苏教版高中数学选修1-12.7圆锥曲线复习（1）。
一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助教师提前熟悉所教学的内容。教案的内容要写些什么更好呢？下面是小编帮大家编辑的《苏教版高中数学选修1-12.7圆锥曲线复习（1）》，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。
年级高二学科数学选修1-1/2-1
总课题圆锥曲线总课时第课时
分课题圆锥曲线复习分课时第1课时
主备人梁靓审核人朱兵上课时间
预习导读
学习目标1．回顾与梳理圆锥曲线旧有知识体系，形成完整的知识结构；
2．掌握圆锥曲线的定义、性质和常用题型，并能熟练应用于综合类题型；
3．进一步提高、提升解决应用类问题和运用解析思想的能力。
一、预习检查
1．命题“≤”的否定是．
2．双曲线上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O是坐标原点，则ON的长为．
3．已知以椭圆C的两个焦点及短轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则椭圆C的离心率为．
4．中心在原点，一个焦点为（3，0），一条渐近线方程为2x-3y=0的双曲线方程是．
5．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1,y1）、B（x2,y2）两点，若=6，则弦的长为．
6．电影放映机上的聚光灯泡的反射镜的轴截面是椭圆的一部分（如右图），
灯丝在焦点F2处，而且灯丝与反光镜的顶点A的距离F2A=1.5cm，
椭圆的通径BC=5.4cm，为了使电影机的片门F1（椭圆的另一焦点）
获得最强的光线，灯泡应安在距片门cm的地方．
二、问题探究
1．回顾本章知识点，梳理成体系：
2．回顾本章题型，总结基本方法：
例1．抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆:的一个焦点，并与椭圆的长轴垂直，已知抛物线与椭圆的一个交点为.
（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；
（2）若双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求双曲线方程．
例2．如图，过抛物线：的焦点的直线与该抛物线交于、两点，若以线段为直径的圆与该抛物线的准线切于点．
（1）求抛物线的方程；
（2）求圆的方程．
例3．已知点在椭圆上,以为圆心的圆与轴相切于椭圆的右焦点.
（1）若圆与轴相切,求椭圆的离心率；
（2）若圆与轴相交于两点,且是边长为2的正三角形，求椭圆的方程.
三、思维训练：
1．焦点在直线x－2y－4=0上的抛物线的标准方程是．
2．已知双曲线的左右焦点为，点在该双曲线上，若是一个直角三角形的三个顶点，则点到的距离为．
3．已知抛物线的焦点恰好是椭圆（＞＞0）的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点，则该椭圆的离心率为．．
4．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为非零常数，则动点P的轨迹为双曲线；②P是抛物线x2＝－4y上的动点，A的坐标为(12,－6)，F为焦点，则PA＋PF的最小值是13；③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线有相同的焦点．其中真命题的序号为___________．
四、课后巩固
1．设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于P、两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率
2．给出下列命题：①“＞2”是“≥2”的必要不充分条件；②“若，则”的逆否命题是假命题；③“9＜＜15”是“方程表示椭圆”的充要条件．其中真命题的个数是个.
3．已知命题：≤，命题：≤，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为．
4．椭圆，右焦点F（c,0），方程的两个根分别为x1,x2，则点P（x1,x2）与圆的位置关系是．
5．已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）；
（Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。
6．如图，过点的两直线与抛物线相切于A、B两点，AD、BC
垂直于直线，垂足分别为D、C，求矩形ABCD面积的最大值.
7．一束光线从点出发，经直线l:上一点反射后，恰好穿过点．
（1）求点的坐标；
（2）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；
（3）设点是椭圆上除长轴两端点外的任意一点，试问在轴上是否存在两定点、，使得直线、的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点、的坐标；若不存在，请说明理由．
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高中数学选修1-12.1圆锥曲线学案(苏教版)
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年级高二学科数学选修1-1/2-1
总课题2.1圆锥曲线总课时第课时
分课题2.1圆锥曲线分课时第1课时
主备人梁靓审核人朱兵上课时间
预习导读(文)阅读选修1-1第25--27页，然后做教学案，完成前三项。
(理)阅读选修2-1第27--29页，然后做教学案，完成前三项。
学习目标1．了解圆锥曲线的由来，理解椭圆、双曲线和抛物线的定义；
2．充分挖掘圆锥曲线的几何特征，注意平面几何知识的应用．
一、预习检查
1．用平行于圆锥面的轴的平面去截圆锥面，截得的图形是————
2．已知是以为焦点，直线为准线的抛物线上一点，若点到直线的距离为，则
3．已知点，动点满足，则点的轨迹是
4．已知点，动点满足为常数），若点的轨迹是以为焦点的双曲线，则常数的取值范围为
二、问题探究
探究1:用平面截圆锥面，能得到哪些曲线？
探究2:用什么样的平面去截圆锥面，能得到椭圆？如何用“dandelin双球构造图”（课本P25图2-1-2）来理解椭圆的几何特征．
探究3:椭圆、双曲线和抛物线的定义有何共同点？有何不同点？
例1．已知圆的半径为，圆内有一定点，为圆周上动点，线段
的垂直平分线交于点.求证：点的轨迹是椭圆.
