第2节核裂变教师用书。
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第2节核裂变
学习目标知识脉络
1.知道核裂变的概念，知道重核裂变中能释放出巨大的能量．(重点)
2.知道什么是链式反应.
3.会计算重核裂变过程中释放出的能量．(重点)
4.知道什么是核反应堆．了解常用裂变反应堆的类型．(难点)JaB88.Com
重核的裂变
[先填空]
1．重核的裂变
(1)核裂变：用中子轰击铀核，铀核分裂成质量相近的两部分，并释放出能量的核反应过程叫做核裂变．
(2)裂变能：核裂变释放出的能量称为裂变能，也称核能或原子能．核裂变是释放核能的方法之一．
(3)铀核裂变的产物多种多样，其中有代表性的有：
10n＋23592U→9538Sr＋13954Xe＋210n
10n＋23592U→14156Ba＋9236Kr＋310n.
2．链式反应
(1)定义：在23592U核裂变释放出巨大能量的同时，平均每次可以放出2～3个中子，这些中子称为第1代中子，如果其中至少有一个继续轰击23592U，使之发生裂变，就能产生第2代中子，这样不断继续下去，中子会不断增加，裂变反应就会不断加强，就形成了裂变的链式反应．能够发生链式反应的铀块的最小体积叫做临界体积．
(2)条件：发生链式反应必须具备两个条件：a.铀核的体积达到临界体积；b.必须存在持续不断的中子源．
[再判断]
1．原子核释放粒子的过程也是核裂变的过程．(×)
2．用中子轰击重核使之分裂实现核裂变．(√)
3．利用不可控的快中子轰击超过临界体积的铀块产生链式反应制成原子弹．(√)
[后思考]
重核裂变反应是否满足电荷数守恒？是否满足质量数守恒？
【提示】重核裂变反应属于核反应，满足电荷数守恒，质量数守恒．
[核心点击]
1．铀核的裂变和裂变方程
(1)核子受激发：当中子进入铀235后，便形成了处于激发状态的复核，复核中由于核子的激烈运动，使核变成不规则的形状．
(2)核子分裂：核子间的距离增大，因而核力迅速减弱，使得原子核由于质子间的斥力作用而分裂成几块，同时放出2或3个中子，这些中子又引起其他铀核裂变，这样，裂变就会不断地进行下去，释放出越来越多的核能．
(3)常见的裂变方程：
①23592U＋10n―→13954Xe＋9538Sr＋210n.
②23592U＋10n―→14456Ba＋8936Kr＋310n.
2．链式反应的条件
(1)有慢中子轰击．
(2)铀块的体积大于临界体积，或铀块的质量大于临界质量．
以上两个条件满足一个，则另一个条件自动满足．
3．裂变反应的能量：铀核裂变为中等质量的原子核，发生质量亏损，所以放出能量．一个铀235核裂变时释放的能量如果按200MeV估算，1kg铀235全部裂变放出的能量相当于2800t标准煤完全燃烧时释放的能量，裂变时能产生几百万度的高温．
4．铀的同位素中铀235比铀238更易发生链式反应
在天然铀中，主要有两种同位素，99.3%的是铀238，0.7%的是铀235，中子能引起这两种铀核发生裂变，但它们和中子发生作用的情况不同．
(1)铀235：俘获各种能量的中子都会发生裂变，且俘获低能量的中子发生裂变的概率大．
(2)铀238：只有俘获能量大于1MeV的中子才能发生裂变，且裂变的几率小．能量低于1MeV的中子只与铀核发生弹性碰撞，不引起裂变．因此，为了使链式反应容易发生，最好利用纯铀235.
1．(多选)关于重核的裂变，以下说法正确的是()
A．核裂变释放的能量远大于它俘获中子时得到的能量
B．铀核裂变在自然界中会自发地产生
C．重核裂变释放出大量能量，产生明显的质量亏损，所以核子数要减少
D．由于重核的核子平均质量大于中等质量核的核子平均质量，所以重核裂变为中等质量的核时，要发生质量亏损，放出核能
【解析】根据重核发生裂变的条件和裂变释放能量的原理分析可知，裂变时因铀核俘获中子发生核反应，是核能转化为其他形式能的过程，因而释放的能量远大于其俘获中子时吸收的能量；重核裂变只能发生在人为核反应中；在裂变反应中核子数是不会减少的，因此A正确，B、C错误．重核裂变为中等质量的原子核时，由于平均质量减小，必然发生质量亏损，从而释放出核能，所以D正确．
【答案】AD
2．(多选)1938年哈恩用中子轰击铀核，发现产物中有原子核钡(Ba)、氪(Kr)、中子和一些γ射线．下列关于这个实验的说法中正确的是()
A．这个实验的核反应方程是23592U＋10n―→14456Ba＋8936Kr＋310n
B．这是一个核裂变过程，反应后粒子质量之和大于反应前粒子质量之和
C．实验中产生的γ射线穿透能力极强
D．这个反应中释放出的能量可以用爱因斯坦的质能方程来计算
【解析】根据质量数守恒、电荷数守恒，铀核裂变的核反应方程应为：23592U＋10n―→14456Ba＋8936Kr＋310n，选项A正确；铀核裂变过程中产生γ射线，放出能量，发生质量亏损，释放的能量根据爱因斯坦的质能方程计算，选项B错误，D正确；核反应中产生的γ射线，穿透能力极强，是能量极高的光子，选项C正确．
【答案】ACD
3．现有的核电站比较广泛采用的核反应之一是：23592U＋10n→14360Nd＋Zr＋310n＋80－1e＋ν
(1)核反应方程中的ν是中微子，它不带电，质量数为零．试确定生成物锆(Zr)的电荷数与质量数；
(2)已知铀(U)核的质量为235.0493u，中子质量为1.0087u，钕(Nd)核质量为142.9098u，锆核质量为89.9047u．又知1u＝1.6606×10－27kg，试计算，1kg铀235大约能产生的能量是多少？
【解析】(1)根据电荷数和质量数守恒，可得
Zr的电荷数Z＝92－60＋8＝40
质量数A＝236－143－3×1＝90.
(2)方法一：质量亏损
Δm＝(mU＋mn)－(mNd＋mZr＋3mn)＝0.2174u.
一个铀核裂变释放能量
ΔE＝Δm×931.5MeV
＝0.2174×931.5MeV≈202.5MeV
1kg铀核含有的原子核数为
n＝1000235×6.02×1023个≈2.562×1024个
1kg铀核产生的能量
E总＝nΔE＝2.562×202.5×1024MeV
≈5.2×1026MeV＝5.2×1026×106×1.6×10－19J
≈8.3×1013J.
方法二：Δm＝(mU＋mn)－(mNd＋mZr＋3mn)
＝0.2174u＝0.2174×1.6606×10－27kg
≈3.6×10－28kg
ΔE＝Δmc2＝3.6×10－28×(3×108)2J＝3.24×10－11J
n＝1000235×6.02×1023个≈2.562×1024个
E总＝nΔE＝2.562×1024×3.24×10－11J≈8.3×1013J.
