七年级下册数学知识点总结：相交线、平行线平行线的性质。

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七年级下册数学知识点总结：相交线、平行线平行线的性质：

性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
平行线的判定：
判定1：同位角相等，两直线平行。
判定2：内错角相等，两直线平行。
判定3：同旁内角相等，两直线平行。

有一个公共的顶点，有一条公共的边，另外一边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角。
两条直线相交有4对邻补角。
有公共的顶点，角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。
两条直线相交，有2对对顶角。
对顶角相等。
两条直线相交，所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
注意：⑴垂线是一条直线。
⑵具有垂直关系的两条直线所成的4个角都是90。
⑶垂直是相交的特殊情况。
⑷垂直的记法：a⊥b，AB⊥CD。
画已知直线的垂线有无数条。
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。jAb88.com

相关知识

相交线与平行线

第五章相交线与平行线
课题：5.1.1相交线课型：新授
学习目标：1、了解两条直线相交所构成的角，理解并掌握对顶角、邻补角的概念和性质。
2、理解对顶角性质的推导过程，并会用这个性质进行简单的计算。
3、通过辨别对顶角与邻补角，培养识图的能力。
学习重点：邻补角和对顶角的概念及对顶角相等的性质。
学习难点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角。
学具准备：剪刀、量角器
学习过程：
一、学前准备
1、预习疑难：。
2、填空：①两个角的和是，这样的两个角叫做互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。②同角或的补角。
二、探索与思考
（一）邻补角、对顶角
1、观察思考：剪刀剪开纸张的过程，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角度也相应。我们把剪刀的构成抽象为两条直线，就是我们要研究的两条相交直线所成的角的问题。
2、探索活动：
①任意画两条相交直线，在形成的四个角（∠1，∠2，∠3，∠4）中，两两相配共能组成对角。分别是。

②分别测量一下各个角的度数，是否发现规律？你能否把他们分类？完成教材中2页表格。
③再画两条相交直线比较。图1

3、归纳：邻补角、对顶角定义
邻补角。
两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点的两个角是
对顶角。
4、总结：①两条直线相交所构成的四个角中，邻补角有对。对顶角有对。
②对顶角形成的前提条件是两条直线相交。
5、对应练习：①下列各图中，哪个图有对顶角？
BBBA

CDCDCD
AA
BBB（A）

CDCACD
AD

（二）邻补角、对顶角的性质
1、邻补角的性质：邻补角。
注意：邻补角是互补的一种特殊的情况，数量上，位置上有一条。
2、对顶角的性质：完成推理过程
如图，∵∠1+∠2=，∠2+∠3=。（邻补角定义）
∴∠1=180°－，∠3=180°－（等式性质）
∴∠1=∠3(等量代换)

或者∵∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角定义），
∴∠l＝∠3（同角的补角相等）．
由上面推理可知，对顶角的性质：对顶角。
三、应用
（一）例如图，已知直线a、b相交。∠1＝40°，求∠2、∠3、∠4的度数

解：∠3＝∠1＝40°（）。
∠2＝180°－∠1＝180°－40°＝140°（）。
∠4＝∠2＝140°（）。

你还有别的思路吗？试着写出来

（二）练一练：教材3页练习（在书上完成）
（三）变式训练：把例题中∠1＝40°这个条件换成其他条件，而结论不变，自编几道题．
变式1：把∠l＝40°变为∠2－∠1＝40°
变式2：把∠1＝40°变为∠2是∠l的3倍
变式3：把∠1＝40°变为∠1：∠2＝2：9
四、学习体会：
1、本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？
2、预习时的疑难解决了吗？
五、自我检测：
（一）选择题:
1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.如图1所示,三条直线AB,CD,EF相交于一点O,则∠AOE+∠DOB+∠COF等于()
A.150°B.180°C.210°D.120°
(1)(2)
3.下列说法正确的有()
①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.如图2所示,直线AB和CD相交于点O,若∠AOD与∠BOC的和为236°,则∠AOC的度数为()A.62°B.118°C.72°D.59°
（二）填空题:
1.如图3所示,AB与CD相交所成的四个角中,∠1的邻补角是______,∠1的对顶角___.
(3)(4)(5)
2.如图3所示,若∠1=25°,则∠2=_______,∠3=______,∠4=_______.
3.如图4所示,直线AB,CD,EF相交于点O,则∠AOD的对顶角是_____,∠AOC的邻补角是_______;若∠AOC=50°,则∠BOD=______,∠COB=_______.
4.如图5所示,直线AB,CD相交于点O,若∠1-∠2=70,则∠BOD=_____,∠2=____.
5、已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3互为补角，则∠2+∠3=。
六、拓展延伸
1、如图所示,直线a,b,c两两相交,∠1=2∠3,∠2=65°,求∠4的度数.
三、学习体会：
1、本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？
2、预习时的疑难解决了吗？