例2.已知点动点满足为常数）
（1）若，求动点的轨迹；
（2）若，求动点的轨迹；
（3）若，求动点的轨迹.
例3.（理）已知点和直线分别是抛物线的焦点和准线，过点的直线和抛物线交于两点，若，求的中点到直线的距离.
三、思维训练
1．已知是以为焦点的椭圆上的一动点，直线交椭圆于点，以下命题正确的是
①的面积为定值；②的周长为定值；
③直线平分的面积；④直线平分的周长．
2．已知点，动点满足，则动点的轨迹是
3．动点到定点的距离比它到轴的距离多1，则动点的轨迹是
4．（理）已知是以为焦点的椭圆上的一点，以为相邻两条边作平行四边形，证明：点也在这个椭圆上
四、课后巩固
1．平行于圆锥面的一条母线的平面截圆锥面，截得的图形是
2．动圆过点且与直线相切，则动圆圆心的轨迹是
3．已知点，直线的方程为，抛物线以点为焦点，以为准线，直线过点，交抛物线于两点，若，求的长．
4．设是双曲线的两个焦点，过的直线与双曲线的一支交于两点．
若的周长为，求的值．
5．已知点，直线，是抛物线上的一个动点，，垂足为．（1）求证：；
（2）设直线与抛物线的另一个交点为点，直线与轴交于点，连接，求证：．
苏教版高中数学选修1-12.5圆锥曲线的统一定义
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年级高二学科数学选修1-1/2-1
总课题2.5圆锥曲线的统一定义总课时第66课时
分课题2.5圆锥曲线的统一定义分课时第1课时
主备人梁靓审核人朱兵上课时间
预习导读(文)阅读选修1-1第52--54页，然后做教学案，完成前三项。
(理)阅读选修2-1第55--57页，然后做教学案，完成前三项。
学习目标1.了解圆锥曲线的统一定义；
2.掌握根据标准方程求圆锥曲线的焦点坐标和准线方程的方法；
3.通过学习圆锥曲线的方程的推导过程，培养学生观察、动手和总结的能力．
一、预习检查
(1)完成下表:
标准方程图形焦点坐标准线方程
二、问题探究
探究1:平面内到一个定点的距离和到一个定直线（不在上）的距离的比等于1的动点的轨迹是抛物线．当这个比值是一个不等于１的常数时，定点的轨迹又是什么曲线呢？
探究2:在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个方程，
将其变形为，你能解释这个方程的几何意义吗？
在推导双曲线标准方程时，我们也得到一个类似的方程，你能写出来并解释其几何意义吗？
探究３:根据问题１与问题２，你能得出什么结论呢？
例1．已知点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，求点的轨迹．
探究４:例１中若括号中条件变为，点的轨迹是何种曲线？
探究５:焦点在轴上的椭圆与双曲线其准线方程是什么？
例２．已知双曲线上一点到左焦点的距离是，求点到右准线的距离。
三、思维训练
１.试写出下列曲线的焦点坐标与准线方程：
（１）；（2）（２）；（３）．
２.若动圆的圆心在抛物线上，且圆与直线相切，则此动圆恒过定
点．
３.已知点在椭圆内点的坐标为，在椭圆上求一点，使最小．
四、课后巩固
1．椭圆的离心率为．
2．若椭圆的焦点在轴上，离心率，则．
3．若椭圆过点，则其焦距为．
4．的一条准线是，则．
5．已知方程表示双曲线，则的取值范围为．
6．已知双曲线的离心率，则的取值范围为．
７.是抛物线的一条弦，若的中点到轴的距离为１，则弦的长度的最大值为．
８.椭圆的焦点为，点为椭圆上一动点，当为钝角时，求点的横坐标的取值范围．
高中数学必修内容复习(8)---圆锥曲线
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高中数学竞赛标准教材(第十一章圆锥曲线)
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第十一章圆锥曲线
一、基础知识
1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|=2c).
第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0e1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即
(0e1).
第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c1:x2+y2=a2,c2:x2+y2=b2,a,b∈R+且a≠b。从原点出发的射线交圆c1于P，交圆c2于Q，过P引y轴的平行线，过Q引x轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。
2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x轴上，列标准方程为
(ab0)，
参数方程为（为参数）。
若焦点在y轴上，列标准方程为
(ab0)。
3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆
，
a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a,0),(0,±b),(±c,0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为，与右焦点对应的准线为；定义中的比e称为离心率，且，由c2+b2=a2知0e1.
椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。
4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆1(ab0),F1(-c,0),F2(c,0)是它的两焦点。若P(x,y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex.
5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0,y0)的切线方程为
；
2）斜率为k的切线方程为；
3）过焦点F2(c,0)倾斜角为θ的弦的长为
。
6．双曲线的定义，第一定义：
满足||PF1|-|PF2||=2a(2a2c=|F1F2|,a0)的点P的轨迹；
第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(1)的点的轨迹。
7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为
，
参数方程为（为参数）。
焦点在y轴上的双曲线的标准方程为
。
8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线
(a,b0),
a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a,0),(a,0).左、右焦点为F1(-c,0),F2(c,0)，对应的左、右准线方程分别为离心率，由a2+b2=c2知e1。两条渐近线方程为，双曲线与有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。
9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线，F1（-c,0）,F2(c,0)是它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.
