高一数学教案：《直线与平面垂直的判定》教学设计。

俗话说，凡事预则立，不预则废。作为教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助教师提高自己的教学质量。关于好的教案要怎么样去写呢？经过搜索和整理，小编为大家呈现“高一数学教案：《直线与平面垂直的判定》教学设计”，仅供参考，希望能为您提供参考！

高一数学教案：《直线与平面垂直的判定》教学设计

一、教学目标

1.借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。

2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。

3.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

二、教学重点、难点

1.教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

2.教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。

三、课前准备

1.教师准备：教学课件

2.学生自备：

三角形纸片、铁丝（代表直线）、纸板（代表平面）、三角板

四、教学过程设计

1.直线与平面垂直定义的建构

（1）创设情境

①请同学们观察图片，说出旗杆与地面、高楼的侧棱与地面的位置有什么关系？

②请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？

③请将①中旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。

（2）观察归纳

①思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？

②多媒体演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化。

③归纳出直线与平面垂直的定义及相关概念。

定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α.

直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。

用符号语言表示为：

（3）辨析（完成下列练习）：

①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。

②若a⊥α,bα，则a⊥b。

在创设情境中，学生练习本上画图，教师针对学生出现的问题，如不直观、不标字母等加以强调，并指出这就叫直线与平面垂直，引出课题。

在多媒体演示时，先展示动画1使学生感受到旗杆AB所在直线与过点B的直线都垂直。再展示动画2使学生明确旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直，进而引导学生归纳出直线与平面垂直的定义。

在辨析问题中，解释“无数”与“任何”的不同，并说明线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化，给出常用命题：

2.直线与平面垂直的判定定理的探究

（1）设置问题情境

提出问题：学校广场上树了一根新旗杆，现要检验它是否与地面垂直，你有什么好办法？

（2）折纸试验

如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.观察并思考：

①折痕AD与桌面垂直吗？

②如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

③多媒体演示翻折过程。

（3）归纳直线与平面垂直的判定定理

①思考：由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系，即AD⊥CD，AD⊥BD发生变化吗？由此你能得到什么结论？

②归纳出直线与平面垂直的判定定理。

定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

用符号语言表示为：

在讨论实际问题时，学生同桌合作进行试验（将铁丝当旗杆，桌面当地面）后交流方案，如用直角三角板量一次，量两次等。教师不作点评，说明完成下面的折纸试验后就有结论。

在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导这两类学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。学生再次折纸，进而探究直线与平面垂直的条件，经过讨论交流，使学生发现只要保证折痕AD是BC边上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD就与桌面垂直，再利用多媒体演示翻折过程，增强几何直观性。

在归纳直线与平面垂直的判定定理时，先让学生叙述结论，不完善的地方教师引导、补充完整，并结合“两条相交直线确定一个平面”的事实，简要说明直线与平面垂直的判定定理。然后，学生试用图形语言表述，练习本上画图，可能出现垂足与两相交直线交点重合的情况（如图），教师加以说明，同时给出符号语言表述。

在理解直线与平面垂直的判定定理时，强调“两条”、“相交”缺一不可，并结合前面“检验旗杆与地面垂直”问题再进行确认。指出要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，这充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。

3.直线与平面垂直的判定定理的初步应用

（1）尝试练习：

求证：与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。

学生根据题意画图，将其转化为几何命题：不妨设

请三位同学板演，其余同学在练习本上完成，师生共同评析，明确运用线面垂直判定定理时的具体步骤，防止缺少条件，同时指出：这为证明“线线垂直”提供了一种方法。

（2）尝试练习：如图，有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上）C、D。如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直.为什么？

本题需要通过计算得到线线垂直。学生练习本上完成后，对照课本P69例1,完善自己的解题步骤。

（3）尝试练习：如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。

此题有一定难度，教师引导学生分析思路，可利用线面垂直的定义证，也可用判定定理证，提示辅助线的添法，学生练习本上完成，对照课本P69例2,完善自己的解题步骤。

4.总结反思

（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？

（2）在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？

（3）本节课你还有哪些问题？

学生发言，互相补充，教师点评，归纳出判断直线与平面垂直的方法，给出框图（投影展示），同时，说明本课蕴含着转化、类比、归纳、猜想等数学思想方法，强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路，并鼓励学生反思，大胆质疑，教师作好记录，以便查缺补漏。

五.布置作业

（1）如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD.