【答案】(1)4090(2)8.3×1013J
重核裂变核能计算的方法
解答这类问题，一般是先根据核反应方程求出一个重核裂变时发生的质量亏损，由质能方程计算出释放的能量，然后用阿伏加德罗常数把核能与重核质量联系起来；另外，在计算过程中要注意单位的统一．
裂变反应堆
[先填空]
1．核反应堆：能维持和控制核裂变的装置．
2．核反应堆的构成：堆芯、中子反射层、控制系统和防护层等部分．
(1)堆芯：由燃料棒、减速剂和冷却剂组成．
(2)中子反射层：反射核裂变中产生的中子，使其进一步参加链式反应．
(3)控制棒：用能吸收慢中子的镉或硼钢制成，以控制链式反应的速度．
[再判断]
1．核反应堆可以人工控制核反应速度．(√)
2．减速剂的作用使快中子减速变成慢中子．(√)
3．链式反应一旦形成无法进行人工控制．(×)
[后思考]
核反应堆中的防护层的构造和作用是什么？
【提示】核反应堆中的防护层一般由金属套、防止中子外逸的水层以及1m～2m厚的钢筋混凝土构成，可以有效地防止射线对人体及其他生命的侵害．
[核心点击]
1．核反应堆的组成
核反应堆由堆芯、中子反射层、控制系统和防护层等部分组成．其中控制棒用能吸收慢中子的镉或硼钢制成，以控制链式反应的速度．之所以把它叫做“堆”，是因为世界上第一个核反应堆是用石墨块(用以控制反应速度)和金属铀块(反应燃料)一层一层交替地“堆”起来而构成的．
2．核反应堆与原子弹爆炸的比较
原子弹爆炸时链式反应的速度是无法控制的，为了用人工方法控制链式反应的速度，使核能比较平缓地释放出来，人们制成了核反应堆(核电站的核心设施)．核反应堆是人工控制链式反应的装置．
3．核电站发电的主要原理
核燃料裂变释放的能量使反应区温度升高．水或液态的金属钠等流体在反应堆内外循环流动，把反应堆内的热量传输出去．反应堆放出的热使水变成水蒸气，这些高温高压的蒸汽推动汽轮发电机发电．这一部分的工作原理和火力发电相同．
4．关于核反应堆中用镉棒控制反应速度的原理，下列说法正确的是()
A．镉棒能释放中子，依靠释放的多少控制反应速度
B．用镉棒插入的多少控制快中子变为慢中子的数量
C．利用镉棒对中子吸收能力强的特点，依靠插入的多少控制中子数量
D．镉棒对铀核裂变有一种阻碍作用，利用其与铀的接触面积的大小控制反应速度
【解析】镉棒不是离子源不会释放中子，A错误，也不是减速剂，不能使快中子变为慢中子，B、D错误，镉棒对中子有吸收作用，通过中子强度检测器检测，当反应太强，镉棒能自动插入，多吸收中子，反之，自动抽出，少吸收中子，故镉棒也叫控制棒，C正确．
【答案】C
5．(多选)关于原子核反应堆，下面哪种说法是正确的()
A．镉棒是核燃料，裂变时释放核能
B．镉棒的作用是控制反应堆的功率
C．石墨的作用是吸收中子
D．冷却剂的作用是控制反应堆的温度和输出热量
【解析】核燃料即为用浓缩铀制成的铀棒，铀棒裂变时释放核能；镉棒具有很强的吸收慢中子的能力，通过控制镉棒插入的深度来控制链式反应的速度，即可控制反应堆的功率；石墨的作用是使裂变产生的快中子减速成为慢中子；冷却剂的作用是控制反应堆的温度和输出热量．则B、D正确，A、C错误．
【答案】BD
学业分层测评(十二)
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学业达标]
1．(多选)当一个重核裂变时，它所产生的两个核()
A．含有的质子数较裂变前重核的质子数不变
B．含有的中子数较裂变前重核的中子数不变
C．裂变时释放的能量等于俘获中子时得到的能量
D．可能是多种形式的两个核的组合
【解析】由于在裂变反应中吸收一个中子而释放2～3个中子，质子数并没有发生变化，而两个新核的中子数减少，故选项A正确，B错误；反应后质量发生了亏损而释放能量，并不等于俘获中子时得到的能量，在裂变反应中，产物并不是唯一的，而是多种多样的，故选项D正确，选项C错误．
【答案】AD
2．(多选)关于重核的裂变，以下说法正确的是()
A．核裂变释放的能量等于它俘获中子时得到的能量
B．中子从铀块中通过时，但不一定发生链式反应
C．重核裂变释放出大量能量，产生明显的质量亏损，所以核子数要减小
D．重核裂变为中等质量的核时，要发生质量亏损，放出核能
【解析】根据重核发生裂变的条件和裂变释放核能的原理分析可知，裂变时因铀核俘获中子即发生核反应，是核能转化为其他形式能的过程．释放的能量远大于其俘获中子时吸收的能量．链式反应是有条件的，即铀块的体积必须大于其临界体积，如果体积小，中子从铀块中穿过时，碰不到原子核，则链式反应就不会发生．在裂变反应中质量数、电荷数均守恒；即核子数守恒，所以核子数是不会减小的，因此选项A、C错误，B正确；重核裂变为中等质量的原子核时，发生质量亏损，从而释放出核能，选项D正确．
【答案】BD
3．铀核裂变时，对于产生链式反应的重要因素，下列说法中正确的是()【导学号：64772108】
A．反应堆中铀的质量是重要因素与体积无关
B．为了使裂变的链式反应容易发生，最好直接利用裂变时产生的中子
C．若铀235的体积超过它的临界体积，裂变的链式反应就能够发生
D．能否发生链式反应与铀块的质量无关
【解析】要使铀核裂变发生链式反应，铀块的体积必须等于或大于临界体积，如果组成铀块的体积小于临界体积，则不会发生链式反应．裂变反应中产生的中子为快中子，这些快中子不能直接引发新的裂变．如果铀块的质量大，则其体积大，若超过临界体积则发生链式反应，由此知A、B、D错误，C正确．
【答案】C
4．(多选)铀核裂变是核电站核能的重要来源，其一种裂变反应式是23592U＋10n→14456Ba＋8936Kr＋310n.下列说法正确的有()
A．上述裂变反应中伴随着中子放出
B铀块体积对链式反应的发生无影响
C．铀核的链式反应可人工控制
D．铀核的半衰期会受到环境温度的影响
【解析】根据裂变反应的规律和影响半衰期的因素解决问题．裂变反应式中的10n为中子，铀块体积大于临界体积，才能发生链式反应，且铀核的链式反应是可控的，选项A、C正确，选项B错误；放射性元素的半衰期不受外界压强、温度的影响，选项D错误．
【答案】AC
5．下列核反应中，表示核裂变的是()
A.23892U―→23490Th＋42He
B.23592U＋10n―→14456Ba＋8936Kr＋310n
C.146C―→147N＋0－1e
D.94Be＋42He―→126C＋10n
【解析】题目选项中，23892U―→23490Th＋42He是α衰变，146C―→147N＋0－1e是β衰变，94Be＋42He―→126C＋10n是人工转变，只有C选项是重核裂变，故B正确．
【答案】B
6．(多选)2020年以前我国将新增投产2300万千瓦的核电站，核电站与火电站相比较，下列说法正确的是()
A．核燃料释放的能量远大于相等质量的煤放出的能量
B．就可采储量来说，地球上核燃料资源远大于煤炭
C．在经济效益方面核电与火电不相上下
D．核电站没有任何污染
【解析】核燃料释放的能量远大于相等质量的煤放出的能量，A项正确；就可采储量所提供的能量来说，远大于煤炭所能提供的能量，而不是采储量，B项错；在经济效益方面核电与火电不相上下，C项正确；核电站是有污染的，核反应堆用过的核废料具有很强的辐射性，要做特殊处理，D项错误．
【答案】AC
7．下面是铀核裂变反应中的一个：23592U＋10n―→13654Xe＋9038Sr＋1010n.已知铀235的质量为235.0439u，中子的质量为1.0087u，锶90的质量为89.9077u，氙136的质量为135.9072u，则此核反应中质量亏损Δm＝________u，释放的核能ΔE＝________MeV.
【导学号：64772053】
【解析】质量亏损Δm＝235.0439u＋1.0087u－135.9072u－89.9077u－10×1.0087u＝0.1507u
由ΔE＝Δmc2可求得释放的核能ΔE＝0.1507uc2＝0.1507×931.5MeV＝140.3771MeV.
【答案】0.1507140.3771
8．落在日本广岛上的原子弹，相当于2万吨TNT炸药放出的能量．原子弹放出的能量约8.4×1013J，试问有多少个23592U原子核进行分裂？该原子弹中含23592U的质量最小限度为多少千克？(一个23592U原子核分裂时所产生的能量约为200MeV)
【解析】一个23592U原子核分裂时所产生的能量约为200MeV＝200×106eV＝2.0×108×1.6×10－19J＝3.2×10－11J.
设共有n个23592U核发生裂变：n＝8.4×10133.2×10－11个≈2.6×1024个，铀的质量m＝235×10－3×2.6×10246.02×1023kg≈1.015kg.
【答案】2.6×1024个1.015kg
能力提升]
9．(多选)我国秦山核电站第三期工程中有两组60万千瓦的发电机组，发电站的核能来源于23592U的裂变，下列说法正确的是()
A.23592U原子核中有92个质子，143个中子
B.23592U的一种可能裂变是变成两个中等质量的原子核，反应方程为23592U＋10n―→13954Xe＋9538Sr＋210n
C.23592U是天然放射性元素，常温下它的半衰期约为45亿年，升高温度半衰期缩短
D．一个23592U裂变能放出200MeV的能量，合3.2×10－11J
【解析】由23592U的质量数和电荷数关系易知A正确；由核反应方程中电荷数守恒和质量数守恒知B正确；半衰期不受外界因素干扰，故C错误；因为200MeV＝200×106×1.6×10－19J＝3.2×10－11J，所以D正确．
【答案】ABD
10．(多选)人们发现，不同的原子核，其核子的平均质量(原子核的质量除以核子数)与原子序数有如图421所示的关系．下列关于原子结构和核反应的说法正确的是()
图421
A．由图可知，原子核D和E聚变成原子核F时会有质量亏损，要吸收能量
B．由图可知，原子核A裂变成原子核B和C时会有质量亏损，要放出核能
C．由原子核A裂变成原子核B和C时要吸收能量
D．在核反应堆的铀棒之间插入镉棒是为了控制核反应速度
【解析】原子核D和E的核子平均质量大，结合成原子核F时存在质量亏损，要释放能量，A错误；原子核A的核子平均质量大，裂变成原子核B和C时质量亏损，要放出核能，B正确、C错误；镉棒可以吸收中子，在反应堆中能控制反应速度，D正确．
【答案】BD
11.23592U受中子轰击时会发生裂变，产生13956Ba和9436Kr，同时放出200MeV的能量，现要建设发电能力是50万千瓦的核电站，用铀235作为原子锅炉的燃料，假设核裂变释放的能量全部被用来发电，那么一天需要纯铀235的质量为多少？(阿伏加德罗常数取6.02×1023mol－1)
【解析】每天发电的总量
E＝24×3.6×103×5×108J＝4.32×1013J.
要得到这么多能量需要裂变的铀原子数目n＝4.32×10132×108×1.6×10－19＝1.35×1024(个)．
则对应的质量
m＝nNAμ＝1.35×10246.02×1023×235×10－3kg＝0.527kg.