2)过焦点的倾斜角为θ的弦长是。
10．抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标为，准线方程为，标准方程为y2=2px(p0)，离心率e=1.
11．抛物线常用结论：若P(x0,y0)为抛物线上任一点，
1）焦半径|PF|=；
2）过点P的切线方程为y0y=p(x+x0)；
3）过焦点倾斜角为θ的弦长为。
12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P的位置，（ρ，θ）称为极坐标。
13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若0e1，则点P的轨迹为椭圆；若e1，则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为。
二、方法与例题
1．与定义有关的问题。
例1已知定点A（2，1），F是椭圆的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P的坐标。
[解]见图11-1，由题设a=5,b=4,c==3,.椭圆左准线的方程为，又因为，所以点A在椭圆内部，又点F坐标为（-3，0），过P作PQ垂直于左准线，垂足为Q。由定义知，则|PF|=|PQ|。
所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM左准线于M)。
所以当且仅当P为AM与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入椭圆方程得，又x0，所以点P坐标为
例2已知P，为双曲线C：右支上两点，延长线交右准线于K，PF1延长线交双曲线于Q，（F1为右焦点）。求证：∠F1K=∠KF1Q.
[证明]记右准线为l，作PDl于D，于E，因为//PD，则，又由定义，所以，由三角形外角平分线定理知，F1K为∠PF1P的外角平分线，所以∠=∠KF1Q。
2．求轨迹问题。
例3已知一椭圆及焦点F，点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程。
[解法一]利用定义，以椭圆的中心为原点O，焦点所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设椭圆方程：=1（ab0）.F坐标为(-c,0).设另一焦点为。连结，OP，则。所以|FP|+|PO|=(|FA|+|A|)=a.
所以点P的轨迹是以F，O为两焦点的椭圆（因为a|FO|=c），将此椭圆按向量m=(,0)平移，得到中心在原点的椭圆：。由平移公式知，所求椭圆的方程为
[解法二]相关点法。设点P(x,y),A(x1,y1)，则，即x1=2x+c,y1=2y.又因为点A在椭圆上，所以代入得关于点P的方程为。它表示中心为，焦点分别为F和O的椭圆。
例4长为a,b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。
[解]设P(x,y)为轨迹上任意一点，A，B，C，D的坐标分别为A(x-,0),B(x+,0),C(0,y-),D(0,y+),记O为原点，由圆幂定理知|OA||OB|=|OC||OD|，用坐标表示为，即
当a=b时，轨迹为两条直线y=x与y=-x；
当ab时，轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线；
当ab时，轨迹为焦点在y轴上的两条等轴双曲线。
例5在坐标平面内，∠AOB=，AB边在直线l:x=3上移动，求三角形AOB的外心的轨迹方程。
[解]设∠xOB=θ,并且B在A的上方，则点A，B坐标分别为B(3,3tanθ),A(3,3tan(θ-)),设外心为P(x,y)，由中点公式知OB中点为M。
由外心性质知再由得
×tanθ=-1。结合上式有
tanθ=①
又tanθ+=②
又
所以tanθ-=两边平方，再将①，②代入得。即为所求。
3．定值问题。
例6过双曲线(a0,b0)的右焦点F作B1B2轴，交双曲线于B1，B2两点，B2与左焦点F1连线交双曲线于B点，连结B1B交x轴于H点。求证：H的横坐标为定值。
[证明]设点B，H，F的坐标分别为(asecα,btanα),(x0,0),(c,0)，则F1，B1，B2的坐标分别为(-c,0),(c,),(c,)，因为F1，H分别是直线B2F，BB1与x轴的交点，所以
①
所以
。
由①得
代入上式得
即（定值）。
注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。
例7设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在准线上，且BC//x轴。证明：直线AC经过定点。
[证明]设，则，焦点为，所以，，，。由于，所以y2-y1=0，即=0。因为，所以。所以，即。所以，即直线AC经过原点。
例8椭圆上有两点A，B，满足OAOB，O为原点，求证：为定值。
[证明]设|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ,∠xOB=，则点A，B的坐标分别为A(r1cosθ,r1sinθ),B(-r2sinθ,r2cosθ)。由A，B在椭圆上有
即①
②
①+②得（定值）。
4．最值问题。
例9设A，B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点，且OAOB（O为原点），求|AB|的最大值与最小值。
[解]由题设a=1，b=,记|OA|=r1,|OB|=r2,，参考例8可得=4。设m=|AB|2=,
因为，且a2b2，所以，所以b≤r1≤a，同理b≤r2≤a.所以。又函数f(x)=x+在上单调递减，在上单调递增，所以当t=1即|OA|=|OB|时，|AB|取最小值1；当或时，|AB|取最大值。
例10设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为，若圆C：1上点与这椭圆上点的最大距离为，试求这个椭圆的方程。
[解]设A，B分别为圆C和椭圆上动点。由题设圆心C坐标为，半径|CA|=1，因为|AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+1，所以当且仅当A，B，C共线，且|BC|取最大值时，|AB|取最大值，所以|BC|最大值为
因为；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t,,t，椭圆方程为，并设点B坐标为B(2tcosθ,tsinθ)，则|BC|2=(2tcosθ)2+=3t2sin2θ-3tsinθ++4t2=-3(tsinθ+)2+3+4t2.
