向量。

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，高中教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容，帮助高中教师掌握上课时的教学节奏。那么，你知道高中教案要怎么写呢？下面是小编为大家整理的“向量”，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。

总课题期末复习总课时第39课时
分课题向量二分课时第2课时
基础训练
1、已知，，则与的夹角为。
2、设向量与的夹角为，且，，则。
3、与向量垂直的单位向量是。
4、已知，，则时，与垂直。
5、已知，，∥，则=。
6、已知是夹角为的两个单位向量，则。
7、已知为互相垂直的单位向量，，且向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）
A、B、
C、D、
8、如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东，灯塔B在观察站C的南偏东，则灯塔A与灯塔B的距离为（）
A、B、C、D、
例题剖析
例1、已知，。
（1）、若∥，求；
（2）、若向量与的夹角为，求；
（3）、若与垂直，求与的夹角。

例2、已知，，
（1）、求向量与的夹角的余弦值；
（2）、求实数，使得与为互相垂直的向量。jaB88.COM

例3、已知，，。
（1）、求证：；
（2）、若与的模相等，且，求的值。

例4、已知四点的坐标分别为是线段上的任意一点，求的最小值。
课后训练
班级：高一（）班姓名__________
1、设向量，，则=。
2、已知，，且，则与的夹角是。
3、在三角形ABC中，，则的值为（）
A、0B、1C、D、2
4、若非零向量与满足，则必有（）
A、B、C、∥D、
5、已知向量，，若不超过5，则的取值范围是。
6、若在直角三角形ABC中，，那么=。
7、三角形ABC中，设，若，则三角形ABC是。
A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、无法确定。
8、给出下列四个命题：①若且，则；②若，则或；③；④；⑤若∥，则。其中正确的命题的个数是。
9、已知，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是。
10、设向量，规定两向量之间的一个运算为
，若已知，，则。
11、已知点，，。
（1）、试判断△ABC形状；
（2）、若A，B，C是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D的坐标。

12、在△ABC中，已知，边上的高为，求

13、12、已知平面上三个向量的模均为1，它们相互之间的夹角均为。
（1）、求证：。
（2）、若，求的取值范围。

14、已知向量，，且满足关系，其中，
（1）、求与的数量积用表示的解析式；
（2）、能否和垂直？能否和平行？若不能，说明理由；若能，求出相应的值；
（3）、求与夹角的最大值。

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从平面向量到空间向量导学案

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助教师能够更轻松的上课教学。我们要如何写好一份值得称赞的教案呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“从平面向量到空间向量导学案”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

§1从平面向量到空间向量

学习目标
1.了解向量由平面到空间的推导过程
2.理解空间向量的概念
3.理解直线的方向向量和平面的法向量的概念，并会求直线的方向向量和平面的法向量
学习过程
一、课前准备

复习：平面向量基本概念：
具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度）；叫零向量，记着；叫单位向量.叫相反向量，的相反向量记着.叫相等向量，向量的表示方法有，，
和共三种方法.

二、新课导学
※学习探究
探究任务一：空间向量的相关概念
问题：1.什么叫空间向量？

2.空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？

3.空间向量如何表示？

4.向量的夹角的概念、表示、垂直与平行如何表示？

探究任务二：向量、直线、平面的相关概念

问题：1.直线的方向向量概念
2.平面的法向量概念

※典型例题
例1见P26思考与交流例子
三、总结提升
※学习小结
1.空间向量基本概念；
2.直线的方向向量概念
3平面的法向量的概念
4.向量的夹角及垂直、平行与夹角的关系

学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1.下列说法中正确的是（）
A.若∣∣=∣∣，则，的长度相同，方向相反或相同;
B.若与是相反向量，则∣∣=∣∣;
C.空间向量的减法满足结合律;
D.在四边形ABCD中，一定有.
2.已知向量，是两个非零向量，是与，同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（）
A.B.或
C.D.∣∣=∣∣
3.在四边形ABCD中，若,则四边形是（）
A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形
4.下列说法正确的是（）
A.零向量没有方向
B.空间向量不可以平行移动
C.如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D.同向且等长的有向线段表示同一向量