【答案】0.572kg
12．在所有能源中，核能具有能量密度大，地区适应性强的优势，在核电站中，核反应堆释放的核能被转化为电能．核反应堆的工作原理是利用中子轰击重核发生裂变反应，释放出大量核能．
(1)核反应方程式23592U＋10n―→14156Ba＋9236Kr＋aX是反应堆中发生的许多核反应中的一种，10n为中子，X为待求粒子，a为X的个数，则X为________，a＝________.以mU、mBa、mKr分别表示23592U、14156Ba、9236Kr核的质量，mn、mp分别表示中子、质子的质量，c为光在真空中传播的速度，则在上述核反应过程中放出的核能ΔE是多少？
(2)有一座发电能力为P＝1.00×106kW的核电站，核能转化为电能的效率η＝40%，假定反应堆中发生的裂变反应全是本题(1)中的核反应，已知每次核反应过程放出的核能ΔE＝2.78×10－11J，核的质量mU＝390×10－27kg，求每年(1年＝3.15×107s)消耗的23592U的质量．
【解析】(1)由反应方程可知：X为10n，a为3，释放的能量为
ΔE＝(mU－mBa－mKr－2mn)c2.
(2)因电站发电效率为40%，故电站消耗23592U的功率为P′＝P40%＝10640%kW＝2.5×106kW，
电站每年消耗235U的能量为W＝Pt＝2.5×109×3.15×107J＝7.875×1016J.
每年消耗23592U的质量为
M＝WΔEmU＝7.875×1016×390×10－272.78×10－11kg＝1105kg.
【答案】(1)10n3(mU－mBa－mKr－2mn)c2
(2)1105kg
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高三物理核裂变教案29
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第二节核裂变
三维教学目标
1、知识与技能
（1）知道核裂变的概念，知道重核裂变中能释放出巨大的能量；
（2）知道什么是链式反应；
（3）会计算重核裂变过程中释放出的能量；
（4）知道什么是核反应堆。了解常用裂变反应堆的类型，了解核电站及核能发电的优缺点。
2、过程与方法
（1）通过对核子平均质量与原子序数关系的理解，培养学生的逻辑推理能力及应用教学图像处理物理问题的能力；
（2）通过让学生自己阅读课本，查阅资料，培养学生归纳与概括知识的能力和提出问题的能力。
3、情感、态度与价值观
（1）激发学生热爱科学、探求真理的激情，树立实事求是的科学态度，培养学生基本的科学素养，通过核能的利用，思考科学与社会的关系；
（2）通过教学，让学生认识到和平利用核能及开发新能源的重要性；
（3）确立世界是物质的，物质是运动变化的，而变化过程必然遵循能量守恒的观点。
教学重点：链式反应及其释放核能的计算；重核裂变的核反应方程式的书写。
教学难点：通过核子平均质量与原子序数的关系，推理得出由质量数较大的原子核分裂成质量数较小的原子核释放能量这一结论。
教学方法：教师启发、引导，学生讨论、交流。
教学用具：多媒体教学设备一套：可供实物投影、放像、课件播放等。
（一）引入新课
大家都知道在第二次世界大战即将结束的时候，美国于1945年8月6日、9日先后在日本的广岛、长崎上空投下了两颗原子弹，刹那间，这两座曾经十分美丽的城市变成一片废墟。大家还知道目前世界上有少数国家建成了许多核电站，我国也相继建成了浙江秦山核电站和广东大亚湾核电站等。我想，现在大家一定想知道原子弹爆炸及核发电的原理，那么，我们这节课就来学习裂变，通过学习，大家就会对上述问题有初步的了解。
（二）进行新课
1、核裂变（fission）
提问：核裂变的特点是什么？（重核分裂成质量较小的核的反应，称为裂变）
总结：重核分裂成质量较小的核，释放出核能的反应，称为裂变。
提问：是不是所有的核裂变都能放出核能？（只有核子平均质量减小的核反应才能放出核能）
总结：不是所有的核反应都能放出核能，有的核反应，反应后生成物的质量比反应前的质量大，这样的核反应不放出能量，反而在反应过程中要吸收大量的能量。只有重核裂变和轻核聚变能放出大量的能量。
2、铀核的裂变
（1）铀核的裂变的一种典型反应。
提问：铀核的裂变的产物是多样的，最典型的一种核反应方程式是什么样的？
（2）链式反应：
提问：链式反应〔chainreaction〕是怎样进行的？（这种由重核裂变产生的中子使裂变反应一代接一代继续下去的过程，叫做核裂变的链式反应）
（3）临界体积（临界质量）：
提问：什么是临界体积（临界质量）？（通常把裂变物质能够发生链式反应的最小体积叫做它的临界体积，相应的质量叫做临界质量）
（4）裂变反应中的能量的计算。
裂变前的质量：
kg，kg
裂变后的质量：
kg，kg，kg，
学生计算：质量亏损：
kg，
J=201MeV
总结：由重核裂变产生的中子使裂变反应一代接一代继续下去的过程，叫做核裂变的链式反应。裂变物质能够发生链式反应的最小体积叫做它的临界体积。铀核裂变的产物不同，释放的能量也不同。
3、核电站
提问：核核反应堆各组成部分在核反应中起什么作用？
学生回答：铀棒由浓缩铀制成，作为核燃料。
学生回答：控制棒由镉做成，用来控制反应速度。
学生回答：减速剂由石墨、重水或普通水（有时叫轻水）做成，用来跟快中子碰撞，使快中子能量减少，变成慢中子，以便让U235俘获。
学生回答：冷却剂由水或液态的金属钠等流体做成，在反应堆内外循环流动，把反应堆内的热量传输出，确保反应堆的安全。
学生回答：水泥防护层用来屏蔽裂变产物放出的各种射线，防止核辐射。
提问：核能发电的优点、缺点？
优点：①污染小；②可采储量大；③比较经济。
缺点：①一旦核泄漏会造成严重的核污染；②核废料处理困难。
点评：学生用自己的语言叙述，基本正确即可。
补充：了解常用裂变反应堆的类型：秦山二期、大亚湾二期是压水堆，秦山三期是沸水堆。
例题1、下列核反应中，表示核裂变的是（）
A、B、
C、D、
分析：核反应中有四种不同类型的核反应，它们分别是衰变、人工转变、重核裂变、轻核聚变。其中衰变中有衰变、衰变等。
是衰变，是衰变，是人工转变，只的C选项是重核裂变。
解：表示核裂变的是C
例题2、秦山核电站第一期工程装机容量为30万kW，如果1g铀235完全裂变时产生的能量为8.21010J，并且假定产生的能量都变成了电能，那么，每年要消耗多少铀235?（一年按365天计算）
学生回答：
解：核电站每天的发电量为W=Pt=3×108×24×3600J=2.592×1013J，每年的发电量W总=365W=9.46×1015J而1g铀完全裂变时产生的能量为：8.2×1010J所以，每年消耗的铀的量为：
点评：培养学生推理及公式演算的能力。注意速度单位的换算，运算过程中带单位运算。适当进行爱国主义教育。
高三物理教案：《核裂变》教学设计
核裂变
三维教学目标
1、知识与技能
(1)知道核裂变的概念，知道重核裂变中能释放出巨大的能量;
(2)知道什么是链式反应;
(3)会计算重核裂变过程中释放出的能量;
(4)知道什么是核反应堆。了解常用裂变反应堆的类型，了解核电站及核能发电的优缺点。
2、过程与方法
(1)通过对核子平均质量与原子序数关系的理解，培养学生的逻辑推理能力及应用教学图像处理物理问题的能力;
(2)通过让学生自己阅读课本，查阅资料，培养学生归纳与概括知识的能力和提出问题的能力。
3、情感、态度与价值观
(1)激发学生热爱科学、探求真理的激情，树立实事求是的科学态度，培养学生基本的科学素养，通过核能的利用，思考科学与社会的关系;
(2)通过教学，让学生认识到和平利用核能及开发新能源的重要性;
(3)确立世界是物质的，物质是运动变化的，而变化过程必然遵循能量守恒的观点。
教学重点：链式反应及其释放核能的计算;重核裂变的核反应方程式的书写。
教学难点：通过核子平均质量与原子序数的关系，推理得出由质量数较大的原子核分裂成质量数较小的原子核释放能量这一结论。
教学方法：教师启发、引导，学生讨论、交流。
教学用具：多媒体教学设备一套：可供实物投影、放像、课件播放等。
(一)引入新课
大家都知道在第二次世界大战即将结束的时候，美国于1945年8月6日、9日先后在日本的广岛、长崎上空投下了两颗原子弹，刹那间，这两座曾经十分美丽的城市变成一片废墟。大家还知道目前世界上有少数国家建成了许多核电站，我国也相继建成了浙江秦山核电站和广东大亚湾核电站等。我想，现在大家一定想知道原子弹爆炸及核发电的原理，那么，我们这节课就来学习裂变，通过学习，大家就会对上述问题有初步的了解。
(二)进行新课
1、核裂变(fission)
提问：核裂变的特点是什么?(重核分裂成质量较小的核的反应，称为裂变)
总结：重核分裂成质量较小的核，释放出核能的反应，称为裂变。
提问：是不是所有的核裂变都能放出核能?(只有核子平均质量减小的核反应才能放出核能)
总结：不是所有的核反应都能放出核能，有的核反应，反应后生成物的质量比反应前的质量大，这样的核反应不放出能量，反而在反应过程中要吸收大量的能量。只有重核裂变和轻核聚变能放出大量的能量。
2、铀核的裂变
(1)铀核的裂变的一种典型反应。
提问：铀核的裂变的产物是多样的，最典型的一种核反应方程式是什么样的?
