高中抛物线教案

发表时间：2020-11-12

抛物线的定义在解题中的应用。

作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，高中教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助高中教师掌握上课时的教学节奏。高中教案的内容要写些什么更好呢？下面是小编为大家整理的“抛物线的定义在解题中的应用”，希望对您的工作和生活有所帮助。

抛物线的定义在解题中的应用
抛物线的定义是圆锥曲线部分的重要概念，在解题中有着重要的应用，本文将抛物线的第一定义在解题中的应用作以介绍，供同学们学习时参考.
一、利用抛物线定义求轨迹方程
例1求与圆C：外切，且与直线相切的动圆圆心M的轨迹方程.
分析：由题知动圆圆心M到到圆C的圆心（-2，0）的距离与到直线距离相等，根据抛物线的定义知，动圆圆心M的轨迹是以（-2，0）为焦点、以直线为准线的抛物线，焦点到准线的距离为4.
解析：设动圆半径为，点M到直线的距离为，
由动圆M与圆C外切知，|MC|=，
由动圆M与直线相切知，=，
∴点M到直线=2的距离为，
∴动圆圆心M到点C（-2，0）的距离与到直线=2的距离相等，
根据抛物线的定义知，动圆圆心M的轨迹是以（-2，0）为焦点、以直线为准线的抛物线，焦点到准线的距离为4
∴.动圆圆心M的轨迹方程为
点评：本题考查了直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、抛物线的定义与标准方程，定义法是求轨迹问题的重要方法之一.
二、利用抛物线定义求最值
例2已知F是抛物线的焦点，点Q(2,2),在抛物线上找一点P使|PQ|+|PF|最小，求点P的坐标.
分析：涉及到抛物线上一点到焦点的距离问题，可用抛物线的定义去处理.
解析：抛物线的准线方程为，P是抛物线上一点，过P作PH⊥，垂足为H，根据抛物线定义知，|PH|=|PF|，
∴|PQ|+|PF|=|PQ|+|PH|，
当H、P、Q共线时,此时P(1,2),|PQ|+|PH|值最小，最小值为3.
点评：抛物线的定义是圆锥曲线的重要概念，是将抛物线上一点到焦点的距离（即焦半径）转化为它到准线距离的重要工具，利用它，可以在本题中构造出“点到直线的垂线段最短”，应熟练掌握这种转化思路.
例3定长为4的线段AB的端点A、B在抛物线上移动，求线段AB的中点M到轴的距离的最小值，并求出此时AB的中点M坐标.
解析：设F是抛物线的焦点，过A、B、M分别作准线的垂线AC、BD、MN，垂足分别为C、D、N，则
|MN|=(|AC|+|BD|),
由抛物线的定义知，|AC|=|AF|，|BD|=|BF|,
∴|MN|=(|AF|+|BF|)=2,
设M的横坐标为，则|MN|=，则2，∴，
当AB过F点时等号成立，此时点M到轴的距离最短为.
点评：解本题的关键在于利用抛物线的定义将焦半径转化为到准线的距离.
三、解与焦半径有关的问题
例4已知抛物线上一点M到焦点F的距离为2，求点M的坐标.
分析:本题是抛物线上一点到焦点的距离问题可利用抛物线的定义转化为到准线的距离问题处理.
解析：设M,由得，，∴准线方程为，
∴点M到准线的距离为，
由抛物线的定义知=2，解得，代入解得，
∴点M的坐标为.
点评：本题也可以设出M点坐标，求出焦点坐标，利用两点距离公式构造方程组求解，但过程复杂，抛物线定义是解决抛物线上一点到焦点距离的有效工具.
例5已知抛物线，过抛物线的焦点斜率为2的直线交抛物线于A、B两点，求线段|AB|的长.
分析：过焦点的弦长问题可以利用抛物线的定义结合根与系数关系解决,也可利用弦长公式处理.
解析：设点A、B的横坐标分别为，，
抛物线的焦点为F（1，0），准线为，
∴点A、B到准线的距离分别为，，
根据抛物线的定义知，|AF|=，|BF|=，
∴|AB|=|AF|+|BF|=+=
直线AB的方程为：，代入化简整理得，，
∴=3，∴|AB|=3+2=5.
点评：圆锥曲线的弦长问题通常将曲线方程与直线方程联立转化为关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系与弦长公式=或=（其中是直线AB的斜率，，）.抛物线过焦点弦AB长公式为=（其中，分别为点A、B的横坐标）.jaB88.cOM>

