北师大版七年级数学上册第三章知识点整理。
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北师大版七年级数学上册第三章知识点整理
七上第三章整式及其加减
1.字母表示数
1)字母表示运算律2)字母表示计算公式
字母可以表示任何数
2.代数式
1)概念:像4+3(x-1),x+x+(x+1),a+b,ab,2(m+n),s/t等式子都是代数式,单独一个数或一个字母也是代数式,如-5,a,b等.
2)书写要求:①字母与字母相乘时,乘号通常简写作“”或省略不写;数字与字母相乘时,数字在前;带分数与字母相乘时,应先把带分数化成假分数后再与字母相乘;数字与数字相乘仍用“×”.
②除法一般写成分数形式
③如果代数式是积或商的形式,单位直接写在后面;如果是和或差的形式,必须先把代数式用括号括起来再写单位。
3.整式
1)单项式:表示数字和字母的积,单独的一个数或一个字母也是单项式.
①系数:单项式中的数字因数(包括其前面的符号)
②次数:单项式中,所有字母的指数的和;单独的数字是0次单项式.
注意:(1)单项式中数与字母之间都是乘积关系,凡字母出现在分母中的式子一定不是单项式,如1/x不是单项式;(2)单项式中不含加减运算;(3)π是常数,在单项式中相当于数字因数;(4)定义中的“数”可以是小数,也可以是分数、整数.
2)多项式:几个单项式的和;在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫常数项;一个多项式含有几项,就叫几项式;
次数:多项式里,次数最高项的次数,是多项式的次数;
注意:(1)确定多项式的项时,不要忽略它的符号;(2)关于某个字母的n次m项式,要求是合并同类项后的最简多项式.
3)整式:单项式和多项式统称为整式.
4)同类项:①概念:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项;与它们的系数大小无关,与字母顺序无关;几个常数也是同类项.
②合并同类项法则:同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变.
4.整式的加减:
1)整式加减是求几个整式的和或差的运算,其实质是去括号,合并同类项
2)法则:几个整式相加减,用括号把每一个整式括起来,再用加减号连接,然后去括号,合并同类项.
3)化简求值:一是相加减化简,二是用具体数值代替整式中的字母,三是按式子的运算关系计算,计算其结果.
5.探索与表达规律:图形中的规律、数字中的规律、算式中的规律.
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九年级数学上册第三章知识点总结(北师大版)
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九年级数学上册第三章知识点总结(北师大版)
一、平行四边形
1、平行四边形的性质定理:
平行四边形的对边相等。
平行四边形的对角相等(邻角互补)。
平行四边形的对角线互相平分。
2、平行四边形的判定方法:
定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
判定定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
二、矩形
1、矩形的性质定理:
矩形的四个角都是直角。
矩形的对角线相等。
2、矩形的判定方法:
定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形。
判定定理:有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
(对角线相等且互相平分的四边形是矩形。)
三、菱形
1、菱形的性质定理:
菱形的四条边都相等。
菱形的对角线相等,并且每条对角线平分一组对角。
2、菱形的判定方法:
定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
判定定理:四条边都相等的四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。)
四、正方形
1、正方形的性质定理:
正方形的四个角都是直角,四条边都相等。
正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。
2、正方形的判定定理:
l有一个角是直角的菱形是正方形。
l有一组邻边相等的矩形是正方形。
l有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。
l对角线相等的菱形是正方形。
l对角线互相垂直的矩形是正方形。
l对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。
l对角线相等且互相垂直、平分的四边形是正方形。
五、等腰梯形
1、等腰梯形的性质定理:
等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形在同一底上的两个角相等。
2、等腰梯形的判定方法:
定义:两腰相等的梯形是等腰梯形。
判定定理:在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
六、三角形的中位线
1、定义:
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2、性质定理:
三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半。
七、其他定理或结论:
1、夹在两条平行线间的平行线段相等。
2、三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
3、菱形的面积等于其对角线乘积的一半。
4、连接三角形每两边的中点,就得到了四个全等的三角形和三个平行四边形,所得的三角形的周长是原三角形周长的,所得的三角形的面积是原三角形面积的。
八、中点四边形
1.依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状,取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系,即两条对角线是否相等或者是否垂直。
2.依次连接任意四边形各边的中点,就得到一个平行四边形。
3.依次连接平行四边形各边的中点,就得到一个平行四边形。
4.依次连接矩形各边的中点,就得到一个菱形。
5.依次连接菱形各边的中点,就得到一个矩形。
6.依次连接正方形各边的中点,就得到一个正方形。
7.依次连接等腰梯形各边的中点,就得到一个菱形。
8.依次连接两条对角线相等的四边形各边的中点,就得到一个菱形。
9.依次连接两条对角线互相垂直的四边形各边的中点,就得到一个矩形。
10.依次连接两条对角线相等且互相垂直的四边形各边的中点,就得到一个正方形
北师大版七年级数学上册第五章知识点整理
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北师大版七年级数学上册第五章知识点整理
1.一元一次方程
1)概念:在一个方程中,只含有一个未知数,而且方程中的代数式都是整式,未知数的指数都是1,这样的方程叫做一元一次方程.