(2)链式反应：
提问：链式反应〔chain reaction〕是怎样进行的?(这种由重核裂变产生的中子使裂变反应一代接一代继续下去的过程，叫做核裂变的链式反应)
(3)临界体积(临界质量)：
提问：什么是临界体积(临界质量)?(通常把裂变物质能够发生链式反应的最小体积叫做它的临界体积，相应的质量叫做临界质量)
(4)裂变反应中的能量的计算。
裂变前的质量：
kg， kg
裂变后的质量：
kg， kg， kg，
学生计算：质量亏损：
kg，
J=201MeV
总结：由重核裂变产生的中子使裂变反应一代接一代继续下去的过程，叫做核裂变的链式反应。裂变物质能够发生链式反应的最小体积叫做它的临界体积。铀核裂变的产物不同，释放的能量也不同。
3、核电站
提问：核核反应堆各组成部分在核反应中起什么作用?
学生回答：铀棒由浓缩铀制成，作为核燃料。
学生回答：控制棒由镉做成，用来控制反应速度。
学生回答：减速剂由石墨、重水或普通水(有时叫轻水)做成，用来跟快中子碰撞，使快中子能量减少，变成慢中子，以便让U235俘获。
学生回答：冷却剂由水或液态的金属钠等流体做成，在反应堆内外循环流动，把反应堆内的热量传输出，确保反应堆的安全。
学生回答：水泥防护层用来屏蔽裂变产物放出的各种射线，防止核辐射。
提问：核能发电的优点、缺点?
优点：①污染小;②可采储量大;③比较经济。
缺点：①一旦核泄漏会造成严重的核污染;②核废料处理困难。
点评：学生用自己的语言叙述，基本正确即可。
补充：了解常用裂变反应堆的类型：秦山二期、大亚湾二期是压水堆，秦山三期是沸水堆。
例题1、下列核反应中，表示核裂变的是( )
A、 B、
C、 D、
分析：核反应中有四种不同类型的核反应，它们分别是衰变、人工转变、重核裂变、轻核聚变。其中衰变中有 衰变、 衰变等。
是 衰变， 是 衰变， 是人工转变，只的C选项是重核裂变。
解：表示核裂变的是C
例题2、秦山核电站第一期工程装机容量为30万kW，如果1g铀235完全裂变时产生的能量为8.2 1010 J，并且假定产生的能量都变成了电能，那么，每年要消耗多少铀235?(一年按365天计算)
学生回答：
解：核电站每天的发电量为W=Pt=3×108×24×3600 J=2.592×1013 J，每年的发电量W总=365W=9.46×1015 J而1 g铀完全裂变时产生的能量为：8.2×1010 J 所以，每年消耗的铀的量为：
点评：培养学生推理及公式演算的能力。注意速度单位的换算，运算过程中带单位运算。适当进行爱国主义教育。
第3节核聚变第4节核能的利用与环境保护教师用书
一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，高中教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，让高中教师能够快速的解决各种教学问题。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？下面是由小编为大家整理的“第3节核聚变第4节核能的利用与环境保护教师用书”，希望对您的工作和生活有所帮助。
第3节核聚变
第4节核能的利用与环境保护
学习目标知识脉络
1.知道聚变反应的特点及其条件，并能计算核聚变释放的能量．(重点)
2.了解可控热核反应及其研究和发展前景．(难点)
3.了解核电站的构造和基本原理，了解核武器的种类．(重点)
4.了解核能利用的优势、危害及其防护措施.
轻核聚变与可控热核聚变反应
[先填空]
1．轻核聚变
采用轻核聚合成较重核引起结合能变化的方式可获得核能．这样的核反应称为轻核聚变．
2．太阳内部核聚变的反应方程
21H＋31H→42He＋10n.
3．核子聚变的条件
要使核子发生聚变，必须使核子接近核力能发生作用的范围．
4．物质第四态——等离子态
高温等离子体的密度及维持时间达到一定值时才能实现聚变．
5．约束等离子体的三种方式
引力约束、磁约束、惯性约束．
[再判断]
1．太阳中发生的是可控热核聚变反应．(×)
2．轻核发生聚变反应不需要条件．(×)
3．轻核发生聚变反应核子必须接近到核力发生作用的范围．(√)
[后思考]
为什么制造氢弹必须要具有制造原子弹的能力？
【提示】氢弹爆炸是热核反应，需要达到几百万摄氏度的高温才能进行，只有利用原子弹爆炸时的高温高压，才能使氢弹中的聚变材料达到热核反应的条件，故只有具备了制造原子弹能力的国家才能制造氢弹．
[核心点击]
1．聚变发生的条件：要使轻核聚变，必须使轻核接近核力发生作用的距离10－15m，这要克服电荷间强大的斥力作用，要求使轻核具有足够大的动能，有一种办法就是把它们加热到几百万开尔文的高温．
2．轻核聚变是放能反应：从比结合能的图线看，轻核聚变后比结合能增加，因此聚变反应是一个放能反应．
3．核聚变的特点
(1)在消耗相同质量的核燃料时，轻核聚变比重核裂变释放更多的能量．
(2)热核反应一旦发生，就不再需要外界给它能量，靠自身产生的热就可以使反应进行下去．
(3)普遍性：热核反应在宇宙中时时刻刻地进行着，太阳就是一个巨大的热核反应堆．
4．核聚变的应用
(1)核武器——氢弹：一种不需要人工控制的轻核聚变反应装置．它利用弹体内的原子弹爆炸产生的高温高压引发热核聚变爆炸．
(2)可控热核反应：目前处于探索阶段．
5．重核裂变与轻核聚变的区别
重核裂变轻核聚变
放能原理重核分裂成两个或多个中等质量的原子核，放出核能两个轻核结合成质量较大的原子核，放出核能
放能多少聚变反应比裂变反应平均每个核子放出的能量要大3～4倍
核废料
处理难度聚变反应的核废料处理要比裂变反应简单得多
原料的蕴藏量核裂变燃料铀在地球上储量有限，尤其用于核裂变的铀235在铀矿石中只占0.7%主要原料是氘，氘在地球上的储量非常丰富.1L海水中大约有0.03g氘，如果用来进行热核反应，放出的能量约与燃烧300L汽油相当
可控性速度比较容易进行人工控制，现在的核电站都是用核裂变反应释放核能目前，除氢弹以外，人们还不能控制它
1．(多选)以下说法正确的是()
A．聚变是裂变的逆反应
B．如果裂变释放能量，则聚变反应必定吸收能量
C．聚变须将反应物加热至数百万度以上高温，所以聚变反应又叫热核反应
D．裂变反应速度可以实现人工控制，但却不容易控制轻核聚变反应速度
【解析】聚变是轻核聚合成次轻核，裂变是重核分裂成中等质量的核，二者无直接关系，故A错．聚变和裂变在能量流向上也无直接关系，故B错．核聚变反应是热核反应，需数百万度的高温，但聚变反应一旦开始所释放的能量就远大于所吸收的能量，因此聚变反应还是释放能量的，故C正确，现在已经能实现裂变反应速度的人工控制，但除氢弹外，还不能实现轻核聚变的人工控制，D正确．
【答案】CD
2．(多选)能源是社会发展的基础，发展核能是解决能源问题的途径之一，下列释放核能的反应方程，表述正确的是()【导学号：64772054】
A.31H＋21H―→42He＋10n是核聚变反应
B.31H＋21H―→42He＋10n是β衰变
C.23592U＋10n―→14456Ba＋8936Kr＋310n是核裂变反应
D.23592U＋10n―→14054Xe＋9438Sr＋210n是α衰变
【解析】31H＋21H―→42He＋10n是轻核聚变反应，A正确，B错误；23592U＋10n―→14456Ba＋8936Kr＋310n和23592U＋10n―→14054Xe＋9438Sr＋210n均为重核裂变反应，C正确，D错误．
【答案】AC
3．氘核和氚核可发生热核聚变而释放出巨大的能量，该反应方程为：21H＋31H―→42He＋x，式中x是某种粒子．已知：21H、31H、42He和粒子x的质量分别为2.0141u、3.0161u、4.0026u和1.0087u；1u＝931.5MeVc2，c是真空中的光速．由上述反应方程和数据可知，粒子x是________，该反应释放出的能量为________MeV(结果保留3位有效数字)．
【解析】根据质量数和电荷数守恒可得x是10n(中子)．核反应中的质量亏损为Δm＝2.0141u＋3.0161u－4.0026u－1.0087u＝0.0189u
所以该反应释放出的能量为
ΔE＝Δmc2＝17.6MeV.