延伸阅读

双曲线第一定义在解题中的应用

俗话说，凡事预则立，不预则废。教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，使教师有一个简单易懂的教学思路。教案的内容具体要怎样写呢？小编为此仔细地整理了以下内容《双曲线第一定义在解题中的应用》，相信能对大家有所帮助。

双曲线第一定义在解题中的应用
双曲线的第一定义是圆锥曲线部分的重要概念，在解题中有着重要的应用，本文将双曲线的第一定义在解题中的应用作以介绍，供同学们学习时参考.
一、利用双曲线第一定义求轨迹方程
例1已知中，C（-2，0），B（2，0），，求顶点A的轨迹方程.
分析:用正弦定理将化为，由双曲线的第一定义知顶点A的轨迹是以C、B为焦点，长轴长为2的双曲线的右支.
解析：由正弦定理及得，∴
由双曲线的第一定义知顶点A的轨迹是以C、B为焦点，长轴长为2的双曲线的右支
∴，，∴=3
∴顶点A的轨迹方程为（）.
点评：本题考查了双曲线的第一定义、正弦定理及双曲线的标准方程，利用定义求轨迹是求轨迹问题的一种重要方法.
二、利用双曲线第一定义解决焦点三角形问题
例2已知，是双曲线的两个焦点，过与椭圆实轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△是正三角形，求双曲线的离心率.
分析：本题关键在于寻找、间关系，结合图形，容易找到此关系.
解析：由△是正三角形，得是为的直角三角形，设=，则，则=，由双曲线第一定义知，=，又====.
点评:本题考查了双曲线的第一定义与椭圆性质，对焦点三角形问题，常用到第一定义.
例3已知双曲线()的焦点分别为，，P是双曲线上异于顶点的任意一点，=()，求的面积.
分析：已知=，关键是求的值，联系=，使我们想到余弦定理，配方后用双曲线第一定义即可求得.
解析：设双曲线的焦距为，有双曲线的第一定义知，=，
在中，由余弦定理得，==，
∴==
∴===.
点评：解决双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题时，要充分利用正弦定理、余弦定理、双曲的第一定义，关键是配凑出的形式，注意点P在双曲线的哪一支上.
三、利用第一定义计算双曲线上一点到两焦点的距离问题
例4已知，分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于，，弦AB=4，求的周长.
分析：本题涉及双曲线上一点到两焦点的距离问题，利用双曲线的第一定义求解.
解析:因为，在双曲线上，所以=8，=8，
∴=16，而，
∴，∴，即的周长为24.
点评：凡涉及双曲线上一点到两焦点的距离问题，注意利用双曲线第一定义求解，注意判断点在双曲线的哪一支上.
在解决双曲线问题要有应用椭圆第一定义的意识，见到动点到两定点距离之差的绝对值等于常数（常数小于两定点的距离）应想到其轨迹是椭圆，见到双曲线上一点应想到该点到两焦点的距离之差的绝对值为,只有这样才能熟练运用双曲线的第一定义解题.

抛物线的简单几何性质

俗话说，凡事预则立，不预则废。教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，使教师有一个简单易懂的教学思路。那么如何写好我们的教案呢？以下是小编为大家收集的“抛物线的简单几何性质”大家不妨来参考。希望您能喜欢！

2.3.2抛物线的简单几何性质
（一）教学目标：
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化.
（二）教学重点：抛物线的几何性质及其运用
（三）教学难点：抛物线几何性质的运用
（四）教学过程：
一、复习引入：（学生回顾并填表格）
1．抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.
图形

方程

焦点

准线

2．抛物线的标准方程：
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即.
不同点：(1)图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右端为，左端为.（2）开口方向在x轴（或y轴）正向时，焦点在x轴（或y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在x轴（或y轴）负向时，焦点在x轴（或y轴）负半轴时，方程右端取负号.
二、讲解新课：
类似研究双曲线的性质的过程，我们以为例来研究一下抛物线的简单几何性质：
1．范围
因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
2．对称性
以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．
4．离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．
对于其它几种形式的方程，列表如下：（学生通过对照完成下表）
标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率