求证：PO⊥平面ABCD

（2）课本P70 练习2

（3）探究：如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中有几个直角三角形?由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形？四棱锥呢？

【板书设计】

教学设计说明

在这次新课程数学教学内容中，立体几何不论从教材编排还是教学要求上都发生了很大变化，因而，我在本节课的处理上也作了相应调整，借助多媒体辅助教学，采用“引导—探究式”教学方法。整个教学过程遵循“直观感知—操作确认—归纳总结”的认知规律，注重发展学生的合情推理能力，降低几何证明的难度，同时，加强空间观念的培养，注重知识产生的过程性，具体体现在以下几个方面：

1.线面垂直的定义没有直接给出，而是让学生在对图形、实例的观察感知基础上，借助动画演示帮助学生概括得出，并通过辨析问题深化对定义的理解。这样就避免了学生死记硬背概念，有利于理解数学概念的本质。

2.线面垂直的判定定理不易发现，在教学中，通过创设问题情境引起学生思考，安排折纸试验，讨论交流，给学生充分活动的时间与空间，帮助学生从自己的实践中获取知识。教师尽量少讲，学生能做的事就让他们自己去做，使学生更好的参与教学活动，展开思维，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

3.本节中教师不作例题示范，而是让学生先尝试完成，后讲评明晰。为更好地巩固判定定理，设置了有梯度的练习，其中练习（1）是补充题，是判定定理的最简单的运用。作业中增加了基础题（第1题）和开放性题目（第3题），这样，有助于培养学生的发散思维，使学生在不同的几何体中体会线面垂直关系，发展学生的几何直观能力与一定的推理论证能力。同时，在教学中，始终注重训练学生准确地进行三种语言（文字语言、图形语言和符号语言）的转换，培养运用图形语言进行交流的能力。