【答案】10n(或中子)17.6
对轻核聚变理解的两个误区
(1)误认为聚变就是裂变的逆反应．产生这种误区的原因是对聚变和裂变的本质没有理解透，裂变时重核分裂成中等核，而聚变是轻核聚合成为次轻核，无直接关联，并非互为逆反应．
(2)不能正确判断聚变、裂变、衰变及人工转变的方程．这是由对以上四种核反应方程的理解不深刻造成的．这四种方程在形式上很相近，因此判断时容易混淆出错，要想正确判断必须抓住它们的实质：核聚变是轻核结合成质量较大的核，也会放出中子；重核裂变时铀核捕获中子裂变为两个或更多个中等质量的核，并放出几个中子；人工转变常用α粒子或中子去轰击原子核，产生新原子核并放出一个或几个粒子；衰变是原子核自发地转变为另一种核，并向外辐射出α粒子或β粒子的反应，衰变根据向外辐射粒子的不同分为α衰变和β衰变两种．
核能的利用及环境保护
[先填空]
1．核电站：将反应堆释放的核能转化为电能的发电厂．
工作流程：将反应堆释放的核能转化为蒸汽的内能，再利用蒸汽驱动汽轮机发电转化为电能．
燃料：反应堆以23592U为燃料．
2．核武器：原子弹和氢弹是众所周知的两种核武器．
3．核能的优势
(1)核能发电比燃煤发电的成本低．
(2)核电站对环境污染比燃煤发电小得多．
4．核能利用存在的危害
(1)核废料的高辐射性．
(2)放射性物质泄漏，产生核污染．
(3)核武器威力巨大，不仅能摧毁生命，而且会使生态环境受到严重破坏．
[再判断]
1．太阳自身强大的引力把高温等离子体约束在一起，维持了其内部的热核反应的进行．(√)
2．磁压缩装置中的环形线圈通电后可以产生磁场，将等离子体约束在环形真空室内．(√)
3．目前，可控热核聚变已经被广泛应用于核电站发电．(×)
[后思考]
原子弹和氢弹的装置有何不同？
【提示】(1)原子弹是一种没有减速剂、不加控制的爆炸性链式反应装置．
(2)氢弹是一种靠惯性约束、不需人工控制而实现聚变的反应装置．
[核心点击]
1．核能利用
核原料提供的能量巨大，1kg铀释放的全部能量大约相当于2700t标准煤完全燃烧放出的能量．地球上的常规能源一般都无法跟核能相比．除铀外，钍也是一种裂变材料，它比铀更丰富，如果能把钍利用起来，核电的发展前景将更为广阔．热核反应所需的氘更是储量丰富．核原料的运输和储存方便，如：一座100万千瓦核电站一年所需原料铀，只需6辆卡车就可全部运到现场．
核电站不排放二氧化碳、氮氧化合物等造成温室效应或酸雨的气体及烟尘，有利于环境保护．
2．环境保护
核电站为防止放射性物质的泄漏，一般有4道安全屏障：二氧化铀陶瓷体燃料芯块滞留裂变产物，外面密封锆合金包壳，第三道是压力边界，第四道是安全壳．这些措施大大提高了核能利用的安全性．
3．废料处理
对核废料先回收利用，剩下的废料就很少了，将其中低放射性废料进行沥青固化或水泥固化后，储存在地下浅层废料库，对高放射性的废料采用玻璃固化后，埋藏在深层废料库．加之实时监测等措施都降低了对环境污染的可能性．
4．核电站
(1)原理
原子核的链式反应是在人工控制下进行．释放的核能转化为内能，再由蒸汽轮机带动发电机转化为电能，使核能为人类和平建设服务．
(2)优点
①核能发电比燃煤发电的成本低，一座百万千瓦级的核电站，一年只消耗浓缩铀30t左右，而同样功率的燃煤发电站每年要消耗250万吨优质煤．
②核电站对环境的污染要比燃煤发电小得多．
4．(多选)为应对能源危机和优化能源结构，提高清洁能源的比重，我国制定了优先选择核能，其次加快发展风电和再生能源的政策，在《核电中长期发展规划》中要求2020年核电运行装机总容量达到4000万千瓦的水平，请根据所学物理知识，判断下列说法中正确的是()
A．核能发电对环境的污染比火力发电要小
B．所有核电站都只利用重核裂变释放大量的原子能
C．所有核电站既有重核裂变，又有轻核聚变释放大量的原子能
D．如果核电站能实现可控轻核聚变发电，其核废料处理更简单，对环境污染更小
【解析】目前核电站都用核裂变，其原料是铀，且核能是比较清洁的能源，故A、B正确，C错，如果核电站能实现可控轻核聚变发电，其核废料处理起来比铀核裂变废料更容易，对环境污染也更小，D正确．
【答案】ABD
5．(多选)关于核能的利用，下列说法正确的是()
A．核电站的反应堆将释放的核能转化为蒸汽的内能，再转化为电能
B．采用“内爆法”促使链式反应，做成的原子弹设计难度大，但材料利用率高
C．核燃料的危害主要是其具有放射性
D．太阳发光主要来自太阳内部重核裂变产生的核能
【解析】核电站的能量转化过程为核能到内能再到电能，A正确．“内爆法”难度大，但材料利用率高，B正确．放射性对人体和环境都有危害，C正确，太阳发光主要来自太阳内部轻核聚变反应释放的能量，D错误．
【答案】ABC
学业分层测评(十三)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
1．太阳每秒辐射出来的能量约为3.8×1026J，这些能量是()
【导学号：64772109】
①重核的裂变反应中产生的
②轻核的聚变反应中产生的
③原子核的衰变反应中产生的
④热核反应中产生的
A．①②B．②③
C．③④D．②④
【解析】由于太阳的主要成分是氢，它释放出的巨大能量来源于氢核的聚变反应．这一反应又叫热核反应，故D正确．
【答案】D
2．关于核电站，以下说法正确的是()
A．核电站中的核反应是无法控制的
B．目前核电站主要原料是铀，能量主要来源于核聚变
C．采用增殖反应堆可以使核原料充分利用
D．核电站使用过的核燃料还可以在火力发电厂中二次利用
【解析】目前核电站主要原料是铀，能量主要来源于核裂变，其反应是可以通过控制棒控制反应速度的快慢，A、B均错．采用增殖反应堆可以充分利用铀235之外的原料从而放出更多能量，C对．核废料具有放射性，不能再通过燃烧的方式二次发电，D错．
【答案】C
3．(多选)我国自行研制了可控热核反应实验装置“超导托卡马克”(英名称：EAST，俗称“人造太阳”)．设可控热核实验反应前氘核(21H)的质量为m1，氚核(31H)的质量为m2，反应后氦核(42He)的质量为m3，中子(10n)的质量为m4，光速为c，正确说法正确的是()
【导学号：64772055】
A．这种装置中发生的核反应方程式是21H＋31H―→42He＋10n
B．由核反应过程质量守恒可知m1＋m2＝m3＋m4
C．核反应放出的能量等于(m1＋m2－m3－m4)c2
D．这种装置与我国大亚湾核电站所使用装置的核反应原理相同
【解析】核反应方程为21H＋31H―→42He＋10n，选项A正确；反应过程中向外释放能量，故质量有亏损，且释放的能量ΔE＝Δmc2＝(m1＋m2－m3－m4)c2，选项B错误，C正确；可控热核反应为核聚变，大亚湾核电站所用核装置反应原理为核裂变，可控热核反应目前还不能用于核电站实现发电，故D错误．
【答案】AC
4．(多选)我国在极其困难的情况下，完成了“两弹一星”，长了中国人的志气，打破了西方的讹诈，下列核反应方程中，属于研究两弹的基本核反应方程的是()
【导学号：64772110】
A.147N＋42He―→178O＋11H
B.23592U＋10n―→9038Sr＋13654Xe＋1010n
C.23892U―→23490Th＋42He
D.21H＋31H―→42He＋10n
【解析】“两弹”指原子弹和氢弹，原子弹的核反应方程是铀核裂变，B选项正确，氢弹的核反应方程是轻核聚变，D选项正确．
【答案】BD
5．(多选)2006年9月28日，我国最新一代核聚变装置“EAST”在安徽合肥首次放电，显示了EAST装置具有良好的整体性能，使等离子体约束时间达1000s，温度超过1亿度，这标志着我国磁约束核聚变研究进入国际先进水平．合肥也成为世界上第一个建成此类全超导非圆截面核聚变实验装置并能实际运行的地方．核聚变的主要原料是氘，在海水中含量极其丰富．已知氘核的质量为m1，中子的质量为m2，32He的质量为m3，质子的质量为m4，则下列说法中正确的是()
A．两个氘核聚变成一个32He所产生的另一个粒子是质子
B．两个氘核聚变成一个32He所产生的另一个粒子是中子
C．两个氘核聚变成一个32He所释放的核能为(2m1－m3－m4)c2
D．与受控核聚变比较，现行的核反应堆产生的废物具有放射性
【解析】由核反应方程221H→32He＋10X知，X应为中子，释放的核能应为ΔE＝(2m1－m3－m2)c2，聚变反应的污染非常小，而现行的裂变反应的废料具有很强的放射性，故A、C错误，B、D正确．
【答案】BD
6．(多选)我国科学家研制“两弹”所涉及的基本核反应方程有：(1)23592U＋10n→9038Sr＋13654Xe＋k10n；(2)21H＋31H→42He＋d10n；关于这两个方程，下列说法正确的是()
A．方程(1)属于α衰变
B．方程(1)属于重核裂变
C．方程(2)属于轻核聚变
D．方程(1)中k＝10，方程(2)中d＝1
【解析】方程(1)属于重核裂变，方程(2)属于轻核聚变，故A错，B、C对．据核反应中的质量数守恒和电荷数守恒，可求出k＝10，d＝1，故D对．
【答案】BCD
7．某科学家提出年轻热星体中核聚变的一种理论，其中的两个核反应方程为
11H＋126C―→137N＋Q1①，
11H＋157N―→126C＋X＋Q2②，
方程中Q1、Q2表示释放的能量，相关的原子核质量如表：
原子核11H
31H
42He
126C
137N
157N
质量/u1.00783.01664.002612.000013.005715.0001
则可以推断X是________，方程中Q1和Q2的大小关系是Q1________Q2.