注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离.
思考：抛物线有没有渐近线？（体会抛物线与双曲线的区别）
三、例题讲解：
例1已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p．
解：由题意，可设抛物线方程为，因为它过点，
所以，即
因此，所求的抛物线方程为．
将已知方程变形为，根据计算抛物线在的范围内几个点的坐标，得
x01234…
y022.83.54…
描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分
点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．
例2斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.
解法1：如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F（1，0），准线方程x=—1.
由题可知，直线AB的方程为y=x—1
代入抛物线方程y2=4x，整理得：x2—6x+1=0
解上述方程得x1=3+2,x2=3—2
分别代入直线方程得y1=2+2,y2=2—2
即A、B的坐标分别为（3+2，2+2），（3—2，2—2）
∴|AB|=
解法2：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1+x2=6,x1x2=1
∴|AB|=|x1—x2|
解法3：设A（x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知，
|AF|等于点A到准线x=—1的距离|AA′|
即|AF|=|AA′|=x1+1
同理|BF|=|BB′|=x2+1
∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8
点评：解法2是利用韦达定理根与系数的关系，设而不求，是解析几何中求弦长的一种普遍适用的方法；解法3充分利用了抛物线的定义，解法简洁，值得引起重视。
变式训练：过抛物线的焦点作直线，交抛物线于,两点，若，求。
解：，，。
点评：由以上例2以及变式训练可总结出焦点弦弦长：或。
四、达标练习：
1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（）
（A）10（B）8（C）6（D）4
2．已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（）
（A）3（B）4（C）5（D）6
3．过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是______
4.定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点到轴距离的最小值，并求出此时中点的坐标.
参考答案：1.B2.B3.4.,M到轴距离的最小值为.
五、小结：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等.
六、课后作业：
1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．
（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．
（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．
（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．
2．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2、B2，则∠A2FB2等于.
3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．
4．以椭圆的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．
5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？
习题答案：
1．（1）y2＝±32x（2）x2＝8y（3）x2＝－8y
2．90°3．x2＝±16y4．5．米
七、板书设计（略）

作抛物线的切线

问题探索求作抛物线的切线
典例剖析
题型一平均变化率
例1：在曲线的图象上取一点(1,2)及邻近一点（1＋Δ，2＋Δy）求
解：Δy=-(+1)=+2，=+2
评析：平均变化率
题型二抛物线的切线
例2.求抛物线y=f(x)=2-x在（1，1）点处的切线斜率
解：=3+2，令趋于0，则3+2趋于3.切线的斜率k=3,
评析：以上三种类型的问题中例1是平均变化率，而例2与例3都是瞬时变化率。瞬时变化率就是平均变化率在改变量趋于0时的极限值。
备选题
例3：曲线在点P的切线斜率为2,求点P的坐标.
解：设
则
点评：直线与抛物线相切,一般的解题方法是将直线方程代入抛物线方程消元,,利用求解.
点击双基
1.抛物线f(x)=x2－3x+1在点（1，－1）处的切线方程为（）
A．y=-x－1B．y=xC．y=－xD．y=x+1
解：=-1+,当x趋于0时,得切线斜率k=-1，切线方程为y+1=-1(x-1)，故选C

2.若抛物线y=+1的一条切线与直线y=2x-1平行，则切点坐标为（）
A．（1，1）B（1，2）C（2，5）D（3，10）
解：平均变化率==2x+,所以斜率k=2x=2,得
x=1,Y=1.故选A
3过点M（－1，0）作抛物线的切线，则切线方程为（）
（A）3x+y+3=0或（B）或
（C）（D）
解：设切点N（a,b）,则切线斜率k=2a+1===,得a=0或a=-2
切线斜率k=1或k=-3，故选A
4.已知曲线上有两点A（2,0），B（-2,-8），则割线AB的斜率为
解：由斜率公式求得=2
5．已知曲线在点M处的瞬时变化率为-4，则点M的坐标是为＿＿＿
＿＿
解：，点M的坐标是（-1，3）
课外作业：
一．选择题
1、若曲线
斜率（）
A．大于0B．小于0C．等于0D．符号不定
解：由切线方程得斜率为-10，故选B
2、已知曲线过点,则该曲线在该点处的切线方程为（）
A．B．C．D．
解：先将点代入得,然后求切线斜率，故选B
3、若曲线y=-+4x的一条切线与直线2x-y-5=0平行，则的方程为（）
A.2x-y-4=0B.2x+y=0C.2x-y+1=0D.2x+y-5=0
解：易得(x)=-2x+4,则-2x+4=2，得x=1；切点（1，3），切线斜率k=2;故选C
4、若曲线f(x)=的一条切线与直线垂直，则的方程为()
A．4x-y-4=0B．C．D．
解：易得(x)=2x，则2x=4,x=2；切点（2，4），切线斜率k=4，故选A，
5、已知直线与抛物线y=+a相切，则a=()
A.4B.-C.-D.
解;=2x+,(x)=2x=1,得x=.切点（，+a）
在切线上，a=-.故选B
6、曲线f(x)=在点（1，－5）处的切线斜率为()
A．k=3B．k=－3C．k=－4D．k=4
解：平均变化率==x-4.当x趋向0时，平均变化率
趋于-4，故选C
7、函数y＝x2＋1的图象与直线y＝x相切，则＝()
A．B．C．D．1
解：把两个解析式联立得方程x2-x＋1=0,由=0即得＝，故选B
8、过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（）
（A）（B）（C）（D）
解：，设切点坐标为，则切线的斜率为2，且，于是切线方程为，因为点（－1，0）在切线上，可解得
＝0或－4，故选D。
二．填空题：
9、设曲线在点（1，）处的切线与直线平行，则
解：，于是切线的斜率，∴有