§2空间向量的运算（一）

一、选择题
1.下列说法中正确的是（）
A.若∣∣=∣∣，则，的长度相同，方向相反或相同;
B.若与是相反向量，则∣∣=∣∣;
C.空间向量的减法满足结合律;
D.在四边形ABCD中，一定有.
2.已知向量，是两个非零向量，是与，同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（）
A.B.或
C.D.∣∣=∣∣
3.下列说法正确的是（）
A.零向量没有方向
B.空间向量不可以平行移动
C.如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D.同向且等长的有向线段表示同一向量
二、填空题
4.长方体中，化简=.
5.如果都是平面的法向量，则的关系.
三、解答题
6.已知平行六面体,M为AC与BD的交点，化简下列表达式：
⑴;⑵;
⑶；⑷.

创新与实践:
已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

错误反思
题号错题分析正确解法

§2空间向量的运算

一、选择题
1.下列说法正确的是（）
A.向量与非零向量共线，与共线，则与共线；
B.任意两个共线向量不一定是共线向量；
C.任意两个共线向量相等；
D.若向量与共线，则.
2.已知平行六面体，M是AC与BD交点，若，
则与相等的向量是（）
A.B.
C.D.
3.下列命题中：
①若，则，中至少一个为
②若且，则
③
④
正确有个数为（）
A.0个B.1个C.2个D.3个
二、填空题
3.已知中，所对的边为，且,,则=
4.已知向量满足，，，则________
三、解答题
6.已知平行六面体，点M是棱AA的中点，点G在对角线AC上，且CG:GA=2:1,设=，，试用向量表示向量.

创新与实践:
已知为平行四边形，且，求的坐标.

错误反思

题号错题分析正确解法

§3向量的坐标表示和空间向量基本定理(一)

一、选择题
1.则（）
A．－15B．－5C．－3D．－1

2.若，且的夹角为钝角，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
3.已知，且，则（）
A.B.
C.D.
二、填空题
4.设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且
，则点B的坐标是.
5.已知，且，则x＝.
三、解答题
6.已知，求：
⑴；⑵；⑶；⑷；（5）.

创新与实践:
已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：
⑴线段AB的中点坐标和长度；
⑵到A、B两点距离相等的点的坐标x、y、z满足的条件．

错误反思

题号错题分析正确解法
§3向量的坐标表示和空间向量基本定理(二)
一、选择题
1.若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（）
A.B.
C.D.
2.在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为（）
A．0B.1C.2D.3
3.已知,与的夹角为120°，则的值为（）
A.B.C.D.
二、填空题
4.在三棱锥OABC中，G是的重心（三条中线的交点），选取为基
底，试用基底表示＝.
5.已知关于x的方程有两个实根，，且
，当t＝时，的模取得最大值.
三、解答题
如图,在单位正方体中，点分别是的一个四等分点.
(1)求与的坐标;
(2)求与所成的角的余弦值．

创新与实践:
如图，正方体的棱长为，
⑴求的夹角；⑵求证：.

错误反思

题号错题分析正确解法
§4用向量讨论垂直与平行（一）

一、选择题
1.若＝，＝，则是的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不不要条件
2.已知且与互相垂直，则的值是（）
A.1B.C.D.
3.下列各组向量中不平行的是（）
A.B.
C.D.
二、填空题
4.设分别是直线的方向向量，则直线的位置关系
是.
5.已知向量，若，则______；若则______.
三、解答题
6.设分别是平面的法向量，判断平面的位置关系：
⑴；
⑵.
创新与实践:
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=a，E为PB的中点，在平面PAD内求一点F，使得EF⊥平面PBC。
错误反思
题号错题分析正确解法

§4用向量讨论垂直与平行(二)
一、选择题
1.下列说法正确的是（）
A.平面的法向量是唯一确定的
B.一条直线的方向向量是唯一确定的
C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量
D.若是直线的方向向量，，则
2.已知，能做平面的法向量的是（）
A.B.C.D.
3.已知，，则以、为邻边的平行四边形的面积为（）
A.B.C.4D.
二、填空题
4.设分别是平面的法向量，则平面的位置关系
是.
5.若向量，则这两个向量的位置关系是___________.
三、解答题
6.如图，在四面体中，，点分别是的中点．
求证：
（1）直线面；
（2）平面面．

创新与实践:
用向量方法证明：(三垂线定理的逆定理)如果平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线b,那么直线垂直于直线b在这个平面上的射影.