4.以问题讨论的方式进行小结，培养学生反思的习惯，鼓励学生对问题多质疑、多概括。

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《直线与平面垂直的判定》教学设计

《直线与平面垂直的判定》教学设计
【教学目标】
1.学生能借助直线与平面垂直的具体实例，解释直线与平面垂直的含义；
2.学生能通过参与折纸试验，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理；
3.在对定义和判定定理的探究和运用的过程中，体会线线垂直与线面垂直相互转化的数学思想；
【教学重点】
1.直线与平面垂直的定义；
2.直线与平面垂直的判定定理．
【教学难点】
1.直线与平面垂直的判定定理的探究;
2.定义和定理中转化思想的挖掘．
【教学方式】启发探究式
【教学手段】计算机、自制课件、实物模型
【教学过程】
一、创设情境，引出新知
1.复习空间直线与平面的位置关系，学生通过举例感知生活中直线与平面相交的位置关系，在此基础上提出本节课将重点研究线面的垂直关系．
【设计意图】：从已有知识中引出新的学习问题，激发学生学习数学的兴趣．
2.给出学生熟悉的图片，引导他们观察国旗旗杆与地面的位置关系，广播塔与地面的位置关系，火箭与地面的位置关系等。然后引出：
问题1：将国旗旗杆与地面上的影子抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确描述，从而引出
直线与平面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直．
【设计意图】：通过具体形象几何图形数学语言的学习过程，引导学生体会定义的合理性．
3.线面垂直定义的辨析
（1）说明直线与平面垂直的画法；介绍相关概念：垂面，垂线，垂足。
（2）提出辨析问题：能否将定义中的任意一条直线换成一条直线或有限条直线或无数条直线，并举例说明。
（3）如何说明一条直线与一个平面不垂直？只需找到这条直线与这个平面内一条直线不垂直即可，即一票否决.
【设计意图】：通过定义辨析，加强对定义中任意一条直线的正确认识.
二、群策群力，探知循规
任意一个定义既可用作性质，即如果已知一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于平面内任意一条直线；又可用作判定，即要证一条直线与一个平面垂直，需要满足平面内的每一条直线都与该直线垂直，由于平面内有无数条直线，所以若用定义来判断直线与平面垂直，有时是困难的，甚至是无法完成的，是否有更简洁的判断方法呢？引出课题：2.2.3直线与平面垂直的判定.
试验：准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A，B，C．如图，过△ABC的顶点A折叠纸片，得到折痕AD，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使BD、DC边与桌面接触）
高中几何优秀教学设计及评析《直线与平面垂直的判定》
问题:2：折痕AD与桌面一定垂直吗？
追问：为什么图2中折痕不一定与桌面垂直？（引导学生根据定义进行回答）
【设计意图】：从另一个角度理解定义：如果想说明一条直线与平面不垂直，只需要在平面内找到一条直线与它不垂直就够了,实际上就是举反例.
问题3：如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
追问：为什么图1中折痕AD与桌面是垂直的？（引导学生根据定义进行确认）
高中几何优秀教学设计及评析《直线与平面垂直的判定》
（1）组织学生以小组的形式探究讨论：折叠图形1不论在桌面上如何平移和转动，折痕AD与桌面的垂直关系为什么始终不变？
（2）在学生讨论的基础上教师用课件进行动画演示（如右图），以折痕AD为轴转动纸片，来说明AD与平面高中几何优秀教学设计及评析《直线与平面垂直的判定》内过D点的所有直线都垂直，平面高中几何优秀教学设计及评析《直线与平面垂直的判定》内不过D点的直线，可以通过平移到D点，说明它们与AD都垂直，于是符合直线与平面垂直的定义．
在学生感知直线与平面垂直的判定定理的基础上，进一步引导学生对判定定理中两个关键条件双垂直和相交进行理解和确认．
（3）引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面表述直线和平面垂直的判定定理．
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
强调：两条相交直线，必须满足，不可忽略.
高中几何优秀教学设计及评析《直线与平面垂直的判定》
【设计意图】：通过折纸试验，让学生在发现定理的过程中，先通过直观感知，再操作确认并理性说明，以提高几何直观能力和理性说理能力．
三、迁移拓展，学以致用
1.基础练习，规范格式
高中几何优秀教学设计及评析《直线与平面垂直的判定》
分析：（1）教师引导学生完成说理过程，注意规范语言.（2）欲证线面垂直，需证线与面内两条相交直线垂直；而已知线面垂直，可得线线垂直，所以，在平面内可作两条相交直线m、n为辅助线，命题可证．
高中几何优秀教学设计及评析《直线与平面垂直的判定》
方法二：引导学生用定义证明，并全班集体共同整理思路.
【设计意图】：此题两问都是对判定定理的直接应用，第一个问题中通过观察即可得到定理的条件，目的是进一步强化定理的条件以及定理在应用过程中的准确表述；第二个问题中强调线面垂直与线线垂直的相互转化.此题重视对学生思维策略的引导和启发，培养学生的逻辑推理能力；同时规范证明题的书写．
2.深化认识，提升能力
如图，在直四棱柱ABCDA?B?C?D?中，已知底面ABCD为正方形，
高中几何优秀教学设计及评析《直线与平面垂直的判定》
(1)试判断直线BD与平面A?AC是否垂直？
(2)试判断直线BD与A?C是否垂直？
解析：
高中几何优秀教学设计及评析《直线与平面垂直的判定》
高中几何优秀教学设计及评析《直线与平面垂直的判定》
分析：要证线线垂直，只需满足线面垂直，而要满足线面垂直，还需线线直，体现数学中线线垂直与线面垂直相互转化的思想.
【设计意图】：本题为课本第66页的探究题，本题思路跳跃性较大，如果直接让学生去做就会有一部分学生比较困难，产生畏难情绪，所以在探究之前先搭建两个台阶，这样学生思维活动就比较平缓，大部分学生都能顺利探究出问题答案，从而树立学生学习数学的自信心。
四、自我总结，系统梳理
1．学习小结：从知识和方法两个方面进行．
知识方面：线面垂直的定义（11）、线面垂直的判定定理（121）．方法方面：转化思想．概括为：1-1-1
2．布置作业：
（1）阅读课本相关内容进行复习；
（2）做课本79页复习参考题A组第10题，B组第1题；
（3）完成课本66页课后探究题并写出规范步骤．

