课时12平面向量的应用。

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为高中教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助高中教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。我们要如何写好一份值得称赞的高中教案呢？下面是小编精心为您整理的“课时12平面向量的应用”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

课时12平面向量的应用
一、学习目标：
1．经历用向量的方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程，体会向量是某一种数学工具。
2．发展学生的运算能力和解决实际问题的能力
二、重点与难点：
1．利用向量数量积的相关知识解决平面几何、物理学中的垂直、夹角、模长和质点运动等相关问题。
2．用向量的共线定理解决三点共线、动点的轨迹问题。
3．提高学生对所学知识和方法的迁移（转化）能力。
三、基础训练：
1、已知向量，若点C在函数的图象上，实数的值为
2、平面向量=（x，y），=（x2，y2），=（1，1），=（2，2），若==1，则这样的向量有
3、如果向量与的夹角为，那么我们称为向量与的“向量积”，是一个向量，它的长度为，如果，则的值为
4．在平行四边形ABCD中，,则=______________
5．设中，，且，判断的形状。
6、=(cosθ，－sinθ)，=（－2－sinθ，－2+cosθ），其中θ∈[0，π2]，则||的最大值为
7、有两个向量，，今有动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为；另一动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为．设、在时刻秒时分别在、处，则当时，秒．
四、例题研究
例1．已知向量满足条件，且，求证是正三角形。

例2、已知，.求证：

思考：能否画一个几何图形来解释例2

变题：用向量方法证明梯形中位线定理。

例3、已知在△ABC中BC，CA，AB的长分别为a，b，c，试用向量方法证明：
（1）（2）

五、课后作业：
1．设=（1，3），A、B两点的坐标分别为（1，3）、（2，0），则与的大小关系为
2．当|a|＝|b|≠0且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是
3．下面有五个命题，①单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b；④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|。其中正确的命题序号为
4．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于
5．下面有五个命题，①|a|2＝a2；②；③（ab）2＝a2b2；④（a－b）2＝a2－2ab＋b2；⑤若ab＝0，则a＝0或b＝0其中正确命题的序号是
6．已知m，n是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夹角是
7．如图，平面内有三个向量，其中的夹角是120°，的夹角为30°，，若，
则=。
8．已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD的坐标.

9．设i，j是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的两个单位向量，且＝4i＋2j，＝3i＋4j，证明△ABC是直角三角形，并求它的面积.

10．已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0）C（c，0）
（1）若c=5，求sinA的值;（2）若A为钝角，求c的取值范围。
11．已知向量，，
（1）向量、是否共线？并说明理由;（2）求函数的最大值

12．在平面直角坐标系中，已知向量又点A（8，0），，（1）若，且，求向量；
（2）向量与共线，当，且取最大值4，求

问题统计与分析

相关知识

平面向量的综合应用

作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助高中教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？考虑到您的需要，小编特地编辑了“平面向量的综合应用”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质。注重基本概念和基本运算的教学，对概念要理解深刻到位，运算要准确，尤其是向量互相垂直、平行的充要条件和平面向量基本定理（包括坐标运算），应当达到运用自如、熟练掌握的程度；其次教学中应把向量与其他知识内容进行整合，将几何问题、函数问题、三角问题、以后学到的解析几何问题等转化为向量运算，特别是坐标形式的向量运算问题，充分揭示数学中化归思想的深刻含义，同时也显示出向量的巨大威力。由于向量具有两个明显特点--"形"的特点和"数"的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题；加强向量在数学知识中的应用 ，注意突出向量的工具性；因此这部分知识还渗透了数形结合的解析几何思想。

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平面向量应用举例

2.5平面向量应用举例

课前预习学案
一、预习目标
预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联系。
二、预习内容
阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。另外，在思考一下几个问题：
1.例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗？
2.利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？
3．例3中，⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少？
⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容

课内探究学案
一、学习内容
1.运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析
几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.
2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题.
二、学习过程
探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若，则，且所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？

（２）举出几个具有线性运算的几何实例．

例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
已知：平行四边形ABCD．
求证：．
试用几何方法解决这个问题

利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？
（1）建立平面几何与向量的联系，
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，
（3）把运算结果“翻译”成几何关系。
变式训练：中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设
（1）证明A、O、E三点共线；
（2）用表示向量。

例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的
中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？

探究二：两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.这些力的问题是怎么回事？

例3．在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？

请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：
⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少？
⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？

例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？

变式训练：两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为
，（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移s;(2)计算s在方向上的投影。

三、反思总结
结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题
代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。
本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决实际问题的步骤。
四、当堂检测
1.已知，求边长c。

2.在平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长。

3.在平面上的三个力作用于一点且处于平衡状态，的夹角为，求：（1）的大小；（2）与夹角的大小。

课后练习与提高
一、选择题
1.给出下面四个结论：
①若线段AC=AB+BC，则向量；
②若向量，则线段AC=AB+BC；
③若向量与共线，则线段AC=AB+BC;
④若向量与反向共线，则.
其中正确的结论有（）
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.河水的流速为2，一艘小船想以垂直于河岸方向10的速度驶向对岸，则小
船的静止速度大小为（）
A.10B.C.D.12
3.在中，若=0，则为(）
A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定
二、填空题
4.已知两边的向量，则BC边上的中线向量用、表示为
5.已知，则、、两两夹角是

课后练习答案
1.B2.B3.C4.