错误反思

题号错题分析正确解法

§5夹角的计算（一）
一、选择题
1.已知向量，若，设，则与轴夹角
的余弦值为（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
2.若，，与的夹角为，则的值为（）

A.17或-1B.-17或1C.-1D.1
3.在正方体中，为的交点，则与所成角的
（）
Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.
二、填空题
4.若，且，则与的夹角为____________.
5.若向量与的夹角为，，，则.
三、解答题
6.设空间两个不同的单位向量与向量的夹角
都等于45.
(1)求和的值；(2)求的大小.

创新与实践:
如图，已知点P在正方体的对角线上，∠PDA=60°.
求DP与所成角的大小.

错误反思

题号错题分析正确解法

§5夹角的计算（二）
一、选择题
1.若A，B，C，则△ABC的形状是（）
A.不等边锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形
2.若向量，且与的夹角余弦为，则等于（）
A.B.C.或D.或
3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成
角的正弦值为()
A.B.
C.D.
二、填空题
4.直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，，AA1=6，E为AA1
的中点，则平面EBC1与平面ABC所成的二面角的大小为.
5.在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面
直线和所成角的余弦值为.
三、解答题
6.如图3，已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，是直角，，求异面直线与所成角的大小.
创新与实践:
如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=1，,AB1与A1B相交于点D，M为B1C1的中点.
（1）求证：CD⊥平面BDM；
（2）求平面B1BD与平面CBD所成二面角的大小.
错误反思
题号错题分析正确解法

§6距离的计算（一）
一、选择题
1.设，，，则线段的中点到点的距离
为()
A.B.C.D.
2.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是()
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60°
3.四边形为正方形，为平面外一点，，二面角
为，则到的距离为（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．2Ｄ．
二、填空题
4.如图，P—ABCD是正四棱锥，是正方体，
其中，则到平面PAD的距离为.
5.已知正方体的棱长是，则直线与
间的距离为。
三、解答题
6.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1,求点C到平面AEC1F的距离.

创新与实践:
如图,是矩形,平面,,,分别是的中点,求点到平面的距离.

错误反思
题号错题分析正确解法
§6距离的计算（二）

一、选择题
1.正方体的棱长为1，
是的中点，则点到平面距离等于（）
Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.
2．一条长为的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是和，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂足的距离是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
3.三角形ABC的三个顶点分别是，，，则AC边上的高BD长为（）
A.5B.C.4D.
二、填空题
4.已知是异面直线，那么：
①必存在平面过且与平行；②必存在平面过且与垂直；
③必存在平面与都垂直；④必存在平面与距离都相等．
其中正确命题的序号是．
2.已知空间四边形，点分别为的中点，且
,用，，表示，则=______________________.
三、解答题
6.如图，在长方体中，，点在棱上移
（1）证明：；
（2）当为的中点时，求点到面的距离.
创新与实践:
如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点.求在侧面内找一点，使面，并计算点到和的距离.

错误反思
题号错题分析正确解法

本章小结测试
一、选择题
1.已知，则的最小值是（）
A.B.C.D.
2.将正方形沿对角线折成直二面角后，异面直线所成角的余弦值为
()
A.B.C.D.

3.正方体的棱长为，,N是的中点，则＝（）
A.B.C.D.
二、填空题
4.已知，且，则k＝.
5.空间两个单位向量与的夹角都等于，则.
三、解答题
6.如图，在棱长为1的正方体中，点分别为的中点.
⑴求证：;
⑵求与所成角的余弦值；
⑶求的长.