直线与平面垂直的判定

第一课时直线与平面垂直的判定

（一）教学目标
1．知识与技能
（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；
（2）使学生掌握直线和平面所成的角求法；
（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论.
2．过程与方法
（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；
（2）探究判定直线与平面垂直的方法.
3．情态、态度与价值观
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.
（二）教学重点、难点
重点：（1）直线与平面垂直的定义和判定定理；
（2）直线和平面所成的角.
难点：直线与平面垂直判定定理的探究.
教学过程教学内容师生互动设计意图
新课导入问题：直线和平面平行的判定方法有几种？师投影问题，学生回答.
生：可用定义可判断，也可依判定定理判断.复习巩固
探索新知一、直线和平面垂直的定义、画法
如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足.
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表不平面的平行四边形的一边垂直，如图.
师：日常生活中我们对直线与平面垂直有很多感性认识，如旗杆与地面，桥柱与水面等，你能举出更多的例子来吗？
师：在阳光下观察，直立于地面的旗杆及它在地面的影子，它们的位置关系如何？
生：旗杆与地面内任意一条经B的直线垂直.
师：那么旗杆所在直线与平面内不经过B点的直线位置关系如何，依据是什么？（图）
生：垂直，依据是异面直线垂直的定义.
师：你能尝试给线面垂直下定义吗？
……
师：能否将任意直线改为无数条直线？学生找一反例说明.培养学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论.
探索新知二、直线和平面垂直的判定
1．试验如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）.
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直？
2．直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
思考：能否将直线与平面垂直的判定定理中的“两条相交直线”改为一条直线或两条平行直线？师：下面请同学们准备一块三角形的小纸片，我们一起来做一个实验，（投影问题）.
学生动手实验，然后回答问题.
生：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直.
师：此时AD垂直上的一条直线还是两条直线？
生：AD垂直于桌面两条直线，而且这两条直线相交.
师：怎么证明？
生：折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD
……
师：直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.培养学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论.
典例剖析例1如图，已知a∥b，a⊥，求证：b⊥.
证明：在平面内作两条相交直线m、n.
因为直线a⊥，根据直线与平面垂直的定义知
a⊥m，a⊥n.
又因为b∥a，
所以b⊥m，b⊥n.
又因为，m、n是两条相交直线，
b⊥.
师：要证b⊥，需证b与内任意一条直线的垂直，又a∥b，问题转化为a与面内任意直线m垂直，这个结论显然成立.
学生依图及分析写出证明过程.
……
师：此结论可以直接利用，判定直线和平面垂直.巩固所知识培养学生转化化归能力、书写表达能力.
探索新知二、直线和平面所成的角
如图，一条直线PA和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线的平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.教师借助多媒体直接讲授，注意直线和平面所成的角是分三种情况定义的.借助多媒体讲授，提高上课效率.
典例剖析例2如图，在正方体ABCD–A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.
分析：找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影，就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.
解：连结BC1交B1C于点O，连结A1O.
设正方体的棱长为a，因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1.
又因为BC1⊥B1C，所以B1C⊥平面A1B1CD.
所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.
在Rt△A1BO中，
，，
所以，
∠BA1O=30°
因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.师：此题A1是斜足，要求直线A1B与平面A1B1CD所成的角，关键在于过B点作出（找到，面A1B1CD的垂线，作出（找到）了面A1B1CD的垂线，直线A1B在平面A1B1CD内的射影就知道了，怎样过B作平面A1B1CD的垂线呢？
生：连结BC1即可.
师：能证明吗？
学生分析，教师板书，共同完成求解过程.点拔关键点，突破难点，示范书写及解题步骤.
随堂练习1．如图，在三棱锥V–ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC.
2．过△ABC所在平面外一点P，作PO⊥，垂足为O，连接PA，PB，PC.
（1）若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的心.
（2）若PA=PB=PC，则点O是△ABC的心.
（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PB⊥PA，则点O是△ABC的.心.
3．两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？
4．如图，直四棱柱A′B′C′D′–ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A′C⊥B′D′？
学生独立完成
答案：
1．略
2．（1）AB边的中点；（2）点O是△ABC的外心；（3）点O是△ABC的垂心.
3．不一定平行.
4．AC⊥BD.巩固所学知识
归纳总结1．直线和平面垂直的定义判定
2．直线和平面所成的角定义与解答步骤、完善.
3．线线垂直线面垂直学生归纳总结教师补充巩固学习成果，使学生逐步养成爱总结，会总结的习惯和能力.
课后作业2.7第一课时习案学生独立完成强化知识
提升能力
备选例题
例1如图，在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，M为BD中点，作AO⊥MC，交MC于O．求证：AO⊥平面BCD．
【解析】连结AM
∵AB=AD，CB=CD，M为BD中点．
∴BD⊥AM，BD⊥CM．
又AM∩CM=M，∴BD⊥平面ACM．
∵AO平面ACM，∴BD⊥AO．
又MC⊥AO，BD∩MC=M，∴AO⊥平面貌BCD．
【评析】本题为了证明AO⊥平面BCD，先证明了平面BCD内的直线垂直于AO所在的平面．这一方法具有典型性，即为了证明线与面的垂直，需要转化为线与线的垂直；为了解决线与线的垂直，又需转化为另一个线与面的垂直，再化为新的线线垂直．这样互相转化，螺旋式往复，最终使问题得到解决．
例2已知棱长为1的正方体ABCD–A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值．
【解析】取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连AO．
由已知正方体，易知EO⊥ABC1D1，所以∠EAO为所求．
在Rt△EOA中，
，
，
sin∠EAO=．
所以直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为．
【评析】求直线和平面所成角的步骤：
（1）作——作出斜线和平面所成的角；
（2）证——证明所作或找到的角就是所求的角；
（3）求——常用解三角形的方法（通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角形）
（4）答．