平面向量

俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，减轻高中教师们在教学时的教学压力。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？下面是小编精心为您整理的“平面向量”，仅供您在工作和学习中参考。

第七教时
教材：5.3实数与向量的积综合练习
目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
过程：一、复习：1．实数与向量的积(强调：“模”与“方向”两点)
2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）
3．向量共线的充要条件
4．平面向量的基本定理（定理的本身及其实质）
1．当λZ时，验证：λ(+)=λ+λ
证：当λ=0时，左边=0(+)=右边=0+0=分配律成立
当λ为正整数时，令λ=n,则有：
n(+)=(+)+(+)+…+(+)
=++…+++++…+=n+n
即λ为正整数时，分配律成立
当为负整数时，令λ=n（n为正整数），有
n(+)=n[(+)]=n[()+()]=n()+n()=n+(n)=nn
分配律仍成立
综上所述，当λ为整数时，λ(+)=λ+λ恒成立。
2．如图，在△ABC中，=,=AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量
解一：∵=,=则==
∴=+=+而=
∴=+
解二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F
∵△AEF∽△ABC
====
==
∴=+=+
3．在ABCD中，设对角线=，=试用,表示，
解一：====
∴=+==
=+=+=+
解二：设=，=
则+=+=∴=()
===(+)
即：=()=(+)
4．设,是两个不共线向量，已知=2+k,=+3,=2,若三点A,B,D共线，求k的值。
解：==(2)(+3)=4
∵A,B,D共线∴,共线∴存在λ使=λ
即2+k=λ(4)∴∴k=8
5．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M,N分别是DC,AB中点，设=,=，试以,为基底表示,,
解：==连ND则DC╩ND
∴===
又：==
∴===
=(+)=
6．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30,60角，问两细绳各受到多大的力？
解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90
=1(kg)P1OP=60P2OP=30
∴=cos60=1=0.5(kg)
=cos30=1=0.87(kg)
即两根细绳上承受的拉力分别为0.5kg和0.87kg

课时5平面向量基本定理

课时5平面向量基本定理
【学习目标】
1．掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。
2．能应用平面向量基本定理解决一些几何问题。
【知识梳理】
若，是不共线向量，是平面内任一向量

在平面内取一点O，作=，=，=，使=λ1=λ2
==+=λ1+λ2
得平面向量基本定理：

注意：1、必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底
2这个定理也叫共面向量定理
3λ1，λ2是被，，唯一确定的实数。
【例题选讲】
1．如图，ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于M，，，试用基底、表示。

2．设、是平面内一组基底，如果=3-2，=4+，=8-9，求证：A，B，D三点共线。

3．设、是平面内一组基底，如果=2+k，=--3，=2-，若A，B，D三点共线，求实数k的值。

4．中，，DE//BC，与边AC相交于点E，中线AM与DE交于点N，如图，，，试用、表示。

【归纳反思】
1．平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它说明同一平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合。
2．在解具体问题时适当地选取基底，使其它向量能够用基底来表示，选择了两个不共线地向量，平面内的任何一个向量都可以用唯一表示，这样几何问题就可以转化为代数问题，转化为只含的代数运算。
【课内练习】
1．下面三种说法，正确的是
（1）一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底；
（2）一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底；
（3）零向量不可为基底中的向量；
2．如果、是平面内一组基底，，那么下列命题中正确的是
（1）若实数m,n，使m+n=,则m=n=0;
（2）空间任一向量可以表示为=m+n，这里m,n是实数；
（3）对实数m,n，向量m+n不一定在平面；
（4）对平面内的任一向量，使=m+n的实数m,n有无数组。
3．若G是的重心，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则=
4．如图，在中，AM：AB=1：3，AN：AC=1：4，BN与CM交于点P，设，试用，表示。

5．设，，，求证：A、B、D三点共线。

【巩固提高】
1．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组中不能作为基底的是
A+和-B3-2和-6+4
C+2和+2D和+
2．若，，，则=
A+B+C+D+
3．平面直角坐标系中，O为原点，A（3，1），B（-1，3），点C满足，其中，且=1，则点C的轨迹方程为
4．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，则P的轨迹一定通过的心
5．若点D在的边BC上，且=，则3m+n的值为
6．设=+5，=-2+8，=3（-），求证：A、B、D三点共线。

7．在图中，对于平行四边形ABCD，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN=BD，求证：M，N，C三点共线。

8．已知=5+2，=6+y，，，是一组基底，求y的值。

9．如图，在中，D、E分别是线段AC的两个四等份点，点F是线段BC的中点，设，，试用，为基底表示向量。

问题统计与分析