创新与实践:
如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为，在它的顶点处分别受力、、，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是，且.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？

高二数学相等向量与共线向量

古人云，工欲善其事，必先利其器。作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，使教师有一个简单易懂的教学思路。你知道如何去写好一份优秀的教案呢？下面的内容是小编为大家整理的高二数学相等向量与共线向量，仅供您在工作和学习中参考。

2.1.3相等向量与共线向量
教学目标：
1.掌握相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
教学重点：理解并掌握相等向量、共线向量的概念，
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
教学思路：
一、情景设置：
(一)、复习
1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）
2、如何表示向量？
3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？
这时各向量的终点之间有什么关系？
(二)、新课学习
1、有一组向量，它们的方向相同、大小相同，这组向量有什么关系？
2、任一组平行向量都可以移到同一直线上吗？这组向量有什么关系？
三、探究学习
1、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.
2、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
四、理解和巩固：
例1．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
变式三：与向量共线的向量有哪些？（）
例2判断：
（1）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（2）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（3）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）
（4）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
例3下列命题正确的是（）?
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线?
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点?
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量?
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.
课堂练习：
1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.?
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；?
②单位向量都相等；?
③任一向量与它的相反向量不相等；?
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；?
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.
2．书本77页练习4题
三、小结：
1、描述向量的两个指标：模和方向.
2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
3、共线向量与平行向量关系、相等向量。
四、课后作业：
《习案》作业十八。

平面向量

俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，减轻高中教师们在教学时的教学压力。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？下面是小编精心为您整理的“平面向量”，仅供您在工作和学习中参考。

第七教时
教材：5.3实数与向量的积综合练习
目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
过程：一、复习：1．实数与向量的积(强调：“模”与“方向”两点)
2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）
3．向量共线的充要条件
4．平面向量的基本定理（定理的本身及其实质）
1．当λZ时，验证：λ(+)=λ+λ
证：当λ=0时，左边=0(+)=右边=0+0=分配律成立
当λ为正整数时，令λ=n,则有：
n(+)=(+)+(+)+…+(+)
=++…+++++…+=n+n
即λ为正整数时，分配律成立
当为负整数时，令λ=n（n为正整数），有
n(+)=n[(+)]=n[()+()]=n()+n()=n+(n)=nn
分配律仍成立
综上所述，当λ为整数时，λ(+)=λ+λ恒成立。
2．如图，在△ABC中，=,=AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量
解一：∵=,=则==
∴=+=+而=
∴=+
解二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F
∵△AEF∽△ABC
====
==
∴=+=+
3．在ABCD中，设对角线=，=试用,表示，
解一：====
∴=+==
=+=+=+
解二：设=，=
则+=+=∴=()
===(+)
即：=()=(+)
4．设,是两个不共线向量，已知=2+k,=+3,=2,若三点A,B,D共线，求k的值。
解：==(2)(+3)=4
∵A,B,D共线∴,共线∴存在λ使=λ
即2+k=λ(4)∴∴k=8
5．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M,N分别是DC,AB中点，设=,=，试以,为基底表示,,
解：==连ND则DC╩ND
∴===
又：==
∴===
=(+)=
6．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30,60角，问两细绳各受到多大的力？
解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90
=1(kg)P1OP=60P2OP=30
∴=cos60=1=0.5(kg)
=cos30=1=0.87(kg)
即两根细绳上承受的拉力分别为0.5kg和0.87kg

2017高考数学必考点：相等向量与共线向量

2017高考数学必考点：相等向量与共线向量

数学是高考考试中最能拉分的学科，很多学生的数学成绩难以提高往往是因为没有掌握好大纲要求掌握的考点，为了帮助大家复习好这些考点，下面xx为大家带来2017高考数学必考点【相等向量与共线向量】整理，希望高考生能够认真阅读。
相等向量的定义：
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。
共线向量的定义：
方向相同或相反的非零向量，平行于，记作：。
规定零向量和任何向量平行。
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等。表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移。
平行向量与相等向量的关系：
(l)平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行.
(2)平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行，记作;相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等.
(3)借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.(4)平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量.
向量共线的理解：
(1)两个非零向量平行的充要条件是这两个向量所在直线平行或重合.
(2)两个平行的非零向量在其方向与模两个要素上可能出现以下四种情况：
①方向相同，长度相同;
②方向相同，长度不同;
③方向相反，长度相同;
④方向相反，长度不同，
两个向量相等的理解：
(1)两个向量的长度相等，这两个向量不一定相等.
(2)两个向量相等，它们的起点和终点不一定相同.
(3)若a=b，b=c,学习计划，则必有a=c.
2017高考数学必考点【相等向量与共线向量】整理xx为大家带来过了，希望高考生能够在记忆这些考点的时候多下功夫，这样在考试的时候就能熟练应用。