若，则当sinθ=-1时，|BC|2取最大值t2+3t+，与题设不符。
若t,则当sinθ=时，|BC|2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1.
所以椭圆方程为。
5．直线与二次曲线。
例11若抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a的取值范围。
[解]抛物线y=ax2-1的顶点为(0,-1)，对称轴为y轴，存在关于直线x+y=0对称两点的条件是存在一对点P(x1,y1)，(-y1,-x1)，满足y1=a且-x1=a(-y1)2-1，相减得x1+y1=a(),因为P不在直线x+y=0上，所以x1+y1≠0,所以1=a(x1-y1)，即x1=y1+
所以此方程有不等实根，所以，求得，即为所求。
例12若直线y=2x+b与椭圆相交，（1）求b的范围；（2）当截得弦长最大时，求b的值。
[解]二方程联立得17x2+16bx+4(b2-1)=0.由Δ0，得b；设两交点为P(x1,y1),Q(x2,y2)，由韦达定理得|PQ|=。所以当b=0时，|PQ|最大。
三、基础训练题
1．A为半径是R的定圆⊙O上一定点，B为⊙O上任一点，点P是A关于B的对称点，则点P的轨迹是________.
2．一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m2(0)，则动点的轨迹是________.
3．椭圆上有一点P，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是________.
4．双曲线方程，则k的取值范围是________.
5．椭圆，焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2=600，则ΔF1PF2的面积是________.
6．直线l被双曲线所截的线段MN恰被点A（3，-1）平分，则l的方程为________.
7．ΔABC的三个顶点都在抛物线y2=32x上，点A（2，8），且ΔABC的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线BC的斜率为________.
8．已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一条准线方程为5y+4=0，则双曲线方程为________.
9．已知曲线y2=ax，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点的直线的倾斜角为450，那么a=________.
10.P为等轴双曲线x2-y2=a2上一点，的取值范围是________.
11．已知椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，设P是它们的一个焦点，求∠F1PF2和ΔPF1F2的面积。
12．已知（i）半圆的直径AB长为2r；（ii）半圆外的直线l与BA的延长线垂直，垂足为T，设|AT|=2a(2a)；（iii）半圆上有相异两点M，N，它们与直线l的距离|MP|，|NQ|满足求证：|AM|+|AN|=|AB|。
13．给定双曲线过点A（2，1）的直线l与所给的双曲线交于点P1和P2，求线段P1P2的中点的轨迹方程。
四、高考水平测试题
1．双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点，它的一条渐近线方程是=0，则此双曲线的标准方程是_________.
2．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若A，B在抛物线准线上的射影分别是A1，B1，则∠A1FB1=_________.
3．双曲线的一个焦点为F1，顶点为A1，A2，P是双曲线上任一点，以|PF1|为直径的圆与以|A1A2|为直径的圆的位置关系为_________.
4．椭圆的中心在原点，离心率，一条准线方程为x=11，椭圆上有一点M横坐标为-1，M到此准线异侧的焦点F1的距离为_________.
5．4a2+b2=1是直线y=2x+1与椭圆恰有一个公共点的_________条件.
6．若参数方程（t为参数）表示的抛物线焦点总在一条定直线上，这条直线的方程是_________.
7．如果直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则m的范围是_________.
8．过双曲线的左焦点，且被双曲线截得线段长为6的直线有_________条.
9．过坐标原点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点F，则直线l的倾斜角为_________.
10．以椭圆x2+a2y2=a2(a1)的一个顶点C（0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的三角形最多可作_________个.
11．求椭圆上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。
12．设F，O分别为椭圆的左焦点和中心，对于过点F的椭圆的任意弦AB，点O都在以AB为直径的圆内，求椭圆离心率e的取值范围。
13．已知双曲线C1：(a0)，抛物线C2的顶点在原点O，C2的焦点是C1的左焦点F1。
（1）求证：C1，C2总有两个不同的交点。
（2）问：是否存在过C2的焦点F1的弦AB，使ΔAOB的面积有最大值或最小值？若存在，求直线AB的方程与SΔAOB的最值，若不存在，说明理由。
五、联赛一试水平训练题
1．在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是_________.
2．设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，ΔOPQ面积为_________.
3．给定椭圆，如果存在过左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，且OPOQ，则离心率e的取值范围是_________.
4．设F1，F2分别是双曲线(ab0)的左、右焦点，P为双曲线上的动点，过F1作∠F1PF2平分线的垂线，垂足为M，则M的轨迹为_________.
5．ΔABC一边的两顶点坐标为B（0，）和C（0，），另两边斜率的乘积为，若点T坐标为(t,0)(t∈R+),则|AT|的最小值为_________.