【解析】由质量数守恒和电荷数守恒，可判断X为42He，①式的质量亏损为Δm1＝1.0078u＋12.0000u－13.0057u＝0.0021u．②式的质量亏损为Δm2＝1.0078u＋15.0001u－12.0000u－4.0026u＝0.0053u，所以Δm2Δm1根据质能方程ΔE＝Δmc2可求解Q2Q1.
【答案】42He
8．物理学家们普遍相信太阳发光是由于其内部不断发生从氢核到氦核的核聚变反应．根据这一理论，在太阳内部4个氢核(11H)转化成一个氦核(42He)和两个正电子(01e)并放出能量．已知质子质量mp＝1.0073u，α粒子的质量mα＝4.0026u，电子的质量me＝0.0005u．1u的质量对应931.5MeV的能量．
(1)写出该热核反应方程；
(2)一次这样的热核反应释放出多少兆电子伏的能量？(结果保留四位有效数字)
【解析】(1)热核反应方程为411H→42He＋201e.
(2)质量亏损为Δm＝4mp－mα－2me＝(4×1.0073－4.0026－2×0.0005)u＝0.0256u
ΔE＝0.0256×931.5MeV＝23.85MeV.
【答案】(1)411H→42He＋201e(2)23.85MeV
能力提升]
9．(多选)据新华社报道，由我国自行设计、研制的世界第一套全超导核聚变实验装置(又称“人造太阳”)已完成了首次工程调试．下列关于“人造太阳”的说法正确的是()
【导学号：64772056】
A．“人造太阳”的核反应方程是21H＋31H→42He＋10n
B．“人造太阳”的核反应方程是23592U＋10n→14156Ba＋9236Kr＋310n
C．根据公式E＝mc2可知，核燃料的质量相同时，聚变反应释放的能量与裂变反应相同
D．核燃烧的质量相同时，聚变反应过程的质量亏损比裂变反应过程的质量亏损大得多
【解析】21H＋31H→42He＋10n是氢核聚变方程，故A项正确；根据氢核聚变特点，相同质量的核燃料，氢核聚变释放的能量比裂变反应大得多，氢核聚变反应过程的质量亏损比裂变反应过程的质量亏损大得多，D正确．
【答案】AD
10．(多选)如图431所示，托卡马克(tokamak)是研究受控核聚变的一种装置，这个词是toroidal(环形的)、kamera(真空室)、magnet(磁)的头两个字母以及kotushka(线圈)的第一个字母组成的缩写词．根据以上信息，下列判断中可能正确的是()
图431
A．这种装置的核反应原理是轻核的聚变，同时释放出大量的能量，和太阳发光的原理类似
B．线圈的作用是通电产生磁场使带电粒子在磁场中旋转而不溢出
C．这种装置同我国秦山、大亚湾核电站所使用核装置的核反应原理相同
D．这种装置是科学家设想的其中一种方案
【解析】聚变反应原料在装置中发生聚变，放出能量，故A对；线圈通电时产生磁场，带电粒子在磁场中受洛伦兹力作用旋转而不溢出，故B对；核电站的原理是裂变，托卡马克的原理是聚变，故C错；该装置是科学家设想的其中一种方案，故D对．
【答案】ABD
11．我国自行设计并研制的“人造太阳”——托卡马克实验装置运行获得重大进展，这标志着我国已经迈入可控热核反应领域先进国家行列．该反应所进行的聚变过程是21H＋31H―→42He＋10n，反应原料氘(21H)富存于海水中，而氚(31H)是放射性元素，自然界中不存在，但可以通过中子轰击锂核(63Li)的人工核转变得到．
(1)请把下列用中子轰击锂核(63Li)产生一个氚核(31H)和一个新核的人工核转变方程填写完整：________＋10n―→________＋31H.
(2)在(1)中，每产生1g氚的同时有多少个63Li核实现了核转变？(阿伏加德罗常数NA取6.0×1023mol－1)
(3)一个氘核和一个氚核发生核聚变时，平均每个核子释放的能量为5.6×10－13J，求该核聚变过程中的质量亏损．
【解析】(1)核反应方程为：63Li＋10n―→42He＋31H.
(2)因为1g氚为13mol，根据核反应方程，实现核转变的63Li也为13mol，所以有2.0×1023个63Li实现了核转变．
(3)根据爱因斯坦质能方程ΔE＝Δmc2，核聚变反应中有5个核子参加了反应，5个核子释放总能量ΔE＝5×5.6×10－13J＝2.8×10－12J，所以质量亏损为Δm＝ΔEc2＝2.8×10－123×1082kg＝3.1×10－29kg.
【答案】(1)63Li42He
(2)2.0×1023个
(3)3.1×10－29kg
12．核聚变能是一种具有经济性能优越、安全可靠、无环境污染等优势的新能源．近几年来，受控核聚变的科学可行性已得到验证，目前正在突破关键技术，最终将建成商用核聚变电站．一种常见的核聚变反应是由氢的同位素氘(又叫重氢)和氚(又叫超重氢)聚合成氦，并释放一个中子．若已知氘原子的质量为2.0141u，氚原子的质量为3.0160u，氦原子的质量为4.0026u，中子的质量为1.0087u,1u＝1.66×10－27kg.
(1)写出氘和氚聚变的反应方程；
(2)试计算这个核反应释放出来的能量；
(3)若建一座功率为3.0×105kW的核聚变电站，假设聚变所产生的能量有一半转化成了电能，求每年要消耗氘的质量？(一年按3.2×107s计算，光速c＝3.0×108m/s，结果取两位有效数字)
【解析】(1)氘和氚聚变的反应方程为21H＋31H→42He＋10n.
(2)该反应过程的质量亏损Δm＝2.0141u＋3.0160u－4.0026u－1.0087u＝0.0188u＝3.1208×10－29kg
释放的核能ΔE＝Δmc2＝3.1208×10－29×(3×108)2J＝2.8×10－12J.
(3)设每年要消耗的氘的质量为M，氘原子的质量为MD
由能量守恒可得：MMDΔEη＝Pt
可得：M＝ptMDΔEη＝
3.0×105×103×3.2×107×2.0141×1.66×10－272.8×10－12×0.5kg＝23kg.
【答案】(1)21H＋31H→42He＋10n(2)2.8×10－12J(3)23kg
2018版高考数学（理科）一轮设计：第11章教师用书（人教A版）
一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，高中教师要准备好教案，这是高中教师的任务之一。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助高中教师提前熟悉所教学的内容。那么，你知道高中教案要怎么写呢？下面是小编为大家整理的“2018版高考数学（理科）一轮设计：第11章教师用书（人教A版）”，仅供您在工作和学习中参考。
第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理
最新考纲1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
知识梳理
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.
3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.()
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.()
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.()
(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.()
解析分类加法计数原理，每类方案中的方法都是不同的，每一种方法都能完成这件事；分步乘法计数原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成这一步，不能完成这件事，所以(1)，(4)均不正确.
答案(1)×(2)√(3)√(4)×
2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为()
A.6B.5
C.3D.2
解析5个人中每一个都可主持，所以共有5种选法.
答案B
3.(选修2－3P28B2改编)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()
A.24种B.30种
C.36种D.48种
解析需要先给C块着色，有4种结果；再给A块着色，有3种结果；再给B块着色，有2种结果；最后给D块着色，有2种结果，由分步乘法计数原理知共有4×3×2×2＝48(种).
答案D
4.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有________种(用数字作答).
解析每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步乘法计数原理，总的报名方法共2×2×2×2×2＝32(种).
答案32
5.已知某公园有5个门，从任一门进，另一门出，则不同的走法的种数为________(用数字作答).
解析分两步，第一步选一个门进有5种方法，第二步再选一个门出有4种方法，所以共有5×4＝20种走法.
答案20
考点一分类加法计数原理
【例1】(1)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()
A.4种B.6种C.10种D.16种
(2)(2017郑州质检)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()
A.14B.13C.12D.10
解析(1)分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件有3种方法(如图)，甲乙丙乙甲甲乙甲丙甲
同理，甲先传给丙时，满足条件有3种踢法.
由分类加法计数原理，共有3＋3＝6种传递方法.
(2)①当a＝0，有x＝－b2，b＝－1，0，1，2有4种可能；
②当a≠0时，则Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，
(ⅰ)若a＝－1时，b＝－1，0，1，2有4种不同的选法；
(ⅱ)若a＝1时，b＝－1，0，1有3种可能；
(ⅲ)若a＝2时，b＝－1，0，有2种可能.
∴有序数对(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13(个).
答案(1)B(2)B
规律方法分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置.
(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.
(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复.
(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本例(2)中易漏a＝0这一类.
【训练1】(1)如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点).
(2)从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()
A.3B.4C.6D.8
解析(1)分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O共2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O共2种不同的走法，由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法.
(2)以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；
以2为首项的等比数列为2，4，8；
以4为首项的等比数列为4，6，9；
把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，
∴所求的数列共有2(2＋1＋1)＝8个.