10、曲线y=-3的一条切线的倾斜角为，则切点坐标为＿＿＿＿＿＿
解：=2x=tan=,x=,则切点坐标为（，）
11、设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为
解：设切点的横坐标为,且（为点P处切线的倾斜角），又∵，∴，∴
三解答题：
12.求抛物线y=f(x)=2-x在（1，1）点处的切线斜率.
解：=3+2，令趋于0，则3+2趋于3.切线的斜率k=3,
13、曲线在点P的切线斜率为2,求点P的坐标.
解：设
14、已知抛物线y=f(x)=+3与直线y=2x+2,求它们交点处的切线方程。
解由方程组得-2x+1=0解得x=1,y=4,,
交点坐标为（1，4）
又=+2.当趋于0时（+2.）趋于2.所以在点
（1，4）处的切线斜率K=2.所以切线方程为y-4=2(x-1)即y=2x+2
(不难发现对于-2x+1=0，因为=0，所以已知的直线y=2x+2,就是切线.)
思悟小结
曲线上一点P(u，f(u))处的切线方程
当割线PQ的斜率为趋于确定的数值时，就是曲线上点P处切线的斜率，则曲线上点P(u，f(u))处的切线方程为。

双曲线、抛物线的参数方程学案

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，高中教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助高中教师更好的完成实现教学目标。那么怎么才能写出优秀的高中教案呢？下面是由小编为大家整理的“双曲线、抛物线的参数方程学案”，希望对您的工作和生活有所帮助。

第05课时
2、2、2双曲线、抛物线的参数方程
学习目标
了解双曲线的参数方程的建立，熟悉抛物线参数方程的形式，会运用参数方程解决问题，进一步加深对参数方程的理解。
学习过程
一、学前准备
复习：复习抛物线的标准方程的四种形式，并填空：
（1）表示顶点在，
焦点在的抛物线；
（2）表示顶点在，
焦点在的抛物线。

二、新课导学
◆探究新知（预习教材P12～P16，找出疑惑之处）
1、类比椭圆参数方程的建立，若给出一个三角公式，你能写出双曲线
的参数方程吗？

2、如图，设抛物线的普通方程为,为抛物线上除顶点外的任一点，以
射线为终边的角记作，则，①
由和①解出得到：
（t为参数）
你能否根据本题的解题过程写出抛物线的四种不同形式方程对应的参数方程？并说出参数表示的意义。

◆应用示例
例1．如图，是直角坐标原点，A，B是抛物线上异于顶点的两动点，且，求点A、B在什么位置时，的面积最小？最小值是多少？
解：

◆反馈练习
1．求过P（0，1）到双曲线的最小距离.
解：

三、总结提升
◆本节小结
1．本节学习了哪些内容？
答：1.了解双曲线的参数方程的建立，熟悉抛物线参数方程的形式.
2.会运用参数方程解决问题，进一步加深对参数方程的理解。
学习评价
一、自我评价
你完成本节导学案的情况为（）
A．很好B．较好C．一般D．较差
课后作业
1、下列参数方程中，表示焦点在轴，实轴长为2的等轴双曲线的是（）
A、
B、
C、
D、
2、已知抛物线，则它的焦点坐标为（）
A、B、
C、D、