直线与平面垂直的判定教学设计

一、内容和内容解析

本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用。

直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线（无一例外）都垂直来定义的，定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直的一个判定方法；直线与平面垂直的判定定理本节是通过折纸试验来感悟的，即一条直线只要与平面内的两条相交直线垂直就可以判定直线与平面垂直了，它把原来定义中要求与任意一条（无限）垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，概言之，线不在多，相交就行。直线与平面垂直的判定方法除了定义法、判定定理外，还有如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，这是直线与平面垂直判定的一种间接方法，也是十分重要的。

本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。

直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁，为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础。

二、目标和目标解析

1.借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；

2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；

3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.

三、教学问题诊断分析

学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象（学生的客观现实）和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构（学生的数学现实），这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。

学生学习的困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义，感悟直线与平面垂直的意义；以及如何从折纸试验中探究出直线与平面垂直的判定定理。

教学的重点是直线与平面垂直的定义和直线与平面垂直判定定理的探究；教学的难点是操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。

四、学习行为分析

本节课安排在立体几何的初始阶段，是学生空间观念形成的关键时期，课堂上学生通过感知、观察、提炼直线与平面垂直的定义，进而通过辨析讨论，深化对定义的理解。进一步，在一个具体的数学问题情境中猜想直线与平面垂直的判定定理，并在教师的指导下，通过动手操作、观察分析、自主探索等活动，切身感受直线与平面垂直判定定理的形成过程,体会蕴涵在其中的思想方法。继而，通过课本例1的学习概括直线与平面垂直的几种常用判定方法。再通过练习与课后小结，使学生进一步加深对直线与平面垂直的判定定理的理解。

五、教学支持条件分析

观察和展示现实生活中的实例与图片，以直观感知直线与平面垂直的形象；准备三角形纸片，用于探究直线与平面垂直的判定定理；制作多媒体课件动态演示，以加深对直线与平面垂直定义及判定定理的感知与理解。

六、教学过程设计

1.从实际背景中感知直线与平面垂直的形象

问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？

设计意图：此问基于学生已有的数学现实，通过对已学相关知识的追忆，寻找新知识学习的“固着点”。

问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明。

设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义。

2.提炼直线与平面垂直的定义

问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？

设计意图：两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题，让学生回忆直线与直线垂直的定义，旨在由此得到启发：用“平面化”的思想来思考问题，即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？

问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．

(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?