答案(1)5(2)D
考点二分步乘法计数原理
【例2】(1)(2017石家庄模拟)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有()
A.10种B.25种C.52种D.24种
(2)定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为________(用数字作答).
解析(1)每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步.
由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法.
(2)显然(a，a)，(a，c)等均为A*B中的关系，确定A*B中的元素是A中取一个元素来确定x，B中取一个元素来确定y，由分步计数原理可知A*B中有3×4＝12个元素.
答案(1)D(2)12
规律方法(1)在第(1)题中，易误认为分5步完成，错选B.
(2)利用分步乘法计数原理应注意：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事.
【训练2】(1)(2017威海模拟)某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有()
A.C2645种B.A2654种
C.C26A45种D.C2654种
(2)设集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数为________(用数字作答).
解析(1)有两个年级选择甲博物馆共有C26种情况，其余四个年级每个年级各有5种选择情况.故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有C26×54种.
(2)易知A∩B＝{0，1}，A∪B＝{－1，0，1，2，3}，
∴x有两种取法，y有5种取法.
由分步乘法计数原理，A*B的元素有2×5＝10(个).
答案(1)D(2)10
考点三两个计数原理的综合应用
【例3】(1)(2015四川卷)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有()
A.144个B.120个C.96个D.72个
(2)(2017成都诊断)如图所示，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为________(用数字作答).
解析(1)由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3×A34＝72(个)；若万位是4，则有2×A34个＝48(个)，故比40000大的偶数共有72＋48＝120(个).选B.
(2)按区域1与3是否同色分类：
①区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2，4，5(还有3种颜色)有A33种方法.
∴区域1与3涂同色，共有4A33＝24种方法.
②区域1与3不同色：先涂区域1与3有A24种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法.
∴这时共有A24×2×1×3＝72种方法.
由分类加法计数原理，不同的涂色种数为24＋72＝96.
答案(1)B(2)96
规律方法(1)①注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.②注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.
(2)解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成.第(2)题中，相邻区域不同色，是按区域1与3是否同色分类处理.
【训练3】(1)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a2，且a2a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为()
A.240B.204
C.729D.920
(2)从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为________(用数字作答).
解析(1)若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0“凸数”为120与121，共2个.若a2＝3，则“凸数”有2×3＝6(个).若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个).
∴所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).
(2)由题意知本题是一个分类计数问题，
共有8种不同的类型，
当有3个键同时按下，有C310种结果，
当有4个键同时按下，有C410种结果，
…，
以此类推，根据分类加法计数原理得到共有
C310＋C410＋C510＋…＋C1010
＝C010＋C110＋C210＋…＋C1010－(C010＋C110＋C210)
＝210－(1＋10＋45)＝968.
答案(1)A(2)968
[思想方法]
1.应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.
在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.
2.(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.
(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
3.混合问题一般是先分类再分步.
4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.
[易错防范]
1.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行.
2.分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步.
3.确定题目中是否有特殊条件限制.
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1.从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有()
A.30个B.42个C.36个D.35个
解析∵a＋bi为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数.
答案C
2.某校举行乒乓球赛，采用单淘汰制，要从20名选手中决出冠军，应进行比赛的场数为()
A.18B.19C.20D.21
解析因为每一场比赛都有一名选手被淘汰，即一场比赛对应一个失败者，要决出冠军，就要淘汰19名选手，故应进行19场比赛.
答案B
3.(2016济南质检)有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则有几种不同的选择方式()
A.24B.14C.10D.9
解析第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有4×3＝12种方式，
第二类：选2套连衣裙中的一套服装有2种选法.
∴由分类加法计数原理，共有12＋2＝14(种)选择方式.
答案B
4.某电话局的电话号码为139××××××××，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为()
A.20B.25C.32D.60
解析依据题意知，后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为25＝32.
答案C
5.集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()
A.9B.14C.15D.21
解析当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个).
当x≠2时，由PQ，∴x＝y.
∴x可从3，4，5，6，7，8，9中取，有7种方法.
因此满足条件的点共有7＋7＝14(个).
答案B
6.用10元、5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法的种数为()
A.3B.5C.9D.12
解析只用一种币值有2张10元，4张5元，20张1元，共3种；用两种币值的有1张10元，2张5元；1张10元，10张1元；3张5元，5张1元；2张5元，10张1元；1张5元，15张1元，共5种；用三种币值的有1张10元，1张5元，5张1元，共1种.由分类加法计数原理得，共有3＋5＋1＝9(种).
答案C
7.从集合{1，2，3，4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有()
A.32个B.34个C.36个D.38个
解析将和等于11的放在一组：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.从每一小组中取一个，有C12＝2种，共有2×2×2×2×2＝32个.故选A.
答案A
8.(2016全国Ⅱ卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()
A.24B.18C.12D.9
解析由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由乘法计数原理知，共有6×3＝18种走法，故选B.
答案B
二、填空题
9.(2017西安质检)如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个(用数字作答).
解析当相同的数字不是1时，有C13个；当相同的数字是1时，共有C13C13个，
由分类加法计数原理知共有“好数”C13＋C13C13＝12(个).
答案12
10.如图所示，在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答).
解析把与正八边形有公共边的三角形分为两类：
第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个).
第二类，有两条公共边的三角形共有8个.
由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个).
答案40
11.如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法(用数字作答).
解析区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法.所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂色方法.
答案260
12.有六名同学报名参加三个智力竞赛项目(不一定六名同学都能参加)，
(1)每人恰好参加一项，每项人数不限，则有________种不同的报名方法；
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，则有________种不同的报名方法；
(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限，则有________种不同的报名方法(用数字作答).
解析(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，
知共有报名方法36＝729(种).
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种).
(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种).
答案(1)729(2)120(3)216
能力提升题组
(建议用时：10分钟)
13.(2017衡水调研)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()
A.243B.252C.261D.279
解析0，1，2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个).
答案B
14.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()
A.24对B.30对
C.48对D.60对
解析与正方体的一个面上的一条对角线成60°角的对角线有8条，故共有8对.正方体的12条面对角线共有12×8＝96(对)，且每对均重复计算一次，故共有962＝48(对).
答案C
15.一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有________种(用数字作答).
解析根据题意，从点P处进入后，参观第一个景点时，有6个路口可以选择，从中任选一个，有6种选法；参观完第一个景点，参观第二个景点时，有4个路口可以选择，从中任选一个，有4种选法；参观完第二个景点，参观
第三个景点时，有2个路口可以选择，从中任取一个，有2种选法.由分步乘法计数原理知共有6×4×2＝48种不同游览线路.
答案48
16.(2016广州模拟)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.
则(1)4位回文数有________个；
(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个.
解析(1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间两位一样，有10种填法，
共计9×10＝90(种)填法，即4位回文数有90个.
(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格.
结合计数原理，知有9×10n种填法.
答案(1)90(2)9×10n
第2讲排列与组合
最新考纲1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；3.能解决简单的实际问题.
知识梳理
1.排列与组合的概念
名称定义
排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素按照一定的顺序排成一列
组合合成一组
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式(1)Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！（n－m）！
(2)Cmn＝AmnAmm＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！
＝n！m！（n－m）！(n，m∈N*，且m≤n).特别地C0n＝1
性质(1)0！＝1；Ann＝n！.
(2)Cmn＝Cn－mn；Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.()
(3)若组合式Cxn＝Cmn，则x＝m成立.()
(4)kCkn＝nCk－1n－1.()
解析元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)不正确；若Cxn＝Cmn，则x＝m或n－m，故(3)不正确.
答案(1)×(2)√(3)×(4)√
2.从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是()
A.12B.24C.64D.81
解析4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法为A34＝24.
答案B
3.(选修2－3P28A17改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是()
A.18B.24C.30D.36
解析法一选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C24C13＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C14C23＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有C24C13＋C14C23＝30种.
法二从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C37－C34－C33＝30.
答案C
4.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________(用数字作答).
解析末位数字排法有A12，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48种.
答案48
5.(2017唐山调研)某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为________(用数字作答).
解析法一(直接法)甲、乙两人均入选，有C17C22种.
甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种方法，
∴由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49(种)选法.
法二(间接法)从9人中选3人有C39种方法.
其中甲、乙均不入选有C37种方法，
∴满足条件的选排方法是C39－C37＝84－35＝49(种).
答案49
考点一排列问题
【例1】(1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()
A.192种B.216种
C.240种D.288种
(2)(2017北京西城区质检)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.
解析(1)第一类：甲在最左端，
有A55＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；
第二类：乙在最左端，
有4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)方法.
所以共有120＋96＝216(种)方法.
(2)记其余两种产品为D，E，A，B相邻视为一个元素，先与D，E排列，有A22A33种方法；再将C插入，仅有3个空位可选，共有A22A33C13＝2×6×3＝36种不同的摆法.
答案(1)B(2)36
规律方法(1)第(1)题求解的关键是按特殊元素甲、乙的位置进行分类.注意特殊元素(位置)的优先原则，即先排有限制条件的元素或有限制条件的位置.对于分类过多的问题，可利用间接法.
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法等常用的解题方法.
【训练1】(1)(2017新余二模)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为()
A.120B.240C.360D.480
(2)(2017抚顺模拟)某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有()
A.30B.600C.720D.840
解析(1)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理有3×4×5×6＝360种方法.