6．长为l(l1)的线段AB的两端点在抛物线y=x2上滑动，则线段AB的中点M到x轴的最短距离等于_________.
7．已知抛物线y2=2px及定点A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa，M是抛物线上的点，设直线AM，BM与抛物线的另一个交点分别为M1，M2，当M变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为_________.
8．已知点P（1，2）既在椭圆内部（含边界），又在圆x2+y2=外部（含边界），若a,b∈R+,则a+b的最小值为_________.
9．已知椭圆的内接ΔABC的边AB，AC分别过左、右焦点F1，F2，椭圆的左、右顶点分别为D，E，直线DB与直线CE交于点P，当点A在椭圆上变动时，试求点P的轨迹。
10．设曲线C1：（a为正常数）与C2：y2=2(x+m)在x轴上方有一个公共点P。（1）求实数m的取值范围（用a表示）；
（2）O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0a时，试求ΔOAP面积的最大值（用a表示）。
11．已知直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（-1，0）和B（0，8）关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线的方程。
六、联赛二试水平训练题
1．在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G，求证：∠GAC=∠EAC。
2．求证：在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点，每段长都为1的闭折线，它的每个顶点坐标都是有理数。
3．以B0和B1为焦点的椭圆与ΔAB0B1的边ABi交于Ci(i=0,1)，在AB0的延长线上任取点P0，以B0为圆心，B0P0为半径作圆弧交C1B0的延长线于Q0；以C1为圆心，C1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于P1；B1为圆心，B1P1为半径作圆弧P1Q1交B1C0的延长线于Q1；以C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧Q1，交AB0的延长线于。求证：（1）点与点P0重合，且圆弧P0Q0与P0Q1相内切于P0；（2）P0，Q0，P1，Q1共圆。
4．在坐标平面内，从原点出发以同一初速度v0和不同发射角（即发射方向与x轴正向之间的夹角）α(α∈[0,π],α≠)射出的质点，在重力的作用下运动轨迹是抛物线，所有这些抛物线组成一个抛物线族，若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直，则称这个交点为正交点。证明：此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧，并求此椭圆弧的方程（确定变量取值范围）。
5．直角ΔABC斜边为AB，内切圆切BC，CA，AB分别于D，E，F点，AD交内切圆于P点。若CPBP，求证：PD=AE+AP。
6．已知BCCD，点A为BD中点，点Q在BC上，AC=CQ，又在BQ上找一点R，使BR=2RQ，CQ上找一点S，使QS=RQ，求证：∠ASB=2∠DRC。
答案：
基础训练题
1．圆。设AO交圆于另一点是A关于的对称点。则因为AB，所以P在以为直径的圆上。
2．圆或椭圆。设给定直线为y=±kx(k0),P(x,y)为轨迹上任一点，则。化简为2k2x2+2y2=m2(1+k2).
当k≠1时，表示椭圆；当k=1时，表示圆。
3．12．由题设a=10,b=6,c=8，从而P到左焦点距离为10e=10×=8,所以P到右焦点的距离为20-8=12。
4．-2k2或k5.由(|k|-2)(5-k)0解得k5或-2k2.
5.设两条焦半径分别为m,n，则因为|F1F2|=12,m+n=20.由余弦定理得122=m2+n2-2mncos600,即(m+n)2-3mn=144.所以，
6．3x+4y-5=0.设M(x1,y1),N(x2,y2)，则两式相减得-(y1+y2)(y1-y2)=0.由，得。故方程y+1=(x-3).
7.-4.设B(x1,y1),C(x2,y2)，则=0，所以y1+y2=-8，故直线BC的斜率为
8．=1。由渐近线交点为双曲线中心，解方程组得中心为(2,1)，又准线为，知其实轴平行于y轴，设其方程为=1。其渐近线方程为=0。所以y-1=(x-1).由题设，将双曲线沿向量m=(-2,-1)平移后中心在原点，其标准方程为=1。由平移公式平移后准线为，再结合，解得a2=9，b2=16，故双曲线为=1。
9．2．曲线y2=ax关于点（1，1）的对称曲线为(2-y)2=a(2-x),
由得y2-2y+2-a=0,故y1+y2=2,从而=
=1，所以a=2.
10．（2，]。设P(x1,y1)及，由|PF1|=ex1+a
,|PF2|=ex1-a,|PF1|+|PF2|=2ex1,所以，即。因，所以，所以即2t≤2.
11.解：由对称性，不妨设点P在第一象限，由题设|F1F2|2=4=4c2，又根据椭圆与双曲线定义
解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.
在ΔF1PF2中，由余弦定理
从而
又sin∠F1PF2=
所以
12．解：以直线AB为x轴，AT的中垂线为y轴建立直角坐标系，则由定义知M，N两点既在抛物线y2=4ax上，又在圆[x-(a+r)]2+y2=r2上，两方程联立得x2+(2a-2r)x+2ra+a2=0，设点M，N坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则x1+x2=2r-2a.又|AM|=|MP|=x1+a，|AN|=|NP|=x2+a.|AB|=2r，所以
|AM|+|AN|=x1+x2+2a=2r=|AB|.