(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？

设计意图：第（1）与（2）两问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第（3）问进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念。

（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化）

思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？

（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？

（对问（1），在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示；对问（2）可引导学生给出符号语言表述：若，则)

设计意图：通过对问题（1）的辨析讨论，深化直线与平面垂直的概念。通过对问题（2）的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法。

通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验。这就有必要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法。

3.探究直线与平面垂直的判定定理

创设情境猜想定理：某公司要安装一根8米高的旗杆，两位工人先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一直线上）。如果这两点都和旗杆脚距离6米，那么表明旗杆就和地面垂直了，你知道这是为什么吗？

设计意图：引导学生根据直观感知以及已有经验，进行合情推理，猜想判定定理。

师生活动：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）

问题5：（1）折痕AD与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

（组织学生动手操作、探究、确认）

设计意图：通过折纸让学生发现当且仅当折痕AD是BC边上的高时，且B、D、C不在同一直线上的翻折之后竖起的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌面垂直（如图2），其它位置都不能使AD与桌面垂直。

问题6：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？

对于两条相交直线必须在平面内这一点，教师可引导学生操作：将纸片绕直线AD（点D始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在桌面所在平面内。问：直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗？（此处引导学生认识到直线CD、BD都必须是平面内的直线）

设计意图：通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内，从而更凸现出直线与平面垂直判定定理的核心词：平面内两条相交直线。

问题7：如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证

，（如图4）你认为直线还垂直于平面吗？

设计意图：让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的。

根据试验，请你给出直线与平面垂直的判定方法。

（学生叙写判定定理，给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化）

问题8：（1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?

（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么?

设计意图：通过和直线与平面垂直定义的比较，让学生体会“无限转化为有限”的数学思想，通过寻找定义与判定定理的共同点，感悟和体会“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”的数学思想.

思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？

如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？

设计意图：用学到手的知识解释实际生活中的问题，增强学生用数学的意识，同时通过提出“为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？”（对该问题可引导学生用三角形纸片来验证），从而来深化对直线与平面垂直判定定理的理解。

4.直线与平面垂直判定定理的应用

如图5，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线。并说明这些直线有怎样的位置关系？

思考：如图6，已知，则吗？请说明理由。

（分别用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的定义证明；并让学生用语言叙述：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面）

设计意图：这个例题给出了判断直线和平面垂直的一个常用的命题，这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系。

练习：如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点。

求证：AC⊥平面VKB

思考：

(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；

(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；

(3)在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC，VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，对吗？

设计意图：例2重在对直线与平面垂直判定定理的应用．变式（1）在例2的基础上，应用了直线与平面垂直的意义；变式（2）是对例1判定方法的应用；变式（3）的判断在于进一步巩固直线与平面垂直的判定定理。3个小题环环相扣，汇集了本节课的学习内容，突出了知识间内在联系和融会贯通。

5.小结回授

（1）本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？试用自己理解的语言叙述。

（2）直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法？

设计意图：以问题讨论的方式进行小结，培养学生反思的习惯，鼓励学生运用自己理解的语言对问题进行质疑和概括。

七、目标检测设计

1．课本P73探究：如图2.3-7，直四棱柱A1B1C1D1-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A1C⊥B1D1．

2．如图，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，写出图中所有的直角三角形。

3．课本P74练习2

设计意图：第1题是本节教材中的一道探究题，主要运用直线与平面垂直的意义与判定定理；第2题也是活用直线与平面垂直的意义与判定定理，前两题重在检测本节课的知识与技能目标，检测运用知识解决问题的能力；第3题通过学生探索，培养学生观察——分析——归纳和综合运用知识的能力。

