你的位置： 教案 > 高中教案 > 导航 > 高中数学必修四2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案

高中向量的教案

发表时间：2020-10-13

高中数学必修四2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案。

俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来，帮助教师能够更轻松的上课教学。您知道教案应该要怎么下笔吗？下面是小编为大家整理的“高中数学必修四2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案”，仅供参考，大家一起来看看吧。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【学习目标】
1.掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的性质解决有关问题；
2.掌握向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，能解决一些简单问题.
【知识梳理】
知识回顾：
1．两个向量的数量积的性质：
设与为两个非零向量.
(1)、=
(2)、当与同向时，=，
当与反向时，=
特别的：=_____或，
||≤||||，
cos=________
新知探究：
已知非零向量，，怎样用和的坐标表示？
1、平面两向量数量积的坐标表示：
=
即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

2.平面内两点间的距离公式
（1）设，
则或.
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么
(平面内两点间的距离公式)

3.向量垂直的判定：设，，则

4.两向量夹角的余弦（）
cos==

思考感悟:
向量不能比较大小，也不能与数0比较大小，但能否有0（0）？

对点练习：
1.已知a→=(—3,4),b→=(5,2),则a→b→等于()
A.—14B.—7
C.7D.8

2.已知a→=(—3,4),b→=(5,2),c→=(1,—1),则(a→b→)c→等于()
A.—14B.—7
C.(7,—7)D.(—7,7)

3.已知A(—1,1),B(1,2),则|AB→|等于()
A.5B.
C.—1D.7WWw.Jab88.cOm

4.已知a→=(3,4),b→=(5,12),则a→,b→夹角的余弦为()
A.6365B.65
C.135D.13

【合作探究】
典例精析：
例1.已知向量，；
（1）求，；
（2）求的值；
（3）求的值；

变式1：已知向量，；
（1）求向量与的夹角；
（2）若向量与垂直，求的值；

例2.设=(5，7)，=(6，4)，求及、间的夹角θ的余弦值。

变式2：已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.

【课堂小结】
夹角为锐角（钝角）

【当堂达标】
1．已知向量＝(1，－1)，＝(2，x)，若＝1，则x等于()
A．－1B．－12
C.12D．1
2.已知a→=(—4,3),b→=(5,6),则3|a→|2—4a→b→=()
A.23B.57C.63D.83

3.与a→=(3,4)垂直的单位向量是()
A.(45,35)B.(—45,—35)
C.(45,—35)或(—45,35)
D.(45,35)或(—45,—35)

4.已知|m→|=6,n→=(cosθ,sinθ),m→n→=9,则m→,n→的夹角为()
A.150B.120
C.60D.30

【课时作业】
1、已知A(—1,1),B(1,2),C(3,12),则AB→AC→等于()
A.52B.152C.—52D.—152

2.若a→=(—2,1)与b→=(—1,—m5)互相垂直，则m的值为()
A.—6B.8C.—10D.10

3.a→=(2,3),b→=(—3,5),则a→在b→方向上的投影为______.

4.已知三个点A(1,0)，B(3,1)，C(2,0)，且a→=BC→,b→=CA→，则a→与b→的夹角为

5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x=.

6.已知，，对以下两种情况分别求出m值，
(1)⊥，(2)∥。

8*．已知向量,向量求的最值，
9*.a→=(1,2),b→=(—3,2),当k为何值时：
(1)ka→+b→与a→—3b→垂直?
(2)ka→+b→与a→—3b→平行吗？平行时它们是同向还是反向？

10*、以原点和A(5，2)为顶点作等腰直角△OAB，使B=90，求点B和向量的坐标.

【延伸探究】
已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|AD→|与点D的坐标．

精选阅读

高中数学必修四2.4平面向量的数量积小结导学案

2.4平面向量的数量积小结
【学习目标】
1.理解数量积的含义掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
2．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
3．会用向量方法解决某些简单的实际问题．
【新知自学】
知识梳理：
1．向量的夹角
已知两个________向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则_________称作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．
向量夹角〈a，b〉的范围是______，且______＝〈b，a〉．
若〈a，b〉＝______，则a与b垂直，记作__________．
2．平面向量的数量积
__________叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab＝__________.可见，ab是实数，可以等于正数、负数、零．其中|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．
数量积的记号是ab，不能写成a×b，也不能写成ab.
向量数量积满足下列运算律：
①ab＝__________(交换律)
②(a＋b)c＝__________(分配律)
③(λa)b＝__________＝a(λb)(数乘结合律)．
3．平面向量数量积的性质：已知非零向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)
性质几何表示坐标表示
定义ab＝|a||b|cos〈a，b〉ab＝a1b1＋a2b2
模aa＝|a|2或|a|＝aa
|a|＝a21＋a22