四、自我检测：
（一）选择题:
1.如图1所示,下列说法不正确的是()
A.点B到AC的垂线段是线段AB;B.点C到AB的垂线段是线段AC
C.线段AD是点D到BC的垂线段;D.线段BD是点B到AD的垂线段
(1)(2)
2.如图1所示,能表示点到直线(线段)的距离的线段有()
A.2条B.3条C.4条D.5条
3.下列说法正确的有()
①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;
④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.如图2所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=acm,BC=bcm,则BD的范围是()
A.大于acmB.小于bcm
C.大于acm或小于bcmD.大于bcm且小于acm
5.到直线L的距离等于2cm的点有()
A.0个B.1个;C.无数个D.无法确定
6.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线m的距离为()
A.4cmB.2cm;C.小于2cmD.不大于2cm
（二）填空题:
1、如图4所示,直线AB与直线CD的位置关系是_______,记作_______,此时,∠AOD=∠_______=∠_______=∠_______=90°.
2、如图5,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC=6,那么点C到AB的距离是_______,点A到BC的距离是________,点B到CD的距离是_____,A、B两点的距离是_________.
(4)(5)(6)(7)(8)
3、如图6,在线段AB、AC、AD、AE、AF中AD最短.小明说垂线段最短,因此线段AD的长是点A到BF的距离,对小明的说法,你认为_________________.
4、如图7,AO⊥BO,O为垂足,直线CD过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=________.
5、如图8,直线AB、CD相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE与直线AB的位置关系是_________.

五、拓展延伸
1、已知，如图，∠AOD为钝角，OC⊥OA,OB⊥OD
求证：∠AOB＝∠COD
证明：∵OC⊥OA，OB⊥OD（）
∴∠AOB＋∠1＝，
∠COD+∠1=90°（垂直的定义）
∴∠AOB=∠COD（）
变式训练：如图OC⊥OA,OB⊥OD,O为垂足,若∠BOC=35°,则∠AOD=________.

2、已知:如图,直线AB,射线OC交于点O,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.试判断OD与OE的位置关系.
3、课本中水渠该怎么挖?在图上画出来.如果图中比例尺为1:100000,水渠大约要挖多长?
3．会根据几何语句画图，会用直尺和三角板画平行线；
4．了解在实践中总结出来的基本事实的作用和意义，并初步感受公理化思想。
学习重点：探索和掌握平行公理及其推论.
学习难点：对平行线本质属性的理解,用几何语言描述图形的性质
学具准备：分别将木条a、b与木条c钉在一起,做成学具，直尺，三角板
学习过程：
一、学前准备
1、预习疑难：。2、①两条直线相交有个交点。
②平面内两条直线的位置关系除相交外，还有哪些呢？