直线与平面垂直的判定教学设计（2）

一、内容和内容解析

直线与平面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，就称直线与平面互相垂直。定义中的“任意一条直线”就是“所有直线”。

直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。定理体现了转化的数学思想：将“直线与平面垂直”的问题转化为“直线与直线垂直”的问题。

直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中线线垂直位置关系的拓展，又是面面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。

对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开，而对直线与平面垂直的判定的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程展开，通过该内容的学习，能进一步培养学生空间想象能力，发展学生的合情推理能力和一定的推理论证能力，同时体会“平面化”思想和“降维”思想。

教学重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

二、目标和目标解析

目标：理解直线与平面垂直的意义，掌握直线与平面垂直的判定定理。

目标解析：

1、借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义。

2、通过直观感知、操作确认，归纳、概括出直线与平面垂直的判定定理。

3、能运用直线与平面垂直的判定定理，证明与直线和平面垂直有关的简单命题：在平面内选择两条相交直线，证明它们与平面外的直线垂直。

4、能运用直线与平面垂直定义证明两条直线垂直，即证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面。

三、教学问题诊断分析

学生已经学习了直线、平面平行的判定及性质，学习了两直线（共面或异面）互相垂直的位置关系，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力。

在直线与平面垂直的判定定理中，为什么至少要两条直线，并且是两条相交直线，学生的理解有一定的困难，因为定义中“任一条直线”指的是“所有直线”，这种用“有限”代替“无限”的过程导致学生形成理解上的思维障碍。同时，由于学生的空间想象能力、推理论证能力有待进一步加强，在直线与平面垂直判定定理的运用中，不知如何选择平面内的两条相交直线证线面垂直（抑或选择平面证线面垂直从而得到线线垂直）导致证明过程中无从着手或发生错误。

教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。

四、教学支持条件分析

为了有效实现教学目标，条件许可准备投影仪，多媒体课件，三角板。学生自备学具：三角形纸片、铁丝、三角板。

五、教学过程设计

（一）、观察归纳直线与平面垂直的定义

1、直观感知

问题1：请同学们观察图片，说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？

设计意图：从实际背景出发，直观感知直线和平面垂直的位置关系，使学生在头脑中产生直线与地面垂直的初步印象，为下一步的数学抽象做准备。

师生活动：观察图片，引导学生举出更多直线与平面垂直的例子，如教室内直立的墙角线和地面位置关系，桌子腿与地面的位置关系，直立书的书脊与桌面的位置关系等，由此引出课题。

2、观察思考

思考：如何定义一条直线与一个平面垂直呢？

我们已经学过直线和平面平行的判定和性质，知道直线和平面平行的问题可转化为考察直线和平面内直线平行的关系,直线和平面垂直的问题同样可以转化为考察一条直线和一个平面内直线的关系，然后加以解决。

问题2：（1）如图1，在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在的直线与影子所在直线位置关系是什么？

（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置关系又是什么？

设计意图：引导学生用“平面化”的思想来思考问题，通过观察，感知直线与平面垂直的本质属性。

师生活动：教师用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的过程，引导学生得出旗杆所在直线与地面内的直线都垂直。

3、抽象概括

问题3、通过上述观察分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？

设计意图：让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义。

师生活动：学生思考作答，教师补充完善，指出定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同意词，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直。同时给出线面垂直的记法与画法。

定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。

画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图2。

4、辩析举例

辨析：下列命题是否正确，为什么？

（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直。

（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线。

设计意图：通过问题辨析，加深概念的理解，掌握概念的本质属性。由（1）使学生明确定义中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思，定义的实质就是直线与平面内所有直线都垂直。由（2）使学生明确，线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化。

师生活动：命题（1）判断中引导学生用铁丝表直线，用三角板两直角边表两垂直直线，桌面表平面举出反例。教师利用三角板和教鞭进行演示，将一块大直角三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一条直角边BC就和讲台上的一条直线（即三角板与桌面的交线AC）垂直，但它不一定和讲台桌面垂直.在此基础上在讲台上放一根和AC平行的教鞭EF并平行移动，那么BC始终和EF垂直，但它不一定和讲台桌面垂直，最后教师用多媒体课件展示反例的直观图，如图3。