若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)|AB→|＝

a⊥bab＝0a1b1＋a2b2＝0
夹角cos〈a，b〉＝ab|a||b|(|a||b|≠0)cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22

|ab|与|a||b|的关系|ab|≤|a||b||a1b1＋a2b2|≤a21＋a22b21＋b22

对点练习：
1．已知下列各式：
①|a|2＝a2；②ab|a|2＝ba；③(ab)2＝a2b2；
④(a－b)2＝a2－2ab＋b2，其中正确的有()．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
2．设向量a＝(1,0)，b＝12，12，则下列结论中正确的是()．
A．|a|＝|b|B．ab＝22
C．a∥bD．a－b与b垂直
3．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则(bc)a等于()．
A．(26，－78)B．(－28，－42)
C．－52D．－78
4．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为π3，则|a＋b|＝__________.

5．已知|a|＝2，|b|＝4且a⊥(a－b)，则a与b的夹角是__________．

【合作探究】
典例精析：
一、平面向量数量积的运算
例1、（1)在等边△ABC中，D为AB的中点，AB＝5，求AB→BC→，|CD→|；
(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，求(a－2b)(2a＋3b)和|a＋2b|.

变式练习：
如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则CA→AB→＝________.

规律总结：
向量数量积的运算与实数运算不同：
(1)若a，b为实数，且ab＝0，则有a＝0或b＝0，但ab＝0却不能得出a＝0或b＝0.
(2)若a，b，c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c,但由ab＝ac及a≠0却不能推出b＝c.
(3)若a，b，c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(ab)c与a(bc)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．
(4)若a，b∈R，则|ab|＝|a||b|，但对于向量a，b，却有|ab|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立．
二、两平面向量的夹角与垂直
例2、已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积．
规律总结：
1．数量积大于0说明两向量的夹角为锐角或共线同向；数量积等于0说明两向量的夹角为直角；数量积小于0说明两向量的夹角为钝角或反向．
2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及|a|，|b|或得出它们的关系．
变式练习：
已知平面内A，B，C三点在同一条直线上，OA→＝(－2，m)，OB→＝(n,1)，OC→＝(5，－1)，且OA→⊥OB→，求实数m，n的值．

三、求平面向量的模
例3、（1）设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x＋2y|＝__________.
（2）已知向量a＝cos3x2，sin3x2，b＝cosx2，－sinx2，且x∈－π3，π4.
(1)求ab及|a＋b|；
(2)若f(x)＝ab－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．

规律总结：
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
(1)|a|2＝a2＝aa；
(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2ab＋b2；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.
变式练习：
已知a与b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．

四、平面向量的应用
例4、已知向量OA→＝a＝(cosα，sinα)，OB→＝b＝(2cosβ，2sinβ)，OC→＝c＝(0，d)(d＞0)，其中O为坐标原点，且0＜α＜π2＜β＜π.
(1)若a⊥(b－a)，求β－α的值；
(2)若OB→OC→|OC→|＝1，OA→OC→|OC→|＝32，求△OAB的面积S.

变式练习：
△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA＝1213.
(1)求AB→AC→；
(2)若c－b＝1，求a的值．

【课堂小结】

【当堂达标】
1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是()．
A．x＝－12B．x＝－1
C．x＝5D．x＝0
2．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足AP→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→，λ∈R.若BQ→CP→＝－2，则λ＝()．
A．13B．23C．43D．2
3．在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为__________．
4．给出以下四个命题：
①对任意两个向量a，b都有|ab|＝|a||b|；
②若a，b是两个不共线的向量，且AB→＝λ1a＋b，AC→＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C共线λ1λ2＝－1；
③若向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则a＋b与a－b的夹角为90°；
④若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝13，则a，b的夹角为60°.
以上命题中，错误命题的序号是__________．