2)方程的解:使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解.
3)等式的基本性质1:等式两边同时加(或减)同一个代数式,所得结果仍是等式。
等式的基本性质2:等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式.
4)利用等式的基本性质解一元一次方程:利用等式的性质把方程ax+b=0(a≠0)进行变形,最后化为x=-b/a的形式,它一般先运用基本性质1,将ax+b=0变形为ax=-b,然后运用基本性质2,将ax=-b变形为x=-b/a即可。
2.求解一元一次方程
1)移项:方程中任何一项,都可以在改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫做移项.(注意:移项要变号)
2)解一元一次方程的基本思想:根据等式的基本性质把一元一次方程化简为ax=b(a,b为常数,且a≠0)的形式,再得到方程的解为x=b/a.
3)解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1
3.列一元一次方程解应用题
步骤:审清题意、找出等量关系、设未知数、列一元一次方程、解一元一次方程、检验解的合理性、写出答案.
七上第六章数据的收集与整理
1.数据的收集
1)方式:问卷调查、访谈、查阅资料、实地调查、试验、网上搜索等(根据具体情况合理地选择数据收集的方式).
2)步骤:(1)明确调查的问题和目的;(2)确定调查对象;(3)选择调查方式;(4)设计调查问题;(5)展开调查;(6)收集并整理数据;(7)分析数据,得出结论.
2.普查和抽样调查
1)普查:对所有考察对象进行全面调查叫普查
优点:可以直接获得总体情况;
缺点:总体中个体数目较多时,普查的工作量较大.
2)总体:所要考察的对象的全体叫总体
个体:组成总体的每一个考察对象叫做个体
1)抽样调查:从总体中抽取部分个体进行调查,这种调查叫做抽样调查
优点:调查范围小,节省时间、人力、物力及财力
缺点:没有普查得到的结果准确
样本:从总体中抽取的部分个体叫做总体的一个样本,为了获得较为准确的调查结果,抽样时要注意样本的代表性和广泛性.
3.数据的表示
1)扇形统计图
概念:用圆代表总体,圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分,扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小.
特点:(1)反映具体问题中的部分与总体的数量关系.
(2)只能得到各部分的百分比,得不到具体数量.
(3)在扇形统计图中,每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比.
绘制扇形统计图的步骤:计算各部分占总体的百分比
计算各部分对应的扇形的圆心角的度数
画出扇形统计图,表上百分比
写出扇形统计图的名称
2)条形统计图:一般是由两条互相垂直的数轴和若干长方形组成,两条数轴分别表示两个不同的项目,长方形的高表示其中一个项目的数据.
特点:能清楚地表示出每个项目的具体数据.
3)频数直方图
(1)频数:在数据统计中每个对象出现的次数称为频数
(2)注意:频数能反映每个对象出现的频繁程度;所有对象的频数之和等于数据总数.
(3)绘制频数直方图的步骤:计算所给数据的最大值与最小值的差;决定组距和组数;确定分点;列频数分布表;绘制频数直方图
(4)频数直方图是一种特殊的条形统计图,它将统计对象的数据进行了分组,画在横轴上;纵轴(即长方形的高)表示各组数据的频数.
(5)频数直方图的优点:能更清晰、更直观地反映数据的整体状况.
4)折线统计图:用折线的起伏表示数据的增减变化.
4.统计图的选择
条形统计图:清楚地表示每个项目的具体数目
折线统计图:清楚地反映事物的变化情况
扇形统计图:清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比
频数直方图:能更清晰、更直观地反映数据的整体状况.
北师大版七年级数学上册第二章知识点整理
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北师大版七年级数学上册第二章知识点整理
七年级上册第二章有理数及其运算
1.有理数:
有理数=整数+分数(包括有限小数+无限循环小数)
整数=正整数+0+负整数分数=正分数+负分数
有理数=正有理数+0+负有理数
正有理数=正整数+正分数负有理数=负整数+负分数
l正数的概念:数轴上0右边的数即比0大的数叫正数,形如+1,+0.5,+10.1,0.001…
l负数的概念:数轴上0左边的数,形如-3,-0.2,-100…(负号不能省略).
l0既不是正数也不是负数,0是整数也是偶数.