得证。
13．解：若直线l垂直于x轴，因其过点A(2,1)，根据对称性，P1P2的中点为（2，0）。
若l不垂直于x轴，设l的方程为y-1=k(x-2)，即
y=kx+1-2k.①
将①代入双曲线方程消元y得
(2-k2)x2+2k(2k-1)x-(4k2-4k+3)=0.②
这里且Δ=[2k(2k-1)]2+4(2-k)2(4k2-4k+3)=8(3k2-4k+3)0,
设x1,x2是方程②的两根，由韦达定理
③
由①，③得y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k)
=k(x1+x2)+2(1-2k)=④
设P1P2的中点P坐标(x,y)，由中点公式及③，④得
消去k得
点（2，0）满足此方程，故这就是点P的轨迹方程。
高考水平测试题
1．由椭圆方程得焦点为，设双曲线方程，渐近线为由题设，所以a2=3b2,又,c2=a2+b2.所以b2=12,a2=36.
2.900。见图1，由定义得|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|，有∠1=∠BFB1，∠2=∠AFA1，又∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠3+∠4=∠BFB1+∠AFA1=900。
3．相切，若P(x,y)在左支上，设F1为左焦点，F2为右焦点，M为PF1中点，则|MO|=|PF2|=(a-ex)，又|PF1|=-a-ex，所以两圆半径之和(-a-ex)+a=(a-ex)=|MO|，所以两圆外切。当P(x,y)在右支上时，同理得两圆内切。
4．与F1对应的另一条准线为x=-11，因|MF1|与M到直线x=-11距离d1之比为e，且d1=|xm+11|=10.所以，所以|MF1|=
5．充要。将y=2x+1代入椭圆方程得(b2+4a2)x2+4a2x+a2(1-b2)=0.①
若Δ=(4a2)2-4(b2+4a2)a2(1-b2)=0，则直线与椭圆仅有一个公共点，即b2+4a2=1；反之，4a2+b2=1，直线与椭圆有一个公共点。
6．y=2(x-1)。消去参数得(y-2m)2=4(x-m)，焦点为它在直线y=2(x-1)上。
7．1≤m5。直线过定点(0,1)，所以0≤1.又因为焦点在x轴上，所以5m,所以1≤m5。
8．3．双曲线实轴长为6，通径为4，故线段端点在异支上一条，在同支上有二条，一共有三条。
9．或。设直线l:y=kx与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)，把y=kx代入椭圆方程得(1+3k2)x2-6x+3=0，由韦达定理得
①
②
因F（1，0），AFBF，所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即
x1x2-(x1+x2)+1+k2x1x2=0.③
把①，②代入③得，所以倾斜角为或
10．3．首先这样的三角形一定存在，不妨设A，B分别位于y轴左、右两侧，设CA斜率为k(k0)，CA的直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程为(a2k2+1)x2+2a2kx=0，得x=0或，于是，|CA|=
由题设，同理可得|CB|=,利用|CA|=|CB|可得
(k-1)[k2-(a2-1)k+1]=0,
解得k=1或k2-(a2-1)k+1]=0。①
对于①，当1a时，①无解；当时，k=1；当a时，①有两个不等实根，故最多有3个。
11．解设焦点为F1，F2，椭圆上任一点为P(x0,y0),∠F1PF2=θ,根据余弦定理得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ,
又|PF1|+|PF2|=2a，则4c2=(2a)2-2|PF1||PF2|(1+cosθ),再将|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0及a2=b2+c2代入得4b2=2(a2-e2)(1+cosθ).
于是有
由0，得，所以。因θ∈[0，π]，所以cosθ为减函数，故0
当2b2a2即时，，arccos，sinθ为增函数，sinθ取最大值；当2b2≤a2时，arccos,θ∈[0,π]，则sinθ最大值为1。
12．解设A(x1,y1),B(x2,y2)，若AB斜率不为0，设为k，直线AB方程为y=k(x+c)，代入椭圆方程并化简得
(b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2(k2c2-b2)=0.①
则x1,x2为方程①的两根，由韦达定理得
②
③
因为y1y2=k2(x1+c)(x2+c)，再由②，③得
所以=x1x2+y1y2=,O点在以AB为直径的圆内，等价0，即k2(a2c2-b4)-a2b20对任意k∈R成立，等价于a2c2-b2≤0,即ac-b2≤0,即e2+e-1≤0.所以0e≤
若斜率不存在，问题等价于即，综上
13．解（1）由双曲线方程得，所以F1(,0)，抛物线焦点到准线的距离，抛物线
①
把①代入C1方程得
②
Δ=64a20，所以方程②必有两个不同实根，设为x1,x2,由韦达定理得x1x2=-a20，所以②必有一个负根设为x1,把x1代入①得y2=,所以（因为x1≠0），所以C1，C2总有两个不同交点。
（2）设过F1(,0)的直线AB为my=(x+a),由得y2+4may-12a2=0，因为Δ=48m2a2+48a20，设y1,y2分别为A，B的纵坐标，则y1+y2=,y1y2=-12a2.所以(y1-y2)2=48a2(m2+1).所以SΔAOB=|y1-y2||OF1|=aa，当且仅当m=0时，SΔAOB的面积取最小值；当m→+∞时，SΔAOB→+∞，无最大值。所以存在过F的直线x=使ΔAOB面积有最小值6a2.