由命题（2）给出下列常用命题：

这个命题体现了平行关系与垂直关系的联系，它是判断线线垂直的常用方法。

（二）、探究发现直线与平面垂直的判定定理

1、观察猜想

思考：我们该如何检验学校广场上的旗杆是否与地面垂直？

虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？

问题4、观察跨栏、简易木架等实物，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？

设计意图：通过问题思考与实例分析，寻找具有可操作性的判定方法，体验有限与无限之间的辩证关系。

师生活动：引导学生观察思考，给出猜想：一条直线与一个平面内两相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

2、操作确认

问题5：如图4，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.观察并思考：

（1）折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

（2）由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系，即AD⊥CD，AD⊥BD发生变化吗？由此你能得到什么结论？

设计意图：通过实验，引导学生独立发现直线与平面垂直的条件，培养学生的动手操作能力和几何直观能力。

师生活动：在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。学生再次折纸，进而探究直线与平面垂直的条件，经过讨论交流，使学生发现只要保证折痕AD是BC边上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD就与桌面垂直，再利用多媒体演示翻折过程，增强几何直观性。

3、合情推理

问题6：根据上面的试验，结合两条相交直线确定一个平面的事实，你能给出直线与平面垂直的判定方法吗？

设计意图：引导学生根据直观感知及已有知识经验，进行合情推理，获得判定定理。

师生活动：教师引导学生回忆出“两条相交直线确定一个平面”，以及直观过程中获得的感知，将“与平面内所有直线垂直”逐步归结到“与平面内两条相交直线垂直”，进而归纳出直线与平面垂直的判定定理。同时指出要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.定理充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。

定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

用符号语言表示为：

4、质疑深化

辨析：如果一条直线与一个梯形的两条边垂直，那么这条直线垂直于梯形所在的平面吗？

设计意图：通过辨析，强化定理中“两条相交直线”的条件。

师生活动：学生思考作答，教师再次强调“相交”条件。

（三）、直线与平面垂直的判定定理的初步应用

尝试练习1、求证：与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。

设计意图：初步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决问题，明确运用线面垂直判定定理的条件。

师生活动：学生根据题意画图（如图6），将其转化为几何命题：不妨设a⊥AC,a⊥BC求证：a⊥AB。请两位同学板演，其余同学在练习本上完成，师生共同评析，明确运用线面垂直判定定理时的具体步骤，防止缺少条件，特别是“相交”的条件。

尝试练习2、如图7，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。

设计意图：进一步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直，体会转化思想在证题中的作用，发展学生的几何直观能力与一定的推理论证能力。

师生活动：教师引导学生分析思路，可利用线面垂直的定义证，也可用判定定理证，提示辅助线的添法，将思路集中在如何在平面内α内找到两条与直线b垂直的相交直线上。另外，再引导学生将已知条件具体化的过程中，逐步明确根据异面直线所成角的概念解决问题。学生练习本上完成，对照课本P73例1,完善自己的解题步骤。同时指出：本例结果可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理.这样判定一条直线与已知平面垂直，可以用这条直线垂直于平面两条相交直线来证明，也可以用这条直线的平行直线垂直于平面来证明.

尝试练习3：如图8，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时，？

设计意图：能合理寻找平面证线面垂直从而得出线线垂直，体会转化思想在证题中的作用。

师生活动：学生思考讨论，请一位同学用投影仪展示并分析其思路，教师参与讨论。

（四）、总结反思

（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？

（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现的什么数学思想？

（3）关于直线与平面垂直你还有什么问题？

设计意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对问题多质疑、多概括。

师生活动：学生发言，互相补充，教师点评完善，归纳出判断直线与平面垂直的方法，给出框图（投影展示）。

六、目标检测设计

1、如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD.求证：PO⊥平面ABCD

2、课本P74练习1、2

3、课本P86A组10

4、如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中有几个直角三角形?由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形？

（板书设计）