①正负数的表示方法:
盈利,亏损;足球比赛胜,负;收入,支出;提高,降低;上升,下降;
②不投入不支出,不盈也不亏,海平面的海拔,某一个标准或基准….用0表示;
2.数轴:概念:规定了原点,正方向和单位长度的直线
数轴是一条可以向两端无限延伸的直线,数轴有三要素:原点,正方向,单位长度;
画法:首先画一条直线;在这条直线上任取一点,作为原点;再确定正方向,一般规定向右为正,画上箭头,反方向为负方向;最后选取适应的长度作为单位长度;
数轴上的点与有理数的关系:任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示。
有理数的大小比较:在数轴上表示的两个数,右边的数比左边的数大,正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数.
3.相反数:
(1)只有符号不同的两个数叫做互为相反数(在数轴上互为相反数的两点位于原点两侧,并且到原点的距离相等),0的相反数是0;
a,b互为相反数a+b=0;
(2)求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即得原数的相反数,当原数是多个数的和差时,要用括号括起来再添“-”;下面的a,b即可以是数字,字母,也可以是代数式;
(3)一般地,数a的相反数是-a,这里的a表示任意一个数,可以是正数、负数、0.
4.绝对值:
(1)几何定义:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值;
(2)代数定义:正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0;互为相反数的两个数的绝对值相等.
(3)对于任何有理数a,都有a的绝对值≥0,即绝对值非负性;若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数同时为0;
(4)比较两个负数,绝对值大的反而小;
5.倒数:(1)乘积为1的两个数互为倒数,所以数a(a≠0)的倒数是1/a,0没有倒数;
(2)求一个整数的倒数,写成这个整数分之一;求一个小数的倒数,先将其化成分数,再求其倒数;求一个带分数的倒数,先将其化为假分数,再求出倒数.
(3)用1除以一个非0数,商就是这个数的倒数.
6.有理数的四则运算:
⑴加法法则:
①同号两数相加,符号不变,把绝对值相加;
②异号两数相加,绝对值相等时(即互为相反数的两个数)相加得0;绝对值不相等时,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
③一个数同0相加,仍得这个数;
有理数加法运算律:交换律和结合律(互为相反数的可先相加;相加可得整数的可先相加;同分母的分数可先相加;符号相同的可先相加;易于通分的可先相加).
⑵减法法则:
①减去一个数,等于加上这个数的相反数,依据加法法则
②加减混合运算,通过减法法则将减法转化为加法,统一成只含有加法运算的和式;
减法没有交换律.
⑶乘法法则:
①两数相乘,同号得正,异号得负,把绝对值相乘;
②任何数同0相乘,得0;(另外1乘任何数都等于这个数本身;-1乘以任何数都等于这个数的相反数.)
③几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的个数是奇数时,积为负;当负因数的个数是偶数时,积为正.
乘法的运算律:交换律、结合律、乘法对加法的分配律.
⑷除法法则:
①两数相除,同号得正,异号得负,把绝对值相除;
②0除以任何非0的数都得0.
③除以一个数,等于乘上这个数的倒数,即.
⑸乘方:
①求几个相同因数积的运算,叫做乘方;乘方的结果叫做幂;,表示n个相同因数乘积的运算;
②负数乘方要用括号括起来;分数乘方要用括号括起来;当指数是1时,可省略不写;
③正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数(奇次幂2n+1,2n-1;偶次幂2n);0的正整数次幂都是0.
⑹混合运算:
①从左到右的顺序进行;
②先乘方,再乘除,后加减;如有括号,应先算括号里面的;
7.科学记数法
(1)把一个大于10的数表示成的形式(其中a是整数数位只有一位的数,n是正整数,它的值等于原数的整数位数减1,),这种记数方法叫科学记数法;
(2)准确数与近似数:与实际完全相符的数是准确数;与实际相接近的数是近似数;
(3)精确度:近似数与准确数的接近程度,可以用精确度表示;一般地,把一个数四舍五入到哪一位,就说这个数精确到了那一位;所以,精确度是描述一个近似数的近似程度的量;
(4)有效数字:在近似数中,从左边第一个不是0的数字起,到精确的数位止,所有的数字都叫做这个数的有效数字;一共包含的数字的个数,叫做有效数字的个数;