容为第十七章第一节，第一课时。
“参数方程和极坐标方程”这一章节内容是在“圆锥曲线”这一章的基础上进一步展开研究曲线的方程。学习曲线的参数方程是为了进一步探讨直线、圆锥曲线的性质，也是进一步学习数学、运动学的基础，它在生产实践中有很多实际的应用。本章主要学习参数方程的基本概念、基本原理、基本方法，因此在教学中要求应适当，难度要控制，基本应以课本例题与习题为主。
通过本章节的教学应使学生感悟到现实世界的问题是多种多样的，仅用一种坐标系，一种方程来研究各种不同的问题是不适合的，有时难以获得满意的效果。参数方程有其自身的优越性，学习参数方程有其必要性。通过学习参数方程的有关概念，以及方程之间、坐标之间的互化，使学生感悟到坐标系及各种方程的表示方法是可以视实际需要，主观能动的加以选择的。
“曲线的参数方程”为本章节的第一部分。主要让学生了解参数方程的有关概念，通过探索圆锥曲线的参数方程初步掌握求曲线的参数方程的方法，并且在此基础上进行参数方程与普通方程的互化及其简单应用。
二、教学目标设计
根据以上分析，本节课设置的教学目标为：
1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程。
2、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义。
3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中，培养数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。
三、教学过程设计
我校是上海市示范型高中，我校的学生数学基础良好，思维活跃，具备一定的分析问题和自主探究能力。因此在教学设计中强调学生的自主探究，强调数学思想方法的渗透与运用，希望加深学生对知识本质的理解。
本课设置如下教学环节以体现重点，突破难点，实现教学目标。
1、作为曲线的参数方程的概念课，一味的灌输是不可取的。而是要让学生体会到为什么要建立曲线的参数方程，感受其产生的必要性、合理性以及可行性。因此，由“摩天轮”这一生活中的实例引入，一方面使学生了解参数方程是基于生产、生活发展的实际需要而产生的，在引发学生研究的兴趣时，通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究不同的问题不一定方便，往往难以获得满意的结果，从而了解研究曲线的参数方程的必要性；另一方面通过具体问题的解决，找到解决问题的途径，也为圆的参数方程的研究作必要的准备。
2、由特殊到一般，从具体到抽象。以“引导设问”为主线，学生通过对问题的思考和解答，体验学习过程，自主探索和获取知识，从而得到圆的参数方程。同时在探索的过程中也提高学生的数学抽象思维能力。
3、作为一堂概念课，学生对于概念的理解必须精确，深入，为后续课程打下扎实的基础，教师必须在这一环节进行深入的分析。
因此，在圆以及曲线的参数方程的概念引入之后，针对参数方程的形式、参数的取值范围、参数方程与普通方程的统一性、参数的作用以及参数的意义进行深入的理解与探讨。通过这一环节，学生活跃的思维逐步从感性上升到理性；同时，对于概念的理解得到巩固与深化。
通过加强师生交流、关注学生思维，把握课堂教学重点，让学生体验知识产生的原因，发展的过程及其应用的价值。
4、在本节课中，设计了适当的练习与例题。一方面可以巩固学生对曲线的参数方程概念的理解认识；另一方面通过简单的应用，使学生体会曲线的参数方程的作用及意义。
教学中通过教师的适当引导、启发，同时大胆地放手由学生自主探究、及时激励学生以体验问题解决的成功喜悦。
5、本节课的小结并不是由教师代为整理归纳，而是引导学生自主回顾本节课的学习过程，交流学习体会，包括数学知识的获得，数学思想方法的领悟，对学会学习、学会思考的感想等。一方面可以在学生交流的过程中及时发现问题并加以纠正；另一方面也锻炼了学生对知识的梳理和概括能力。
6、作为课堂教学的延续，两道思考题可让学生在课后进行自主探究，同时也为后续的参数方程与普通方程的互化以及参数方程的应用作准备。

参数方程与普通方程的互化学案

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来，有效的提高课堂的教学效率。优秀有创意的教案要怎样写呢？小编特地为大家精心收集和整理了“参数方程与普通方程的互化学案”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

第03课时
3.1.3参数方程与普通方程的互化
学习目标
1．明确参数方程与普通方程互化的必要性.
2．掌握参数方程化为普通方程的几种基本方法，能选取适当的参数化普通方程为参数方程.
学习过程
一、学前准备
复习：1、在解方程组中通常用的消元方法有哪些？

2.写出圆的参数方程，圆呢？

二、新课导学
◆探究新知（预习教材P24～P26，找出疑惑之处）
问题１：方程表示什么图形？

问题2：上节课例2中求出点的参数方程是，那么点的轨迹是什么？

小结：1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.
2.曲线的参数方程与普通方程一般可以互化.
◆应用示例
例1．把下列参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线：
（１）（为参数）
（２）（为参数）
例2.将椭圆普通方程按以下要求化为参数方程：（1）设

◆反馈练习
1．把下列的参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。
（1））

2．根据下列要求，把曲线的普通方程化为参数方程：
１）.

2）已知圆的方程，选择适当的参数将它化为参数方程.

三、总结提升
◆本节小结
1.消去参数的常用方法有：１）代入法
２）利用代数或三角函数中的恒等式消去参数.
2.互化中必须使的取值范围保持一致.
3.同一个普通方程可以有不同形式的参数方程.
学习评价
一、自我评价
你完成本节导学案的情况为（）
A．很好B．较好C．一般D．较差
二、当堂检测
1．曲线的一种参数方程是（）.

2．在曲线上的点为（）
A．(2,7)B．C．D．(1,0)
3.曲线的轨迹是（）
A．一条直线B．一条射线
C．一个圆D．一条线段
4．方程表示的曲线是（）
A．余弦曲线B．与x轴平行的线段
C．直线D．与y轴平行的线段
课后作业
.1.已知圆方程，选择适当的参数将它化为参数方程.

2.把下列的参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。
（1）

（2）

3.（选做）化下列普通方程为参数方程：
反思小结：