【课时作业】
1.已知向量a和b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|a－b|＝()
A.13B.23C.15D.4
2．已知a，b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是()
A.π6B.π3C.2π3D.5π6
3.已知两个非零向量a与b，定义|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为a与b的夹角．若a＝(－3,4)，b＝(0,2)，则|a×b|的值为()
A.－8B.－6C.8D.6
4.已知向量a＝(2,1)，b＝(1，m)，若a与b的夹角是锐角，则实数m的取值范围是________．
5.已知向量a，b满足|2a＋b|＝7，且a⊥b，则|2a－b|＝________.
6.在△ABC中，∠A＝90°，且AB→BC→＝－1，则边c的长为________．
7、已知a=(4,2)，（1）求与a垂直的单位向量；
（2）与垂直的单位向量；（3）与平行的单位向量

8、已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求∠BAC的正弦值。
【延伸探究】
已知平面上三点A，B，C，向量BC→＝(2－k,3)，AC→＝(2,4)．
(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；
(2)若△ABC为直角三角形，求k的值．

平面向量数量积的坐标表示

平面向量数量积的坐标表示
教学目标
1．正确理解掌握两个向量数量积的坐标表示方法，能通过两个向量的坐标求出这两个向量的数量积．
2．掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去判断两个向量垂直．
3．能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、垂直等问题．
重点：两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件．
难点：对向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件的灵活运用．
教学过程设计
(一)学生复习思考，教师指导．
1．A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)．
＝________＝________
2．A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)
＝________
3．向量的数量积满足那些运算律？
(二)教师讲述新课．
前面我们已经学过了两个向量的数量积，如果已知两个向量的坐标，如何用这些坐标来表示两个向量的数量积，这是一个很有价值的问题．
设两个非零向量为＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．为x轴上的单位向量，为y轴上的单位向量，则＝x1＋y1，＝x2＋y2
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：
(1)向量模的坐标表示：
(2)平面上两点间的距离公式：
向量的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，=
(3)两向量的夹角公式
设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝θ．
4．两向量垂直的充要条件的坐标表示
＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．
即两向量垂直的充要条件是它们对应坐标乘积的和为零．
(三)学生练习，教师指导．
练习1：课本练习1．
已知a(－3，4)，(5，2)
练习2：课本练习2．
已知＝(2，3)，＝(－2，4)，＝(－1，－2)．
＝2×(－2)＋3×4＝8，(＋)(－)＝－7．
(＋)＝0，(a＋b)2＝(0，7)(0，7)＝49．
练习3：已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)．
求证：△ABC是直角三角形．
证：∵＝(1，1)，＝(－3，3)，＝(－4，2)．
经检验，＝1×(－3)＋1×3＝0．
∴⊥，△ABC是直角三角形．
(四)师生共同研究例题．
例1：已知向量＝(3，4)，＝(2，－1)．
(1)求与的夹角θ，
(2)若＋x与－垂直，求实数x的值．
解：(1)＝(3，4)，＝(2，－1)．
(2)＋x与－垂直，
(＋x)(－)＝0，＋x＝(3，4)＋x(2，－1)＝(2x＋3，4－x)
－＝(3，4)－(2，－1)＝(1，5)．
例2：求证：三角形的三条高线交于一点．
证：设△ABC的BC、AC边上的高交于P点，现分别以BC、PA所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系，设有关各点的坐标为B(x1，0)，C(x2，0)，A(0，y1)，P(0，y)．
∵⊥，＝(－x1，y)，＝(－x2，y1)．
(－x1)×(－x2)＋y×y1＝0．
即x1x2＋yy1＝0．
又＝(－x2，y)，＝(－x1，y1)．
＝(－x1)×(－x2)＋y×y1＝x1x2＋yy1＝0．
∴⊥，CP是AB边上的高．
故三角形的三条高线交于一点．
(五)作业．习题5．71，2，3，4，5．

高中数学必修四2.3.4平面向量共线的坐标表示导学案

2.3.4平面向量共线的坐标表示
【学习目标】
1．理解平面向量共线的坐标表示；
2．掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；
3．会根据向量的坐标，判断向量是否共线.