(2)若只有甲乙其中一人参加，有C12C35A44＝480种方法；若甲乙两人都参加，有C22C25A44＝240种方法，则共有480＋240＝720种方法，故选C.
答案(1)C(2)C
考点二组合问题
【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5984种.
∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种.
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2100种.
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.
(4)选取2种假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2100＋455＝2555种.
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.
(5)选取3件的总数为C335，因此共有选取方式
C335－C315＝6545－455＝6090种.
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.
规律方法组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
【训练2】(1)(2017邯郸一模)现有6个不同的白球，4个不同的黑球，任取4个球，则至少有两个黑球的取法种数是()
A.90B.115C.210D.385
(2)(2017武汉二模)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()
A.60种B.63种C.65种D.66种
解析(1)分三类，取2个黑球有C24C26＝90种，取3个黑球有C34C16＝24种，取4个黑球有C44＝1种，故共有90＋24＋1＝115种取法，选B.
(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴共有不同的取法有C45＋C44＋C25C24＝66(种).
答案(1)B(2)D
考点三排列、组合的综合应用
【例3】4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.
(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？
(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？
解(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C14C24C13×A22＝144(种).
(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.
(3)确定2个空盒有C24种方法.
4个球放进2个盒子可分成(3，1)、(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有C34C11A22种方法；第二类有序均匀分组有C24C22A22A22种方法.故共有C24(C34C11A22＋C24C22A22A22)＝84(种).
规律方法(1)解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.
(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异.其次对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”.
【训练3】(1)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为()
A.A26C24B.12A26C24
C.A26A24D.2A26
(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答).
解析(1)法一将4人平均分成两组有12C24种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A26(种).
所以不同的安排方法有12C24A26(种).
法二先从6个班级中选2个班级有C26种不同方法，然后安排学生有C24C22种，故有C26C24C22＝12A26C24(种).
(2)把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C23种分法，再分给4人有C23A24种分法，所以不同获奖情况种数为A44＋C23A24＝24＋36＝60.
答案(1)B(2)60
[思想方法]
1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.
2.排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.
[易错防范]
1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关.
2.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
3.解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义.
4.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是()
A.9B.10C.18D.20
解析由于lga－lgb＝lgab(a＞0，b＞0)，
∴lgab有多少个不同的值，只需看ab不同值的个数.
从1，3，5，7，9中任取两个作为ab有A25种，又13与39相同，31与93相同，∴lga－lgb的不同值的个数有A25－2＝18.
答案C
2.(2016四川卷)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()
A.24B.48C.60D.72
解析由题意，可知个位可以从1，3，5中任选一个，有A13种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A44种方法，所以奇数的个数为A13A44＝3×4×3×2×1＝72，故选D.
答案D
3.有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次.A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名.请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为()
A.6B.18C.20D.24
解析由题意知，名次排列的种数为C13A33＝18.
答案B
4.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为()
A.C27A55B.C27A22
C.C27A25D.C27A35
解析首先从后排的7人中抽2人，有C27种方法；再把2个人在5个位置中选2个位置进行排列有A25种.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是C27A25.
答案C
5.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()
A.36种B.42种C.48种D.54种
解析分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A44种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C13种排法，其他3个节目有A33种排法，故有C13A33种排法.依分类加法计数原理，知共有A44＋C13A33＝42种编排方案.
答案B
6.(2016东北三省四市联考)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法()
A.10B.16C.20D.24
解析一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座.∵要求每人左右均有空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A25＝20种坐法.
答案C
7.(2017本溪模拟)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()
A.72B.120C.144D.168
解析法一先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品中2□相声□”，有A22C13A23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个人，其形式为“□小品1□相声□小品2□”.有A22A34＝48种安排方法，故共有36＋36＋48＝120种安排方法.
法二先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A33A34＝144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有A33A22A22＝24(种)，于是符合题意的排法共有144－24＝120(种).
答案B
8.(2017青岛模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()
A.18种B.24种
C.36种D.72种
解析一个路口有3人的分配方法有C13C22A33(种)；两个路口各有2人的分配方法有C23C22A33(种).
∴由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为C13C22A33＋C23C22A33＝36(种).
答案C
二、填空题
9.7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有________种排法(用数字作答).
解析先排最中间位置有一种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C36种排法，再排剩下右边三个位置，共一种排法，所以排法种数为C36＝20(种).
答案20
10.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种(用数字作答).
解析把g、o、o、d4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；第二步：排两个o，共一种排法，所以总的排法种数为A24＝12(种).其中正确的有一种，所以错误的共A24－1＝12－1＝11(种).
答案11
11.(2016呼和浩特二模)从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有________种(用数字作答).
解析甲型2台乙型1台或甲型1台乙型2台，故共有C25C14＋C15C24＝70种方法.
答案70
12.(2017淮北一模)寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有________种(用数字作答).
解析设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有：BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相等座位的坐法有9×5＝45种坐法.
答案45
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
13.甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有()
A.12种B.24种
C.48种D.120种
解析甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有A44A22种排法，甲乙相邻且在两端有C12A33A22种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有A44A22－C12A33A22＝24(种).
答案B
14.设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为()
A.60B.90
C.120D.130
解析因为xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5，且1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3，
所以xi中至少两个为0，至多四个为0.
①xi(i＝1，2，3，4，5)中4个0，1个为－1或1，A有2C15个元素；
②xi中3个0，2个为－1或1，A有C25×2×2＝40个元素；
③xi中2个0，3个为－1或1，A有C35×2×2×2＝80个元素；
从而，集合A中共有2C15＋40＋80＝130个元素.
答案D
15.(2017黄冈模拟)在某班进行的演进比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为________(用数字作答).
解析若第一个出场是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有C12C13A33＝36种；若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有C12A22A23＝24种.故所有出场顺序的排法种数为36＋24＝60.
答案60
16.(1)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？
(2)已知集合A＝{5}，B＝{1，2}，C＝{1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，那么最多可确定多少个不同的点？
解(1)法一每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数.
分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；
若分配到2所学校有C27×2＝42(种)；
若分配到3所学校有C37＝35(种).
∴共有7＋42＋35＝84(种)方法.
法二10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C69＝84种不同方法.
所以名额分配的方法共有84种.
(2)①从集合B中取元素2时，确定C13A33个点.
②当从集合B中取元素1，且从C中取元素1，则确定的不同点有C13×1＝C13.
③当从B中取元素1，且从C中取出元素3或4，则确定的不同点有C12A33个.
∴由分类加法计数原理，共确定C13A33＋C13＋C12A33＝33(个)不同点.
第3讲二项式定理
最新考纲1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
知识梳理
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tr＋1＝Crnan－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，Cnn.
2.二项式系数的性质
性质性质描述
对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ckn＝Cn－kn
增减性二项式
系数Ckn
当k＜n＋12(n∈N*)时，是递增的
当k＞n＋12(n∈N*)时，是递减的
二项式系数最大值当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与取最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示
(1)Cknan－kbk是二项展开式的第k项.()
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.()
(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.()
解析二项式展开式中Cknan－kbk是第k＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确.
答案(1)×(2)×(3)√(4)√
2.(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是()
A.CmnB.Cm＋1n
C.Cm－1nD.(－1)m－1Cm－1n
解析(x－y)n展开式中第m项的系数为Cm－1n(－1)m－1.
答案D
3.(选修2－3P35练习T1(3)改编)
C02017＋C12017＋C22017＋…＋C20172017C02016＋C22016＋C42016＋…＋C20162016的值为()
A.2B.4
C.2017D.2016×2017
解析原式＝2201722016－1＝22＝4.
答案B
4.(2017石家庄调研)(1＋x)n的二项式展开式中，仅第6项的系数最大，则n＝________.
解析(1＋x)n的二项式展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以n2＋1＝6，n＝10.
答案10
5.x2－2x35展开式中的常数项为________.
解析Tk＋1＝Ck5(x2)5－k－2x3k＝Ck5(－2)kx10－5k.
令10－5k＝0，则k＝2.∴常数项为T3＝C25(－2)2＝40.
答案40
考点一求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】已知在3x－123xn的展开式中，第6项为常数项.
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项.
解(1)通项公式为
Tk＋1＝Cknxn－k3－12kx－k3＝Ckn－12kxn－2k3.
因为第6项为常数项，所以k＝5时，n－2×53＝0，即n＝10.
(2)令10－2k3＝2，得k＝2，
故含x2的项的系数是C210－122＝454.
(3)根据通项公式，由题意10－2k3∈Z，0≤k≤10，k∈N，
令10－2k3＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－32r，
∵k∈N，∴r应为偶数.
∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，
∴第3项，第6项与第9项为有理项，
它们分别为454x2，－638，45256x－2.
规律方法(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，
如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项.
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.
【训练1】(1)(2015全国Ⅰ卷)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()
A.10B.20C.30D.60
(2)(2016全国Ⅰ卷)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是________(用数字作答).
解析(1)法一(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4x＝C13x5.
所以x5y2的系数为C25C13＝30.
法二(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积.
∴x5y2可从其中5个因式中选两个因式取y，两个取x2，一个取x.因此x5y2的系数为C25C23C11＝30.
(2)由(2x＋x)5得Tr＋1＝Cr5(2x)5－r(x)r＝
25－rCr5x5－r2，令5－r2＝3得r＝4，此时系数为10.
答案(1)C(2)10