《平行线的性质》

《平行线的性质》

《平行线的性质》教案天津市第五十四中学王振红
教学目标:
(1)知识与技能:
探索平行线的性质定理,并掌握它们的图形语言、文字语言、符号语言;会用平行线的性质定理进行简单的计算、证明。
(2)过程与方法:
在定理的学习中,锻炼观察能力,尝试与他人合作开展讨论、研究,并表达自己的见解。
(3)情感态度、价值观:
在课堂练习中,体验几何与实际生活的密切联系。
教学重点:平行线的性质。
教学难点:平行线的性质定理与判定定理的区别。
教学模式:发现教学模式。
教学方法:直观教学法、发现教学法、主体互动法。
教学手段:计算机辅助教学。
教学过程:
教学环节
教师活动
学生活动
教学意图
复习提问
复习提问:判定两直线平行的方法有哪些?怎样用符号语言表述?
思考、回答
了解学生的认知基础,让全体学生对前一节的内容进行回顾,并为新课的学习做准备。
进行新课
【大屏幕】请每位同学利用手中的条格纸,任意选取其中的两条线作l1、l2,再随意画一条直线l3与l1、l2相交,用量角器量得图中的八个角,并填表(见附录1)
随后同桌同学交换,再次测量、填表。
关注:对于没有带量角器的学生,鼓励他们在无需测量的情况下,找出图中各角的度量关系。
画图、测量、填表
思考、动手尝试,方法可能多种多样
激发学生探究数学问题的兴趣,使学生获得较强的感性认识,便于探索两直线平行的性质定理。关注学生的实际操作,以及操作中的思考和学生学习数学的兴趣。
给学生留有充分的探索和交流的空间,鼓励学生利用多种方法探索,这对于发展学生的空间观念,理解平行线的性质是十分重要的。
【提问】能否将我们发现的结论给予较为准确的文字表述?
总结、表述
锻炼学生的归纳、表达能力,鼓励学生敢于发表自己的观点。
【大屏幕】平行线的性质:定理1.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。简言之:两直线平行,同位角相等。
定理2.两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。简言之:两直线平行,内错角相等。
定理3.两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。简言之:两直线平行,同旁内角互补。
【提问】讨论这些性质定理与前面所学的判定定理有什么不同?
理解、记忆
思考、讨论、回答
进行文字语言的规范。
避免出现概念的混淆,渗透“命题”与“逆命题”的概念,突破本节课的难点避免出现概念的混淆,突破本节课的难点。
【提问】回忆平行线判定定理的符号语言的表述,参照附录1的图形,将上述性质定理怎样用符号语言表达出呢?
【大屏幕】符号语言:(不唯一)
性质定理1.∵l1∥l2∴∠1=∠5(两直线平行,同位角相等)
性质定理1.∵l1∥l2∴∠3=∠5(两直线平行,内错角相等)
性质定理1.∵l1∥l2
∴∠3+∠6=180o(两直线平行,同旁内角互补)
思考、一位同学板书。
观察、理解
为今后进一步学习推理打基础,并进行符号语言的规范。
【提问】我们能否使用平行线的性质定理1说出性质定理2、3成立的道理呢?
鼓励学生使用符号语言表述推导过程。
【大屏幕】规范定理的推导过程。
思考、尝试回答
观察
培养学生的逻辑思维能力以及严谨的治学态度。逐步锻炼学生的推理能力,并进一步巩固对定理的理解及语言的规范,感受成功的喜悦,树立学习数学的信心。
例题示范
【大屏幕】例:如图是一块梯形铁片的残余部分,量得∠A=100o,∠B=115o,梯形另外两个角分别是多少度?
思考、尝试运用符号语言进行推理。
要求学生会用平行线的性质进行计算,只需算出所求的度数即可。初次计算格式不一定很完整。
趣味练习
【大屏幕】(见附录2)
思考、讨论、解释结论
寓教于乐,进一步让学生感受“认识来源于实践”。
巩固练习
【大屏幕】巩固练习(见附录3)
积极思考、展开讨论、踊跃回答
循序渐进提高难度、提高灵活运用定理的能力,感受解决有关平行问题的关键,突破难点,并进一步提高用符号语言进行推理的能力。
拓展思路
【大屏幕】探究题(见附录4)
【备注】如果时间不允许的话,该题可作为课后作业,并给予简单的提示。
猜测、讨论,寻找规律
使重点中学学生的思路进一步得以拓宽,初次接触辅助线的添加,使学生能力得以提高。
课堂
小结
【提问】本节课我们学习了哪些定理?在表述这些定理时,应注意什么呢?
回顾、归纳
将本节课知识进行回顾。
布置
作业
【大屏幕】布置作业:教材P67的4、5;P68的6、7;P69的11、12
课后完成
课后能进一步巩固,鼓励学生去发现身边的数学问题。