联赛一试水平训练题
1．m5.由已知得，说明(x,y)到定点（0,-1）与到定直线x-2y+3=0的距离比为常数，由椭圆定义1，所以m5.
2.因为b=|PQ|=|PF|+|QF|=,所以。所以SΔOPQ=absinθ=.
3.。设点P坐标为(r1cosθ,r1sinθ),点Q坐标为(-r2sinθ,r2cosθ)，因为P，Q在椭圆上，可得，RtΔOPQ斜边上的高为≤|OF|=c.所以a2b2≤c2(a2+b2)，解得≤e1.
4.以O为圆心，a为半径的圆。延长F1M交PF2延长线于N，则F2N，而|F2N|=|PN|-|PF2|=|PF1|-|PF2|=2a，所以|OM|=a.
5.t∈(0,1]时|AT|min=,t1时|AT|min=|t-2|.由题设kABkAC=-,设A(x,y)，则(x≠0)，整理得=1(x≠0)，所以|AT|2=(x-t)2+y2=(x-t)2+(x-2t)2+2-t2.因为|x|≤2,所以当t∈(0,1]时取x=2t,|AT|取最小值。当t1时，取x=2，|AT|取最小值|t-2|.
6.设点M(x0,y0)，直线AB倾斜角为θ，并设A(x0-),B(x0+),因为A，B在抛物线上，所以
①
②
由①，②得2x0cosθ=sinθ.③
所以
因为l21，所以函数f(x)=.在（0，1]在递减，
所以。当cosθ=1即l平行于x轴时，距离取最小值
7．设，由A，M，M1共线得y1=，同理B，M，M2共线得，设(x,y)是直线M1M2上的点，则y1y2=y(y1+y2)-2px，将以上三式中消去y1,y2得
y02(2px-by)+y02pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0.
当x=a,y=时上式恒成立，即定点为
8．。由题设且a2+2b2≤15，解得5≤b2≤6.
所以a+b≥(t=b2-4∈[1,2])，而
，又t≤2可得上式成立。
9．解设A(2cosθ,),B(2cosα,sinα),C(2cosβ,sinβ)，这里α≠β，则过A，B的直线为lAB：，由于直线AB过点F1(-1,0)，代入有(sinθ-sinα)(1+2cosθ)=2sinθ(cosθ-cosα)，即2sin(α-θ)=sinθ-sinα=2,故，即。又lBD:(x+2)=，同理得。lCE:(x-2)=
(x-2).
两直线方程联立，得P点坐标为，消去得点P(x,y)在椭圆上（除去点(-2,0),(2,0)）.
10.解（1）由消去y得x2+2a2x+2a2m-a2=0,①设f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2，问题（1）转化为方程①在x∈(-a,a)上有唯一解或等根。只需讨论以下三种情况：
10．Δ=0，得，此时xp=-a2，当且仅当-a-a2a即0a1时适合；20。f(a)f(-a)0，当且仅当-ama时适合；30。f(-a)=0得m=a，此时xp=a-2a2，当且仅当-aa-2a2a即0a1时适合。令f(a)=0得m=-a，此时xp=-a-2a2.由于-a-2a2-a，从而m≠-a.综上当0a1时，或-am≤a；当a≥1时，-ama.
(2)ΔOAP的面积因为0a,故当-am≤a时，0-a2+,由唯一性得xp=-a2+.当m=a时，xp取最小值。由于xp0，从而时取值最大，此时，故；当时，xp=-a2，yp=,此时以下比较与的大小。令，得，故当0a≤时，，此时；当时，有，此时
11．解：设A，B关于l的对称点分别为A1(x2,y2),B1(x1,y1)，则AA1中点在l上，
所以y2=k(x2-1)①
又lAA1,所以
②
由①，②得
同理，由BB1中点在l上，且lBB1,解得
设抛物线方程为y2=2px，将A1，B1坐标代入并消去p得k2-k-1=0.
所以，由题设k0，所以，从而
所以直线l的方程为，抛物线C的方程为
联赛二试水平训练题
1．以A为原点，直线AC为x轴，建立直角坐标系，设C(c,0),F(f,0),D(xD,kxD),B(xB,-kxB)，则直线DF的方程为
①
直线BC的方程为②
c×①-f×②得
(c-f)x+③
③表示一条直线，它过原点，也过DF与BC的交点G，因而③就是直线AG的方程。
同理
，直线AE的方程为
(c-f)x+④
③，④的斜率互为相反数，所以∠GAC=∠EAC。
2．证明假设这样的闭折线存在，不妨设坐标原点是其中一个顶点，记它为A0，其他顶点坐标为：，…，，其中都是既约分数，并记An+1=A0.若p与q奇偶性相同，则记p≡q，否则记p≠q，下面用数学归纳法证明。
bk≡1,dk≡1(k=1,2,…,n)，ak+ck≠ak-1+ck-1(k=1,2,…,n,n+1)。
当k=1时，由，得，因为a1,b1互质，所以d1被b1整除，反之亦然（即b1被d1整除）。
因此b1=±d1，从而不可能都是偶数（否则b1也是偶数，与互质矛盾）；不可能都是奇数，因为两个奇数的平方和模8余2不是4的倍数，也不可能是完全平方数，因此，a1≠c1,b1≡d1≡1，并且a1+c1≠0=a0+c0.