【新知自学】
知识回顾：
1．平面向量基本定理：

2．平面向量的坐标表示:
=x+y，=()

3．平面向量的坐标运算
（1）若=(),=()，
则，
（2）若，，
则

4．什么是共线向量？
新知梳理：
1、两个向量共线的坐标表示
设=(x1，y1)，=(x2，y2)共线，其中.
由=λ得，(x1，y1)=λ(x2，y2)消去λ即可
所以∥()的等价条件是
思考感悟：
（1）上式在消去λ时能不能两式相除？
（2）条件x1y2-x2y1=0能不能写成？
(3)向量共线的几种表示形式：∥()x1y2-x2y1=0

对点练习：
1．若=(2，3)，=(4，-1+y)，且∥，则y=（）
A.6B.5C.7D.8

2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（）?
A.-3B.-1C.1D.3

3.若=+2，=(3-x)+(4-y)(其中、的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x、y的值可能分别为（）
A.1，2B.2，2
C.3，2D.2，4

【合作探究】
典例精析：
例1：已知=(4，2)，=(6，y)，且∥，求y.

变式1：若向量=(-1，x)与=(-x，2)共线且方向相同，求x

变式2：已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？

例2：已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.（你有几种方法）

变式3：已知：四点A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，
如何求证：四边形ABCD是梯形.？

规律总结：要注意向量的平行与线段的平行之间的区别和联系

例3：设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.

思考探究：本例在（1）中P1P：PP2=；在（2）中P1P：PP2=；若P1P：PP2=，如何求点P的坐标？

【课堂小结】
1、知识2.方法3.思想
【当堂达标】
1.若=(-1，x)与=(－x，2)共线且方向相同，则x=．

2.已知=(1，2)，=(x，1)，若与平行，则x的值为

3.设=(4，－3)，=(x，5)，=(－1，y)，若+=，则（x，y）=．

4、若A(－1，－1)，B(1，3)，C(x，5)三点共线，则x=．
【课时作业】
1.已知=(5，－3)，C(－1，3)，=2，则点D坐标
A．(11，9)B．(4，0)
C．(9，3)D．(9，-3)

2、若向量=(1，－2)，||=4||，且，共线，则可能是
A．(4，8)B．(－4，8)
C．(－4，－8)D．(8，4)
3*、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1,3)．若点C(x，y)满足OC→＝αOA→＋βOB→，其中α，β∈R且α＋β＝1，则x，y所满足的关系式为()
A．3x＋2y－11＝0
B．(x－1)2＋(y－2)2＝5
C．2x－y＝0
D．x＋2y－5＝0

4、已知=(3，2)，=(－2，1)，若λ+与+λ（λ∈R）平行，则λ=．

5、已知||=10，=（4，－3），且∥，则向量的坐标是．

*6．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若AB→＝2a＋3b，BC→＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．

7.如图所示，在你四边形ABCD中，已知，求直线AC与BD交点P的坐标。

【延伸探究】
1．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“”为mn＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“⊕”为m⊕n＝(a＋c，b＋d)．设m＝(p，q)，若(1,2)m＝(5,0)，则(1,2)⊕m等于________．
2、如图所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．

平面向量数量积的坐标表示教案、学案

古人云，工欲善其事，必先利其器。作为高中教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生更好的消化课堂内容，帮助授课经验少的高中教师教学。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？经过搜索和整理，小编为大家呈现“平面向量数量积的坐标表示教案、学案”，仅供参考，欢迎大家阅读。

平面向量数量积的坐标表示
年级高一学科数学课题平面向量数量积的坐标表示
授课时间
学习重点在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）
学习难点在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式及应用
学习目标
1.在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）；
2.理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.

教学过程
一自主学习
⑴向量数量积的交换律：.
⑵＝＝.
⑶向量的数量积的分配律：
.
⑷＝..
5已知两个非零向量.

结论：⑴若，则，或.

⑵若，，
则.

⑶若，
则.

⑷设是与的夹角，
则

二师生互动
例1已知，，，试判断的形状，并给出证明.

变式：已知四点，，，求证：四边形是直角梯形.
例2设，，求及之间的夹角余弦值.

练1.已知，，若，试求的值.

三巩固练习
1.已知，，则等于（）
A.B.C.D.
2.若，，则与夹角的余弦为（）
A.B.C.D.
3.若，，则等于（）
A.B.C.D.
4.，，则=.
5.已知向量，，若，则.
6.下列各组向量中，可以作为基底的是（）
A.
B.
C.
D.
7.若平面向量与向量的夹角是，且，则（）
A.B.C.D.
8.已知向量，，，若，则与的夹角为（）
A.B.C.D.
9.已知向量，，若与垂直，则实数.
10.已知向量，，若不超过，则的取值范围是.