平行线的性质

北师大版实验教科书七年级下册
2.3平行线的性质(1)
教学目的
1．使学生掌握平行线的三个性质，并能运用它们作简单的推理．
2．使学生了解平行线的性质和判定的区别．
重点难点
1．平行的三个性质，是本节的重点，也是本章的重点之一．
2．怎样区分性质和判定，是教学中的一个难点．
教学过程
一、引入
问：我们已经学习过平行线的哪些判定公理和定理？
学生齐答：
1．同位角相等，两直线平行．
2．内错角相等，两直线平行．
3．同旁内角互补，两直线平行．
问：把这三句话颠倒每句话中的前后次序，能得怎样的三句话？新的三句话还正确吗？
学生答：
1．两直线平行，同位角相等．
2．两直线平行，内错角相等．
3．两直线平行，同旁内角互补．
教师指出：把一句原本正确的话，颠倒前后顺序，得到新的一句话，不能保证一定正确．例如，“对顶角相等”是正确的，倒过来说“相等的角是对顶角”就不正确了．因此，上述新的三句话的正确性，需要进一步证明．
二、新课
平行线的性质一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
简单说成：两直线平行，同位角相等．
怎样说明它的正确性呢？
方法一通过测量实践，作出两条平行线a∥b，再任意作第三条直线c，量量所得的同位角是否相等．
方法二从理论上给予严格推理论证．(以下证法，教师可视学生接受情况，灵活处理讲或者不讲)
已知：如图2-32，直线AB、CD、被EF所截，AB∥CD．
求证：∠1＝∠2．
证明：(反证法)
假定∠1≠∠2，
则过∠1顶点O作直线A′B′使∠EOB′＝∠2．
∴A′B′∥CD(同位角相等，两直线平行)．
故过O点有两条直线AB、A′B′与已知直线CD平行，这与平行公理矛盾．即假定是不正确的．
∴∠1＝∠2．
另证：(同一法)
过∠1顶点O作直线A′B′使∠E0B′＝∠2．
∴A′B′∥CD(同位角相等，两直线平行)．
∵AB∥CD(已知)，且O点在AB上，O点在A′B′上，
∴A′B′与AB重合(平行公理)
∴∠1＝∠2．
平行线的性质二：两条平线被第三条直线所截，内错角相等．
简单说成：两直线平行，内错角相等．
启发学生，把这句话“翻译”成已知、求证，并作出相应的图形．
已知：如图2-33，直线AB、CD被EF所截，AB∥CD，
求证：∠3＝∠2．

证明：
∵AB∥CD(已知)
∴∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
∵∠1＝∠3(对顶角相等)，
∴∠3＝∠2(等量代换)．
说明：如果学生仿照性质一，用反证法或同一法去证，应该给以鼓励．并同时指出，既然性质一已证明正确，那么也可以直接利用性质一的结论，这样常常可以使证明过程简单些．然后介绍或引导学生得出上面的证法．
平行线的性质三：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
要求学生仿照性质二，自己写出已知、求证、证明．教师请程度较好的学生上黑板板演，并巡视课堂，帮助有困难的学生克服困难，最后对黑板上学生的板书进行全班订正．
已知：如图2-34，直线AB、CD被EF所截，AB∥CD．
求证：∠2＋∠4＝180°．

证法一：
∵AB∥CD(已知)，
∴∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等)，
∵∠1＋∠4＝180°(邻补角)，
∴∠2＋∠4＝180°(等量代换)．
证法二：
∵AB∥CD(已知)，
∴∠2＝∠3(两直线平行，内错角相等)．
∵∠3＋∠4＝180°(邻补角)，
∴∠2＋∠4＝180°(等量代换)．
例已知某零件形如梯形ABCD，现已残破，只能量得∠A＝115°，∠D＝100°，你能知道下底的两个角∠B、∠C的度数吗？根据是什么？(如图2-35)．

解：∠B＝180°-∠A＝65°，
∠C＝180°-∠D＝80°．(根据平行线的性质三)
小结：平行线的性质与判定的区别：
1．从因果关系上看
性质：因为两条直线平行，所以……；
判定：因为……，所以两条直线平行．
2．从所起作用上看
性质：根据两条直线平行，去证两角相等或互补：
判定：根据两角相等或互补，去证两条直线平行．
三、作业
1．如图，AB∥CD，∠1＝102°，求∠2、∠3、∠4、∠5的度数，并说明根据？
2．如图，EF过△ABC的一个顶点A，且EF∥BC，如果∠B＝40°，∠2＝75°，那么∠1、∠3、∠C、∠BAC＋∠B＋∠C各是多少度，为什么？
3．如图，已知AD∥BC，可以得到哪些角的和为180°？已知AB∥CD，可以得到哪些角相等？并简述理由．
教后记：．
学生学习了这个平行线的性质后，不能理解它的用途，两直线平行不知道应该是哪些角应该相等，哪些角应该互补，哪个是前提哪个是结论不能充分的理解。导致使用的错误。应加强这方面的训练。学生图形的认识能力仍有待提高。