设结论对k=1,2,…,m-1≤n都成立，令
这里是既约分数，因为每一段的长为1，所以=1，与k=1情况类似：a≡c,d≡b≡1，又因为，分数既约，所以bm是bbm-1的一个因子，bm≡1.
同理可知dm≡1,又am≡abm-1+bam-1（同理cm≡cdm-1+dcm-1）.
因此(am+cm-am-1-cm-1)≡(abm-1+bam-1+cdm-1+dcm-1-am-1-cm-1)≡am-1(b-1)+abm-1+cm-1(d-1)+cdm-1≡a+c≡1.
所以am+cm≠am-1+cm-1，结论成立，于是在顶点数n+1为奇数时，an+1+cn+1≠a0+c0，故折线不可能是闭的。
3．证明（1）由已知B0P0=B0Q0，并由圆弧P0Q0和Q0P0，Q0P1和P1Q1，P1Q1和Q1P1分别相内切于点Q0，P1，Q1，得C1B0+B0Q0=C1P1，B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1以及C0Q1=C0B0+，四式相加，利用B1C1+C1B0=B1C0+C0B0，以及。在B0P0或其延长线上，有B0P0=B0，从而可知点与点P0重合。由于圆弧Q1P0的圆心C0，圆弧P0Q0的圆心B0以及P0在同一直线上，所以圆弧Q1P0和P0Q0相内切于点P0。
（2）现分别过点P0和P1引上述相应相切圆弧的公切线P0T和P1T交于点T。又过点Q1引相应相切圆弧的公切线R1S1，分别交P0T和P1T于点R1和S1，连接P0Q1和P1Q1，得等腰ΔP0Q1R1和ΔP1Q1S1，由此得∠P0Q1P1=π-∠P0Q1P1-∠P1Q1S1=π-(∠P1P0T-∠Q1P0P)-(∠P0P1T-∠Q1P1P0),而π-∠P0Q1P1=∠Q1P0P1+∠Q1P1P0，代入上式后，即得∠P0Q1P1=π-(∠P0B0Q0+∠P1C1Q0).
同理得∠P0Q0P1=π-(∠P0B0Q0+∠P1C1Q0)，所以P0，Q0，Q1，P1共圆。
4．证明引理：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在(x0,y0)处的切线斜率是2ax0+b.
引理的证明：设(x0,y0)处的切线方程为y-y0=k(x-x0)，代入抛物线方程得
ax2+(b-k)x+c+kx0-y0=0.①
又
故①可化简成(x-x0)[a(x+x0)+b-k]=0,②
因为②只有一个实根，所以k=2ax0+b.引理得证。
设P(x0,y0)为任一正交点，则它是由线y=xtanx2与y=xtanx2的交点，则两条切线的斜率分别为（由引理）
又由题设k1k2=-1，所以
③
又因为P(x0,y0)在两条抛物线上，所以代入③式得
（※）
又因为tanα1,tanα2是方程t2-t+=0的两根，所以
tanα1+tanα2=④
tanα1tanα2=。⑤
把④，⑤代入（※）式得
，即
5．证明以C为原点，CB所在直线为x轴，建立直角坐标系，设∠ADC=θ，|PD|=r.各点坐标分别为D(x1,0),E(0,x1),A(0,x1tanθ),B(x0,0),P(x1-rcosθ,rsinθ).
则lAB方程为，即x1x+x0cotθy-x1x0=0,因为lAB与圆相切，可得x1=x0x1cotθ-x1x0|，约去x1,再两边平方得
，所以x1.①
又因为点P在圆上，所以(rcos)2+(x1-rsin)2=，化简得r=2x1sin.②
要证DP=AP+AE2DP=AD+AE2r=+x1tan-x11+sin-cos=4sincos.③
又因为，所以
因为=(x1-x0-rcosθ,rsinθ),=(x1-rcosθ,rsinθ),
所以(x1-rcosθ)(x1-rcosθ-x0)+r2sin2θ=0.④
把②代入④化简得
⑤
由①得x0=x1
代入⑤并约去x1,化简得4sin22-3sin2=0，因为sin2≠0，所以sin2=，又因为sin==cos，所以sin-cos0.
所以sin-cos=，所以1+sin-cos==4sincos，即③成立。所以DP=AP+AE。
6．证明设BC=d，CD=b，BD=c，则AC=CQ=，取BC中点M，则AMBC，以M为原点，直线BC为x轴建立直角坐标系，则各点坐标分别为，，，，，因为，所以点，所以
因为0∠DRC，0∠ASQπ，所以只需证tan∠ASQ=tan2∠DRC,即，化简得9d2-9c2-9b2=0即d2=b2+c2，显然成立。所以命题得证。
